2020版高考数学一轮复习课时作业32《 等差数列》(含解析)

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2020年高考数学一轮总复习测试卷《等差数列》及答案解析

2020年高考数学一轮总复习测试卷《等差数列》及答案解析

2020年高考数学一轮总复习测试卷《等差数列》及答案解析
一、选择题(共12小题;共60分)
1. 在等差数列中,若,,则可用,表示为
A. B. C. D.
2. 在等差数列中,,则的值为
A. B. C. D.
3. 等差数列中,,,则的前项和为
A. B. C. D.
4. 下列数列不是等差数列的是
A. ,,,,,
B. ,,,,,
C. ,,,,,
D. ,,,,,
5. 在等差数列中,,,则等于
A. B. C. D.
6. 已知某等差数列共有项,其奇数项之和为,偶数项之和为,则其公差为
A. B. C. D.
7. 等差数列中,,,则使,且的正整数
A. B. C. D.
8. 等差数列的前项和为,,,则首项与公差为
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
9. 数列,,,,的项数是
A. B. C. D.
10. 数列满足:,,是其前项和,则
A. B. C. D.
11. 《九章算术》“竹九节”问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数
列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,则第节的容积为
A. 升
B. 升
C. 升
D. 升
12. 在等差数列中,,,则
A. B. C. D.
二、填空题(共5小题;共25分)
13. 已知在等差数列中,,则

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高三数学2020届一轮复习等差数列与等比数列检测及答案

高三数学2020届一轮复习等差数列与等比数列检测及答案

2020届一轮复习等差数列与等比数列检测及答案一.选择题(1)在等差数列{a n }中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64(2) 在等比数列{a n }中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536(3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10(4)设数列{}n a 是等差数列,且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和,则 ( )A S 4<S 3B S 4==S 2C S 6<S 3D S 6=S 3(5) 已知由正数组成的等比数列{a n }中,公比q=2, a 1·a 2·a 3·…·a 30=245, 则a 1·a 4·a 7·…·a 28=( )A 25B 210C 215D 220(6) 若{}n a 是等差数列,首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><,则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是: ( ) A .4005 B .4006 C .4007 D .4008(7) 数列{a n }的前n 项和S n =3n-c, 则c=1是数列{a n }为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充分必要条件D 既非充分又非必要条件(8) 在等比数列{a n }中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n <a n+1, 那么公比q 的取值范围是( )A q>1B 0<q<1C q<0D q<1 (9)已知数列{a n }的前n 项和S n =a[2-(21) n-1]- b[2-( n+1)(21) n-1]( n=1,2,…),其中a, b 是非零常数.则存在数列{x n },{y n}使得( )A a n = x n + y n ,其中{x n }为等差数列,{y n }为等比数列B a n = x n + y n ,其中{x n }和{y n }都为等比数列C a n = x n ·y n 其中{x n }为等差数列,{y n }为等比数列D a n = x n ·y n 其中{x n }和{y n }都为等比数列(10) 已知f(x)=bx+1为x 的一次函数, b 为不等于1的常数, 且 g(n)=⎩⎨⎧≥-=)1()]1([)0(1n n g f n , 设a n = g(n)- g(n-1) (n ∈N ※), 则数列{a n }是( )A 等差数列B 等比数列C 递增数列D 递减数列 二.填空题(11) 已知等差数列{a n }的公差d ≠0, 且a 1, a 3, a 9成等比数列, 则1042931a a a a a a ++++的值是 .(12) 设数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2)13(1-n a (对于所有n ≥1),且a 4=54,则a 1的数值是_______________________.(13) 等差数列{a n }的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则它的前3m 项和为 .(14) 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}n a 是等和数列, 且a 1=2, 公和为5,那么a 18的值为 ,且这个数列的前21项和S 21的值为 .三.解答题(15)已知等差数列{a n }共2n+1项, 其中奇数项之和为290, 偶数项之和为261, 求第n+1项及项数2n+1的值.(16) 设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列,它的前10项和11010=S 且1a ,2a ,4a 成等比数列.(Ⅰ)证明d a =1;(Ⅱ)求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式.(17) 已知等比数列{a n }的各项都是正数, S n =80, S 2n =6560, 且在前n 项中, 最大的项为54, 求n 的值.(18)ΔOBC 的在个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2), 设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n, P n+3为线段P n P n+1的 中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a (Ⅰ)求321,,a a a 及n a ; (Ⅱ)证明;,414*+∈-=N n y y nn(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列.答案一选择题: 1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B 二填空题: 11.1613, 12. 2 , 13. 210 , 14.3. 三解答题(15)解: 对于等差数列{a n }, 有a 中= a n+1=S 奇-S 偶=290-261=29, (2n+1) a n+1= S 奇+S 偶=290+261=551. ∴2n+1=19. 故第n+1项为29项, 项数为19.(16) (Ⅰ)证明:因1a ,2a ,4a 成等比数列,故4122a a a =而{}n a 是等差数列,有d a a +=12,d a a 314+=于是 21)(d a +)3(11d a a +=即d a a d d a a 121212132+=++化简得 d a =1(Ⅱ)解:由条件11010=S 和d a S 291010110⨯+=,得到11045101=+d a 由(1),d a =1,代入上式得11055=d 故 2=d ,n d n a a n 2)1(1=-+=因此,数列{}n a 的通项公式为n a n 2=,Λ,3,2,1=n 。

