3.3垂径定理(2)

B
E
1.5
1.5
O 1.15
F3
≈0.96
2
∴ＥF=EF+DF=2.96＜3
2
∴高3m,宽2.3m的集装箱车
不能通过这个隧道
2.3
1.15
C
D
如果要使高度不超过4m,宽为2.3m的货车能通过这个隧道,且不
改变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少m?
课堂小结
拓展提高：如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交
弦所对的弧.
逆定理(2)： 平分弧的直径垂直于弦,并且平分弧所对的弦.
定理1的证明
已知：如图，⊙O的直径交弦AB
求证（：不C是D 直⊥径A）B，于点A⌒CP=,AB⌒PC=BP
证明：连接OA,OB,则AO=BO
∴ △ AOB是等腰三角形
∵ AP=BP
C
A P└ ●O
∴ＣＤ⊥ＡＢ.
B ∴A⌒C =B⌒C
0.1m).
解:如图,用AB表示桥拱,设圆心 为O,C为AB的中点
连接半径OC,交AB于点D
则OC垂直平分AB,CD就是拱高
连接OB,设圆O的半径为R(m)
A
由题意得:AB=37.02,CD=7.23,OB=R ∴BD=1/2AB=0.5×37.02=18.51
C
D B
OD=OC-DC=R-7.23
A
பைடு நூலகம்
MB
F
已知圆O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm, 则AB与CD距离是__________cm
解: 当两条弦在圆心的两侧时 C
4F 3
D
则EF=OE+OF=7
5
●O
45
A
E3 B
当两条弦在圆心的同侧时
EF=OE-OF=1
C
5
●O
D
5
4F
A
E3 B
例２
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为 37.０2 m,拱高(桥拱圆弧的 中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到
你能证明定理２吗？
D
例1：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M， N，AM=BM，AB//CD，求证：DN=CN
P
D
NC O
A
MB
Q
1、如图，⊙O的直径交弦AB于点M，且A⌒F=⌒BF。 若OE=5，AB=8，则MF的长为( A )
(A)2cm (B)3cm E
(C)4cm
(D)5cm
O
某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面2m,半径 为1.5m,一辆高3m,宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗?
解:取CD=1.15m,作DE⊥CD交圆O于点E 连接OE,过O作OF⊥ED于F, 由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15 FD=OC=2由勾股定理得: E F O E 2 O F 21 .5 2 1 .1 5 2
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
条件：直径CD⊥AB
C
结论： AEBE
O
AE
B
D
A ⌒DB ⌒DA ⌒CB ⌒C
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.
条件
逆定理(1)：
结论1
结论2
平分弦（的直不径是垂直直径于）弦的直,并径且垂平直分于弦弦所,对并的且弧平分.
2
2
2
O DO CD CR2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
O2AAD 2OD 2,
即 R 23.62(R2.4)2.
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2HN2, 即 O H3.921.523.6.
D 3 .6 H 1 .5 2 .1 2 .
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定得理A ,D是 B A7 .B2 的,C 中点 D ,2 C.是4 ,H AB 的 中N 1 点M ,CD 就1 N .是5 .拱高.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
在Rt⊿OBD中,OB2=BD2+OD2
O
∴R2=18.512+(R-7.23)2
解这个方程,得 R=27.3
答:赵州桥的桥拱圆弧的半径约为27.3m
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱 顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形 并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过 这座拱桥吗？
于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，∠BOC=300，求⊙C
的半径和圆心C的坐标。
y A C
B
Ox