高中数学通用模型解题精编版【通用解体模型】￥398
邱崇 高中数学解题模板
邱崇高中数学解题模板篇一：高中数学解题模板是指在数学解题过程中,使用的一种通用的解题方法或技巧。
下面,我们将针对高中数学中的一些常见题目,介绍一些常见的解题模板和方法。
一、选择题1. 确定选项2. 排除错误选项3. 确定正确答案二、填空题1. 确定问题2. 构造模型3. 利用模型求解三、函数题1. 定义域和值域2. 求导3. 利用函数性质求解四、几何题1. 确定几何图形2. 利用几何图形的性质求解3. 运用向量知识求解五、概率题1. 确定事件和条件2. 建立概率模型3. 利用概率模型求解在解题过程中,可以使用这些模板和方法,快速准确地解决数学问题。
同时,还可以不断总结和积累经验,提高自己的数学解题能力。
除了以上模板和方法之外,还可以拓展以下方面:1. 熟练掌握各种数学概念和方法,了解它们之间的关系和作用。
2. 加强对数学公式和定理的理解和记忆,加深对数学概念和方法的理解。
3. 加强对数学题型和解题思路的训练,提高数学解题速度和准确度。
4. 注重解题过程中的细节和技巧,如运算符号的优先级、代数式子的化简和转换等。
5. 不断反思和总结解题经验,找到自己的不足之处,并加以改进。
通过以上方法,可以提高自己的数学解题能力,更好地理解和应用数学知识。
篇二：高中数学解题模板是一种帮助学生们更好地理解和应用数学知识的方法。
以下是一些常见的数学模板,可以帮助学生更好地解决各种数学问题。
1. 基本公式和定理在数学中,有许多基本公式和定理,这些是解决问题的基础。
学生应该熟练掌握这些公式和定理,并能够应用它们来解决各种问题。
2. 确定问题在解决数学问题时,学生应该首先明确问题。
问题可以是关于某个数学概念的理解,也可以是关于某个数学问题的解决。
明确问题有助于学生更好地理解问题,并找到解决问题的方法。
3. 建立模型在解决问题时,学生应该建立模型。
模型是一种用来描述问题和其解决方法的形象化语言。
建立模型有助于学生更好地理解问题,并找到解决问题的方法。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
三角形全等、相似及综合应用模型(6大模型+解题技巧)—2024年中考数学(全国通用)(解析版)
三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。
特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。
直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。
模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型03 全等三角形中的常见五种基本模型(解析版)
模型介绍全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.模型二、平移全等模型模型三、对称全等模型模型四、旋转全等模型模型五、手拉手全等模型例题精讲模型一、截长补短模型【例1】.如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝27°．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，DE＝BD，∴AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝54°，∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC∴AB＝EC，∴AE＝EC，∴∠C＝∠EAC，∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，故答案为：27°．变式训练【变式1-1】．如图，点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，连接AP、BP、CP，∠ACB ＝60°，且CA+AP＝BC，则∠CAB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°解：如图，在BC上截取CE＝AC，连接PE，∵∠ACB＝60°，∴∠CAB+∠ABC＝120°∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，∴∠CAP＝∠BAP＝∠CAB，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC，∠ACP＝∠BCP，∴∠ABP+∠BAP＝60°∵CA＝CE，∠ACP＝∠BCP，CP＝CP∴△ACP≌△ECP（SAS）∴AP＝PE，∠CAP＝∠CEP∵CA+AP＝BC，且CB＝CE+BE，∴AP＝BE，∴BE＝PE，∴∠EPB＝∠EBP，∴∠PEC＝∠EBP+∠EPB＝2∠PBE＝∠CAP∴∠PAB＝2∠PBA，且∠ABP+∠BAP＝60°，∴∠PAB＝40°，∴∠CAB＝80°故选：C．【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE，如图所示．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD＝ED，∠A＝∠BED．∵AD＝CD，∴ED＝CD，∴∠DEC＝∠C．∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠C＝180°．【变式1-3】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB 上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC 于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．（1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4，∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°，＝•CD•CE＝×448．∴S△ECD（2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF，∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°，∴△ECM≌△DCF，∴CM＝CF，∵∠ADC＝60°，∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∴△CFM是等边三角形，∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF．模型二、平移全等模型【例2】．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，∵E是AB中点，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC．（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，∵AB＝6，∴CD＝AB＝3．变式训练【变式2-1】．如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，，∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中结论依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，，∴△ACF≌△DEB（SAS）．【变式2-2】．如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）求证：点O为BF的中点．证明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴点O为BF的中点．【变式2-3】．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD＝1，∠ADC＝60°，求CD的长．（1）证明：∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∴∠BOD+∠AOD＝90°，∠AOC+∠AOD＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）；（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO＝∠DBO＝45°，又∠BAO＝45°，∴∠CAD＝90°，∵AD＝1，∠ADC＝60°，∴CD＝2AD＝2．模型三、对称全等模型【例3】．如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上．（1）求∠PAD的度数；（2）求证：P是线段CD的中点．（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）证明：过P点作PE⊥AB于E点，如图，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是线段CD的中点．变式训练【变式3-1】．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求证：AM＝AN．解：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，在△DBC和△EBC中∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，在△AMD和△ANE中∵∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．【变式3-2】．如图，已知点E、F分别是正方形ABCD中边AB、BC上的点，且AB＝12，AE＝6，将正方形分别沿DE、DF向内折叠，此时DA与DC重合为DG，求CF的长度．解：设CF＝x，则FG＝x，FB＝12﹣x，∵AB＝12，AE＝6，∴BE＝6，EG＝6，∴EF＝6+x，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，62+（12﹣x）2＝（x+6）2，x＝4，即CF的长为4．【变式3-3】．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．解：PC与PD相等．理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．模型四、旋转全等模型【例4】．如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．变式训练【变式4-1】．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【变式4-2】．如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，则PC的最大值是3+4．解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE＝PB，连接AE、PE、PC，则PE＝PB＝4，∵∠ABE＝∠ABP+90°，∠CBP＝∠ABP+90°，∴∠ABE＝∠CBP，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴AE＝PC，由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，此时AE＝AP+PE＝3+4，所以，PC的最大值是3+4．故答案为：3+4．模型五、手拉手全等模型【例5】．如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）猜想CE与DB之间的关系，并说明理由．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：CE＝DB，CE⊥DB．理由：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴CE⊥BD．变式训练【变式5-1】．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③DE＝DP；④∠AOB＝60°．恒成立的结论有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵正△ABC和正△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ADC≌△BEC（SAS），∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，（故①正确）；②又∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCQ＝60°，∠DAC＝∠EBC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴AP＝BQ，（故②正确）；③∵△ACP≌△BCQ，∴AP＝QB，∵△ADC≌△BEC∴AD＝BE，∴AD﹣AP＝BE﹣QB，∴DP＝EQ，∵DE＞QE，且DP＝QE，∴DE＞DP，（故③错误）；④∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故④正确）．∴正确的有：①②④．故选：C．【变式5-2】．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【变式5-3】．（1）如图1，等腰△ABC与等腰△DEC有公共点C，且∠BCA＝∠ECD，连接BE、AD，若BC＝AC，EC＝DC，求证：BE＝AD．（2）若将△DEC绕点C旋转至图2、图3、图4情形时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？证明：（1）∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．解：（2）图2、图3、图4中，BE和AD还相等，理由是：如图图2、图3、图4，∵∠BCA ＝∠ECD ，∠ACD +∠BCA ＝180°，∠ECD +∠BCE ＝180°，∴∠BCE ＝∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝AD．实战演练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴∠BAC =∠DAE∵∠EAB =∠BAC +∠DAE +∠CAD =120°∴∠BAC =∠DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒∴∠BAF =∠BAC +∠CAD =65°∴在△AFB 中，∠AFB =180°-∠B -∠BAF =90°∴∠GFD =90°在△FGD 中，∠EGF =∠D +∠GFD =115°故选：C2．如图，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＜OC ，∠AOB ＝∠COD ＝36°．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①∠AMB ＝36°，②AC ＝BD ，③OM 平分∠AOD ，④MO 平分∠AMD ．其中正确的结论个数有（）个．A．4B．3C．2D．1解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO＝∠ABO＝72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．3．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，且AB＝AC，P是△ABC内一点，若AP+BP+CP的最小值为4，则BC2＝32﹣16．解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM，则AB＝AC＝AM，MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为4，∴CM＝4，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝4，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝2，AN＝2，CN＝4﹣2，∴BC2＝BN2+CN2＝22+（4﹣2）2＝32﹣16，故答案为：32﹣16．4．正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，CE＝2DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE，＝6；延长EF交BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②S△FGC③EG＝DE+BG；④BG＝GC．其中正确的有①③④（填序号）．解：∵正方形ABCD的边长为6，CE＝2DE，∴DE＝2，EC＝4，∵将△ADE沿AE折叠至△AFE，∴AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB＝AF，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，设BG＝x，则：GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x，∵CG2+CE2＝GE2，∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得：x＝3，∴BG＝GF＝3，CG＝6﹣3＝3，∴BG＝CG，∴④正确；∵EF＝ED，GB＝GF，∴GE＝GF+EF＝BG+DE，∴③正确；＝GC•CE＝×3×4＝6，∵S△GCE∵GF＝3，EF＝ED＝2，△GFC和△FCE等高，：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3，∴S△GFC∴②不正确，故答案为：①③④．