2020年高考理科数学一轮总复习:等差数列及其前n项和教师版

2020年高考理科数学一轮总复习:等差数列及其前n项和教师版

2020年高考理科数学一轮总复习等差数列及其前n 项和[基础梳理]1.等差数列的有关概念 (1)定义:①文字语言:从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. ②符号语言:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d .(2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.1.两个重要技巧(1)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a -d ,a ,a +d .(2)若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a -d ,a +d ,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 2.三个必备结论(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ,则①S 2n =n (a 1+a 2n )=…=n (a n +a n +1);②S偶-S 奇=nd ,S 奇S 偶=a n a n +1.(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2n +1,则①S 2n +1=(2n +1)a n +1;②S 奇S 偶=n +1n .(3)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d <0,则满足⎩⎨⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1<0,d >0,则满足⎩⎨⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .3.两个函数等差数列{a n },当d ≠0时,a n =dn +(a 1-d ),是关于n 的一次函数; S n =d 2n 2+(a 1-d2)n 是无常数项的二次函数. [四基自测]1.(教材改编)已知数列{a n }中,a n =3n +4,若a n =13,则n 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6答案:A2.已知等差数列{a n }满足:a 3=13,a 13=33,则数列{a n }的公差为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B3.(教材改编)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=( ) A .18 B .36 C .54 D .72 答案:D4.在100以内的正整数中有________个能被6整除的数. 答案:165.已知等差数列5,427,347,…,则前n 项和S n =________. 答案:514(15n -n 2)考点一 等差数列的性质及基本量的运算◄考基础——练透 角度1 用等差数列的基本量a 1和d 进行计算[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10D .12解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 1+3×(3-1)2×d =2a 1+2×(2-1)2×d +4a 1+4×(4-1)2×d ,将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)=-10. 故选B. 答案:B(2)已知等差数列{a n }的各项都为整数,且a 1=-5,a 3a 4=-1,则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=( ) A .70 B .58 C .51D .40解析:设等差数列{a n }的公差为d , 由各项都为整数得d ∈Z ,因为a 1=-5,所以a 3a 4=(-5+2d )(-5+3d )=-1,化简得6d 2-25d +26=0,解得d =2或d =136(舍去),所以a n =2n -7,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 10|=5+3+1+1+3+…+13=9+7×(1+13)2=58.故选B.答案:B角度2 用等差数列性质进行计算[例2] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 3+a 10=9,则S 9=( ) A .3 B .9 C .18D .27 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d .∵a 2+a 3+a 10=9,∴3a 1+12d =9,即a 1+4d =3,∴a 5=3,∴S 9=9×(a 1+a 9)2=9×2a52=27.故选D.答案:D(2)(2019·河北唐山第二次模拟)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3Y B.4X+Z=4YC.2X+3Z=7Y D.8X+Z=6Y解析:设数列{a n}的前3n项的和为R,则由等差数列的性质得X,Y-X,R-Y,Z-R成等差数列,所以2(Y-X)=X+R-Y,解之得R=3Y-3X,又因为2(R-Y)=Y-X+Z-R,把R=3Y-3X代入得8X+Z=6Y,故选D.答案:D等差数列的计算技巧1.已知等差数列{a n}中,a2=1,前5项和S5=-15,则数列{a n}的公差为()A.-3 B.-5 2C.-2 D.-4 解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,因为⎩⎨⎧a 2=1,S 5=-15,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1,5a 1+5×42d =-15,解得d =-4,故选D.答案:D2.在等差数列{a n }中,a 1+a 5=8,a 4=7,则a 5=( ) A .11 B .10 C .7D .3解析:∵a 1+a 5=2a 3=8,∴a 3=4, 又∵a 3+a 5=2a 4, ∴a 5=2a 4-a 3=14-4=10. 故选B. 答案:B3.等差数列{a n }中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,则该数列的前13项和为( ) A .13 B .26 C .52D .156解析:3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 13)=24,∴6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4,∴S 13=13(a 1+a 13)2=13(a 4+a 10)2=13×42=26,故选B.答案:B考点二 等差数列的判定与证明◄考能力——知法 角度1 用等差数列定义证明[例3] (2019·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列.(2)求a n 的表达式.解析:(1)证明:因为a n =S n -S n -1(n ≥2),又a n =-2S n ·S n -1,所以S n -1-S n =2S n ·S n -1,S n ≠0.因此1S n -1S n -1=2(n ≥2).故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n=1S 1+(n -1)d =2+(n -1)×2=2n ,即S n =12n .由于当n ≥2时,有a n =-2S n ·S n -1=-12n (n -1),又因为a 1=12,不适合上式. 所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧12(n =1),-12n (n -1)(n ≥2).角度2 用等差中项法证明[例4] 已知等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n . (1)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2,a 8,a 5成等差数列;(2)若a m +2是a m +1和a m 的等差中项,则S m ,S m +2,S m +1成等差数列吗? 解析:(1)证明:由S 3,S 9,S 6成等差数列,得S 3+S 6=2S 9.若q =1,则3a 1+6a 1=18a 1,解得a 1=0,这与{a n }是等比数列矛盾,所以q ≠1, 于是有a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2a 1(1-q 9)1-q ,整理得q 3+q 6=2q 9.因为q ≠0且q ≠1,所以q 3=-12,a 8=a 2q 6=14a 2,a 5=a 2q 3=-12a 2, 所以2a 8=a 2+a 5,即a 8-a 2=a 5-a 8,故a 2,a 8,a 5成等差数列.(2)依题意,得2a m +2=a m +1+a m ,则2a 1q m +1=a 1q m +a 1q m -1.在等比数列{a n }中,a 1≠0,q ≠0,所以2q 2=q +1,解得q =1或q =-12.当q =1时,S m +S m +1=ma 1+(m +1)a 1=(2m +1)a 1,S m +2=(m +2)a 1. 因为a 1≠0,所以2S m +2≠S m +S m +1,此时S m ,S m +2,S m +1不成等差数列. 当q =-12时,S m +2=a 1[1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12m +2]1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=2a 13[1-(-12)m +2] =2a 13 [1-14×(-12)m ],S m +S m +1=a 1[1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12m ]1-(-12)+a 1[1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12m +1]1-(-12)=2a 13[1-(-12)m +1-(-12)m +1] =2a 13[2-12×(-12)m ],所以2S m +2=S m +S m +1.故当q =1时,S m ,S m +2,S m +1不成等差数列;当q =-12时,S m ,S m +2,S m +1成等差数列.判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意n ∈N *,a n +1-a n 是同一个常数.(证明用) (2)等差中项法:对任意n ≥2,n ∈N *,满足2a n =a n +1+a n -1.(证明用) (3)通项公式法:数列的通项公式a n 是n 的一次函数.(4)前n 项和公式法:数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数,且常数项为0.提醒:判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断.将本例1条件变为“数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),2S n -na n =n ,”求证:{a n }为等差数列.证明:因为2S n -na n =n ,①所以当n ≥2时,2S n -1-(n -1)a n -1=n -1,② 所以①-②得:(2-n )a n +(n -1)a n -1=1, (1-n )a n +1+na n =1,所以2a n =a n -1+a n +1(n ≥2), 所以数列{a n }为等差数列.考点三 等差数列前n 项和及综合问题◄考素养——懂理[例5] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.①求{a n }的通项公式; ②求S n ,并求S n 的最小值.解析:①设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =-15. 由a 1=-7得d =2.所以{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =2n -9. ②由①得S n =a 1+a n2·n =n 2-8n =(n -4)2-16. 所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16.(2)已知数列{a n }满足a 1=2,n (a n +1-n -1)=(n +1)(a n +n )(n ∈N *).①求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,并求其通项公式;②设b n =2a n -15,求数列{|b n |}的前n 项和T n . 解析:①∵n (a n +1-n -1)=(n +1)(a n +n )(n ∈N *), ∴na n +1-(n +1)a n =2n (n +1),∴a n +1n +1-a nn =2, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,其公差为2,首项为2,∴a nn =2+2(n -1)=2n .②由①知a n =2n 2,∴b n =2a n -15=2n -15, 则数列{b n }的前n 项和S n =n (-13+2n -15)2=n 2-14n .令b n =2n -15≤0,解得n ≤7.∴n ≤7时,数列{|b n |}的前n 项和T n =-b 1-b 2-…-b n =-S n =-n 2+14n . n ≥8时,数列{|b n |}的前n 项和T n =-b 1-b 2-…-b 7+b 8+…+b n =-2S 7+S n =-2×(72-14×7)+n 2-14n =n 2-14n +98.∴T n =⎩⎨⎧14n -n 2,n ≤7,n 2-14n +98,n ≥8.关于等差数列前n 项和问题,主要是求和方法及性质的应用,其关键点为: (1)定性质,根据已知条件判断出数列具有哪些特性.(2)定方法,根据已知条件或具有的性质,确定解决问题的方法. ①_x0001_求和:用哪个公式,需要哪些量.②求S n 最值:(ⅰ)借助S n 的二次函数法; (ⅱ)借用通项的邻项变号法a 1>0,d <0,满足⎩⎨⎧ a m ≥0a m +1≤0S n 取得最大值S m ;a 1<0,d >0,满足⎩⎨⎧a m ≤0a m +1≥0,S n 取得最小值S m .1.在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是( ) A .21 B .20 C .19D .18解析:由a 1+a 3+a 5=3a 3=105,∴a 3=35. a 2+a 4+a 6=3a 4=99,∴a 4=33,∴d =a 4-a 3=-2. ∴a n =a 4+(n -4)×d =33+(n -4)×(-2)=-2n +41. ∴a 20>0,a 21<0,∴当n =20时,S 20最大,故选B. 答案:B2.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,若b n =12a n -30,设数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的最小值. 解析:∵2a n +1=a n +a n +2,∴a n +1-a n =a n +2-a n +1, 故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由a 3=10,S 6=72得,⎩⎨⎧a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得a 1=2,d =4.故a n =4n -2,则b n =12a n -30=2n -31, 令⎩⎨⎧ b n ≤0,b n +1≥0,即⎩⎨⎧2n -31≤0,2(n +1)-31≥0, 解得292≤n ≤312, ∵n ∈N *,∴n =15,即数列{b n }的前15项均为负值,∴T 15最小. ∵数列{b n }的首项是-29,公差为2, ∴T 15=15×(-29+2×15-31)2=-225,∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.数学建模——传统文化中的数列的学科素养在传统文化中,涉及很多等差数列的模型,经过转化用等差数列的知识求解,体现了数学建模,数学运算的素养.[例1] 《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺,30天共织布390尺,则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺解析:设该女子织布每天增加d 尺,由题意知S 30=30×5+30×292d =390,解得d =1629.故该女子织布每天增加1629尺.故选B. 答案:B[例2] 中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( ) A.174斤B .184斤C.191斤 D .201斤解析:用a 1,a 2,…,a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a 1,a 2,…,a 8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,∴8a 1+8×72×17=996,解得a 1=65.∴a 8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤,故选B.答案:B课时规范练1.在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( )A .-1B .0 C.14 D.12解析:由题知,a 2+a 4=2a 3=2,又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32.∴公差d =a 4-a 22=12.∴a 1=a 2-d =0.答案:B2.等差数列{a n }中,a 1=1,a n =100(n ≥3).若{a n }的公差为某一自然数,则n 的所有可能取值为( )A .3,7,9,15,100B .4,10,12,34,100C .5,11,16,30,100D .4,10,13,43,100解析:由等差数列的通项公式得,公差d =a n -a 1n -1=99n -1.又因为d ∈N ,n ≥3,所以n -1可能为3,9,11,33,99,n 的所有可能取值为4,10,12,34,100,故选B. 答案:B3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A .5B .7C .9D .11解析:因为{a n }是等差数列,∴a 1+a 5=2a 3,即a 1+a 3+a 5=3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5,故选A. 答案:A4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 8-S 4=36,a 6=2a 4,则a 1=( )A .-2B .0C .2D .4解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵S 8-S 4=36,a 6=2a 4,∴⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 1+8×72d -⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1+4×32d =36,a 1+5d =2a 1+6d ,解得⎩⎨⎧a 1=-2,d =2.故选A. 答案:A5.若等差数列{a n }的前5项之和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( )A .12B .13C .14D .15 解析:由S 5=(a 2+a 4)·52,得25=(3+a 4)·52,解得a 4=7,所以7=3+2d ,即d =2,所以a 7=a 4+3d =7+3×2=13.答案:B6.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( )A .100B .99C .98D .97解析:由题意可知,⎩⎨⎧a 1+4d =3,a 1+9d =8,解得a 1=-1,d =1,所以a 100=-1+99×1=98.答案:C7.已知等差数列{a n }中,a n ≠0,若n ≥2且a n -1+a n +1-a 2n =0,S 2n -1=38,则n 等于__________.解析:∵{a n }是等差数列,∴2a n =a n -1+a n +1,又∵a n -1+a n +1-a 2n =0,∴2a n-a 2n =0,即a n (2-a n )=0.∵a n ≠0,∴a n =2.∴S 2n -1=(2n -1)a n =2(2n -1)=38, 解得n =10.答案:108.中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为________.解析:设数列首项为a 1,则a 1+2 0152=1 010,故a 1=5. 答案:59.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110.(1)求a 及k 的值.(2)已知数列{b n }满足b n =S n n ,证明数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .解析:(1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a ,由已知有a +3a=8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2,所以S k =ka 1+k (k -1)2·d =2k +k (k -1)2×2=k 2+k .由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10.(2)由(1)得S n =n (2+2n )2=n (n +1), 则b n =S n n =n +1,故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列,所以T n =n (2+n +1)2=n (n +3)2. 10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -12a n -1+1(n ∈N *,n ≥2),数列{b n }满足关系式b n =1a n(n ∈N *). (1)求证:数列{b n }为等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.解析:(1)证明:∵b n =1a n,且a n =a n -12a n -1+1,∴b n+1=1a n+1=1a n2a n+1=2a n+1a n,∴b n+1-b n=2a n+1a n-1a n=2.又∵b1=1a1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+(n-1)×2=2n-1,又b n=1a n,∴a n=1b n=12n-1.∴数列{a n}的通项公式为a n=12n-1.。

