线性代数练习册附答案

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最全线性代数习题及参考答案

最全线性代数习题及参考答案

第一章:一、填空题:1、若a a D ij n ==||,则=-=||ij a D ;解:a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根,则行列式132213321x x x x x x x x x = ; 解:方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为:a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为:q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ;解:原式按第1999行展开:原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ; 解:原式按第一行展开:原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4,则44342414A A A A +++= ;解:44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式,44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ;解:n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(,其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号,为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ; 解:根据行列式结构,可知3x 须由a 11=2x ,a 33=x 和第二行的一个元素构成,但此时第三个元素只能取a 22(行、列数均不可重复),所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-,系数为-2。

线代参考答案(完整版)

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线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A D ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

大学数学线性代数题库及答案解析

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大学数学线性代数题库及答案解析1. 求解方程组a) 3x + 2y - z = 7-x + 3y + 2z = -112x - y + 4z = 5解析:首先,我们可以使用增广矩阵表示方程组:[ 3, 2, -1, 7;-1, 3, 2, -11;2, -1, 4, 5 ]接下来,通过行初等变换将矩阵化为阶梯形:[ 3, 2, -1, 7;0, 7/4, 3/4, -21/4;0, 0, 9/7, 4/7 ]从第三行可以得到 z = 4/7,代入第二行可得 y = -21/7,再代入第一行可以得到 x = 3。

因此,方程组的解为 x = 3, y = -3, z = 4/7。

b) 2x + 3y + 2z = 10x - y + z = 44x + 2y + z = 12解析:同样,我们使用增广矩阵表示方程组:[ 2, 3, 2, 10;1, -1, 1, 4;4, 2, 1, 12 ]通过行初等变换将矩阵化为阶梯形:[ 2, 3, 2, 10;0, -5, -1, -6;0, 0, 0, 0 ]从第二行可以得到 -5y - z = -6,即 z = -6 + 5y。

我们可以令 y = t,其中 t 为任意常数。

则得到 z = -6 + 5t。

将 z 的值代入第一行可以得到x = 4 - 3t。

因此,方程组的解可以表示为 x = 4 - 3t, y = t, z = -6 + 5t。

2. 求解线性方程组的向量空间a) 给定矩阵 A = [1, 2, -1; 2, 4, -2; 3, 6, -3],求解 A 的列空间。

解析:列空间由矩阵 A 的列向量张成。

我们可以计算矩阵 A 的列向量组的极简形式:[ 1, 2, -1;2, 4, -2;3, 6, -3 ]通过初等行变换得到:[ 1, 2, -1;0, 0, 0;0, 0, 0 ]可以看出,第一列是主列,而第二列和第三列都是自由列。

因此,矩阵 A 的列空间可以表示为 Span{[1, 2, -1]}。

线性代数试题及答案解析

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线性代数试题及答案解析一、选择题(每题4分,共40分)1. 矩阵A和矩阵B相乘,得到的结果矩阵的行列数为()。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案:D解析:矩阵乘法中,结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数,列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关,则下列说法正确的是()。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案:D解析:线性相关意味着存在不全为零的系数,使得这些系数乘以对应的向量和为零向量,因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A,下列说法不正确的是()。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案:D解析:方阵的行列式可以是正数、负数或0,因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等,当且仅当()。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案:A解析:两个矩阵相等,必须满足它们具有相同的行数和列数,并且对应元素相等。

5. 向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是()。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案:C解析:向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解,即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是()。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案:A解析:矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是()。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案:D解析:矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

(完整版)线性代数试题及答案

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线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