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处．（1）求证：AF＝CF（2）求AF的长度．（1）证明：依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：∠D′＝∠B＝90°，∠AFD′＝∠CFB，BC＝AD′，∴△AD′F≌△CBF（AAS），∴CF＝AF；（2）解：设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中有BC2+BF2＝FC2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AF的长度为5．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB至点D，使DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AB＝3cm，则BE＝6cm．（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由．（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵DB＝AB＝3cm，∴BE＝2×3cm＝6cm；（3）解：BE与AD垂直．理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠1＝∠2，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）求证：CD＝2BE+DE．证明：（1）如图，∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，∴∠EAB＝∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠EBD+∠EDB＝∠ADC+∠ACD＝90°，∵∠EDB＝∠ADC，∴∠EBA＝∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED＝∠AGD＝90°，∵点D是AB的中点，∴BD＝AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED＝GD，BE＝AG，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE＝45°∴∠FAG＝45°∴∠GAF＝∠GFA，∴GA＝GF，∴CF＝BE＝AG＝GF，∵CD＝DG+GF+FC，∴CD＝DE+BE+BE，∴CD＝2BE+DE．8．如图：在等腰直角三角形中，AB＝AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF．（1）若设BE＝a，CF＝b，满足+|b﹣5|＝+，求BE及CF的长．（2）求证：BE2+CF2＝EF2．（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积．（1）解：由题意得，解得m＝2，则+|b﹣5|＝0，所以a﹣12＝0，b﹣5＝0，a＝12，b＝5，即BE＝12，CF＝5；（2）证明：延长ED到P，使DP＝DE，连接FP，CP，在△BED和△CPD中，，∴△BED≌△CPD（SAS），∴BE＝CP，∠B＝∠DCP，在△EDF和△PDF中，，∴△EDF≌△PDF（SAS），∴EF＝FP，∵∠B＝∠DCP，∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCP＝90°，即∠FCP＝90°，在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2＝PF2，∵BE＝CP，PF＝EF，∴BE2+CF2＝EF2；（3）解：连接AD，∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠FCD＝45°，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∵ED⊥FD，∴∠EDA+∠ADF＝90°，∠ADF+∠FDC＝90°，∴∠EDA＝∠FDC，在△AED和△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE＝CF＝5，DE＝DF EDF为等腰直角三角形，∴AB＝AE+EB＝5+12＝17，∴AF＝AC﹣FC＝AB﹣CF＝17﹣5＝12，在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF＝＝13，设DE＝DF＝x，根据勾股定理得：x2+x2＝132，解得：x＝，即DE＝DF＝，＝DE•DF＝××＝．则S△DEF9．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE 交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．（1）线段AE与DB的数量关系为AE＝BD；请直接写出∠APD＝30°；（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．（1）解：如图1中，∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMC＝∠DMP，∴∠APD＝∠ACD＝30°，故答案为AE＝BD，30°（2）解：如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．理由：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，又∵CA＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠AMP＝∠DMC，∴∠APD＝∠ACD＝30°．（3）证明：如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，∵△ACE≌△DCB．∴AE＝BD，＝S△DCB（全等三角形的面积相等），∵S△ACE∴CH＝CG，∴∠DPC＝∠EPC（角平分线的性质定理的逆定理），∵∠APD＝∠BPE，∠APC＝∠DPC+∠APD，∠BPC＝∠EPC+∠BPE，∴∠APC＝∠BPC．10．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC＝AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D＝∠C，又因为∠AC'D ＞∠B，所以∠C＞∠B．感悟与应用：（1）如图（a），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB，试判断AC 和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC＝16，AD＝8，DC＝BC＝12，①求证：∠B+∠D＝180°；②求AB的长．解：（1）BC﹣AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA+∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC，∴BC﹣AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB+∠CMA＝180°，∴∠B+∠D＝180°；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，∵CB＝CM＝12，∴BN＝MN＝a，在Rt△BCN中，CN2＝BC2﹣BN2＝122﹣a2，在Rt△ACN中，CN2＝AC2﹣AN2＝162﹣（8+a）2，则122﹣a2＝162﹣（8+a）2，解得：a＝3，即BN＝MN＝3，则AB＝14．11．如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．（1）李明同学作了如图乙的辅助线，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP'，可说明△APP'是直角三角形从而问题得到解决．请你说明其中理由并完成问题解答．（2）如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且AP＝，BP＝，PC＝1：类比第一小题的方法求∠BPC的度数，并直接写出正方形ABCD的面积．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′，∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠AP′B＝∠BPC，由旋转得：∠P'BP＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形，∴PP′＝PB＝，∠BP′P＝60°，∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2+PP′2＝AP2，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，∴∠MP′B＝30°，BM＝P'B＝，由勾股定理得：P′M＝，AM＝AP'+P'M＝1+，由勾股定理得：AB＝；（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，如图丙，与（1）类似：可得：AE＝PC＝1，BE＝BP＝，∠BPC＝∠AEB，∴∠EBP＝∠ABC＝90°，∴∠BEP＝45°，由勾股定理得：EP＝2，∵AE＝1，AP＝，EP＝2，∴AE2+PE2＝AP2，∴∠AEP＝90°，∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；∴∠FEB＝45°，∴FE＝BF＝1，∴AF＝2；∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝，∴正方形ABCD的面积为5．答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的面积为5．12．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为30°．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，故答案为30°．（2）（1）中的结论还成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°，又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．（3）∵AB＝AC，AB＝12，∴AC＝12，∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴，∴AD2＝AF•AC，∴AD2＝12AF，∴，∴当AD最短时，AF最短、CF最长，易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时．，∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9，∴CF的最大值为9。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)
专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中 为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与 的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为 ，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为 ，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。
中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型02 飞镖、8字模型(解析版)
模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______解：延长BO ，交AC 于点D ，∵∠BOC ＝∠C +∠ODC ，∠ODC ＝∠A +∠B ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，∴∠BOC ＝∠C +∠A +∠B＝20°+70°+40°＝130°．变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．故选：B．【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠BCI＝∠ACB，∠CBI＝∠ABC，∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故选：D．【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，∴∠2+∠3＝120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，∵∠B+∠C＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是360度．解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，又∵∠1+∠2+∠E+∠F＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．实战演练【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜边AC 上，边BC 与DF 交于点O ，则∠BOD 的度数是105°．解：△COF 中，∵∠CFO ＝45°，∠FCO ＝30°，∴∠COF ＝180°﹣∠CFO ﹣∠FCO ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF ＝∠BOD ，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．1．如图，已知AB ⊥BD ，AC ⊥，∠A ＝35°，则∠D 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°解：因为∠AEB 与∠DEC 是一组对顶角，所以∠AEB ＝∠DEC ．在△ABO 中AB ⊥BD ，∠A ＝35°，所以∠AEB ＝65°．在△DCO 中AC ⊥CD ，∠DEC ＝65°，所以∠D ＝35°．故选：A ．2．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，∴△BMN≌△B'MN，∴∠BMN＝∠B'MN，∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为140°．解：如图，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案为：（α+β）．6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．解：如图，连接CH，由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案为：540．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝230°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠＝115°+115°＝230°．故答案为：230°．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，由三角形的外角的性质可知：∠C+∠D＝∠1，∠G+∠H＝∠2，∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．解：过点C作直线MN∥AB，∵AB∥DE，MN∥AB，∴MN∥DE，∴∠DEC＝∠ECN，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）证明：如右图所示，∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，∴2∠P＝∠C+∠A，∴∠P＝（∠A+∠C）．13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．解：（1）作射线AO，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．解：①3；故答案为3．②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），∵∠C＝80°，∠B＝76°，∴∠P＝（80°+76°）＝78°；③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．证明：设∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，i）如图3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，∴∠P＝（∠C+2∠B），ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴∠P＝（2∠C+∠B），16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P＝．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案为：∠P＝．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案为：α+β﹣180°，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P＝∠A＝，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案为：∠P＝；拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．。
