2020版高考数学一轮复习课时作业32《 等差数列》(含解析)

课时作业32 等差数列一、选择题1.(2019·湖北荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( A )A.15B.30C.31D.64解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A.2.已知数列{a n }中，a 2＝32，a 5＝98，且{1a n －1}是等差数列，则a 7＝( D )A.109B.1110C.1211D.1312解析：设等差数列{1a n －1}的公差为d ，则1a 5－1＝1a 2－1＋3d ，即198－1＝132－1＋3d ，解得d ＝2，所以1a 7－1＝1a 2－1＋5d ＝12，解得a 7＝1312.故选D.3.(2019·山东青岛模拟)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，则λ的值为( A )A.18B.20C.21D.25解析：设公差为d ，由a 6＝3a 4，且S 9＝λa 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝3a 1＋9d ，9a 1＋9×8d 2＝λa 1＋3λd ，解得λ＝18，故选A.4.(2019·贵阳市摸底考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝( D )A.115B.522 C.1110D.225解析：S 11S 5＝112(a 1＋a 11)52(a 1＋a 5)＝11a 65a 3＝225.故选D.5.(2019·河南郑州一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( C )A.10B.9C.5D.4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧11a 1＋11×102d ＝22，a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎨⎧a 1＝－33，d ＝7，所以S n ＝－33n ＋n (n －1)2×7＝72n 2－732n ＝72(n －7314)2－72×(7314)2.因为n ∈N *，所以当n ＝5时，S n 取得最小值.故选C.6.(2019·安徽淮北一模)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 018<S 2 016，S 2 017<S 2 018，则S n <0时n 的最大值是( D )A.2 017B.2 018C.4 033D.4 034解析：∵S 2 018<S 2 016，S 2 017<S 2 018，∴a 2 018＋a 2 017<0，a 2 018>0.∴S 4 034＝4 034(a 1＋a 4 034)2＝2 017(a 2 018＋a 2 017)<0，S 4 035 ＝4 035(a 1＋a 4 035)2＝4 035a 2 018>0， 可知S n <0时n 的最大值是4 034.故选D. 二、填空题7.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝3，且a 1，a 4，a 13成等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1，a 4，a 13成等比数列，a 1＝3，∴a 24＝a 1a 13，即(3＋3d )2＝3(3＋12d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，故{a n }的通项公式为a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.8.在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于132.解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6， 设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6 得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是2.解析：∵S 33－S 22＝1，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2×12d ＝6， ∴6a 1＋6d －6a 1－3d ＝6，∴d ＝2.10.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78. 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.三、解答题11.(2019·郑州质量预测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 5＝25，S 5＝55.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n b n ＝13n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝25，S 5＝5a 3＝5a 1＋5×42d ＝55，解得⎩⎨⎧a 1＝5，d ＝3，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋2.(2)由a n b n ＝13n －1，得b n ＝1a n (3n －1)＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13(13n －1－13n ＋2)， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13(12－15＋15－18＋…＋13n －1－13n ＋2)＝13(12－13n ＋2) ＝16－19n ＋6＝n 2(3n ＋2).12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－21，a 5与a 7的等差中项为1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 10的值和T n 的表达式. 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝－21，(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝2，则a n ＝－9＋(n －1)×2＝2n －11，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11.(2)令a n ＝2n －11<0，得n <112，即n ≤5，所以当n ≤5时，a n ＝2n －11<0，当n ≥6时，a n ＝2n －11>0.又S n ＝n 2－10n ，S 5＝－25，S 10＝0，所以T 10＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－S 5＋(S 10－S 5)＝S 10－2S 5＝50.当n ≤5时，T n ＝－S n ＝10n －n 2；当n ≥6时，T n ＝－S 5＋(S n －S 5)＝S n －2S 5＝n 2－10n ＋50.综上，T n ＝⎩⎨⎧10n －n 2，n ≤5，n 2－10n ＋50，n ≥6.13.(2019·武汉市调研测试)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为－12.解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36， 又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎨⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎨⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎨⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎨⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎨⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎨⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12.14.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25.(1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围.解：(1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4.(2)S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)nk <n ＋1＋9n 对所有的正整数n 都成立.∴当n 为奇数时，k >－⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n 恒成立.又∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号， ∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n 的最小值为7，当n 为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是－7<k <294.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.(2019·河南郑州检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a n ＋22.(1)求证：{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋a 1＋1a n ＋a 2＋…＋1a n ＋a n ＋1a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，求证：b n ≤38.证明：(1)∵2S n ＝a n ＋22， ∴当n ＝1时，a 1＝2.当n ≥2时，8S n ＝(a n ＋2)2，① 8S n －1＝(a n －1＋2)2，②由①－②得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0(a n >0)，则a n －a n －1＝4，∴{a n }是以4为公差的等差数列，即a n ＝4n －2.(2)b n ＝1a n ＋a 1＋1a n ＋a 2＋…＋1a n ＋a n ＋1a n ＋a n ＋1＝14n ＋14n ＋4＋14n ＋8＋…＋14n ＋4(n －1)＋14n ＋4n＝14×1n ＋［1n ＋1＋…＋1n ＋(n －1)＋1n ＋n］<14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＋1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋n n ＋1. 设f (n )＝1n ＋nn ＋1，则f (n ＋1)－f (n )<0，所以{f (n )}递减，14×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋n n ＋1≤14f (1)＝38，即b n ≤38.。