C. 3D. 46.设两个向量组 α1,α2,⋯, αs 和β 1,β2,⋯, βs 均线性相关,则()A. 有不全为 0 的数λ 1,λ2,⋯,λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ 1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+⋯+λs ( α s + β s )=0C. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ1(α 1- β1)+λ2(α2- β2)+⋯+λs (αs - βs )=0D.有不全为 0的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 和不全为 0的数μ 1,μ 2,⋯,μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ,则 A 中( )A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组, η1,η2是其任意 2 个解,则下列结论错误的是( )A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ,a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于(2.设矩阵 A=0 ,则 A - 1 等于( 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ,A *是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于 41,2)的元素是(A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有( A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩( A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ,则行列式10.设 A 是一个 n (≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα,则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α,使(λE- A )α=0,则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1,λ 2,λ 3是A 的 3个互不相同的特征值, α1,α2,α3依次是 A 的属于λ 1,λ2, λ3的特征向量,则 α 1,α 2, α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根, A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ,则必有( )222(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23) +(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23) +(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23) =.18. 设向量( 2, -3, 5)与向量( -4, 6, a )线性相关,则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵,其秩为 3,若η1,η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解,则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵, A 的秩为 r (<n ) ,则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有(A. 秩 (A )<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是(A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵, C 是实可逆矩阵,A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为()23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 )B.|A|必为 1D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则( ) 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题(共 72 分)2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 , |A|=2 , A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α- β)=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8,已知 A 有 2个特征值 -1和 4,则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ,已知 α = 1 是它的一个特征向量,则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6分,共 42分)26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110, 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1,3 α2=, α=, α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1, α2,α3 的线性组合;若是, 则求出组合系数。

线性代数习题集及其答案

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第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“-”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n -1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n -1)=n(n -1)/2次对换后变成排列i n i n -1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“-”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=-2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二.计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i -j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起,)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=-n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=-n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111-nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A -3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=-3-12+8+8+6-6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A -B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)-E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT -2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(-A )*等于(A)-A *(B)A *(C)(-1)n A *(D)(-1)n -1A *解.(-A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB -BA ii.A 2-B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A -E 可逆,且(A -E )-1=(B -E )T ,求证A 可逆.解.因为(A -E )-1=(B -E )T ,所以(A -E )(B -E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ,存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )-1=A-1+B -1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )-1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )-1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221)(所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A -B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A -B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =-8.当k =-8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1-α2,α2-α3,α3-α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A -B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A -B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A -B ≠0,则r (A -B )≠0.排除(A);(B)取A =-B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A -B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m -1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i -1αi -1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m -1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i -1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k -1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A -E 的秩为n -r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A -E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3-2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(-2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。

线性代数课后练习参考答案(初稿)

线性代数课后练习参考答案(初稿)

线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题(1)4245322635-=-⨯-⨯=-(2)12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=(3)1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- (4)11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题(1)214121413121506201232123250625062-== (2)28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------(3)111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== (4)3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- (5)x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --(6)22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++(7)12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题(1)111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = (2)00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-(证明略)(3)11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭(4)设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-, 则按最后一行展开,可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时,必须满足什么条件? 解:齐次线性方程组有非零解,当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得,0,λ=或2λ=,或3λ=.所以,当0,λ=或2λ=,或3λ=,齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解:由A X B +=, 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解:213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解:(1)()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (3)12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4) 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解: (1) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠;(2)错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误, 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =,但0.A ≠(5)错误, 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =,但.A I ≠6. 解:2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7. 证明: 因为A 为对称矩阵,所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此,T B AB 是对称矩阵.8. 证明: 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解: 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此,由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. (1)解: 由初等行变换可得,11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解: 由初等行变换可得,111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解:22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭, 当2λ=-时, 方程组无解, 当1λ=时,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数, 当1λ≠, 且2λ≠-时,方程组有唯一解,221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++(2)解:322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时,方程组无解,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数,当3λ=时,方程组无解,当3λ≠且1λ≠时,方程组有唯一解,123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解: 通过初等变换,可得A 的标准型矩阵为,17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析:通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →,则1A B -= 例如(1)通过初等行变换,121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵,答案见教材第177页. 16. 解: 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此,11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.(1) 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (2) 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明: 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=, 所以12()()k I A I A A A --=++++19. 解: 由220A A I --=, 得()2A I AI -=,3(2)4A IA I I -+=-, 因此,1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明: 由220A AB B ++=, 且B 可逆得,22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=,因此,,A A B +可逆,且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明: 若,B C 可逆,则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以A 可逆,且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之,若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭, 则, 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因此,,BZ I CY I ==, 因此,B C 可逆.23. 证明:用反证法. 假设A 是奇异矩阵,则由2A A =, 得211A A AA --=, 即A E =, 这与已知条件矛盾,所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法,可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 上面方程组只有零解,所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关, 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解, 因此,123,,ααα线性无关. 证明: 9.(⇒)设1mi i i k αα==∑, 和10.mi i i l α==∑ 则,111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑,又α的表达式唯一,因此,i i i k l k += 即0,i l = 故,12,,,m ααα 线性无关.(⇐)设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑, 则1()0mi i i i k l α=-=∑,因为12,,,m ααα 线性无关,所以,,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明:因为12,,,m ααα 线性相关, 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得,10.mi i i k α==∑若有某个0i k =, 不妨设10k =,则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关,因此230m k k k ====, 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾,因此12,,,m k k k 全不为零, 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以, 当50,c -+≠ 即5c ≠时,123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时,123,,ααα线性相关, 且312111.77ααα=+ 13. 解: (1)因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此,向量组1234,,,αααα的秩为2, 12,αα是一个极大线性无关组, 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求(2), (3), 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 有一个二阶子式01331=--,所以秩(12,αα)=2, 即12,αα线性无关.(2) 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=,120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈,12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈,因此,1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=,因此, ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此,2V 不是线性空间. 17. 证明: 因为111111101101211110011==-=--,所以123,,ααα线性无关, 即秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以,秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++, 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩, 解得,1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明: 因为A 是正交阵, 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此,2**()T A A A E E ==, 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解(1)1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以,原方程组与下面方程组同解,1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量, 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此, 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 选取选取34,x x 作为自由未知量, 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)见教材答案 (4)见教材答案2. (1) 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2) 答案见教材 3. (略)4. 证明: 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列,即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==,因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。