高考数学一轮复习课时作业三十二等差数列作业课件

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2.等差数列{an} 与{bn} 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,若TSnn =32nn-+21 ,则ab77 =(
)
A.2377
B.1194
C.2399
D.43
13(a1+a13) 【解析】选 A.由ab77 =22ab77 =13(b12+b13) =TS1133 ,
2
所以S13 T13
对选项 C,a10+a22=2a16=2(a1+15d)
=2-229d+15d =d>0,故 C 正确.
对选项 D,a10=a1+9d=-229 d+128 d=-121 d,a22=a1+21d=-229 d+422 d=
13 2
d,
因为 d<0,所以|a10| =-121 d,|a22| =-123 d,|a10| <|a22| ,故 D 错误.
【解析】选 ABCD.因为 S12>0,a7<0,
所以12(a62+a7) >0,a1+6d<0.
所以 a6+a7>0,a6>0.故 A 正确. 所以 2a1+11d>0,a1+5d>0, 又因为 a3=a1+2d=12,a1+6d<0. 所以-274 <d<-3.故 B 正确.
a1>0.S13=13(a12+a13) =13a7<0.
3.已知{an} 是等差数列,且 a2+a5+a8+a11=48,则 a6+a7=( )
A.12 B.16 C.20 D.24 【解析】选 D.由等差数列的性质可得 a2+a5+a8+a11=2(a6+a7)=48,则 a6+a7 =24.
4.设等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn,若 a7=5,S9=27,则公差 d 等于( )
9.已知{an} 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,且满足 S5=30,a1=2. (1)求数列{an} 的通项公式; (2)设 bn=S1n ,求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)一、单选题1.若3与13的等差中项是4与m 的等比中项,则m =( ) A .12B .16C .8D .202.在等差数列{}n a 中,49a =,且2410,,a a a 构成等比数列,则公差d 等于( ) A .3-B .0C .3D .0或33.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7614,10S a ==,则{}n a 的公差为( ) A .4B .3C .2D .14.已知数列{}n a ,{}n b 均为等差数列,且125a =,175b =,22120a b +=,则3737a b +的值为( ) A .760B .820C .780D .8605.在等差数列{an }中,若a 2+2a 6+a 10=120,则a 3+a 9等于( ) A .30B .40C .60D .806.在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌:“甲乙丙丁戊己庚,七人钱本不均平,甲乙念三七钱钞,念六一钱戊己庚,惟有丙丁钱无数,要依等第数分明,请问先生能算者,细推详算莫差争.”题意是:“现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人,他们手里钱不一样多,依次成等差数列,已知甲、乙两人共237钱,戊、己、庚三人共261钱,求各人钱数.”根据上题的已知条件,戊有( ) A .107钱B .102钱C .101钱D .94钱7.已知数列{an }是首项为1a ,公差为d 的等差数列,前n 项和为Sn ,满足4325a a =+,则S 9=( ) A .35B .40C .45D .50 8.正项等比数列{}n a 中,5a ,34a ,42a -成等差数列,若212a =,则17a a =( ) A .4B .8C .32D .649.已知{}n a 是公差不为零的等差数列,2414a a +=,且126,,a a a 成等比数列,则公差为( ) A .1B .2C .3D .410.设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >,则“50a >”是“0d >”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件11.设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ,若3710a a += ,则9S = ( ) A .22.5B .45C .67.5D .9012.在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和,7624a a =- ,则9S =( ) A .28 B .30C .32D .36二、填空题13.记n S 为等差数列{n a }的前n 项和,若24a =,420S =,则9a =_________.14.已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4a ,5S ,{}750S ∈-,,则n S 的最小值为__________.15.已知数列{}n a 中,11a =,()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-,则通项公式n a =______. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若30a =,636S S =+,则7S =_____. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 满足32a =,前4项和47S =. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设等比数列{}n b 满足23b a =,415b a =,数列{}n b 的通项公式.18.已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值,且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. (1)证明:{}n a 是等差数列;(2)若479,,a a a 成等比数列,求n S 的最小值.20.已知在n的展开式中,前3项的系数成等差数列,求:(1)展开式中二项式系数最大项的项; (2)展开式中系数最大的项; (3)展开式中所有有理项.21.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知535S =,且4a 是1a 与13a 的等比中项,数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+.(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式; (2)若14a <,对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立,求实数λ的最小值.22.这三个条件中任选一个,补充在下面题目条件中,并解答.①25a =,()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ;②25a =,()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ;③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项,求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1.B2.D3.A4.B5.C7.C8.D9.C10.B11.B12.D 13.18 14.6- 15.21nn - 16.717.(1)设等差数列{}n a 首项为1a ,公差为d .∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得:1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+(2)设等比数列{}n b 首项为1b ,公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得:24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18.(1)根据题意得,13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭,因为数列{}n a 是等差数列,设公差为d ,则由3718a a +=,得112618a d a d +++=,解得2d =,所以()11221n a n n =+-⨯=-.(2)由(1)可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19.(1)因为221nn S n a n +=+,即222n n S n na n+=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----, 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈, 所以{}n a 是以1为公差的等差数列. (2)[方法一]:二次函数的性质由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭, 所以,当12n =或13n =时,()min 78n S =-. [方法二]:【最优解】邻项变号法由(1)可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-, 所以13n a n =-,即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时,()min 78n S =-. 20.(1)n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=,依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅,即2C 4(1)n n =-,得8n =,所以8的展开式有9项,二项式系数最大的项为5项,所以22433584135C 28T x x ==. (2)由(1)知,2456181C 2kk k k T x -+=,设展开式中系数最大的项为第1k +项,则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩,即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩,解得23k ≤≤,所以2k =或3k =, 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . (3)由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知,2456k -为整数,得0k =,6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21.(1)设等差数列{}n a 的公差为d , 由535S =得151035a d +=, 因为4a 是1a 与13a 的等比中项,所以()()2111312a d a a d +=+.化简得172a d =-且2123a d d =,解方程组得17,0a d ==或13,2a d==.故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+(其中N n *∈);因为245n T n n =+,所以214(1)5(1)n T n n -=-+-,(2)n ≥,所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+,因为119b T ==,满足上式,所以()81N n b n n *=+∈;(2)因为14a <,所以21n a n =+, 所以(2)n S n n =+,所以221114488141n n S b n n n n ==-+---,所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大,从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立, 所以12λ≥,故λ的最小值为12.22.(1)解:选条件①时,25a =,1123n n n S S S +--+=,整理得()()113n n n n S S S S +----=,故13n n a a +-=(常数),且213a a -=, 所以数列{}n a 是以2为首项,3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-;选条件②时,25a =,()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ,整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--,故112n n n a a a +-+=,故数列{}n a 是等差数列,公差213d a a =-=,故()13131n a a n n =+-=-; 选条件③时,()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ,且121S =, 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,32为公差的等差数列,则()33121222n S n n n =+-=+,所以23122n S n n =+,则2n ≥时,131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-,所以31n a n =-,*n ∈N . (2)解:由(1)得:31n a n =-,由于n b 是n a 、1n a +的等比中项,所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅,则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭, 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

【2020】人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案

【2020】人教版最新高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+n-5,又2Sn=an2+n-4,两式相减得2an=an2-an-12+1,
即an2-2an+1=an-12, 也即(an-1)2=an-12,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1,而a1=3,所以a2=-2这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此{an}为等差数列.
∴T1=b1=1.
当n≥2时,Tn-1=2-bn-1,Tn=2-bn,
∴bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn,∴bn=bn-1,
∴bn=21-n.
(2)解法1:由cn=an2·bn=n2·25-n,
得=2.
当且仅当n≥3时,1+≤<,即cn+1<cn.
解法2:由cn=an2·bn=n2·25-n得,
A.20xx×20xxB.20xx×20xx
C.20xx×20xxD.20xx×20xx
[答案] C
[解析] 解法1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形为:
a1=0×1 a2=1×2 a3=2×3 a4=3×4
猜想a20xx=20xx×20xx,故选D.
A.S3B.S4或S5
C.S5D.S6
[答案] B
[解析] 由an=20-4n≥0得n≤5,故当n>5时,an<0,所以S4或S5最大,选B.
(理)(20xx·山师大附中)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( )
∵q≠0,∴2q6=1+q3,∴q3=1或-,q3=1时,S3、S9、S6不成等差数列,应舍去,∴q3=-,∴S6=(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3)q3=S3(1+q3)=S3.

2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 等差数列(含解析)

2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 等差数列(含解析)