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)最值模型之将军遛马模型与将军过桥(造桥)模型(解析版)
专题19相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8(X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A ”字模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC .2）反“A ”字模型条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD∵四边形ABCD 是菱形，8BD ，∴AB ∵1242ABCD S AC BD 菱形，∴6AC ∵BE BF CG AH ，∴AE CF 【答案】(1)见解析(2)AF FG 【分析】（1）证明AE AB例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD 是ABC 的高．8,6BC AD ，那么EH 的长为____________．【答案】245##4.8例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5 【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG ，CG DE ，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC 的值；（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△ ，∴, DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF．∵BF CF ，∴DG EG ．(2)解：由（1）得DG EG ，∵CG DE ，∴6CE CD ．∵3AE ，∴9AC AE CE ．∵DE BC ∥，∴ADE ABC ．∴13DE AE BC AC ．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ，垂足为N ．在ABCD 中，,45 BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得 ME GE ，∵ EF EG ，∴10 FM FG ，∴ EFM EFG ．∵40 EGF ，∴40EMF ，∴50EFG ．∵FG 平分EFC ，∴50 EFG CFG ，∴18030 BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30 MN FM FN FM∵45, MBN MN BN ，∴5 BN MN ，∴5 BF BN FN 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．例5.（2023•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且BD ＝CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE ＝AF ＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE ＝FC ，同理可得DF ＝BE ，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD ＝∠CAD ，然后利用平行线的性质可得∠EDA ＝∠CAD ，从而可得∠BAD ＝∠EDA ，进而可得EA ＝ED ，即可解答；（3）根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D 是边BC 的中点，DE ∥CA ，∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝AC ，∵点D 是边BC 的中点，DF ∥AB ，∴点F 是AC 的中点，∴FC ＝AC ，∴DE ＝FC ，同理可得：DF ＝BE ，∵BE ＝FC ，∴DE ＝DF ；（2）证明：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠EDA ，∴EA ＝ED ，∴四边形AEDF 是菱形；（3）∵DE ∥CA ，∴∠EDB ＝∠C ，∵∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BAC ，∴＝，∵DF ∥AB ，∴∠B ＝∠FDC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CDF ∽△CBA ，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴DE ＝AF ，DF ＝AE ，∵AE ＝AF ＝1，∴DE ＝DF ＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A 字模型相似三角形的关键．模型2.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC.3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB ，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB ，∴6AD BC AB ，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC ，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC，∴12EF AE BF BC ，192ABE S AE AB ，∴13EF BE ，∴133AEF ABE S S ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CH FH BHB ．GE CG DF CBC ．AF HG CE CGD ．=FH BF AG FA例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O 是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ，求CD 的长．例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56OE OA ，求12S S 值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，则9OB ON BN n ，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF ∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE △∠，211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF △∠，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ；∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OB OA OB BOF ∠∠；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF CD ∥，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD （AAS ），∴OD =OF ，∵EF AM ∥，∴△OEF ∽△OAM ，∴5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ，，则66OA m OM n ，，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN AM EF ∥∥，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OF OH ON ，∵OG =2GH ，∴23OG OH ，∴2=3OG OF OH ON ，∴31522n ON OF ，32n BN MN ON OM ，∴9OB ON BN n ，由（2）可知125525=6954S OC OD m n S OA OB m n ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．模型3.“AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF 2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF .3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（）A ．AD AE DB EC B ．DE DF BC FC C ．DE AE BC ECD ．EF AE BF AC【答案】C例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AC 与BD 交于点O ，,OA OD ABO DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作//EF CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证AOB DOC △≌△；（2）若2,3,1AB BC CE ，求EF 的长．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF .证明：∵AB ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，∴EF AB ＝DF DB.又∵EF ∥CD ，∴△BEF ∽△BCD .∴EF CD ＝BF BD.∴EF AB ＋EF CD ＝DF DB ＋BF BD ＝BD BD ＝1.∴1AB ＋1CD ＝1EF.例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．【分析】（1）由OE ⊥BC ，DC ⊥BC ，可知EO ∥CD ，且OB ＝OD ，可得结论；（2）由△DFO ∽△DAB ，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF ∥OB 交OC 于点F ，连接EF ，可知△ODF 是等腰三角形，得DO ＝DF ＝8，由△DMF ∽△EMO ，可得EM ＝，由△DMN ∽△DOE ，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴O 是AC 中点，AB ⊥BC ，∵OE ⊥BC ，∴OE ∥AB ，∴E 是BC 中点，∴OE ＝；（2）证明：∵EF ∥AB ，∴△DFO ∽△DAB ，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1.（2021·山东淄博·中考真题）如图，,AB CD 相交于点E ，且////AC EF DB ，点,,C F B 在同一条直线上．已知,,AC P EF r DB q ，则,,p q r 之间满足的数量关系式是（）A ．111r q pB ．112p r qC ．111p q rD ．112q r pA ．43AC ，123BD B ．【答案】D 【分析】过点B 作BO AD ∥交AC 理求出BO 的长，进而可求出AC 【详解】过点B 作BO AD ∥交∵AC AD ，BO AD ∥，∴DAC ∵AED OEB ，∴AED ∽∵3DE BE ，∴13EO BO AE DA ．∵AB AC ，75ACB ，∵ 在Rt AOB △中，22BO AO AB A ．41cmB ．57cmC ．【答案】C 【分析】设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 三角形的性质可得ADE ABC ∠∠，从而可得DEAD AE ∵，AB AC ， AD DAE BAC ∵，ADE △AF DE ∵，BC AF ，在Rt BAH 中，50cm AB 282cm BC BH ，B ，【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm【答案】B 【分析】求出△AOB 和△COD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB ，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵OA ：OC =OB ：OD =3，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB ：CD =3，∴AB ：3=3，∴AB =9（cm ），∵外径为10cm ，∴19+2x =10，∴x =0.5（cm ）．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长．5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC ，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC 所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABCS DE S BC ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出AEH △的高，可得出AM EH AD BC，再将数据代入即可得出答案．【答案】2【分析】过D 作DH 其次利用CDG CBD ∽案．∵在Rt ABC 中，AC BC 又∵2BD AD ，∴AD 在Rt CHD 中，CD CH ∵DG AE ∥，∴CFE8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12 ．若4BC ，2AF ，3CF ，则EF ______．【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF AF BC AC 即EF AF BC AF CF即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AF BC AC ，即EF AF BC AF CF∵4BC ，2AF ，3CF ，∴2423EF ，∴EF =85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE ，BD 与CE 相交于点F ，若DEF 的面积是3，则BCF △的面积是______．【答案】27【分析】根据矩形ABCD 的性质，很容易证明DEF ∽BCF △，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出BCF △的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD BC ，AD BC ∥EDF CBF ，EFD CFB ∵，EDF CBF DEF ∽BCF △，2AE DE ∵，AD BC ，DE ：1BC ：3，DEF S ：2BCF S DE ：2BC ，即3：1BCF S ：9，27BCF S ．故答案为：27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为_____．【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．【详解】解：∵CG ：GF ＝2：1，△AFG 的面积为3，∴△ACG 的面积为6，∴△ACF 的面积为3+6＝9，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积＝△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为9+9＝18，故答案为：18．【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB 远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O 处，对其视线可及的P ，Q 两点，可测得POQ 的大小，如小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a ，m BC b ；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m，m 3b CN ；测得m MN c ．求解过程：（ⅱ）用皮尺测得mBC a．求解过程：由测量知，在过点C作CD AB，垂足为D．