2017年春八年级数学下册2.5.2矩形的判定学案新版湘教版

2．5.2 矩形的判定

【学习目标】

1．掌握矩形的判定定理．

2．能应用矩形的定义，判定定理解决简单的证明和计算题，进一步培养分析能力．

【学习重点】

矩形判定方法的探究与运用．

【学习难点】

矩形性质与判定的综合运用．

情景导入生成问题

旧知回顾：

小红同学用“边—直角，边—直角，边—直角”这样的四步，画出了一个四边形．她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？

对．因为有三个直角的四边形是矩形．

自学互研生成能力

知识模块一矩形的判定定理

【自主探究】

阅读教材P61～62，完成下列内容：

1．能够判定一个四边形是矩形的条件是( C)

A．对角线互相平分B．对角线垂直

C．对边互相平行且有一个角是直角D．对角线垂直且相等

2．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是( B)

A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝BO＝CO＝DO

C．AC＝BD，AO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD

【合作探究】

已知：如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.又∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，∴∠BAF＝

1 2∠BAD，∠ABF＝

1

2

∠ABC，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∴∠AFB＝90°，同理可得∠AED＝∠BGC＝90°，∴四边形

EFGH是矩形．

议一议：对角线相等的四边形是矩形吗？

归纳：矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形．

知识模块二矩形判定定理的应用

【自主探究】

阅读教材P62例2，完成下列内容：

如图所示，已知▱ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC中，能说明▱ABCD是矩形的有①④．(填序号)

【合作探究】

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E，F.当矩形ABCD的长和宽之间满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由．

解：当矩形ABCD的长是宽的2倍，即AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形，理由如下：∵AD＝2AB，又M为AD 的中点，∴AB＝AM，DM＝DC，∴△ABM和△DMC为等腰直角三角形，∴∠ABM＝∠DCM＝45°，∴∠MBC＝∠MCB＝45°，∴∠BMC＝90°.又∵PF⊥BM，PE⊥CM，∴四边形PEMF为矩形．

知识模块三矩形的性质和判定定理的综合应用

【自主探究】

如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，E，F，G，H分别为OA，OB，OC，OD的中点，下列结论中正确的是①②④(只填序号)．①四边形EFGH是矩形；②四边形EFGH的周长是矩形ABCD周长的一半；③四边形EFGH的面积是矩形ABCD面积的一半；④四边形EFGH的面积是四边形BEDG面积的一半．

【合作探究】

已知，点P是等腰直角三角形ABC底边上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足分别为E，F，设D为BC的中点．

(1)求证：DE⊥DF；

(2)当点P在BC的延长线上时，DE⊥DF吗？试证明．

证明：(1)连接AD.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°.又∵PE⊥AB，PF ⊥AC，∴四边形PEAF为矩形，∴AE＝PF＝FC.∵D为BC中点，∴AD＝CD，∠EAD＝∠C＝45°，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴∠EDA＝∠FDC.又∵AD⊥BC，∴∠ADF＋∠FDC＝∠ADF＋∠EDA＝90°，∴DE⊥DF；(2)当P在延长线上时，同理可证得DE⊥DF.

交流展示生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．

2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一矩形的判定定理

知识模块二矩形判定定理的应用

知识模块三矩形性质与判定定理的综合应用

检测反馈达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思查漏补缺

1．收获：________________________________________________________________________

2．存在困惑：________________________________________________________________________

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