2019-2020年高三数学一轮复习 专项训练 等差数列(含解析)1、在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d . 由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3.解得d =-2.从而,a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n . (2)由(1)可知a n =3-2n . 所以S n =n [1+3-2n ]2=2n -n 2.进而由S k =-35可得2k -k 2=-35. 即k 2-2k -35=0,解得k =7或-5. 又k ∈N *,故k =7为所求.2、知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4,a 3+a 5=10,则它的前10项的和S 10=( ). A .85 B .135 C .95 D .23 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1+4d =4,2a 1+6d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-4,d =3.∴S 10=10×(-4)+10×92×3=95.考点二:等差数列的判定与证明1、若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n =2n ,∴S n =12n .当n ≥2时, a n =S n -S n -1=12n -12n -1=n -1-n 2n n -1=-12nn -1.1当n=1时,a1=2不适合上式.故a n=⎩⎨⎧12,n =1,-12n n -1,n ≥2.2、已知数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=3a n +3n +1-2n .设b n =a n -2n3n .证明:数列{b n }为等差数列,并求{a n }的通项公式.证明 ∵b n +1-b n =a n +1-2n +13n +1-a n -2n 3n =3a n +3n +1-2n -2n +13n +1-3a n -3·2n3n +1=1, ∴{b n }为等差数列,又b 1=a 1-23=0. ∴b n =n -1,∴a n =(n -1)·3n +2n .考点三 等差数列的性质及应用1、(1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 8=4a 3,a 7=-2,则a 9=( ). A .-6 B .-4 C .-2 D .2(2)在等差数列{a n }中,前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则前3m 项的和为________. 解析 (1)S 8=4a 3⇒8a 1+a 82=4a 3⇒a 3+a 6=a 3,∴a 6=0,∴d =-2,∴a 9=a 7+2d =-2-4=-6.(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,由等差数列前n 项和的性质知S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列,则2(S 2m -S m )=S m +(S 3m -S 2m ),又S m =30,S 2m =100,S 2m -S m =100-30=70,所以S 3m -S 2m =2(S 2m -S m )-S m =110,所以S 3m =110+100=210. 答案 (1)A (2)2102、已知等差数列{a n }中,S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9=________. 解析 ∵{a n }为等差数列, ∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列, ∴2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6). ∴a 7+a 8+a 9=S 9-S 6 =2(S 6-S 3)-S 3 =2(36-9)-9=45. 答案:453、(1)(xx·辽宁卷)在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( ). A .58 B .88 C .143 D .176(2)(xx·北京卷)若等比数列{a n }满足:a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =________;前n 项和S n =________.解:(1)由a 1+a 11=a 4+a 8=16,得 S 11=11a 1+a 112=11a 4+a 82=11×162=88.(2)由已知,得a 3+a 5a 2+a 4=q a 2+a 4a 2+a 4=q =2,又a 1=2,所以S n =a 11-q n 1-q=2n +1-2.4.记S n 为等差数列{a n }前n 项和,若S 33-S 22=1,则其公差d =( ).A.12B .2C .3D .4 解析 由S 33-S 22=1,得a 1+a 2+a 33-a 1+a 22=1,即a 1+d -⎝⎛⎭⎫a 1+d2=1,∴d =2. 答案 B5.在等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,那么a 3+a 4+…+a 9等于( ). A .21 B .30 C .35 D .40解析 由题意得3a 6=15,a 6=5.所以a 3+a 4+…+a 9=7a 6=7×5=35. 答案 C6.在等差数列{a n }中,首项a 1=0,公差d ≠0,若a m =a 1+a 2+…+a 9,则m 的值为( ). A .37 B .36 C .20 D .19解析 由a m =a 1+a 2+…+a 9,得(m -1)d =9a 5=36d ⇒m =37. 答案 A7.{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和,已知a 7=5,S 7=21,则S 10=( ). A .40 B .35 C .30 D .28 解析 设公差为d ,则由已知得S 7=7a 1+a 72,即21=7a 1+52,解得a 1=1,所以a 7=a 1+6d ,所以d =23.所以S 10=10a 1+10×92d =10+10×92×23=40.答案 A8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 13=S 13=13,则a 1=( ). A .-14 B .-13 C .-12 D .-11 解析 在等差数列中,S 13=13a 1+a 132=13,所以a 1+a 13=2,即a 1=2-a 13=2-13=-11.答案 D9.在等差数列{a n }中,a 15=33,a 25=66,则a 35=________. 解析 a 25-a 15=10d =66-33=33,∴a 35=a 25+10d =66+33=99. 答案 9910.已知等差数列{a n }的首项a 1=1,前三项之和S 3=9,则{a n }的通项a n =________.解析 由a 1=1,S 3=9,得a 1+a 2+a 3=9,即3a 1+3d =9,解得d =2,∴a n =1+(n -1)×2=2n -1. 答案 2n -111.若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),若a 2∶a 3=5∶2,则S 3∶S 5=________. 解析S 3S 5=3a 1+a 35a 1+a 5=3a 25a 3=35×52=32. 答案 3∶212.已知等差数列{a n }的公差d =1,前n 项和为S n . (1)若1,a 1,a 3成等比数列,求a 1; (2)若S 5>a 1a 9,求a 1的取值范围.解 (1)因为数列{a n }的公差d =1,且1,a 1,a 3成等比数列,所以a 21=1×(a 1+2),即a 21-a 1-2=0,解得a 1=-1或2.(2)因为数列{a n }的公差d =1,且S 5>a 1a 9,所以5a 1+10>a 21+8a 1,即a 21+3a 1-10<0,解得-5<a 1<2.故a 1的取值范围是(-5,2).10.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n =S nn +2(n -1)(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列,并求a n 与S n .(2)是否存在自然数n ,使得S 1+S 22+S 33+…+S nn -(n -1)2=2 015?若存在,求出n 的值;若不存在,请说明理由.证明 (1)由a n =S nn +2(n -1),得S n =na n -2n (n -1)(n ∈N *).当n ≥2时,a n =S n -S n -1=na n -(n -1)a n -1-4(n -1), 即a n -a n -1=4,故数列{a n }是以1为首项,4为公差的等差数列. 于是,a n =4n -3,S n =a 1+a n n2=2n 2-n (n ∈N *). (2)由(1),得S nn=2n -1(n ∈N *),又S 1+S 22+S 33+…+S nn -(n -1)2=1+3+5+7+…+(2n -1)-(n -1)2=n 2-(n -1)2=2n -1.令2n -1=2 015,得n =1 008, 即存在满足条件的自然数n =1 008.13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n =( ). A .12 B .14 C .16 D .18解析 S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80, S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40, 所以4(a 1+a n )=120, a 1+a n =30, 由S n =na 1+a n2=210,得n =14. 答案 B14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=13,S 3=S 11,当S n 最大时,n 的值是( ). A .5 B .6 C .7 D .8解析;由S 3=S 11,得a 4+a 5+…+a 11=0,根据等差数列的性质,可得a 7+a 8=0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7>0,a 8<0,故n =7时,S n 最大. 答案 C15.正项数列{a n }满足:a 1=1,a 2=2,2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ∈N *,n ≥2),则a 7=________. 解析 因为2a 2n =a 2n +1+a 2n -1(n ∈N *,n ≥2),所以数列{a 2n }是以a 21=1为首项,以d =a 22-a 21=4-1=3为公差的等差数列,所以a 2n =1+3(n -1)=3n -2, 所以a n =3n -2,n ≥1. 所以a 7=3×7-2=19. 答案1916.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =S n n +c ,是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列?若存在,求出c 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,且d >0,由等差数列的性质,得a 2+a 5=a 3+a 4=22, 所以a 3,a 4是关于x 的方程x 2-22x +117=0的解,所以a 3=9,a 4=13,易知a 1=1,d =4,故通项为a n =1+(n -1)×4=4n -3. (2)由(1)知S n =n 1+4n -32=2n 2-n ,所以b n =S nn +c =2n 2-n n +c.所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c (c ≠0).令2b 2=b 1+b 3,解得c =-12.当c =-12时,b n =2n 2-n n -12=2n ,当n≥2时,b n-b n-1=2.故当c =-12时,数列{b n }为等差数列.17.等差数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,其前n 项和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( ). A .120B .70C .75D .100解析 因为S n n =n +2,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3+10×92=75.答案 C18.在等差数列{a n }中,满足3a 4=7a 7,且a 1>0,S n 是数列{a n }前n 项的和,若S n 取得最大值,则n =( ).A .7B .8C .9D .10解析 设公差为d ,由题设3(a 1+3d )=7(a 1+6d ), 所以d =-433a 1<0.解不等式a n >0,即a 1+(n -1)⎝⎛⎭⎫-433a 1>0, 所以n <374,则n ≤9,当n ≤9时,a n >0,同理可得n ≥10时,a n <0. 故当n =9时,S n 取得最大值. 答案 C19.在等差数列{a n }中,a 2+a 8=4,则它的前9项和S 9=( ). A .9 B .18 C .36 D .72解析 在等差数列中,a 2+a 8=a 1+a 9=4,所以S 9=9a 1+a 92=9×42=18. 答案 B20.已知数列{a n }为等差数列,其前n 项的和为S n ,若a 3=6,S 3=12,则公差d =( ). A .1 B .2 C .3 D.53解析 在等差数列中,S 3=3a 1+a 32=3a 1+62=12,解得a 1=2,所以解得d =2. 答案 B21.设数列{a n }是公差d <0的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 6=5a 1+10d ,则S n 取最大值时,n =( ).A .5B .6C .5或6D .6或7解析 由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,所以a 1+5d =0,即a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大.答案 C22、已知一等差数列的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是( ). A .5 B .6 C .7 D .8解析 设数列{a n }为该等差数列,依题意得a 1+a n =124+1564=70.∵S n =na 1+a n2=210,∴210=70n2,∴n =6. 答案 B23.在公差不为0的等差数列{a n }中,2a 3-a 27+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 6b 8=( ).A .2B .4C .8D .16解析 因为{a n }是等差数列,所以a 3+a 11=2a 7,所以2a 3-a 27+2a 11=4a 7-a 27=0,解得a 7=0或4,因为{b n }为等比数列,所以b n ≠0,所以b 7=a 7=4,b 6b 8=b 27=16. 答案 D24.已知函数y =a n x 2(a n ≠0,n ∈N *)的图象在x =1处的切线斜率为2a n -1+1(n ≥2,n ∈N *),且当n =1时其图象过点(2,8),则a 7的值为( ). A.12B .7C .5D .6 解析 由题意知y ′=2a n x ,∴2a n =2a n -1+1(n ≥2,n ∈N *),∴a n -a n -1=12,又n =1时其图象过点(2,8),∴a 1×22=8,得a 1=2,∴{a n }是首项为2,公差为12的等差数列,a n =n 2+32,得a 7=5.答案 C25.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=8,S 8=20,则a 11+a 12+a 13+a 14=________.解析 设等差数列{a n}的公差为d ,依题意有⎩⎨⎧S 44=2,S 88=52,即⎩⎨⎧a 1+32d =2,a 1+72d =52,解得d =14,a 1=138,故a 11+a 12+a 13+a 14=4a 1+46d =18. 答案 1826.现有一根n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm ,最下面的三节长度之和为114 cm ,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n =________. 解析 设每节竹竿的长度对应的数列为{a n },公差为d ,(d >0). 由题意知a 1=10,a n +a n -1+a n -2=114,a 26=a 1a n . 由a n +a n -1+a n -2=114,得3a n -1=114,解得a n -1=38,∴(a 1+5d )2=a 1(a n -1+d ),即(10+5d )2=10(38+d ),解得d =2,所以a n -1=a 1+(n -2)d =38,即10+2(可编辑修改n-2)=38,解得n=16.答案16.精品文档。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业30等差数列及其前n项和 含解析

2020高考数学(理)一轮复习课时作业30等差数列及其前n项和 含解析
A. B.
C. D.
解析:甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1,a2,a3,a4,a5,设公差为d,由题意知a1+a2=a3+a4+a5= ,即 解得 故甲得 钱,故选C.
答案:C
12.[2019·江西赣中南五校联考]在等差数列{an}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是()
A.7 B.9
C.14 D.18
解析:解法一因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,故选B.
解法二设等差数列{an}的公差为d,因为在等差数列{an}中,S7-S2=45,所以7a1+ d-(2a1+d)=45,整理得a1+4d=9,所以a5=9,故选B.
解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意得 解得
∴中间一项为a5=a1+4d= +4× = .
答案:
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.
解析:由题意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
答案:D
二、填空题
6.[2019·湖北荆州模拟]在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7=________.
解析:∵在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,∴ 解得a1=1,d= ,∴a7=a1+6d=1+8=9.
答案:9
7.[2019·河南濮阳模拟]已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项的值为________.
(1)证明:数列 是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

