线性代数练习册附答案
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第1章 矩阵 习 题
1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵: (1)⎩⎨⎧==01
1y x x ; (2) ⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕ
ϕcos sin sin cos 11y x y y x x
2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.
3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α,⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=150421321
B ,求3AB -2A 和A T
B .
4. 计算
(1) 2
210013112⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
(2) ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛1)1,,(2
1
22212
11211y x c b b b a a b a a y x
5. 已知两个线性变换 3213
32123
11542322y
y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪
⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表
示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵,定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1
+…+ a m E . 当f (x )=x 2
-5x +3,⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--=3312A 时,求f (A ).
7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2
= O ,则A = O .
(2) 若A 2= A ,则A = O 或A = E . .
7. 设方阵A 满足A 2
-3A -2E =O ,证明A 及A -2E 都可逆,并用A 分别表示出它们的逆矩阵.
8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:
(1)⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=132126421321A
(2)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=033414
31210110122413B .
9. 对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~
1
22r r -⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--131123302001=B .
10. 设ΛAP P =-1
,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=2001Λ,求A 9
.
11. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=200030004A ,矩阵B 满足AB =A+2B ,求B .
12. 设
102
212
533
A
--
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
-
⎝⎭
, 利用初等行变换求A-1.
复习题一
1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵,且ABC =E ,则必有( ). (A) ACB =E ; (B) CBA =E ; (C) BAC =E ; (D) BCA =E .
2. 设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1010100012P ,则必有 ( ) .
(A) AP 1P 2=B ; (B )AP 2P 1=B ; (C) P 1P 2A =B ; (D) P 2P 1A =B .
3. 设A 为4阶可逆矩阵,将A 的第1列与第4列交换得B ,再把B 的第2列与第3列交换得C ,设
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=000101000010
10001P ,⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=10000010010
0000
12P ,则C -1=( ). (A) A -1
P 1P 2; (B) P 1A -1
P 2; (C) P 2P 1A -1
; (D) P 2A -1
P 1.
4. 设n 阶矩阵A 满足A 2
-3A +2E =O ,则下列结论中一定正确的是( ). (A) A -E 不可逆 ; (B) A -2E 不可逆 ; (C) A -3E 可逆; (D) A -E 和A -2E 都可逆. 5. 设A =(1,2,3),B =(1,1/2,1/3),令C =A T
B ,求
C n
.
6. 证明:如果A k =O ,则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1
,k 为正整数.
7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=710
00410
003
1A ,且A -1BA =6A +BA ,求B .