线性代数练习题及答案10套

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14.设矩阵 A= 0 2 0 ,矩阵 B A E ,则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__. 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ,r(B)=2. 0 0 0
15.向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__. 16.设向量 (1,2,3) , (3,2,1) ,则向量 , 的内积 ( , ) =__10__. 17.设 A 是 4×3 矩阵,若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解,则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__. 18 . 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 :
三、计算题(本大题共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21.计算 3 阶行列式 249 49 9 . 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解: 249 49 9 200 40 9 0 . 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案(一)
一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
1.设 A 为 3 阶方阵,且 | A | 2 ,则 | 2 A 1 | ( D A.-4 B.-1 C. 1 ) D.4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4. 2

1 2 3 1 2 2. 设矩阵 A= (1, 2) , B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 ( B 4 5 6 , 3 4 ,
行成比例值为零.
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数习题册(答案)

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线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)τ(3421)= 5 ; (2)τ(135642)= 6 ;(3)τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+(2 n-2)= n (n-1).2.由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列,则i= 8 、j= 3 .3.在四阶行列式中,项12233441a a a a 的符号为 负 .4.00342215= -24 .5.计算下列行列式:(1)122212221-----= -1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)―(-4)= -5或(2)111111λλλ---= -3λ+1+1-(-λ)-(-λ)―(-λ) = -3λ+3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1.已知3阶行列式det()ij a =1,则行列式det()ij a -= -1 . 3(1)11-⋅=-2. 1112344916= 2 .3.已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1,1,1,1替换第4行4. 计算下列行列式: (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5.计算下列n 阶行列式:(1)n xa a a x a D aax=(每行都加到第一行,并提公因式。

)(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1.设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解,则λ满足的条件是什么?1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解,求λ的值。

《线性代数》习题集(含答案)

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《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题 (1) 二阶行列式2a ab bb=___________。

(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。

【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。

A -3;B -2;C 2;D 3。

(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。

A -1, B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。

A -70;B -63;C 70;D 82。

(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。

(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。

A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-•。

答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。

答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。

(完整版)线性代数习题集带答案

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第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。