高考数学一轮复习 课时作业32 等差数列 理(含解析)新人教版-新人教版高三全册数学试题

高考数学一轮复习 课时作业32 等差数列 理(含解析)新人教版-新人教版高三全册数学试题

课时作业32 等差数列一、选择题1.(2019·某某荆州一模)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=3,a 8=8,则a 12的值是( A )A .15B .30C .31D .64解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 4+a 5=3,∴3a 4=3,即a 1+3d =1,又由a 8=8得a 1+7d =8,联立解得a 1=-174,d =74,则a 12=-174+74×11=15.故选A.2.已知数列{a n }中,a 2=32,a 5=98,且{1a n -1}是等差数列,则a 7=( D )A.109 B.1110 C.1211D.1312解析:设等差数列{1a n -1}的公差为d ,则1a 5-1=1a 2-1+3d ,即198-1=132-1+3d ,解得d =2,所以1a 7-1=1a 2-1+5d =12,解得a 7=1312.故选D.3.(2019·某某某某模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=3a 4,且S 9=λa 4,则λ的值为( A )A .18B .20C .21D .25解析:设公差为d ,由a 6=3a 4,且S 9=λa 4,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d =3a 1+9d ,9a 1+9×8d 2=λa 1+3λd ,解得λ=18,故选A.4.(2019·某某市摸底考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=2a 3,则S 11S 5=( D )A.115 B.522 C.1110D.225解析:S 11S 5=112a 1+a 1152a 1+a 5=11a 65a 3=225.故选D.5.(2019·某某某某一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11=22,a 4=-12,如果当n =m 时,S n 最小,那么m 的值为( C )A .10B .9C .5D .4解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧11a 1+11×102d =22,a 1+3d =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-33,d =7,所以S n =-33n +n n -12×7=72n 2-732n =72(n -7314)2-72×(7314)2.因为n ∈N *,所以当n =5时,S n 取得最小值.故选C.6.(2019·某某某某一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2 018<S 2 016,S 2 017<S 2 018,则S n <0时n 的最大值是( D )A .2 017B .2 018C .4 033D .4 034解析:∵S 2 018<S 2 016,S 2 017<S 2 018,∴a 2 018+a 2 017<0,a 2 018>0.∴S 4 034=4 034a 1+a 4 0342=2 017(a 2 018+a 2 017)<0,S 4 035 =4 035a 1+a 4 0352=4 035a 2 018>0,可知S n <0时n 的最大值是4 034.故选D. 二、填空题7.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3,且a 1,a 4,a 13成等比数列,则数列{a n }的通项公式为a n =2n +1.解析:设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1,a 4,a 13成等比数列,a 1=3,∴a 24=a 1a 13,即(3+3d )2=3(3+12d ),解得d =2或d =0(舍去),故{a n }的通项公式为a n =3+2(n -1),即a n=2n +1.8.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于132.解析:S 11=11a 1+a 112=11a 6,设公差为d ,由a 9=12a 12+6得a 6+3d =12(a 6+6d )+6,解得a 6=12,所以S 11=11×12=132.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是2.解析:∵S 33-S 22=1,∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1+3×22d -3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1+2×12d =6, ∴6a 1+6d -6a 1-3d =6,∴d =2.10.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫-1,-78.解析:由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.三、解答题11.(2019·某某质量预测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 5=25,S 5=55. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a n b n =13n -1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 5=2a 1+5d =25,S 5=5a 3=5a 1+5×42d =55,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=5,d =3,∴数列{a n }的通项公式为a n =3n +2.(2)由a n b n =13n -1,得b n =1a n 3n -1=13n -13n +2=13(13n -1-13n +2),T n =b 1+b 2+…+b n =13(12-15+15-18+…+13n -1-13n +2)=13(12-13n +2) =16-19n +6=n23n +2.12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-21,a 5与a 7的等差中项为1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 10的值和T n 的表达式. 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3×22d =-21,a 1+4d +a 1+6d =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-9,d =2,则a n =-9+(n -1)×2=2n -11,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-11.(2)令a n =2n -11<0,得n <112,即n ≤5,所以当n ≤5时,a n =2n -11<0,当n ≥6时,a n =2n -11>0.又S n =n 2-10n ,S 5=-25,S 10=0,所以T 10=-(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-S 5+(S 10-S 5)=S 10-2S 5=50. 当n ≤5时,T n =-S n =10n -n 2;当n ≥6时,T n =-S 5+(S n -S 5)=S n -2S 5=n 2-10n +50.综上,T n =⎩⎪⎨⎪⎧10n -n 2,n ≤5,n 2-10n +50,n ≥6.13.(2019·某某市调研测试)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为-12.解析:设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36, 又a 4a 6=275,联立,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=11,a 6=25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=25,a 6=11,当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=11,a 6=25时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-10,d =7,此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0, ∴a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值; 当⎩⎪⎨⎪⎧a 4=25,a 6=11时,可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=46,d =-7,此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值.综上,a n a n +1的最小值为-12.14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=a 5+a 6=25. (1)求{a n }的通项公式;(2)若不等式2S n +8n +27>(-1)nk (a n +4)对所有的正整数n 都成立,某某数k 的取值X 围.解:(1)设公差为d ,则5a 1+5×42d =a 1+4d +a 1+5d =25,∴a 1=-1,d =3.∴{a n }的通项公式为a n =3n -4. (2)S n =-n +3nn -12,2S n +8n +27=3n 2+3n +27,a n +4=3n ,则原不等式等价于(-1)nk <n +1+9n对所有的正整数n 都成立.∴当n 为奇数时,k >-⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1+9n ;当n 为偶数时,k <n +1+9n恒成立.又∵n +1+9n≥7,当且仅当n =3时取等号,∴当n 为奇数时,n +1+9n的最小值为7,当n 为偶数时,n =4时,n +1+9n 的最小值为294,∴不等式对所有的正整数n 都成立时,实数k 的取值X 围是-7<k <294. 尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用15.(2019·某某某某检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2S n =a n +22.(1)求证:{a n }为等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n +a 1+1a n +a 2+…+1a n +a n +1a n +a n +1(n ∈N *),求证:b n ≤38.证明:(1)∵2S n =a n +22,∴当n =1时,a 1=2.当n ≥2时,8S n =(a n +2)2,① 8S n -1=(a n -1+2)2,②由①-②得(a n +a n -1)(a n -a n -1-4)=0(a n >0),则a n -a n -1=4,∴{a n }是以4为公差的等差数列,即a n =4n -2.(2)b n =1a n +a 1+1a n +a 2+…+1a n +a n +1a n +a n +1=14n +14n +4+14n +8+…+14n +4n -1+14n +4n =14×1n +[1n +1+…+1n +n -1+1n +n] <14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1n +1+1n +1+…+1n +1+1n +1=14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +n n +1. 设f (n )=1n +nn +1,则f (n +1)-f (n )<0,所以{f (n )}递减,14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +n n +1≤14f (1)=38,即b n ≤38.。

人教版2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业32 等比数列及其前n项和(含答案)

人教版2020届高考一轮数学(理)复习:课时作业32 等比数列及其前n项和(含答案)