在Rt CBD△即cosBDa，所以cosBD a．同理，CD【答案】（1）13；（2）见解析；（3）94【分析】（1）由折叠性质可知DE CD，利用等面积求出（2）添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；（2）方法一：延长CF∵FA FB ，BFM AFC ，∴ BFM AFC SAS ≌．∴AC BM ，M ACF ，∴BM AC ∥，∴MBG CDG ，∴MBG CDG ∽，∴DG CD BG BM ，∴44339DG BG(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设4AB ，若AEB DEB ，求四边形BDFC 的面积．【答案】1CF BD ，理由见解析(2)①成立，理由见解析②4366 ∴60,ADG ABC ∴ADG △为等边三角形，∴60,60ADG ABC AGD ACB ，GDF CEF ，∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ，∵AD CE ，AD AB AG AC ∴DG CE ，BD CG ，又DFG CFE ，∴ AAS DGF ECF ≌，∴12CF FG CG ，∴②过点D 作∥DG BC ，交AC 的延长线于点∴MC •CD =MD •CN CD =AB CE【答案】问题背景：见解析；尝试应用：22；迁移拓展：m 【分析】问题背景：根据EF BD ∥，EG CD ∥，推出,AFE ABD AEG ADC ∽∽，根据对应边成比例即可得到结论；尝试应用：延长EM 至D ，使得EM MD ，连接DB DC ，，证得四边形形，得到,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥，由图（1）得，EF EG BD DC ＝，即可得到EF EG 得到22EF EG ；迁移拓展：过点E 作MN BC ∥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，得到∵AM 是ABC 的中线，∴MB MC ，∵EM MD ，∴,,,BD EC EF BD BE DC EG DC ∥∥，由图（1）得，EF EG BD DC ＝∴EF EG EC BE ，∴EF EC EG BE 迁移拓展：如图（3），过点E 作MN BC ∥，交AB 于点∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∵MN BC ∥，∴AMN ∴,AM AN BM CN ∴又∵120CEB CEN(3)【答案】(1)12(2)见解析(3)【分析】（1）证明AEB△∽△（2）证明AEB CBF∽（3）设EG ED x，则【详解】（1）解：由题知，若13ED ，则AE AD17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF ＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求ANND的值．【答案】(1)见解析(2)2737(3)27【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；(2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AMBM BC，求出AN 的长，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BCBC BM，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．(1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ，∴AM BM ，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ，∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC ，∴92342AN ，∴7162AN ，∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ；(3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴CE BC BC BM ，∴344BM ，∴163BM ，∴162633AM AB BM ，由（2）同理得，AN AMBM BC，∴231643AN，解得：AN＝89，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣89＝289，∴8292879ANND．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：a ca b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c acS a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S acS a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADEABCS S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADEABCS S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用：32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S ,根据题意，进而得出152ADE S,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB ∽,∴a cc d a b，∴22()()ADE ABC S b a S c a c acc d a b c d a d ；探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM aAB BN a b,121()()2ADE ABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ,垂足分别为M 、N，∵,DM AC BN AC ，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b ,1212ADEABCAE DMS AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ;结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ,∵AM =DM ,MN AF ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性【答案】【问题发现】3；【操作探究】sin MN PQ m ；【解决问题】15．【问题发现】由90ANM AQP C ，30A ，得12MN AM ，12PQ AP AM BP ，则1113222MN PQ AM BM AB，于是得到问题的答案．【操作探究】由90ANM AQP C ，A A ，可证明AMN ABC △∽△， MN AM PQ AP PQ MB∵四边形ABCD是菱形， ，BO BC AB AD8，COBOC90，∵，AM BN AD BC20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB ，延长ED 交AB 于点F ，探究AFAB的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC 时，直接写出AFAB的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点， 12CG n BC n，延长BC 至点E ，使DE DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AFAB的值（用含n 的式子表示）．【答案】(1)[问题提出]（1）14；（2）见解析(2)[问题拓展]24n 【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得30ADF ADB ，90AFD ，根据含30度角的直角三角形的性质，可得111,222AF AD AD AC AB，即可求解；（2）取BC 的中点H ，连接DH ．证明DBH DEC △≌△，可得BH EC ，根据DH AB ∥，证明EDH EFB △∽△，根据相似三角形的性质可得32FB EB DH EH ，进而可得14AF AB ；[问题拓展]方法同（2）证明DBH DEC △≌△，得出，GH EC =，证明EDH EFB △∽△，得到2+2FB EB nDH EH ，进而可得AF AB24n．(1)[问题探究]：（1）如图，∵ABC中，AB AC，D是AC的中点，60BAC，ABC是等边三角形，12AD AB30ABD DBE，60A，DB DE，30E DBE，180120DCE ACB∵，18030ADF CDE E DCE，60A∵，90AFD，12AF AD，1124ADAFAB AB．（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB．∵AB AC，∴DH DC，∴DHC DCH．∵BD DE，∴DBH DEC．∴BDH EDC．∴DBH DEC△≌△．∴BH EC．∴32EBEH．∵DH AB∥，∴EDH EFB△∽△．∴32FB EBDH EH．∴34FBAB．∴14AFAB．(2)[问题拓展]如图，取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH AB∥，12DH AB．∵AB AC，∴DH DC，∴DHC DCH．∵DE DG，∴DGH DEC．∴GDH EDC．∴DGH DEC≌．∴GH EC=．HE CG∵12CG nBC nBC nCG1BG n CG，1111222nCE GH BC BG nCG n CG CG∴1221+22nCGEB BC CE n nEH EHn CCGG．∵DH AB∥，∴EDH EFB△∽△．∴2+2FB EB nDH EH．∴24FB nAB．∴42244AF n nAB．AFAB24n．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．(1)求证：BE CF ．(2)当56AB FH ，AD 【答案】(1)见解析(2)6EF 【分析】（1）根据等边对等角得出GFE 可证明 AAS ABF DCE ≌，根据全等三角形的性质得出（2）根据CD FH ∥，得出DCE △△根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵FH EF ，GE ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ，∴ AAS ABF DCE ≌，∴BF CE ，【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)07 三角形中的重要模型-等积模型(教师版)
·专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB //CD 。
图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S A ．4B ．3【答案】D 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出BDC BED S S 、 ．A．9B．【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD是ABC【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：:∵CG GF【答案】14.4【分析】连接BF ,,ADF BDF S S a S ABC S 的面积可表示为【详解】解：连接∵CD 为AB 边上中线，∵2BE CE ，S 2ABC BDC S S 3322ABC ABE S S 即3189.2a a解得【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC ，连接DA 含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB ，连接FD ，积为3S ，则3S（用含a 的代数式表示）；∵延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD BC ，AE 12ACD AED ECD S S S ，ACD ABC S ，22ECD ABC S S a ，即2S （3）由（2）得2ECD ABC S S ，22S S a ，2BFD S a ，3ECD EFA S S S S ∵点E 是线段AD 的中点，1BCE ABC S ．∥，连接AE、BE 作CE AB模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：01 双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(教师版)
专题01双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。
这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。
但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。
模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC .．．A ．20AC B ．DC【答案】7【答案】2023112(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)b初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k，则AC__________；若3AC BC ，则k例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB.例3．（2022秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，OC 是AOB 内部的一条射线，OD 、OE 分别是AOB 、AOC 的角平分线．若20DOC ，25AOE ，则BOD 的度数为（）A ．70B ．100【答案】A【分析】根据OD 、OE 分别是12AOE COE AOC ，根据70AOD AOC DOC 【答案】①②④【分析】①根据OD 平分AOC【答案】110°或130°【分析】A、根据角的和差得到∠AOE=13∠AOB=20°，②当∵∠AOC =90°，∠BOC =30°，∵OE 是∠AOB 的一条三等分线，∴①当∠AOE =13∠AOB =20°【答案】(1)40 (2)所以当射线 12DOE n m ．∵°AOB m ，AOC n 、OE 分别平分AOB 、 ∴ 1122DOE AOD AOE AOB AOC m n ∴所以当射线OC 在AOB 的内部时， 12DOE m n．若射线OC 在AOB 外部时，如图3∵°AOB m ，AOC n 、OE 分别平分AOB 、 ∴ 1122DOE AOD AOE AOB AOC n m ∴所以当射线OC 在AOB 的外部时， 12DOE n m．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．例8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（【答案】(1)30 或60 (2)30 或90 或120 或180【分析】（1）根据“3等分线”的定义分13AOC AOB （2）分OA 为POB 的“3等分线”和OB 为AOP 的“3根据“3等分线”的定义可得，1302AOP AOB 或AOP ②当OB 在AOP 的内部时，如图，根据“3等分线”的定义可得，1302BOP AOB 或BOP 此时，3060AOP 或60120180AOP90 或120 或180 ．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC=40°，求∠DPE的度数；（2）如图1，若∠APC= ，直接写出∠DPE的度数（用含 的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．综上所述：线段MN的长度为5cm．故选：A．①②③B．③④C．①②④【答案】AA ．20225102 B ．20235102 C ．20225102 D ．20235102A．30 B．25 【答案】C【分析】利用角平分线的定义求出【详解】解：OE∵平分COD，【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键．8．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，OC 是AOB 内的一条射线，OD 平分BOC ，OE 平分AOC ，2940DOE ，则AOB 的度数为（）．A ．58B ．5920C ．60D ．5840【答案】B 【分析】根据OE 平分AOC ，OD 平分BOC ，可得2AOC COE ，2BOC COD ，从而得到2AOB DOE ，即可求解．【详解】解：∵OE 平分AOC ，∴2AOC COE ，∵OD 平分BOC ，∴2BOC COD ，∴ 2222AOB AOC BOC COE COE COE COEDOE ，∵2940DOE ，∴294059202AOB ．