《线性代数》习题及答案

《线性代数》习题及答案

第一章习题....................................................................................................................................... 1 第二章习题....................................................................................................................................... 2 第三章习题....................................................................................................................................... 3 第四章习题....................................................................................................................................... 4 第一章习题解答 ............................................................................................................................... 5 第二章习题解答 ............................................................................................................................... 7 第三章习题解答 ............................................................................................................................... 9 第三章习题解答 .. (12)第一章习题一、计算行列式 41012213102021342D --=--二、解下列矩阵方程:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512X 343122321,求X . 三、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A ,A X AX +=2,用初等变换求此矩阵方程的解X . 四、设有三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=613302100A ,且存在三阶矩阵B 满足关系式B A AB +=,求矩阵B .五、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A 问k 为何值,可使(1)1)(=A R ,(2)2)(=A R ; (六) 3)(=A R .六、设A 是3阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,2A =,求112A -⎛⎫⎪⎝⎭及*2A .第二章习题1.试证明向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111=α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3212α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5013α构成向量空间3R 的一组基,并求向量T )3,2,1(-=β在这组基下的坐标.2. 设有向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3212α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t 313α.(1) 当t 为何值时,向量组321,,ααα线性无关?(2) 当t 为何值时,向量组321,,ααα线性相关?当向量组线性相关时,将3α用21,αα线性表示.3. 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01131α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10211α.求该向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.4. 设向量组,1062,2123153131114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λαλααα,,(1) λ为何值时,该向量组线性无关?(2) λ为何值时,该向量组线性相关? 并求出它的秩和一个极大线性无关组.5. 设有向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11232β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1323λβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02554β(1) 当λ取何值时,该向量组的秩为3?(2) 当λ取上述值时,求出该向量组的一个极大线性无关组,并将其它向量用该极大无关组线性表示.第三章习题一、齐次方程组有非零解的条件当λ取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解?二、齐次方程组的通解求齐次线性方程组12341234123420202520x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系,并写出通解.三、带有参数的齐次方程的解的讨论已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x t x x tx x x x x x 问:(1)t 取何值时,方程组仅有零解?(2)t 取何值时,方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解.四、非齐次方程组的解求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应齐次线性方程组的基础解系,并写出原方程组的通解。

《线性代数》练习题及答案

《线性代数》练习题及答案

《线性代数》练习题及答案一、单选题1、若矩阵A与矩阵B相似,则两个矩阵的特征多项式(相同)2、向量(1,2,3) 和(-1,-1,1)的关系为(正交)3、向量(113)和(2.2.6)的关系为(线性相)4、若方程组Ax=b的系数矩阵A的秩比其增广矩阵的秩小1,则方程组(无解)5、若矩阵A与矩阵B合同是指存在可逆矩阵C使(A=cT BC )6、若矩阵A的行秩与列秩的关系为(相等)7、若A为4x4矩阵且|A|=1,则|A4|= ( 1)8、若A为nxn矩阵且|A|=3,则A为(可逆矩阵)9、三个向量(1,0, 0),(L1,0),(2,2,0)的极大无关组元素个数为( 2 )参考答案:-3211、非齐次线性方程组AX=B的解(可能不存在)则A~'中第一行第二列元素为-113、线性方程组AX=0的基础解系的元素个数为 214、若5x5矩阵A的某2列线性相关,则|A|=(0 )15、向量(-2, 0)对应的单位向量为(1,0)16、的迹tr(A)= 517、若xTAX≥0,X≠0,则矩阵A称为(半正定矩阵)矩阵B的第一行第一列元素为(-7 )19、向量(0,-1,1)与(37, 1, 1)的夹角为90 度的最小特征值为(1 )21、若nxn矩阵A存在线性相关的行,则其秩小于(n)22、二次型f(X)=xT4x<0,x≠O,则矩阵A称为(负定矩阵)4、若A为4x4矩阵且|A|=1,则|A4|= (1 )5、向量(1,1,3)和(2,2,6)的关系为(线性相关)矩阵A的伴随矩阵A"的第一行第一列元素为-5则|A|=(- 3abc)不同特征值个数为 215、若A为nxn矩阵,其秩为m<n;则线性方程组Ax =0的基础解系元素个数为(n-m)17、若方程组Ax= b的系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩不同,则方程组(无解)18、在三维向量空间R3中,向量组((1,0,1,(0,1,0),(0,0,1))是其正交基19、向量(2,0,1)与(5,1, 1)的内积=(11)对应的矩阵A的第三行第二列元素为(2)21、已知矩阵A的秩为2,则人=(5)22、若向量(4a,3a)的长度为1,则a为(0.2,-0.2 )13、a1,a2,-.amn 是n维向量空间中取出一个向量组,若m>n,则该向量组(线性无关)的最大特征值为(4)15、向量(2,0,1)与(5,1,1)的内积=(11)16、若矩阵A=则A2 2021|=(-1),则|A|=(-24),则|A|=(a+b+d),则A-1的第二行第二列元素为(1),(2021 2022 2023)则其代数余子式A12=(3)15、两个相似矩阵的特征值(相同)16、二次型对应的矩阵A的第二行第三列元素为(0)。