课时作业32 等比数列及其前n 项和1.已知正项等比数列{a n }满足a 3=1,a 5与32a 4的等差中项为12,则a 1的值为( A )A .4B .2 C.12D.14解析:由题意知2×12=a 5+32a 4,即3a 4+2a 5=2. 设{a n }的公比为q (q >0),则由a 3=1, 得3q +2q 2=2,解得q =12或q =-2(舍去),所以a 1=a 3q 2=4.2.(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中,a 5=3,a 4a 7=45,则a 7-a 9a 5-a 7的值为( D )A .3B .5C .9D .25解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4a 7=a 5q ·a 5q 2=9q =45,所以q =5,a 7-a 9a 5-a 7=a 5q 2-a 7q 2a 5-a 7=q 2=25.故选D.3.(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若对任意的正整数n ,S n +2=4S n +3恒成立,则a 1的值为( C )A .-3B .1C .-3或1D .1或3解析:设等比数列{a n }的公比为q , 当q =1时,S n +2=(n +2)a 1,S n =na 1, 由S n +2=4S n +3得,(n +2)a 1=4na 1+3,即3a 1n =2a 1-3,若对任意的正整数n,3a 1n =2a 1-3恒成立, 则a 1=0且2a 1-3=0,矛盾,所以q ≠1, 所以S n =a 1(1-q n )1-q ,S n +2=a 1(1-q n +2)1-q,代入S n +2=4S n +3并化简得a 1(4-q 2)q n =3+3a 1-3q ,若对任意的正整数n 该等式恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4-q 2=0,3+3a 1-3q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-3,q =-2,故a 1=1或-3,故选C.4.(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列,数列{b n }是等差数列,若a 1·a 6·a 11=-33,b 1+b 6+b 11=7π,则tan b 3+b 91-a 4·a 8的值是( A )A .- 3B .-1C .-33D. 3解析:依题意得,a 36=(-3)3,a 6=-3,3b 6=7π,b 6=7π3,b 3+b 91-a 4·a 8=2b 61-a 26=-7π3,故tan b 3+b 91-a 4·a 8=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫-7π3=-tan π3=- 3. 5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为( D )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析:由题意知,十三个单音的频率构成首项为f ,公比为122的等比数列,设该等比数列为{a n },则a 8=a 1q 7,即a 8=1227f ,故选D.6.在正项数列{a n }中,a 1=2,点(a n ,a n -1)(n ≥2)在直线x -2y =0上,则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A )A .2n +1-2B .2n +1C .2n2- 2D .2n +22- 2解析:因为点(a n ,a n -1)(n ≥2)在直线x -2y =0上, 所以a n -2·a n -1=0.又因为a n >0,所以a na n -1=2(n ≥2).又a 1=2,所以数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 所以所求的S n =2(1-2n )1-2=2n +1-2.7.(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列,公比q =2,且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230,则a 3·a 6·a 9·…·a 30=( B )A .210B .220C .216D .215解析:因为a 1a 2a 3=a 32,a 4a 5a 6=a 35,a 7a 8a 9=a 38,…,a 28a 29a 30=a 329,所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30=(a 2a 5a 8…a 29)3=230.所以a 2a 5a 8…a 29=210.则a 3a 6a 9…a 30=(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )=(a 2a 5a 8…a 29)q 10=210×210=220,故选B.8.(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n ,S n+3)(n ∈N *)在函数y =3×2x 的图象上,等比数列{b n }满足b n +b n +1=a n (n ∈N *),其前n 项和为T n ,则下列结论正确的是( D )A .S n =2T nB .T n =2b n +1C .T n >a nD .T n <b n +1解析:由题意可得S n +3=3×2n ,S n =3×2n -3,由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3,公比为2的等比数列,数列的通项公式a n =3×2n -1,设b n =b 1q n -1,则b 1q n -1+b 1q n =3×2n -1, 当n =1时,b 1+b 1q =3, 当n =2时,b 1q +b 1q 2=6, 解得b 1=1,q =2,数列{b n }的通项公式b n =2n -1,由等比数列求和公式有:T n =2n -1,观察所给的选项: S n =3T n ,T n =2b n -1,T n <a n ,T n <b n +1.9.在各项都为正数的等比数列{a n }中,若a 2 018=22,则1a 2 017+2a2 019的最小值为 4 .解析:设公比为q (q >0),因为a 2 018=22, 所以a 2 017=a 2 018q =22q ,a 2 019=a 2 018q =22q , 则有1a 2 017+2a 2 019=2q +222q =2q +22q ≥2 2q ×2q =4,当且仅当q 2=2,即q =2时取等号,故所求最小值为4.10.(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为-1,设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,S 12=7S 4,则S 8S 4= 3 .解析:由题意可知S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列, 则(S 8-S 4)2=S 4·(S 12-S 8),又S 12=7S 4,∴(S 8-S 4)2=S 4·(7S 4-S 8),可得S 28-6S 24-S 8S 4=0,两边都除以S 24,得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42-S 8S 4-6=0,解得S 8S 4=3或-2, 又S 8S 4=1+q 4(q 为{a n }的公比),∴S 8S 4>1,∴S 8S 4=3.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1.(1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列.解:(1)当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+a 4+5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32=8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+1, 解得a 4=78.(2)证明:因为4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1(n ≥2), 所以4S n +2-4S n +1+S n -S n -1=4S n +1-4S n (n ≥2), 即4a n +2+a n =4a n +1(n ≥2). 又因为4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2, 所以4a n +2+a n =4a n +1, 所以a n +2-12a n +1a n +1-12a n=4a n +2-2a n +14a n +1-2a n =4a n +1-a n -2a n +14a n +1-2a n =2a n +1-a n 2(2a n +1-a n )=12,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,12为公比的等比数列.12.(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +1=qS n +1,其中q >0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (2)设双曲线x 2-y 2a 2n=1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.解:(1)由已知,S n +1=qS n +1,S n +2=qS n +1+1, 两式相减得到a n +2=qa n +1,n ≥1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1, 故a n +1=qa n 对所有n ≥1都成立.所以,数列{a n }是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n -1.由2a 2,a 3,a 2+2成等差数列, 可得2a 3=3a 2+2,即2q 2=3q +2,则(2q +1)(q -2)=0, 由已知,q >0,故q =2. 所以a n =2n -1(n ∈N *). (2)证明:由(1)可知,a n =q n -1.所以双曲线x 2-y 2a 2n=1的离心率e n =1+a 2n =1+q 2(n -1). 由e 2=1+q 2=53,解得q =43.因为1+q 2(k -1)>q 2(k -1), 所以1+q 2(k -1)>q k -1(k ∈N *). 于是e 1+e 2+…+e n >1+q +…+q n -1=q n -1q -1, 故e 1+e 2+…+e n >4n -3n3n -1.13.(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a 升,b 升,c 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( D )A .a ,b ,c 依次成公比为2的等比数列,且a =507 B .a ,b ,c 依次成公比为2的等比数列,且c =507 C .a ,b ,c 依次成公比为12的等比数列,且a =507 D .a ,b ,c 依次成公比为12的等比数列,且c =507 解析:由题意可知b =12a ,c =12b , ∴b a =12,c b =12.∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12.∵1斗=10升,∴5斗=50升,∴a +b +c =50, 又易知a =4c ,b =2c ,∴4c +2c +c =50, ∴7c =50,∴c =507,故选D.14.(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2n 2(n ∈N *),且对任意n ∈N *都有1a 1+1a 2+…+1a n<t ,则实数t 的取值范围为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫13,+∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13,+∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23,+∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ 解析:依题意得,当n ≥2时,a n =a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n -1=2n 22(n -1)2=2n 2-(n -1)2=22n -1,又a 1=21=22×1-1,因此a n =22n -1,1a n=122n -1,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=23⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n <23,因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞.15.(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n ,b n ,a n +1成等差数列,b n ,a n +1,b n +1成等比数列,且a 1=1,a 2=3,则数列{a n }的通项公式为 a n =n (n +1)2 .解析:由题意知2b n =a n +a n +1,a 2n +1=b n ·b n +1, ∴a n +1=b n b n +1,当n ≥2时,2b n =b n -1b n +b n b n +1, ∵b n >0,∴2b n =b n -1+b n +1, ∴{b n }成等差数列,由a 1=1,a 2=3,得b 1=2,b 2=92, ∴b 1=2,b 2=322, ∴公差d =22,∴b n =n +122,∴b n =(n +1)22, ∴a n =b n -1b n =n (n +1)2.16.已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *),且-2S 2,S 3,4S 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:S n +1S n≤136(n ∈N *).解:(1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为-2S 2,S 3,4S 4成等差数列, 所以S 3+2S 2=4S 4-S 3, 即S 4-S 3=S 2-S 4,可得2a 4=-a 3,于是q =a 4a 3=-12.又a 1=32,所以等比数列{a n }的通项公式为a n =32×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n -1=(-1)n -1·32n .(2)证明:由(1)知,S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n,S n +1S n=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-12n +11-⎝⎛⎭⎪⎫-12n=⎩⎨⎧2+12n (2n +1),n 为奇数,2+12n(2n-1),n 为偶数.当n 为奇数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 1+1S 1=136.当n 为偶数时,S n +1S n 随n 的增大而减小,所以S n +1S n ≤S 2+1S 2=2512.故对于n ∈N *,有S n +1S n≤136.。

2020高考数学(理)一轮复习课时作业32数列求和 含解析

2020高考数学(理)一轮复习课时作业32数列求和 含解析
解析:(1)设等差数列{an}的公差为d,易知d≠0,
由题意得,(a3-2d)(a3+2d)=(a3-d)2,
即d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),
所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-1.
(2)当n=2k,k∈N*时,
Sn=b1+b2+…+bn=b1+b3+…+b2k-1+b2+b4+…+b2k=a1+a2+…+ak+(20+21+…+2k-1)= + =k2+2k-1= +2 -1;
Tn= + + +…+ ②,
①-②得 Tn= + + +…+ - = - =2- ,
∴Tn=4- .
易知数列{2n}的前n项和为n(n+1),
∴Sn=n(n+1)-4+ .
4.[2019·广州市综合测试]已知数列{an}的前n项和为Sn,数列 是首项为1,公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
解析:(1)由an+1= an+ ,可得 = + ,
又bn= ,∴bn+1-bn= ,由a1=1,得b1=1,
累加可得(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)= + +…+ ,即bn-b1= =1- ,∴bn=2- .
(2)由(1)可知an=2n- ,设数列 的前n项和为Tn,
则Tn= + + +…+ ①,
(2)记Sn= + +…+ ,是否存在m∈N*,使得Sm≥3成立,若存在,求出m,若不存在,请说明理由.
解析:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),数列{bn}的公比为q,
则由题意知 ∴d=0或d=2,
∵d≠0,∴d=2,q=3,∴an=2n-1,bn=3n-1.
(2)由(1)可知,
Sn= + +…+ = + + +…+ + ,

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编:等差数列(含解析)

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编:等差数列(含解析)

2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编:等差数列(含解析)一、【知识精讲】 1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数).(2)若a ,A ,b 成等差数列,则A 叫做a ,b 的等差中项,且A =a +b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+n (n -1)d 2=n (a 1+a n )2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m )d (n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n .(3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列. (5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n =pn +q (其中p ,q 为常数),则数列{a n }一定是等差数列,且公差为p .2.在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A ,B 为常数).二、【典例精练】考点一 等差数列基本量的运算例1.(1)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A .-12 B .-10 C .10D .12(2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=4,S 4=22,a n =28,则n =( ) A .3 B .7 C .9D .10【答案】(1)B (2)D【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,由3S 3=S 2+S 4,得3(3a 1+3d )=2a 1+d +4a 1+6d ,即3a 1+2d =0.将a 1=2代入上式,解得d =-3,故a 5=a 1+(5-1)d =2+4×(-3)= -10.(2)因为S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=4a 2+2d =22,d =22-4a 22=3,a 1=a 2-d =4-3=1,a n =a 1+(n -1)d =1+3(n -1)=3n -2,由3n -2=28,解得n =10.【解法小结】 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,d ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而a 1和d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 考点二 等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n -1=0(n ≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 成等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)证明 当n ≥2时,由a n +2S n S n -1=0, 得S n -S n -1=-2S n S n -1,所以1S n -1S n -1=2,又1S 1=1a 1=2,。