故选：B【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到2AOB DOE 是解题的关键．9．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，下列说法正确的是（）A ．图中只有两个120°的角B ．图中只有∠DOE 是直角C ．图中∠AOC 的补角有3个D ．图中∠AOE 的余角有2个【答案】C 【详解】解：∵射线OC 、OD 把平角∠AOB 三等分，∴60AOC COD BOD ，∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，∴30AOE COE DOF BOF ，∴120AOD FOE BOC ，故A 选项不符合题意；90DOE FOC ，故B 选项不符合题意；∠AOC 与∠AOD 、∠FOE 、∠BOC 都是互为补角，故C 选项符合题意；∠AOE 与∠AOC 、∠COD 、∠BOD 都是互为余角，故D 选项不符合题意；故选：C【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键．10．（2023秋·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC 、DBE ，如图1放置，（30D 、45BAC ），将三角板DBE 绕点B 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且090CBE ，有下列四个结论：①在图1的情况下，在DBC 内作DBF EBF ，则BA 平分DBF ；②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN 平分EBC ，MBN 的角度恒为定值；③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90 的次数为3次；④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断．【详解】①如图可得15D B A A B F ，所以BA 平分DBF ，①正确；②当045CBE 时，设D BM x ，∵BM 平分DBA ，∴x ABM DBM ，∴602A B E x ， 45602215EBC x x ，∴7.5EBN x ，6027.552.5MBN x x x当4590CBE 时，设D BM x ，∵BM 平分DBA ，∴x ABM DBM ，∴602A B E x ，∴215EBC x ，60M B E x∴7.5E B N C B N x ，∴607.552.5MBN x x ，故②正确；③30CBE 时BD BC ，45CBE 时AB DE ，75CBE 时DB AB 故③正确；④当045CBE 时105D BC ABE ，当4590CBE 时105D BC ABE ，故④错误；综上所述，正确的结论为①②③；故选：C ．【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算．11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点A 、B 、D 表示的数分别是9 ，1 ，1，且点C7【答案】120160【分析】①利用角平分线的定义可得BOM CON AOM ②由角的加减可得AOM 设AB x ，，则1,3AC x 2,3CB x AD DB 111CD AD AC x x x，DE DB EB3223913332AC AB故答案为：132或13【点睛】本题主要考查了线段的和差，解题的关键是要弄清楚直线①当DC 在左侧时，如图1，②当点D 与点A 重合时，如图2，MN MC CN 12AC DN DC即22MN AC AB DC 2MN DC MN MC CN 12AC BC BN12 QD【答案】1【分析】先由线段中点定义得出1PD AD，∴MP 时，NP ；(1)若点P在线段AB上运动，当7∵2AP t ，M为AP的中点，②P同理：12MP AP t，2NP如图，2t ，M为AP的中点，NAB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)117（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．【答案】（1）30 （2）14 （3）没有关系，MON232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图3【答案】(1)90 (2)90 (3)901(1)若6cm AC ，则EFcm ；(2)当线段化？如果不变，请求出EF 的长度，如果变化，请说明理由；【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律．别平分AOC 和BOD ，若150AOB 度，COD25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）CD ，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN cm；如图②，若24cm（3）（解决问题）AB ，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以如图③，已知24cm3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．从侧面考察了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键．26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB＝60°，∠COD＝90°，OM、ON分别平分∠AOC、∠BOD．（1）如图1，OC在∠AOB内部时，∠AOD+∠BOC＝，∠BOD﹣∠AOC＝；（2）如图2，OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（3）如图3，∠AOB，∠COD的边OA、OD在同一直线上，将∠AOB绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒．若∠MON＝5∠BOC时，求出对应的t值及∠AOD的度数．。
143个高中高频数学解题模型
143个高中高频数学解题模型一、一元一次方程与一元一次方程组1. 一元一次方程的定义一元一次方程指的是只含有一个变量，并且最高次数为一的方程，通常表示为ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有求解法和图解法。
2. 一元一次方程组的概念一元一次方程组指的是由若干个一元一次方程组成的方程组，通常表示为a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2解一元一次方程组的方法主要有代入法、加减法和等系数消去法。
二、一元二次方程与一元二次不等式1. 一元二次方程的特点一元二次方程指的是最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有配方法和求根公式。
2. 一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是最高次数为二的不等式，通常表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法主要有因式分解法和图像法。
三、二元二次方程与二元二次不等式1. 二元二次方程的定义二元二次方程指的是含有两个变量且最高次数为二的方程，通常表示为ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0。
解二元二次方程的方法主要有配方法和消元法。
2. 二元二次不等式的概念二元二次不等式指的是含有两个变量且最高次数为二的不等式。
解二元二次不等式的方法主要有图解法和代数法。
四、指数与对数1. 指数的基本性质指数是幂运算的一种表示方式，有基本性质包括乘法法则、除法法则和零指数法则。
2. 对数的基本概念对数是幂运算的逆运算，有基本性质包括对数的乘除法则和对数的换底公式。
五、三角函数与解三角形1. 三角函数的基本性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，有基本性质包括奇偶性、周期性和对称性。
2. 解三角形的基本方法解三角形主要包括利用三角函数和利用三角恒等式两种方法，主要应用于解直角三角形和不定角三角形。
六、平面向量的运算1. 平面向量的基本定义平面向量是具有大小和方向的量，有基本运算包括数乘、加法和减法。
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题
高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。
例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。
解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。
2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。
解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。
3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。
解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。
连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。
由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。
因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。
类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。
通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。
例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。
解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。
(完整版)高中数学通用模型解题方法技巧总结
高中数学通用模型解题方法1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
显然，这里很容易解出A={—1,3}.而B最多只有一个元素.故B只能是-1或者3。
根据条件，可以得到a=-1,a=1/3。
但是，这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0，不要把它搞忘记了。
3。
注意下列性质：要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）.同样，对于元素a2, a3，……a n，都有2种选择，所以，总共有种选择，即集合A有个子集.当然，我们也要注意到，这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为,非空真子集个数为（3）德摩根定律：有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c（a〉0) 在上单调递减，在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1。
或者，我说在上 ,也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根5、熟悉命题的几种形式、∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”()()().命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）满足条件，满足条件，若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；若；则是的充要条件;若；则是的既非充分又非必要条件；7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一,允许B中有元素无原象.)注意映射个数的求法。
2024年中考数学常见几何模型(全国通用)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型(解析版)
专题06三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M 型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型（M 型）【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM ∥BN ，结论：∠APB =∠A +∠B ；②已知：∠APB =∠A +∠B ，结论：AM ∥BN .如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3=∠A +∠B+∠P 2.如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠P 1+∠P 3+...+∠P 2n+1=∠A +∠B+∠P 2+...+∠P 2n .例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，AB CD ，30ABM ，45CDM ，则BMD 的度数为（）A ．105B ．90C ．75D ．70【答案】C 【分析】过点M 作ME AB ∥，从而可得AB ME CD ∥∥，则有ABM BME ，CDM DME ，即可求BMD 的度数．【详解】解：过点M 作ME AB ∥，如图，∥∵AB CD ，AB ME CD ∥∥ ，30ABM BME ，45CDM DME ，75BMD BME DME ．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O 照射到抛物线上的光线OB ，OC 反射后沿着与PO 平行的方向射出，已知图中46ABO ，88OCD ，则BOC 的度数为（）A ．116B ．124C ．134D ．135【答案】C 【分析】由平行线的性质即可得出46BOP ，88COP ，再根据BOC BOP COP 即可求解．【详解】由题意知AB PO CD ∥∥∴46BOP ABO ，88COP OCD∴134BOC BOP COP 故选：C ．【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB ∥EF ，用含 、 、 的式子表示x ，应为（）A ．B ．C ．180D ．180【答案】C 【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出 +∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN ，∠NMF= ，求出∠BCD=180°- ，∠DCM=∠CMN= - ，即可得【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．例4．（2023·广东深圳青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进A．60 B．45【答案】A【分析】延长AB交直线ED于点H∵根据题意得AF【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．例5．（2023春·河南驻马店例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，D ，E 有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知//AB CD ，请问B Ð，E ，D 又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知//AB CD ，请问E G ∠∠与B F D ∠∠∠有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D.（2）∠E+∠B+∠D=360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D=360°即∠E+∠B+∠D=360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM ∥BN ，结论：∠1+∠2+…+∠n =（n －1）180°.例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF （）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ，，进而可得出结论．【详解】过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ①，②，由①② 得，360BAC ACD DCE CEF ，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．例2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若132 ，262 ，则3 的度数为（）A ．118B ．148C ．150D ．