自动控制理论(邹伯敏第三版)第04章教材

图4-4 一阶系统
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图4-5 图4-4系统的等增益轨迹和根轨迹
第四章 根轨迹法
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自动控制理论
结论：
根轨迹就是s 平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹 的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：
➢找出s 平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线 ➢根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值
l 1
4 -13
其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
m
K0 zi
K
i 1 n
,n m
pl
l 1
绘制根轨迹的基本规则
4 -14
规则1：根轨迹的对称性
由于系统特征方程式的系数均为实数,因而特征根或为实数,或为共轭复 数.根轨迹必然对称于S平面的实轴
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
自动控制理论
第四章
根轨迹法
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作者： 浙江大学 邹伯敏 教授
第四章 根轨迹法
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自动控制理论
第一节 根轨迹法的基本概念
什么是根轨迹法
闭环特性方程式
s2 s K 0 (4-1)
方程式(4-1)的根为
s1,2
1 2
1 2
1 4K
图4-1 二阶系统
当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。 表4-1 根与K的关系
根轨迹的幅值条件与相角条件
特征方程：
1 GsHs 0
由上式可知，凡是满足方程 GsHs 1
的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的
一个点。由于s 是复数，故有：
图4-3 控制系统的框图
G s H s e j{argGsHs} 1e j2k1 , k 0,1,2,
于是得：
GsH s 1 根轨迹幅值条件 argGsH s 2k 1 , k 0,1,2,根轨迹相角条件
令s zi pie ji , i 1,2,m s pl rle jl , l 1,2,n
则上式改写为：
m
G s H s K
m
n
i
i
j
i
e
i1
l1
e n
rl
于是得：
l 1
m
i
GsH s K
i 1 n
rl
m
n
l 1
i l 2k 1 , k 0,1,2,
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自动控制理论
图4-6 用试探法确定根轨迹
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第四章 根轨迹法
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自动控制理论
第二节 根轨迹的基本规则
开环传递函数有如下两种表示：
m
K i s 1
GsH s
i 1 n
,n m
Tl s 1
l 1
或
4 -12
m
K 0 s zi
GsH s
i 1 n
,n m
s pl
➢如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。 由式（3-26）求得
0.707 由于 arccos 45o，在图4-2上过坐标原点
作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。
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图4-2 系统的根轨迹
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K 0 0.25
0.5
1
…
∞
s1 0 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 … 0.5+j∞
s2 -1 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 … -0.5-j∞
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对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态:
1) 0≤K＜¼， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
支的终点
当n＞m时,余下n m条根轨迹分支的终点位置需确定
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自动控制理论
m
s zi
i 1
1
n
s pl
K0
l 1
当K0 时,则有
m
lim
s zi
i 1
lim
1 0
K0 n s pl
K K0 0
l 1
可见s ej 也能满足上式
n条 根 轨 迹 分 支mn个开m 个 环开 极环 点极 点m个开n环 有m 个 限开 零环 点有 限 零 点
n
s pl 0
l 1
根 轨 迹 的 始 点 为 开 环 传递 函 数 的 极 点
➢根轨迹终点就是当 K0 时 根的位置；
1 n
K 0 l1
s
m
s zi
i 1
0
当K0 时,则有
m
s zi 0
i 1
由此式可知,开环传递函数的零点 zi i 1,2,,m是m条根轨迹分
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
GsH s
K s s
z1 s z2 s p1 s p2 s
zm pn
,
n
m
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自动控制理论
式中K 0;z1,z2 zm为开环零点,在s平面用“o”表示, p1, p2 pn 为开环极点,在s平面用“x”表示。
例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹
解： 1）用相角条件绘制根轨迹
Gs
K
s 1
arg s args 1 2k 1 , k 0,1,2,
2）用幅值条件确定增益K
K s s 1
例如图4-6d中的重根s1,2 0.5,其对应的K值为
K 0.5 0.5 0.25
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i 1
l 1
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设一控制系统的框图如图4-4所示，由根轨迹 的幅值条件得：
4K 1 s3 即
4 1 s3 K
（4-10）
令 s j,则式(410)可化为
( 3)2 2 (4K )2
（4-11）
式（4-11）表明，系统的等增益轨迹是一簇 同心圆，如图4-5所示。
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K 0 s zi 0
l 1
i 1
➢当k由 0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称
为根轨迹的一条分支；
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➢因为n≥m，所以根轨迹分支共计为n条；
➢根轨迹起点就是k0=0时根的位置，当k0=0时有：
规则3：根轨迹在实轴上的分布
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图4-7 实轴上根轨迹的确定
➢实轴上根轨迹的确定完全取决于试验点 右方S i实轴上开环极点数 与零点数之和的数是否为奇数。