人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第5章第2节等差数列及其前n项和含答案

人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案:第5章第2节等差数列及其前n项和含答案

第二节等差数列及其前n项和[考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为a n+1-a n=d(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=a+b2,其中A叫做a,b的等差中项.(3)等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d,可推广为a n=a m+(n-m)d.(4)等差数列的前n项和公式:S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d.2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)a n=a1+(n-1)d可化为a n=dn+a1-d的形式.当d≠0时,a n是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.(2)数列{a n}是等差数列,且公差不为0⇔S n=An2+Bn(A,B为常数).[常用结论]1.已知数列{a n}的通项公式是a n=pn+q(其中p,q为常数),则数列{a n}一定是等差数列,且公差为p.2.若数列{a n}与{b n}均为等差数列,且前n项和分别是S n和T n,则S2m-1T2m-1=a mb m.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2a n+1=a n+a n+2.()(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2.等差数列{a n }中,a 4+a 8=10,a 10=6,则公差d 等于( ) A .14 B .12 C .2 D .-12A [∵a 4+a 8=2a 6=10,∴a 6=5, 又a 10=6,∴公差d =a 10-a 610-6=6-54=14.故选A .]3.(教材改编)设数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,若a 6=2且S 5=30,则S 8等于( ) A .31B .32C .33D .34B [设数列{a n }的公差为d , 法一:由S 5=5a 3=30得a 3=6,又a 6=2,∴S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 3+a 6)2=8(6+2)2=32.法二:由⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d =2,5a 1+5×42d =30,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=263,d =-43.∴S 8=8a 1+8×72d =8×263-28×43=32.]4.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-78 [由题意可知⎩⎨⎧ a 8>0,a 9<0.即⎩⎨⎧7+7d >0,7+8d <0解得-1<d <-78.] 5.(教材改编)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450,则a 2+a 8=________. 180 [∵{a n }为等差数列,∴a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=5a 5=450,∴a 5=90, ∴a 2+a 8=2a 5=180.]等差数列基本量的运算1.若等差数列{a n }的前5项和S 5=25,且a 2=3,则a 7=( ) A .12 B .13 C .14 D .15B [由题意得S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=25,a 3=5,公差d =a 3-a 2=2,a 7=a 2+5d =3+5×2=13.故选B .]2.已知在等差数列{a }中,a =20,a =54,S =3 700,则数列的公差d ,项数n 分别为( )A .d =0.34,n =100B .d =0.34,n =99C .d =3499,n =100D .d =3499,n =99C [由⎩⎪⎨⎪⎧a n =a 1+(n -1)d ,S n =na 1+n (n -1)d2,得⎩⎪⎨⎪⎧54=20+(n -1)d ,3 700=20n +n (n -1)d 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =3499,n =100.故选C .]3.(2018·宁德二模)已知等差数列{a n }满足a 3+a 5=14,a 2a 6=33,则a 1a 7=( ) A .33B .16C .13D .12C [由⎩⎨⎧ a 3+a 5=14,a 2·a 6=33,得⎩⎨⎧a 1+3d =7,(a 1+d )(a 1+5d )=33,解得⎩⎨⎧ a 1=1,d =2,或⎩⎨⎧a 1=13,d =-2.当a 1=1,d =2时,a 7=1+6×2=13,∴a 1a 7=13; 当a 1=13,d =-2时,a 7=13+6×(-2)=1,∴a 1a 7=13. 综上可知a 1a 7=13.故选C .]4.(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中,等差数列的通项公式为( ) A .-16n +76(n ∈N *,n ≤5)B .16n +32(n ∈N *,n ≤5) C .16n +76(n ∈N *,n ≤5) D .-16n +32(n ∈N *,n ≤5)D [由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,公差为d ,则⎩⎨⎧S 5=5,a 1+a 2=a 3+a 4+a 5,∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1+5×42d =5,2a 1+d =3a 1+9d ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=43,d =-16,∴通项公式为a n =43+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-16=32-16n (n ∈N *,n ≤5),故选D .]等差数列的判定与证明【例1】 数列{a n }满足a n +1=a n2a n +1,a 1=1.(1)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ,并证明1S 1+1S 2+…+1S n >nn +1.[解] (1)证明:∵a n +1=a n2a n +1, ∴1a n +1=2a n +1a n ,化简得1a n +1=2+1a n ,即1a n +1-1a n=2, 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1a n=2n -1,所以S n =n (1+2n -1)2=n 2. 证明:1S 1+1S 2+…+1S n =112+122+…+1n 2>11×2+12×3+…+1n (n +1)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1=1-1n +1=n n +1.n 1n +1n (1)求a 2,a 3;(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列,并求{a n }的通项公式.[解] (1)由已知,得a 2-2a 1=4, 则a 2=2a 1+4,又a 1=1,所以a 2=6. 由2a 3-3a 2=12,得2a 3=12+3a 2,所以a 3=15. (2)由已知na n +1-(n +1)a n =2n (n +1), 得na n +1-(n +1)a n n (n +1)=2,即a n +1n +1-a n n=2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11=1,公差d =2的等差数列.则a nn =1+2(n -1)=2n -1,所以a n =2n 2-n . 等差数列的性质及应用【例2】 (1)设数列{a n },{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( )A .0B .37C .100D .-37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{a n }中,a 1+3a 8+a 15=120,则2a 9-a 10的值是( ) A .20 B .22 C .24 D .8 (3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( ) A .63B .45C .36D .27(1)C (2)C (3)B [(1)设{a n },{b n }的公差分别为d 1,d 2,则(a n +1+b n +1)-(a n +b n )=(a n+1-a n )+(b n +1-b n )=d 1+d 2,所以{a n +b n }为等差数列.又a 1+b 1=a 2+b 2=100,所以{a n +b n }为常数列,所以a 37+b 37=100. (2)因为a 1+3a 8+a 15=5a 8=120,所以a 8=24,所以2a 9-a 10=a 10+a 8-a 10=a 8=24.(3)由{a n }是等差数列,得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列. 即2(S 6-S 3)=S 3+(S 9-S 6), 得到S 9-S 6=2S 6-3S 3=45.]n n m -1m +1m S 2m -1=39,则m 等于( ) A .39B .20C .19D .10(2)设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意的n ∈N *,都有S n T n =2n -34n -3,则a 2b 3+b 13+a 14b 5+b 11的值为( ) A .2945 B .1329 C .919 D .1930(1)B (2)C [(1)数列{a n }为等差数列,则a m -1+a m +1=2a m ,则a m -1+a m +1-a 2m -1=0可化为2a m -a 2m -1=0,解得a m =1.又S 2m -1=(2m -1)a m =39,则m =20.故选B . (2)由题意可知b 3+b 13=b 5+b 11=b 1+b 15=2b 8,∴a 2b 3+b 13+a 14b 5+b 11=a 2+a 142b 8=a 8b 8=S 15T 15=2×15-34×15-3=2757=919.故选C .]等差数列前n 项和的最值问题【例3】 在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值. [解] ∵a 1=20,S 10=S 15,∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53.法一:由a n =20+(n -1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-53n +653, 得a 13=0.即当n ≤12时,a n >0, 当n ≥14时,a n <0.∴当n =12或n =13时,S n 取得最大值,且最大值为S 12=S 13=12×20+12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=130.法二:S n =20n +n (n -1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-56n 2+1256n =-56⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2522+3 12524. ∵n ∈N *,∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. 法三:由S 10=S 15,得a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=0. ∴5a 13=0,即a 13=0.∴当n =12或n =13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130.n n 61则S n 取最大值时,n 的值为( ) A .5 B .6 C .5或6 D .11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2,则前n 项和S n 的最大值为________. (1)C (2)110 [(1)由题意得S 6=6a 1+15d =5a 1+10d ,化简得a 1=-5d ,所以a 6=0,故当n =5或6时,S n 最大.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1=20,公差d =-2, S n =na 1+n (n -1)2d =20n -n (n -1)2×2=-n 2+21n =-⎝ ⎛⎭⎪⎫n -2122+⎝ ⎛⎭⎪⎫2122, 又因为n ∈N *,所以n =10或n =11时,S n 取得最大值,最大值为110.]1.(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A .-12B .-10C .10D .12B [设等差数列{a n }的公差为d ,∵3S 3=S 2+S 4,∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1+3×22d =2a 1+d +4a 1+4×32d ,解得d =-32a 1,∵a 1=2,∴d =-3,∴a 5=a 1+4d =2+4×(-3)=-10.故选B .]2.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A .-24 B .-3 C .3D .8A [由已知条件可得a 1=1,d ≠0,由a 23=a 2a 6可得(1+2d )2=(1+d )(1+5d ),解得d =-2.所以S 6=6×1+6×5×(-2)2=-24. 故选A .]3.(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A .100 B .99 C .98 D .97C [∵{a n }是等差数列,设其公差为d ,∴S 9=9a 5=27,∴a 5=3.又∵a 10=8,∴⎩⎨⎧ a 1+4d =3,a 1+9d =8,∴⎩⎨⎧a 1=-1,d =1.∴a 100=a 1+99d =-1+99×1=98.故选C .]4.(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式; (2)求S n ,并求S n 的最小值.[解] (1)设{a n }的公差为d ,由题意得3a 1+3d =-15. 由a 1=-7得d =2.所以{a n }的通项公式为a n =2n -9. (2)由(1)得S n =n 2-8n =(n -4)2-16.所以当n =4时,S n 取得最小值,最小值为-16.。