162【答案】C 【分析】过点B 作BA ∥工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点B 作BA ∥工作篮底部，3180MBA ，∵工作篮底部与支撑平台平行，BA ∥工作篮底部BA ∥支撑平台，132ABN ，2ABN MBA ∵，262 ，30MBA ，3150 ，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD 垂直地面上的直线DF 于点D ，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC 段将绕点C 缓慢向上抬高，AB 段则一直保持水平状态上升（即AB 始终平行于DF ）．在该运动过程中，当112ABC 时，BCD 的度数是（）A ．112B ．138C ．158D ．128【答案】C 【分析】如图所示，过点C 作CM AB ∥，利用平行线的性质得到180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，进而求出6890BCM MCD ∠，∠，则158BCM D CD C B M ∠∠．【详解】解：如图所示，过点C 作CM AB ∥，∵DF AB ，∴CM AB DF ∥∥，∴180180ABC BCM MCD CDF ∠∠，∠∠，∵112ABC ，CD DF 即90CDF ，∴6890BCM MCD ∠，∠，∴158BCM D CD C B M ∠∠，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果【答案】540【分析】过点E 作EM 【详解】过点E 作EM ∵AB CD ∥，EM CD ∥∴∠B +∠BFN =180°，∠∵∠DEF =∠DEM +∠FEM【答案】360 /360度 1180n【分析】过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，得到321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点2A 向右作21A D A B ∥，过点3A 向右作31A E A B ∥，∵1n A B A C ∥，∴321n A E A D A B A C ∥∥∥∥，∴112180A A A D ，2323180DA A A A E ，...，∴ 11231...1180n n A A A A A A C n ，当3n 时， 12313360180A A A 故答案为：360 ； 1180n ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若AB CD ，则（）【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若∵+180EFC EFD ， 132180 ；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED ＝a ，试用a 表示∠P 为______．【答案】∠P ＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED ，再得到∠P 和a 的关系，然后即可用a 表示∠P ．【详解】解：延长AB 交PD 于点G ，延长FE 交CD 于点H ，∵BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC ＝2∠3，∵∠PBG ＝180°﹣2∠1，∴∠PBG ＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣12∠PBG ，∵∠FED ＝180°﹣∠HED ，∠5＝180°﹣∠EHD ，∠EHD ＋∠HED ＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED ＋∠3＝180°，∴∠FED ＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED ＝180°﹣（90°﹣12∠PBG ）＋12∠6＝90°＋12（∠PBG ＋∠6）＝90°＋12（180°﹣∠P ）＝180°﹣12∠P ，∵∠FED ＝a ，∴a ＝180°﹣12∠P ∴∠P ＝360°﹣2a ．故答案为：∠P ＝360°﹣2a ．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线AB CD ∥，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，120A ，130C ．求APC 的度数：E【答案】(1)110 (2)APC A C ，理由见解析(3)34【分析】（1）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，由平行线的性质可得60APQ 即可求出APC ；（2）过点P 作PQ AB ∥，易得AB PQ CD ∥∥，根据平行线的性质可得（3）过点E 作EM AB ∥，过点H 作HN AB ∥，易得EM CD ，HN CD ∥，根据平行线的性质可得CEA BAE DCE ，CHA BAH DCH ，再由已知等量代换，即可求得H E的值．∵120A ， 180180120APQ A ，∵AB CD ∥， PQ ∵130C ， 180180130CPQ C ， APC APQ （2）解：APC A C ，理由如下：AB CD ， PQ CD ∥例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=1n∠MBE，∠CDN=1n∠NDE，直线MB、ND交于点F，则FE=．【答案】(1)∠E=∠END﹣∠BME(2)∠E+2∠NPM=180°（3）1 1 n【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB 交DE 于G ，延长CD 交BF 于H ，∵AB ∥CD ，∴∠CDG=∠AGE ，∵∠ABE 是△BEG 的外角，∴∠E=∠ABE ﹣∠AGE=∠ABE ﹣∠CDE ，①∵∠ABM=1n ∠MBE ，∠CDN=1n ∠NDE ，∴∠ABM=11n ∠ABE=∠CHB ，∠CDN=11n ∠CDE=∠FDH ，∵∠CHB 是△DFH 的外角，∴∠F=∠CHB ﹣∠FDH=11n ∠ABE ﹣11n ∠CDE=11n （∠ABE ﹣∠CDE ），②由①代入②，可得∠F=11n ∠E ，即11F E n .点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论： .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【答案】B【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E 作EF ∥CD ，如图∵AB ∥CD ，∴∠B =∠BOD ，∵EF ∥CD （辅助线），∴∠BOD =∠BEF （两直线平行，同位角相等）；∠D =∠DEF （两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF =∠BED +∠DEF =∠BED +∠D （等量代换），∴∠BOD=∠E +∠D （等量代换），即∠B =∠E +∠D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知AB DE ∥，150ABC ，75CDE ，则BCD 的度数为（）A ．55B ．60C ．45D ．50【答案】C 【分析】过点C 作CF AB ∥，则AB DE CF ∥∥，根据平行线的性质可得到150BCF ABC ，180105DCF CDE ，即可求得45BCD BCF DCF ．【详解】如图，过点C 作CF AB ∥，180DCF CDE∵AB DE ∥，CF AB ∥，∴AB DE CF ∥∥．∴150BCF ABC ，．∵75CDE ，∴18075105DCF ．∴15010545BCD BCF DCF ．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，58A ，122D ，132 ，225 ，点P 是BC 上【答案】75 /75度【分析】（1）根据平分线的判定可得（2）根据对顶角相等可得模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：180 .如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180 .例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若12080ABC BCD ，，则CDE 等于（）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°【答案】D 【分析】过点C 作CF AB ∥，根据平行线的性质即可求出CDE 的度数．【详解】解：过点C 作CF AB ∥，∴180ABC BCF ，∵120ABC ，∴180********BCF ABC ∠∠；∵80BCD ，∴80806020DCF BCF ∠∠；由题意DE AB ∥，∴CF DE ∥，∴20CDE DCF ．故选：D【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若AB CD ∥，65 ，25 ，则 的度数是（）A ．115°B ．130°C ．140°D ．150°【答案】C 【分析】利用平行线的传递性作出辅助线EF ，再通过平行线的性质即可解决问题．【详解】解：过E 作AB 的平行线EF ，如图所示；180********AEF ，AB CD ∥∵∴EF CD ∥25FED y11525140AEF FED 故选C ．【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，AB EF ∥，100B ，25CDE ，则BCD 的度数是（）A ．125B ．75C ．95D ．105【答案】D 【分析】作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，根据平行线的性质分别求出GCD 和BCG ，则BCD 105GCD BCG ．【详解】解：如图，作CG EF ∥，则CG AB EF ∥∥，∵CG EF ∥， 25GCD CDE ，∵CG AB ∥， 180B BCG ，180********BCG B ，BCD 2580105GCD BCG 故选D ．【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB CD ，CD EF ∥，CE 平分BCD ，若58ABC ，则CEF 的度数为（）A ．131B ．141C ．151D ．161【答案】C【答案】25 /25度【分析】过点C 作CM 【详解】解：如图，过点∴ACM ACD ∴3510BAB 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．课后专项训练1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，,145a b ∥，则2 的度数为（）A ．105B ．125C ．135D ．145【答案】C 【分析】先根据平行线的性质可得3145 ，再根据邻补角的定义即可得．【详解】解：如图，,145a b ∵∥，3145 ，21803135 ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：AB EF ∥，B E ，求证：BC DE ∥．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A ．延长BC 交FE 的延长线于点GB ．连接BEC ．分别作BCD ，CDE 的平分线CG ，DHD ．过点C 作CG AB ∥（点G 在点C 左侧），过点D 作DH EF ∥（点H 在点D 左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A 、如图，∵AB EF ∥，∴B G ，∵B DEF ，∴G DEF ∠∠，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；B 、如图，∵AB EF ∥，∴ABE FEB ，∵ABC FED ，∴CBE DEB ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意；C 、如图，由CG 平分BCD ，DH 平分CDE ，没有条件说明BCD 与CDE 相等，也没有条件说明CG 与DH 平行，∴此辅助线的作法不能说明BC 与DE 平行，故此选项符合题意；D 、如图，延长BC 交DH 于点M ，∵AB EF ∥，CG AB ∥，DH EF ∥，∴AB CG DH EF ∥∥∥，∴B BMD ，MDE E ，∵B E ，∴BMD MDE ，∴BC DE ∥，故此选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若130 ，250 ，则3 的度数为（）．A ．130B ．140C ．150D ．160【答案】D 【分析】过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5 ，根据平行线的性质即可求解．【详解】如图所示，过2 顶点作直线l 支撑平台，直线l 将2 分成两个角即4 、5∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l 支撑平台∴直线l 支撑平台 工作篮底部∴1430 、53180∵45250 ∴550420 ∴31805160 故选D ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线AB 、CD 平行，则123456 （）．A ．630B ．720C ．800D ．900【答案】D 【详解】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L 1,L 2,L 3,L 4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则123456 1805900. 故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若AB CD EF ∥∥，115260 ，，那么BCE （）A ．120B ．125C ．130D ．135【答案】D 【分析】根据平行线的性质分别求出BCD ECD ∠、∠的度数即可得到答案．【详解】解：∵AB CD EF ∥∥，115260 ，，∴1151802120BCD ECD ∠∠，∠∠，∴135BCE BCD ECD ∠∠，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A ．30°B ．35°C ．36°D ．45°【答案】C 【分析】延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG 交CD 于G∵BF ∥ED ∴∠F=∠EDF 又∵DF 平分∠CDE ，∴∠CDE =2∠F ，∵BF ∥ED ∴∠CGF=∠EDF=2∠F ，∵AB ∥CD ∴∠ABF=∠CGF=2∠F ，∵BF 平分∠ABE ∴∠ABE =2∠ABF=4∠F ，又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB CD ，124 ，3148 ，则2 的度数为（）A ．56B ．66C ．98D ．104【答案】A 【分析】如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，根据平行线的性质可得180BHE HEF ，1FED ，由对顶角相等可得3BHE ，根据2HEF FED 计算求解即可．【详解】解：如图，在2 处作∥∥EF AB CD ，∵EF AB ∥，∴180BHE HEF ，∵EF CD ，∴1FED ，∵3BHE ，∴218011803156HEF FED BHE ，故选：A ．9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于__________．【答案】180°.【解析】解：∵AB ∥CD ∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC =∠3，∠EFD =180°－∠EFC ∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.【答案】86【分析】过点C 作AB 的平行线【详解】解：如图，过点∵AB DE ∥，AB CF ∥∵1130 ，236 ，3BCF FCD 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线AB DE ∥，射线BF 、DG 分别平分ABC ，EDC ，两射线反向延长线交于点H ，请写出H ，C 之间的数量关系：________．【答案】2180H C【分析】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB ∥，根据AB DE ∥，可得MN AB DE PQ ∥∥∥，根据平行线性质可得180ABC BCM ，ABF PHF ，根据角平分线定义可得2ABC ABF ，进而证出2180PHF BCM ，同理2180QHG DCN ，根据平角定义可得=180PHF QHG FHG ，180BCM DCN BCD ，由此证出 2+=360PHF QHG BCM DCN ，进而证出结论．