竞赛数学课程数论专题文稿

数论

数论素有“数学皇后”的美称。由于其形式简单，意义明确，所用知识不多而又富于技巧性，千姿百态，灵活多样。有人曾说：“用以发现数学天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。”因此在理念的国内外数学竞赛中，几乎都离不开数论问题，使之成为竞赛数学的一大重要内容。

1. 基本内容

竞赛数学中的数论问题主要有：

（1）整除性问题；

（2）数性的判断（如奇偶性、互质性、质数、合数、完全平方数等）；

（3）余数问题；

（4）整数的分解与分拆；

（5）不定方程问题；

（6）与高斯函数[]x有关的问题。

有关的基本知识：

关于奇数和偶数有如下性质：

奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数.

两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）.

若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个.

奇数奇数=奇数；奇数偶数=偶数；偶数偶数=偶数.

若干个整数之积为奇数，则这些数必为奇数；若干个整数之积为偶数，则这些数中至少有一个偶数.

若a是整数，则a与a有相同的奇偶性；若a、b是整数，则a b

-奇偶性

+与a b

相同。

关于整数的整除性：

设,,

a b c是整数，则○1a a；○2若,

a b b c，则a c；○3若,

a b b c，则对任意整数,m n，

+.

有a bm cn

若在等式11m n

i i i i a b ===∑∑中，除某一项外，其余各项都能被c 整除，则这一项也能被c

整除.

若(,)1a b =，且a bc ，则a c .若(,)1a b =，且,a b b c ，则ab c .

设p 是素数，若p ab ，则p a 或p b .

关于同余：

若0(mod )a m ≡，则m a .

(mod )a b m ≡⇔,a b 分别被m 除，余数相同.

同余具有反身性:(mod )a a m ≡、对称性:若(mod )a b m ≡，则(m o d )

b a m ≡、传递性：

若,(mod )a b b c m ≡≡，则(mod )a c m ≡.

2. 方法评析 数论问题综合性强，以极少的知识就可生出无穷的变化。因此数论问题的方法多样，技巧性高，富于创造性和灵活性。在竞赛数学中，解决数论问题的常用方法有因式分解法、估值法、调整法、构造法、反证法、奇偶分析法等等。

2.1 因式（数）分解

例1 证明无穷数列10001，100010001，……中没有素数。

证明：设1

1000100011n n a =个，则

4484(1)41011101010=101

n n n a --=++++- 当n 为偶数，设2n k =，

888484101(10)1101=101101101

k k n a ---=--- 所以n a 为合数。

当n 为奇数，设2+1n k =，

42+1221221422101101101==101101101

k k k n a ++--+--+（）（）（）

所以n a 为合数。

评析：对n 分奇偶，分情况讨论，问题变得清晰易证。同时注意，

若n 为奇数时，n n x y +可分解因式。

例2 证明对任意整数1n >，44n n +不是素数。

证明：当n 为偶数时，44n n +为偶数，所以44n n +为合数；

当n 为奇数，设21n k =+，则

4421444=44(2)n k k n n n +++=+

422422222222222=4(2)4(2)4

(2)[2(2)]4(2)[2(2)22][2(2)22]

k k k k k k k k k n n n n n n n n n ++-=+-=++⋅+-⋅ 所以44n n +为合数。

评析：对n 适时地进行奇偶性讨论，不失为一种证明思路。同时

应注意，44x y +可作因式分解。

例3 设正整数,,,a b c d 满足ab cd =。证明：a b c d +++不是素数。

证明：由于ab cd =，则设a d u c b v

==，其中(,)1u v =，则 ,,a pu c pv d qu b qv

==== 故=()()()()a b c d pu qv pv qu p u v q u v p q u v ++++++=+++=++

所以为合数。

评析：此题中采用方法可扩展如下： 若a d c b

=，不妨设gcd(,),gcd(,)a c s d b t ==,则 1111,,a a s c c s

b d t b b t

====，且1111gcd(,)gcd(,)1a c d b ==

由于 1111a s d t c s b t =，所以1111

a d c

b =，即1111=a b

c

d 所以11111,gcd(,)1a d c a c =，故11a d 。同理可证11d a ，所以11=a d

同理可得11=c b

例4 证明：若正整数,a b 满足2223a a b b +=+，则a b -和221a b ++都是完全平方数。

证明： 因22222a b a b b -+-=，即2()(221)a b a b b -++=

故只需证a b -和221a b ++互质。

设gc (,221)d a b a b d -++=,即证1d = 则,221d a b d a b -++ 由于22d b ，所以d b ，又d a b -，则d a 。所以1d ，故1d =得证。

故a b -和221a b ++互质，所以a b -和221a b ++都是完全平方数。

评析：有时，适当的因式分解可以使问题简化，以证得结论。

例5 一个正整数，加上100为一个完全平方数，若加上168则为另一个完全平方数，求这个数。

解：设这个数为x ，则

22100168x a x b

⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 其中,a b N ∈ （注：限定正的可减少讨论）。

故2()()217b a b a -+=⋅，

从而b a -与b a +则等于把2217⋅拆开的因数1、2、4、17、34、68.这样就有六种情形。

又由于b a b a -<+，且b a -与b a +同奇偶性，故

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b a b a -=⎧⎨+=⎩