线性代数练习题及答案

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线性代数练习题及答案线性代数是数学中的一个重要分支,它在工程、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。

下面是一些线性代数的练习题及答案,供同学们学习和参考。

练习题1:向量空间的基与维数设向量空间V由以下向量构成:{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。

请确定这个向量空间的基和维数。

答案1:这个向量空间的基就是给定的向量集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}。

因为这些向量线性无关,并且任何向量空间中的向量都可以表示为这些向量的线性组合。

所以,这个向量空间的维数是3。

练习题2:矩阵的行列式给定矩阵A如下:\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]计算矩阵A的行列式。

答案2:矩阵A的行列式可以通过公式\( \text{det}(A) = a_{11} \cdota_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \)来计算。

将矩阵A的元素代入公式,得到:\[ \text{det}(A) = (2)(3) - (1)(4) = 6 - 4 = 2 \]练习题3:线性方程组的解解线性方程组:\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]答案3:使用消元法,我们可以将第二个方程乘以2,然后从第一个方程中减去得到:\[ 3x = 9 \]解得 \( x = 3 \)。

将 \( x \) 的值代入第一个方程,得到 \( y = 2 \)。

所以,方程组的解为 \( (x, y) = (3, 2) \)。

练习题4:特征值与特征向量给定矩阵B:\[ B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵B的特征值和对应的特征向量。

答案4:设特征值为λ,特征向量为 \( \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix} \)。

线性代数习题(带答案解析)

线性代数习题(带答案解析)

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ().(A) 24315(B) 14325(C) 41523(D)243512.如果阶排列的逆序数是, 则排列的逆序数是().n n j j j 21k 12j j j n (A) (B) (C)(D)k k n -k n -2!k n n --2)1(3. 阶行列式的展开式中含的项共有()项.n 1211a a (A) 0(B)(C)(D) 2-n )!2(-n )!1(-n 4.( ).=0001001001001000(A) 0 (B)(C)(D) 21-15. ( ).=01100000100100(A) 0 (B) (C)(D) 21-16.在函数中项的系数是( ).1000323211112)(x x x x x f ----=3x (A) 0 (B)(C)(D) 21-17. 若,则 ().21333231232221131211==a a a a a a a a a D =---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D (A) 4 (B)(C) 2 (D) 4-2-8.若,则 ( ).a a a a a =22211211=21112212ka a ka a(A) (B)(C)(D)ka ka -a k 2a k 2-9.已知4阶行列式中第1行元依次是,第3行元的余子式依次为3,1,0,4-, 则().x ,1,5,2-=x (A) 0(B)(C)(D) 23-310. 若,则中第一行元的代数余子式的和为().5734111113263478----=D D (A) (B)(C)(D)1-2-3-011. 若,则中第四行元的余子式的和为( ).2235001011110403--=D D (A)(B)(C)(D)1-2-3-012. 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组有非零解. ()k ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x (A) (B) (C)(D)1-2-3-0二、填空题1. 阶排列的逆序数是.n 2)12(13)2(24-n n2.在六阶行列式中项所带的符号是.261365415432a a a a a a 3.四阶行列式中包含且带正号的项是.4322a a 4.若一个阶行列式中至少有个元素等于,则这个行列式的值等于n 12+-n n 0.5. 行列式.=1001110101001116.行列式.=-000100002000010n n 7.行列式.=--01)1(2211)1(111 n n nn a a a a a a 8.如果,则.M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 =---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D 9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式.=--+---+---1111111111111111x x x x11.阶行列式.n =+++λλλ11111111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式,为D 中第四行元的代数余子式,5678123487654321=D j A 4)4,3,2,1(=j 则.=+++44434241234A A A A 14.已知, D 中第四列元的代数余子式的和为.db c a c c a b ba b c a c b a D =15.设行列式,为的代数余子式,则62211765144334321-==D j A 4)4,3,2,1(4=j a j ,.=+4241A A =+4443A A 16.已知行列式,D 中第一行元的代数余子式的和为nn D00103012112531-=.17.齐次线性方程组仅有零解的充要条件是.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 18.若齐次线性方程组有非零解,则=.⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x k 三、计算题1.; 2.;cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a ++++++++33332222yxyx x yx y y x yx+++3.解方程; 4.;0011011101110=x x xx 111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x 5. ();na a a a111111111111210n j a j ,,1,0,1 =≠6. bn bb ----)1(1111211111311117. ; 8.; n a b b b a a b b a a a b 321222111111111xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 3212121219.;10.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++2100012000002100012101211..aa a a a aa a a D ---------=11000110001100110001四、证明题1.设,证明:.1=abcd 011111111111122222222=++++dd dd c cc c b b b b a aa a 2..3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++3..))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=4..∏∑≤<≤=----=nj i i jni in nn nn nn n nn a aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(1115.设两两不等,证明的充要条件是.c b a ,,0111333=c b a c ba 0=++cb a 参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.n ”“-43312214a a a a 00!)1(1n n --; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.;1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---M 3-160-4x 1)(-+n n λλ2-13.; 14.; 15.; 16.; 17.; 18.009,12-)11(!1∑=-nk kn 3,2-≠k 7=k 三.计算题1.; 2. ;))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-)(233y x +-3. ;4. 1,0,2-=x ∏-=-11)(n k k a x 5. ; 6. ;111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ))2(()1)(2(b n b b ---+- 7. ;8. ;∏=--nk k kna b1)()1(∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(9. ;10. ;∑=+nk k x 111+n 11. .)1)(1(42a a a ++-四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。