【详解】分别过点C ，H 作∥MN AB ，PQ AB∥∵∥MN AB ，∴180ABC BCM ∵射线BF 平分ABC ∴2ABC ABF∵PQ AB ∥∴ABF PHF ∴2180PHF BCM∵AB DE ∥∴MN DE ∥∴180EDC DCN∵射线DG 平分EDC ∴2DEC DEG∵∥MN AB ，PQ AB ∥，∴MN PQ ∥∴DE PQ ∥∴DEG QHG∴2180QHG DCN ∴ 2+=360PHF QHG BCM DCN∵180PHF FHG QHG ∴=180PHF QHG FHG同理：180BCM DCN BCD ∴ 2180180360FHG BCD∴2180FHG BCD 故答案为：2180H C【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，//AB CD ，E 是CD 上的点，过点E 作//EF DP ，若PEF PEH ，EG 平分DEH ，152B ，65PEG ，则BPD _______．【答案】22o【分析】延长AB 交HP 于点M ；根据EG 平分DEH ，得2PEH DEP DEG ；根据//EF DP ，得180PDE DEF ，从而推导得 1802PDE DEP DEG ；结合65PEG ，得PDE ；再根据//AB CD 以及152ABP ，结合三角形内角和性质，即可完成求解．【详解】如图，延长AB 交HP 于点M∵EG 平分DEH ∴12DEG HEG DEH ∴2PEH DEP DEH DEP DEG ∵PEF PEH ∴2PEF DEP DEG ∵//EF DP ∴180PDE DEF∴1801801802PDE DEF DEP PEF DEP DEG ∵65PEG ∴65PEG DEP DEG ∴ 180218026550PDE DEP DEG ∵//AB CD ∴50BMD PDE ∴180130BMP BMD∵152ABP ∴18028PBM ABP ∴1801802813022BPD PBM BMP 故答案为：22o ．【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知AB DE ∥，30138BCD CDE ，，求ABC 的度数．【答案】72°【分析】如图所示，过点C 作CF AB ∥，则DE CF ∥，根据平行线的性质求出42DCF ，进而求出72BCF ，再由CF AB ∥，即可得到72ABC BCF ．【详解】解：如图所示，过点C 作CF AB ∥．∵AB DE CF AB ∥，∥，∴DE CF ∥．∴180********DCF CDE ．∴304272BCF BCD DCF ．又∵CF AB ∥，∴72ABC BCF ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，160B ，当A 与D 满足什么关系时，BC DE ∥?小明认为20D A 时BC DE ∥，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作．图．与填空．．：解：用直尺和圆规，在DA 的右侧找一点M ，使DAM D （只保留作图痕迹）．∵DAM D ，∴①_____________∵20D DAB∴BAM ②_________ ，∵160B ，∴B BAM ③__________ ，∴④_____________∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．【答案】①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM∥【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．【详解】解：如图，通过尺规作图得：DAM D ，∵DAM D ，∴①DE AM ∥，∵20D DAB ，∴BAM ②20 ，∵160B ，∴B BAM ③180 ，∴④BC AM ∥，∴BC DE ∥．所以满足的关系为：当20D A 时，BC DE ∥．故答案为：①DE AM ∥，②20，③180，④BC AM ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1）AB CD ，猜想BPD 与B D 、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD ，猜想图中的BPD 与B D 、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ，理由见解析；（2）BPD B D ，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ，图（4）BPD B D【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ，由AB CD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ，由此得到360B BPD D ；（2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ，，从而得到结论12BPD B D ；（3）由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD 与B D 、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D ．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ，∴360B BPE EPD D ，∴360B BPD D ；（2）BPD B D ．理由：如图，过点P 作PE AB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ，，∴12BPD B D ；（3）如图（3）：BPD D B ．理由：∵AB CD ，∴1D ，∵1B P ，∴D B P ，即BPD D B ；如图（4）：BPD B D ．理由：∵AB CD ，∴1B ，∵1D P ，∴B D P ，即BPD B D ．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ，，，，则m ___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540 ；（3）x z y【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ，∵APC APM CPM ，∴APC A C ；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ，180EPQ PQF ，=180FQC QCD ，∴=540A APQ PQC C ，故答案为：540 ；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ，QPE PQF ，=FQC C ，∴=B PQC C BPQ ，即=x z m y ，∴=m x z y ，故答案为：x z y ．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，AB CD ∥，点E 为两直线之间的一点．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B 分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；②结论：∠2＝∠3−∠1.19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中，AB CD．（1）分别．．说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个．．．．加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360 ；图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)101°【分析】(1)图1：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由AB CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．（2）选图1，过点P作PE AB，由AB CD，即可得AB PE CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；图2：∠1+∠2+∠3＝360图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB(1)求证：180B C A ：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC 、的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、=DAC ACB CBE ：：．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ，理由见解析(3)122：：∵CF AD BE ∥∥，∴ACF A BCF B ，∴ACB B A BCF B A （2）在图2中，过点QM AD ∥，则QM ∥∵QM AD QM BE ∥，∥∴AQM NAD ，∵AQ 平分CAD ，BQ 平分CBE ，∴NAD【答案】（1）66 ；（2）2BED F ，理由见解析；（3）130【分析】（1）过点E 作EM AB ∥，可得ABE MEB ，CDE MED ，根据BED MEB MED 即可求解；（2）过点E 作EG AB ∥，可求出2(23)2(14)BED ，过点F 作FH AB ∥，可求出14BFD ，由此即可求解；（3）延长DE 交BF 于点P ，可得BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，可得22BED EBP PDF BGD ，由此即可求解．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM AB ∥，∵AB CD ，∴EM AB CD ∥∥，∴ABE MEB ，CDE MED ，∵=45ABE ，21CDE ，∴45MEB ，21MED ，∴452166BED MEB MED ．（2）2BED F ，理由如下：过点E 作EG AB ∥，∵AB CD ，∴EG AB CD ∥∥，∴512 ，634 ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴12 ，3=4 ，∴2(23)2(14)BED ，同理，过点F 作FH AB ∥，∴FH AB CD ∥∥，∴1BFH ，4DFH ，∵BFD BFH DFH ，∴14BFD ，∴22(14)BFD ，∴2BED BFD ，即2BED F ．（3）如图，延长DE 交BF 于点P ，∴BED EBP BPD EBP BFD PDF ，BED EBG BPD EDG BGD EBG ，∵BF 平分ABE ，DF 平分CDE ，∴2EBG EBP ，2EDG PDF ，∴22BED EBP PDF BGD ，∴22EBP BFD PDF EBP PDF BGD ，∴952()60EBP PDF EBP PDF ，∴35EBP PDF ，∴953595130BED EBP PDF ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知//AB CD ，AB 和CD 都不经过点P ，探索P 与A 、C 的数量关系．发现：在图1中，APC A C ；如图5小明是这样证明的：过点Р作//PQ AB∴APQ A ___________∵//PQ AB ，//AB CD ．∴//PQ CD __________∴CPQ C∴APQ CPQ A C即APC A C（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，P 与A 、C 的数量关系为_____________________；②在图3中，若30A ，70C ，则P 的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究P 与A 、C 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①360APC A C ；②40°；（3）APC A C ，理由见解析．【分析】（1）过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出APQ A ，CPQ C ，即可得出答案；（2）①过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质得出180APQ A ，180CPQ C ，即可得出答案；②根据平行线的性质得出70PEB C ，根据三角形外角性质得出即可；（3）根据平行线的性质得出180APG A ，求出180APG A ，根据//PG CD 得出180CPG C ，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点P 作//PQ AB ，∴APQ A （两直线平行，内错角相等）//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD （平行于同一直线的两直线平行）CPQ C APQ CPQ A C 即APC A C故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点P 作//PQ AB ，所以180APQ A ，//PQ AB ∵，//AB CD ．//PQ CD ，180CPQ C ，APQ CPQ ，360A C ，即360APC A C ，故答案为：360APC A C ；②解：//AB CD ∵，70C ，70PEB C ，30A ∵，40P PEB A ，故答案为：40 ；（3）解：APC A C ．。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)：圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)
质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.
模型 2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知 AB 是⊙O 的一条弦，过点 OE⊥AB，则 AE＝BE，OE2+AE2=OA2。
在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过
弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半
AD 的度数为 35°，则 BE 的度数是_____．
【答案】105°． 【分析】连接 OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角 形内角和定理计算即可． 【解析】解：连接 OD、OE，
∵ AD 的度数为 35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，
A．30°
B．25°
C．20°
D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接 OB，OD，AC，先求解 OAC OCA 100 ，再求解 PAO PCO 50 ，从而可
得 BOA COD 260 ，再利用周角的含义可得 BOD 360 80 260 20 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接 OB，OD，AC，
∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而 OC＝OD，∴∠C＝∠1，
∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=
13∠AOC=
1 3
×84°＝28ห้องสมุดไป่ตู้．故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、 等弧等）．也考查了等腰三角形的性质． 例 3．（2023·江苏沭阳初三月考）如图，已知点 C 是⊙O 的直径 AB 上的一点，过点 C 作弦 DE，使 CD=CO．若
高中数学通用模型方法及技巧
高中数学通用模型方法及技巧（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学模型试题及答案
高中数学模型试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=2x^2-3x+1，下列说法正确的是：A. 函数在x=1处取得最小值B. 函数在x=1处取得最大值C. 函数在x=-1处取得最小值D. 函数在x=-1处取得最大值答案：A2. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，那么这个数列的第五项是：A. 11B. 12C. 13D. 14答案：B3. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形的形状是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数y=x^3-3x^2+4x-5的导数是_______。
答案：3x^2-6x+46. 已知等比数列的前三项分别为1，2，4，则该数列的通项公式为_______。
答案：2^(n-1)7. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是_______。
答案：58. 已知直线y=2x+1与抛物线y=x^2-2x+3相交于两点，这两点的横坐标之和为_______。
答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函数的极值点。
答案：函数的一阶导数为f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1和x=2/3。
