高考数学-函数(知识点归纳+习题)

高中数学函数知识点总结

1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg ()()()（答：，，，）022334

函数定义域求法：

● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫

⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且

● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●

反三角函数的定义域

函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是

，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，

值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，

值域是 (0, π) .

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？

[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 []

（答：，）a a -

复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。

分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。

解：依题意知：

2log 2

1

2≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}

42|≤≤x x

4、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x

1

的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.1

12..2

22

22222

b

a y 型：直接用不等式性质k+x

bx

b. y 型,先化简，再用均值不等式

x mx n

x 1 例：y 1+x x+x

x m x n c y 型 通常用判别式

x mx n x mx n

d. y 型

x n

法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉

x x 1（x+1）（x+1）+1 1

例：y （x+1）1211

x 1x 1x 1

=

=++==≤

''

++=++++=+++-===+-≥-=+++

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6

54

3++x x 值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1

1cos y θθ

-=+的值域。

22

2

110

11

2sin 11|sin |||1,

1sin 22sin 12sin 1(1cos )

1cos 2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11

4即又由知解不等式，求出，就是要求的答案

x x x e y y e y e y y y y y y y

y y x y x y y x y

y θθθθθθθ

θθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++++=++=

+++≤≤+

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25

x log

3

1-x （2≤x ≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1-x 的值域。

8 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，

2

,(2),2

(,20, (1)

的取值范围 (2)y-2的取值范围

解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)

(2)令y-2即也是直线d d y

x x y

k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤

例求函数y=

)

2(2

-x +

)

8(2

+x 的值域。

解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10