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第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵: (1)⎩⎨⎧==011y x x ; (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 和A TB .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换 32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵,定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E . 当f (x )=x 2-5x +3,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时,求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ,则A = O .(2) 若A 2= A ,则A = O 或A = E . .7. 设方阵A 满足A 2-3A -2E =O ,证明A 及A -2E 都可逆,并用A 分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ,求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200030004A ,矩阵B 满足AB =A+2B ,求B .12. 设102212533A--⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵,且ABC =E ,则必有( ). (A) ACB =E ; (B) CBA =E ; (C) BAC =E ; (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ,则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ; (B )AP 2P 1=B ; (C) P 1P 2A =B ; (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵,将A 的第1列与第4列交换得B ,再把B 的第2列与第3列交换得C ,设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ,则C -1=( ). (A) A -1P 1P 2; (B) P 1A -1P 2; (C) P 2P 1A -1; (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,则下列结论中一定正确的是( ). (A) A -E 不可逆 ; (B) A -2E 不可逆 ; (C) A -3E 可逆; (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3),B =(1,1/2,1/3),令C =A TB ,求C n.6. 证明:如果A k =O ,则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1,k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ,求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000000000000000121ΛΛΛΛΛΛΛΛnn a a a a X (021≠n a a a Λ),求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时,0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数:(1) 315624; (2)13…(2n-1)24…(2n).4. 证明: 3232a cb a b a ac b a b a a c b a=++++++.5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------ (2) y xy x x yx y y x yx +++(3) 0111101111011110(4) 1222123312111x x x x x x(5)n n a a a D +++=11111111121ΛΛΛΛΛΛΛ,其中021≠n a a a Λ.7.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明: |A*|=|A|n-1,(n ≥2).8. 设A,B都是三阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,且|A|=2,|B|=1,计算 |-2A*B-1|.9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ,利用公式求A -1.复习题二1.设A , B 都是n 阶可逆矩阵,其伴随矩阵分别为A *、B *,证明:(AB )*= B *A *.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ,求A -1.3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是31矩阵,设A =( A 1, A 2, B 1,),B =( A 1, A 2, B 2),|A |=2,|B |=3,求|A+2B |.4.设A , B 都是n 阶方阵,试证:AB E E A B E-=.第3章向量空间习题1. 设α1=(1,-1,1)T, α2=(0,1,2)T, α3=(2,1,3)T,计算3α1-2α2+α3.2. 设α1=(2,5,1,3)T, α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1- x)+2(α2+x)=5(α3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T, α2=(2,-6,-2)T, α3=(5,4,1)T;(2) β1=(2,3,0)T, β2=(-1,4,0)T, β3=(0,0,2)T .4. 设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3,且向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组β1, β2, β3线性无关.5. 设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3,证明这两个向量组等价.6. 求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设α1, α2,…, αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明:α1, α2,…,αn线性无关.8. 设有向量组α1, α2, α3,α4, α5,其中α1, α2, α3线性无关,α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数),求向量组α1, α3,α4, α5的秩.9. 设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1),求秩R(A T B).10. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ,求A 的秩,并写出A 的一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ,若A 的秩R (A )=2,求参数t 的值.12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ,求A 的列向量组的秩,并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,证明:如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n .14. 已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β,求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ,已知A 的秩为3,求k 的值.2.设向量组A : α1, …,αs 与B : β1,…,βr ,若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )=(α1, …,αs )K ,其中K 为r s ⨯矩阵, 试证:B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .3.设有三个n维向量组A:α1, α2, α3;B:α1, α2, α3,α4;C:α1, α2, α3,α5.若A组和C组都线性无关,而B组线性相关,证明向量组α1, α2, α3,α4-α5线性无关.4.设向量组A: α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)TR的基;(1) 证明:A组和B组都是三维向量空间3(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵;(3) 已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标.