计算二阶导数f''(x)=6x-6，当x=1时，f''(1)=0，无法判断极值；当x=2/3时，f''(2/3)>0，因此x=2/3是极小值点，函数在x=2/3处取得极小值。
10. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的前n项和Sn。
答案：等差数列的通项公式为an=1+3(n-1)=3n-2，前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=n(1+3n-2)/2=(3n^2-n)/2。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题04 三角形中的倒角模型(解析版)
专题04三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型A ．5B ．8 【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到BCE 数,再根据DCE BCD BCE 进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∵,BCE【答案】(1)10 (2) 12DAE C B (3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ，根据角平分线的定义得到90ADE ，从而求出BAD ，继而根据角的和差得到结果；根据三角形内角和求出119022EAC B 1模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③AB CD AE BC。
A．130【答案】A【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得【详解】解：∵BE是∵CD是AB边上的高，A ．35B ．34【答案】B【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．【详解】∵12ABC S AB CD 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．【答案】(1)134 (2)152【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由12ABC S BC△【详解】（1）解：∵CF AB ，∴CFB模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B =∠CAD ；②∠C =∠BAD ；③AB AC AD BC 。
例1．（2023·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在ACB △中，90ACB ，CD AB 于D ，求证：B ACD ．【答案】见解析【分析】根据CD AB 可得90ACB CDB ，再根据90B BCD BCD ACD ，即可求证．【详解】证：∵CD AB ，90ACB ∴90ACB CDB又∵180B CDB BCD ，∴90B BCD又∵90ACB BCD ACD ，∴90B BCD BCD ACD ∴B ACD【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质．例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD ，BF 分别是△ABC 的高线与角平分线，BF ，AD 交于点E ，∠1＝∠2．求证：△ABC 是直角三角形．【答案】见解析【分析】根据AD 是△ABC 的高线，可得∠BED +∠EBD ＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE ＝∠EBD ，观察∠BED 与∠AEF 的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF +∠ABE ＝90°，至此结合已知不难得到∠AFE +∠ABE ＝90°，由此解题．【详解】证明：由题意得：AD ⊥BC ，BF 平分∠ABC ，∴∠BED +∠EBD ＝90°，∠ABE ＝∠EBD ，∴∠BED +∠ABE ＝90°，又∵∠AEF ＝∠BED ，∴∠AEF +∠ABE ＝90°，m 时，如图所示，求证：(1)若90说明理由；若不成立，请比较【答案】(1)见解析；【分析】（1）证明1802180CFE CEF m BCD m BCD m ，再分两种情况可得结论．【详解】（1）证明：∵AE 是角平分线，∴CAE BAE ，∵ 0180ACB CDB m m ，90m ，∴90ACB CDB ，∴90ACD BCD BCD B ，∴ACD B ，∵CFE ACD CAE ，CEF B BAE ，∴CFE CEF ．（2）不成立．理由如下：∵CFE CAF ACF ，CEF B EAB ，CAE BAE ，∴CFE CEF ACF B ，∵ 0180ACB CDB m m ，∴ 1802180CFE CEF m BCD m BCD m 当90m 时，21800CFE CEF m ，∴CFE CEF ；当90m 时，21800CFE CEF m ，∴CFE CEF ．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．A．1B．2【答案】B【分析】连接BD，由垂直平分线得求得2CD ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平分线导出角之间关系是解题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）（）则ABCA．50 B【答案】B，那么【分析】设CA．10【答案】C【分析】根据题意证明ACD 的面积等于ABD △的面积；②CEG CGE ；③2ACF ABE ；④AH BH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】B 【分析】①根据三角形中线平分三角形的面积，即可判断ACD 的面积等于ABD △的面积；②先根据同角的余角相等证得CAB BCG ，再根据角平分线的定义得出ABE CBE ，最后根据三角形外角的性质得出CEG CAB ABE ，CGE CBE BCG ，即可得证；③先根据同角的余角相等证得ACF CBF 再根据角平分线的定义得出2CBF ABE ，于是推出2ACF ABE ；④无法证得AH =BH ．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴CD BD ，∴ACD 的面积等于ABD △的面积，故①正确；∵BE 是ABC 的角平分线，∴ABE CBE ，∵CF 是ABC 的高线，∴90CFA ，∴90CAB ACF ，∵90ACB ，∴90ACF BCG ，∴CAB BCG ，∵CEG 是ABE 的一个外角，∴CEG CAB ABE ，∵CGE 是BCG 的一个外角，∴CGE CBE BCG ，∴CEG CGE ，故②正确；∵CF 是ABC 的高线，∴90CFB ，∴90CBF BCF ，∵90ACB ，∴90ACF BCF ，∴ACF CBF ，∵BE 是ABC 的角平分线，∴2CBF ABE ，∴2ACF ABE ，故③正确；无法证得AH =BH ，故④错误；故正确的有①②③故选∶B ．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形外角的性质，同角的余角相等，角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解题的关键．5．（2023·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在ABC 中，BAC 90＝，6AB ＝，AC 8＝，BC 10＝，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面结论：ABE ①的面积＝BCE △的面积；AFG AGF ＝②；FAG ACF 2＝③；.AD 24＝④．其中结论正确的是（）A ．①②B ．①②④【答案】C 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定ABE △和BCE △的面积关系以及求出【详解】解：BE ∵是ABC 的中线【答案】6【分析】过点G 作MG BF FBC BDE ，再由垂直及等量代换得出∵AB AC ，45A ，DE ∴67.5ABC C ，BDE ∴FBC ABC ABF ∵MG BF ，NM ED ，∴【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC∴②当90BDE 时，如图2，∴902565BED ，∵BED C CDB ，∴654025CDE ，综上，CDE 的度数为50 或25 ．故答案为：50或25．【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质题的关键．(1)给出下列信息：事项作为条件，余下的事项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；条件：______，结论：证明：(2)在（1）的条件下，若(1)如果70CFE ，求B 的度数；(2)试说明：CEF CFE ．【答案】(1)50 (2)见解析【分析】（1）根据三角形内角和可得CAF 的度数，根据角平分线的定义可得CAB 的度数，根据直角三角形的性质可得B 的度数；（2）根据直角三角形的两锐角互余可得90CAF CFE ，90DAE AED ，根据角平分线的定义可得CAF DAE ，从而可得CFE AED ，即可得证．【详解】（1）解：90ACB ∵，70CFE ，180907020CAF ，AF ∵平分CAB 交CD 于E ，240CAB CAF ，904050B ；（2）证明：90ACB ∵，90CAF CFE ，CD AB ∵，90ADE ，90DAE AED ，AF ∵平分CAB 交CD 于E ，CAF DAE ，CFE AED ，AED CEF ∵，CEF CFE ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023秋·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，35BCD ．(1)求EBC 的度数；(2)求A 的度数．解：（1）CD AB ∵（已知），CDB ______°，EBC CDB BCD ∵（______），EBC ______°35 ______°（等量代换），（2）EBC A ACB （______），A EBC _____（等式的性质），90ACB ∵（已知），A ______90 ______°（等量代换）．【答案】(1)90；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；ACB ；125 ；35【分析】（1）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可；（2）根据三角形外角的性质和等量代换进行作答即可．【详解】（1）解：(CD AB ∵已知)，90CDB ，(EBC CDB BCD ∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)．9035125(EBC 等量代换)．（2）(EBC A ACB ∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)，(A EBC ACB 等式的性质)．90(ACB ∵已知)，1259035(A 等量代换)．【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题关键．11．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，90ACB ，CD AB 于点D ，E 为AB 上一点，AC AE(1)求证：CE 平分DCB ；(2)若CE EB ，求证：3BD AD ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明90DCE CED ，90BCE ACE ，再证明CED ACE ，从而可得结论；（2）先证明B BCE ，30B DCE BCE 可得9030ACD DCE BCE ，2AC AD ，24AB AC AD ，从而可得结论．【详解】（1）证：在Rt CDE △中，90DCE CED在Rt ABC △中，90BCE ACE∵AC AE ，∴CED ACE ，∴DCE BCE ，∴CE 平分DCB ；（2）∵CE BE ，∴B BCE∵在Rt CDE △中，90B BCD ，而BCD DCE BCE∴30B DCE BCE∴9030ACD DCE BCE∵在Rt ACD △中，30ACD∴2AC AD∵在Rt ABC △中，30B∴24AB AC AD ，∴3BD AB AD AD ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练的证明并求解30B DCE BCE 是解本题的关键．12．（2023·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CE 平分∠DCB 交AB 于点E ，(1)求证：∠AEC ＝∠ACE ；(2)若∠AEC ＝2∠B ，AD ＝1，求AB 的长．【答案】(1)证明见解析(2)AB ＝4【分析】（1）依据∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，即可得到∠ACD ＝∠B ，再根据CE 平分∠BCD ，可得∠BCE ＝∠DCE ，进而得出∠AEC ＝∠ACE ；（2）依据∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE ，∠ACB ＝90°，即可得到∠ACD ＝30°，进而得出Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2，Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4．【详解】（1）∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠ACD +∠A ＝∠B +∠A ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ，∴∠B +∠BCE ＝∠ACD +∠DCE ，即∠AEC ＝∠ACE ；（2）∵∠AEC ＝∠B +∠BCE ，∠AEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCE ，又∵∠ACD ＝∠B ，∠BCE ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ＝∠DCE ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝30°，∠B ＝30°，∴Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝2，∴Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝4．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理与外角的性质、角平分线的定义、直角三角形30°角所对的直角边长度是斜边的一半，解题时注意：三角形内角和是180°，三角形外角等于不相邻两个内角的和．13．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在ABC 中，AD AE 、分别是ABC 的角平分线和高线，ABC ，()ACB ．(1)若35,55 ，则DAE _______；(2)小明说：“无需给出 、的具体数值，只需确定 与 的差值，即可确定DAE 的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．(1)求DAE 的度数；(2)若【答案】(1)6DAE (2)【分析】（1）根据三角形内角和定理得出12BAE CAE BAC(1)如图1，在Rt ABC △中，90ACB ，(2)如图2，在ABC 中，CD 为ACB 的平分线，(3)在ABC 中，若50A ，CD 是ABC②当ACD 是等腰三角形，∴6550ACB③当BCD △是等腰三角形，∴13013033ACB ④当BCD △是等腰三角形，设BDC BCD x 由三角形的外角性质得：综上，ACB 的度数为【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，较难的是题（确分四种情况讨论是解题关键．16．（2023·安徽安庆·1【答案】(1)20 (2)20【分析】（1）现根据三角形的内角和得到60BAC ，然后利用角平分线得到形的两锐角互余得到10BAD ，计算解题即可；（2）过点DAE HPE ，再根据（1）的计算结果得到答案．【详解】（1）解：∵8040B C ，，【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．18．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，90BAC ，AD BC 于点D ，BF 平分ABC 交AD 于点E ，交AC 于点F ，求证：AE AF ．【答案】见解析【分析】BF 平分ABC 可得ABF CBF ，再结合90,BAC AD BC 可得90ABF AFB CBF BED ，进而得到AFB BED ，再结合AEF BED 可得AFE AEF ，最后根据等角对等边即可解答．【详解】解：∵BF 平分ABC ，∴ABF CBF ，∵90,BAC AD BC 。