2020年高考理科数学一轮复习精品练习 第五篇 数列 必修5 第2节 等差数列 Word版含解析

2020年高考理科数学一轮复习精品练习 第五篇 数列 必修5 第2节 等差数列 Word版含解析

2020年高考理科数学一轮复习精品练习第2节等差数列【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·广西三校联考)已知等差数列{a n}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( C )(A)19 (B)20 (C)21 (D)22解析:设等差数列{a n}的公差为d,d==2,则a7=a3+4d=13+8=21,故选C.2.已知数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d 等于( C )(A)1 (B)(C)2 (D)3解析:由等差数列的性质知得S3=3a2=12,即a2=4,所以d=a3-a2=6-4=2.3.(2018·洛阳模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a7+a12=24,则S13等于( C )(A)52 (B)78 (C)104 (D)208解析:依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C.4.(2018·合肥市第二次教学质量检测)中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( B )(A)174斤(B)184斤(C)191斤(D)201斤解析:用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小所得的绵数.由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项和为996. 所以8a1+×17=996,得a1=65.所以a8=65+7×17=184.故选B.5.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-11,a5+a9=-2,则当S n取最小值时,n等于( C )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由得解得所以a n=-15+2n.由a n=-15+2n≤0,解得n≤.又n为正整数,所以当S n取最小值时,n=7.故选C.6.已知在等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差d<0,S n是数列{a n}的前n项和,则( D )(A)S5>S6(B)S5<S6(C)S6=0 (D)S5=S6解析:因为d<0,|a3|=|a9|,所以a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0.所以a6=0,a5>0,a7<0.所以S5=S6.故选D.7.(2017·江西南昌市二模)《九章算术》卷第六《均输》中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问题中的中间两节容量和是( C )(A)1升(B)2升(C)2升(D)3升解析:由题设可知容量成等差数列,设其公差为d,且即解之得所以a5+a6=2a1+9d==2.故选C.8.正项数列{a n}满足a1=1,a2=2,2=+(n∈N*,n≥2),则a7=.解析:由2=+(n∈N*,n≥2),可得数列{}是等差数列,公差d=-=3,首项=1,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以a n=,所以a7=.答案:9.已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=,S n= .解析:设公差为d,则由S2=a3,得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=,故a2=a1+d=1,S n=na1+d=.答案:1能力提升(时间:15分钟)10.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使S n>0成立的最小正整数n为( C )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析:在等差数列{a n}中,因为a4<0,a5>|a4|,所以a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5) >0.所以使S n>0成立的最小正整数n为8,故选C.11.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,其中m∈N*且m≥2.则数列{}的前n项和的最大值为( D )(A)(B)(C) (D)解析:因为S m-1=13,S m=0,S m+1=-15,所以a m=S m-S m-1=0-13=-13,a m+1=S m+1-S m=-15-0=-15,因为数列{a n}为等差数列,设其公差为d,所以d=a m+1-a m=-15-(-13)=-2,所以解得a1=13.所以a n=a1+(n-1)d=13-2(n-1)=15-2n,当a n≥0时,n≤7.5,当a n+1≤0时,n≥6.5,所以数列{}的前6项为正数,因为==(-),所以数列{}的前n项和的最大值为×(-+-+-+…+1-)=×(1-)=.故选D.12.已知在等差数列{a n}中,S n=33,S2n=44,则这个数列的前3n项和S3n 为.解析:由等差数列前n项和的性质可知S n,S2n-S n,S3n-S2n也成等差数列. 所以2(S2n-S n)=S n+(S3n-S2n)即S3n=3S2n-3S n=33.答案:3313.已知数列{a n}满足a1=1,a n=(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n=(n∈N*).(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为b n=,且a n=,所以b n+1===,所以b n+1-b n=-=2.又因为b1==1,所以数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)解:由(1)知数列{b n}的通项公式为b n=1+(n-1)×2=2n-1,又b n=,所以a n==.所以数列{a n}的通项公式为a n=.14.已知数列{a n}满足,a n+1+a n=4n-3(n∈N*).(1)若数列{a n}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{a n}的前2n项和S2n.解:(1)因为数列{a n}是等差数列,所以a n=a1+(n-1)d,a n+1=a1+nd.由a n+1+a n=4n-3,得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,所以2dn+(2a1-d)=4n-3,即2d=4,2a1-d=-3,解得d=2,a1=-.(2)由题意知,S2n=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=1+9+…+(8n-7)=4n2-3n.。

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课时作业32 等差数列一、选择题1.(2019·湖北荆州一模)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5=3,a 8=8,则a 12的值是( A )A.15B.30C.31D.64解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 3+a 4+a 5=3,∴3a 4=3,即a 1+3d =1,又由a 8=8得a 1+7d =8,联立解得a 1=-174,d =74,则a 12=-174+74×11=15.故选A.2.已知数列{a n }中,a 2=32,a 5=98,且{1a n -1}是等差数列,则a 7=( D )A.109B.1110C.1211D.1312解析:设等差数列{1a n -1}的公差为d ,则1a 5-1=1a 2-1+3d ,即198-1=132-1+3d ,解得d =2,所以1a 7-1=1a 2-1+5d =12,解得a 7=1312.故选D.3.(2019·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=3a 4,且S 9=λa 4,则λ的值为( A )A.18B.20C.21D.25解析:设公差为d ,由a 6=3a 4,且S 9=λa 4,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+5d =3a 1+9d ,9a 1+9×8d 2=λa 1+3λd ,解得λ=18,故选A.4.(2019·贵阳市摸底考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 6=2a 3,则S 11S 5=( D )A.115B.522 C.1110D.225解析:S 11S 5=112(a 1+a 11)52(a 1+a 5)=11a 65a 3=225.故选D.5.(2019·河南郑州一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 11=22,a 4=-12,如果当n =m 时,S n 最小,那么m 的值为( C )A.10B.9C.5D.4解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则 ⎩⎪⎨⎪⎧11a 1+11×102d =22,a 1+3d =-12,解得⎩⎨⎧a 1=-33,d =7,所以S n =-33n +n (n -1)2×7=72n 2-732n =72(n -7314)2-72×(7314)2.因为n ∈N *,所以当n =5时,S n 取得最小值.故选C.6.(2019·安徽淮北一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2 018<S 2 016,S 2 017<S 2 018,则S n <0时n 的最大值是( D )A.2 017B.2 018C.4 033D.4 034解析:∵S 2 018<S 2 016,S 2 017<S 2 018,∴a 2 018+a 2 017<0,a 2 018>0.∴S 4 034=4 034(a 1+a 4 034)2=2 017(a 2 018+a 2 017)<0,S 4 035 =4 035(a 1+a 4 035)2=4 035a 2 018>0, 可知S n <0时n 的最大值是4 034.故选D. 二、填空题7.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=3,且a 1,a 4,a 13成等比数列,则数列{a n }的通项公式为a n =2n +1.解析:设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1,a 4,a 13成等比数列,a 1=3,∴a 24=a 1a 13,即(3+3d )2=3(3+12d ),解得d =2或d =0(舍去),故{a n }的通项公式为a n =3+2(n -1),即a n =2n +1.8.在等差数列{a n }中,a 9=12a 12+6,则数列{a n }的前11项和S 11等于132.解析:S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6, 设公差为d ,由a 9=12a 12+6 得a 6+3d =12(a 6+6d )+6,解得a 6=12,所以S 11=11×12=132.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是2.解析:∵S 33-S 22=1,∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1+3×22d -3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1+2×12d =6, ∴6a 1+6d -6a 1-3d =6,∴d =2.10.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-78. 解析:由题意,当且仅当n =8时S n有最大值,可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.三、解答题11.(2019·郑州质量预测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2+a 5=25,S 5=55.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设a n b n =13n -1,求数列{b n }的前n 项和T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2+a 5=2a 1+5d =25,S 5=5a 3=5a 1+5×42d =55,解得⎩⎨⎧a 1=5,d =3,∴数列{a n }的通项公式为a n =3n +2.(2)由a n b n =13n -1,得b n =1a n (3n -1)=1(3n -1)(3n +2)=13(13n -1-13n +2), T n =b 1+b 2+…+b n =13(12-15+15-18+…+13n -1-13n +2)=13(12-13n +2) =16-19n +6=n 2(3n +2).12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 3=-21,a 5与a 7的等差中项为1.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |,求T 10的值和T n 的表达式. 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 1+3×22d =-21,(a 1+4d )+(a 1+6d )=2,解得⎩⎨⎧a 1=-9,d =2,则a n =-9+(n -1)×2=2n -11,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n -11.(2)令a n =2n -11<0,得n <112,即n ≤5,所以当n ≤5时,a n =2n -11<0,当n ≥6时,a n =2n -11>0.又S n =n 2-10n ,S 5=-25,S 10=0,所以T 10=-(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=-S 5+(S 10-S 5)=S 10-2S 5=50.当n ≤5时,T n =-S n =10n -n 2;当n ≥6时,T n =-S 5+(S n -S 5)=S n -2S 5=n 2-10n +50.综上,T n =⎩⎨⎧10n -n 2,n ≤5,n 2-10n +50,n ≥6.13.(2019·武汉市调研测试)设等差数列{a n }满足a 3+a 7=36,a 4a 6=275,且a n a n +1有最小值,则这个最小值为-12.解析:设等差数列{a n }的公差为d , ∵a 3+a 7=36,∴a 4+a 6=36, 又a 4a 6=275,联立,解得⎩⎨⎧a 4=11,a 6=25或⎩⎨⎧a 4=25,a 6=11,当⎩⎨⎧a 4=11,a 6=25时,可得⎩⎨⎧a 1=-10,d =7,此时a n =7n -17,a 2=-3,a 3=4,易知当n ≤2时,a n <0,当n ≥3时,a n >0,∴a 2a 3=-12为a n a n +1的最小值;当⎩⎨⎧a 4=25,a 6=11时,可得⎩⎨⎧a 1=46,d =-7,此时a n =-7n +53,a 7=4,a 8=-3,易知当n ≤7时,a n >0,当n ≥8时,a n <0,∴a 7a 8=-12为a n a n +1的最小值.综上,a n a n +1的最小值为-12.14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 5=a 5+a 6=25.(1)求{a n }的通项公式;(2)若不等式2S n +8n +27>(-1)n k (a n +4)对所有的正整数n 都成立,求实数k 的取值范围.解:(1)设公差为d ,则5a 1+5×42d =a 1+4d +a 1+5d =25,∴a 1=-1,d =3.∴{a n }的通项公式为a n =3n -4.(2)S n =-n +3n (n -1)2,2S n +8n +27=3n 2+3n +27,a n +4=3n ,则原不等式等价于(-1)nk <n +1+9n 对所有的正整数n 都成立.∴当n 为奇数时,k >-⎝⎛⎭⎪⎫n +1+9n ;当n 为偶数时,k <n +1+9n 恒成立.又∵n +1+9n ≥7,当且仅当n =3时取等号, ∴当n 为奇数时,n +1+9n 的最小值为7,当n 为偶数时,n =4时,n +1+9n 的最小值为294,∴不等式对所有的正整数n 都成立时,实数k 的取值范围是-7<k <294.尖子生小题库——供重点班学生使用,普通班学生慎用 15.(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2S n =a n +22.(1)求证:{a n }为等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n +a 1+1a n +a 2+…+1a n +a n +1a n +a n +1(n ∈N *),求证:b n ≤38.证明:(1)∵2S n =a n +22, ∴当n =1时,a 1=2.当n ≥2时,8S n =(a n +2)2,① 8S n -1=(a n -1+2)2,②由①-②得(a n +a n -1)(a n -a n -1-4)=0(a n >0),则a n -a n -1=4,∴{a n }是以4为公差的等差数列,即a n =4n -2.(2)b n =1a n +a 1+1a n +a 2+…+1a n +a n +1a n +a n +1=14n +14n +4+14n +8+…+14n +4(n -1)+14n +4n=14×1n +[1n +1+…+1n +(n -1)+1n +n]<14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n +1n +1+1n +1+…+1n +1+1n +1=14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n +n n +1. 设f (n )=1n +nn +1,则f (n +1)-f (n )<0,所以{f (n )}递减,14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n +n n +1≤14f (1)=38,即b n ≤38.。

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