第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 43212321321x x x k x kx x x k x x ,讨论当k 为何值时,(1)有唯一解(2)有无穷多解(3)无解5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1, η2, η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T,求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8. 设有向量组A :12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα,3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 问向量β能否由向量组A 线性表示9. 设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解,ξ1, ξ2,…, ξn-r是它的导出组的一个基础解系,证明:(1)η*, ξ1, ξ2,…, ξn-r线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn-r线性无关.复习题四1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ,且方程组AX =θ的解空间的维数为2,则a = . 2.设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零,则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组π:α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ,问a ,b 为何值时,(1)向量β不能由向量组π线性表示;(2)向量β能由向量组π线性表示,且表示式唯一;(3)向量β能由向量组π线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.4.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x (Ⅱ)⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系;(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.5.设矩阵A =(α1, α2, α3, α4),其中α2, α3,α4线性无关,α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齐次线性方程组Ax= β的通解.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i 相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关,且向量组γβα,,线性相关.第5章矩阵的特征值和特征向量习题1.已知向量α1=(1,-1,1)T,试求两个向量α2, α3,使α1, α2, α3为R 3的一组正交基.2.设A, B都是n阶正交矩阵,证明AB也是正交矩阵.3. 设A是n阶正交矩阵,且|A|=-1,证明:-1是A的一个特征值.4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,计算行列式|A 3-5A 2+7E |.6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似,求y x ,;并求一个正交矩阵P ,使P -1AP =Λ.7.将下列对称矩阵相似对角化: (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004.8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值,证明:(1) A是A *的特征值.(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时,求A *的特征值.9.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3,属于特征值λ1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T,求矩阵A.复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 .2.已知3阶矩阵A , A -E , E +2A 都不可逆,则行列式|A +E |= .3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ,已知A 与B 相似,则a , b 满足 .4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量,A α1=0, A α2=2α1+,α2,则A 的非零特征值为 .5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,证明A 的特征值只能是1或2.7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量. (1) 求参数a , b 及特征值λ; (2) 问A 能否相似对角化说明理由.8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ,求φ(A )=A 10-5A 9.第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式:42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型.3. 已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为2,求a 的值.4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形.5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形,并写出所用的可逆线性变换.6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ,若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=,求a 的值.7. 判别下列二次型的正定性:(1)312123222122462x x x x x x x f ++---=(2)4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型,求a 的取值范围.复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵,B =λE +A TA ,试证:λ>0时,矩阵B 为正定矩阵.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ,通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ,求b a ,的值.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,2)(A E B +=k ,其中k 为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似,并讨论k 为何值时,B 为正定矩阵.测试题一一、计算题:1.计算行列式111131112+=n D n ΛΛΛΛΛΛΛ. 2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ,计算T B A 3. 3.设A 、B 都是四阶正交矩阵,且0<B ,*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式 *2BAA -.4.设三阶矩阵A 与B 相似,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ,计算行列式 E B 22-. 5.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ,且A 的秩为2,求常数b a ,的值. 二、解答题:6.设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α,其中4321,,,t t t t 是各不相同的数,问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示说明理由.7.求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.8.问k 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.9.已知四阶方阵A =(4321,,,αααα),其中321,,ααα线性无关,3243ααα-=,求方程组4321αααα+++=Ax 的通解.10.三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1.三、证明题:11.设2112ααβ+=,32223ααβ+=,13334ααβ+=,且321,,ααα线性无关,证明:321,,βββ也线性无关.12.设A 为实对称矩阵,且满足O E A A =--22,证明E A 2+为正定矩阵.。

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