2021届高中数学必做黄金100题30定积分求值及求曲边多边形的面积【理】解析版.
高中数学 定积分 试题及解析
高中数学定积分试题一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣13．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e+C．e﹣D．e+19．定积分（+x）dx＝（）A．+B．C．+1D．10．若a＝（x+1）dx，b＝cos xdx，c＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．812．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜014．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．102415．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．816．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e17．直线y＝x与曲线y＝围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．18．若函数f（x）＝A sin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B．C．1﹣D．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A．e2﹣1B．e2﹣C．e2﹣D．e2﹣21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A．B．C．D．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A．B．C．D．24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A．B．C．D．25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B．C．D．026．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C．D．27．由曲线y＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A．B．C．D．828．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A．B．C．D．929．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝．34．计算定积分＝．35．（e x+2x）dx＝．36．计算：dx＝．37．若，则a＝．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是40．计算定积分sin xdx＝．41．定积分＝．42．的值为．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．＝（）A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．【解答】解：＝+，而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x+＝4+π，故选：A．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．2．的值为（）A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．【解答】解：＝（x﹣lnx）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，故选：A．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．3．|1﹣x2|dx＝（）A．B．4C．D．【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x﹣）|+2（）|＝4．故选：B．【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）A．B．C．1D．【分析】画出图象，利用定积分求出即可．【解答】解：＝b﹣＝，b＝1，故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，故选：C．【点评】考查定积分的应用，基础题．5．计算的值为（）A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1【分析】由定积分公式，求解．【解答】解：，故选：D．【点评】本题考查定积分，属于基础题．6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．【解答】解：阴影部分的面积m＝，矩形的面积为n＝3，故阴影部分概率为，故选：B．【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．7．已知函数，则定积分的值为（）A．B．C．D．【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx+，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx+其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，所以＝（﹣x+2）dx+＝（2x﹣）|+＝，故选：C．【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．8．定积分（x+e x）的值为（）A．e B．e +C．e ﹣D．e+1【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9．定积分（+x）dx＝（）A ．+B ．C ．+1D ．【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．【解答】解：＝＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．b ＝cos xdx ＝，c ＝e x dx ＝所以：c＞a＞b故选：C．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．计算：＝（）A．﹣1B．1C．﹣8D．8【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．11【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；故选：D．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．【解答】解：令x+3＝x2+1，得x1＝﹣1，x2＝2，则S ＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），12所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，故选：B．【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，故选：C．【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．【解答】解：联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，13故选：D．【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e【分析】直接利用定积分的应用求出结果．【解答】解：根据封闭图形的组成，所以：＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积S ＝＝＝．14故选：D．【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）A．﹣1+B ．C．1﹣D ．【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．故选：C．【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A ．B ．C ．D ．15【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．故选：B．【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）A ．e2﹣1B ．e2﹣C ．e2﹣D．e2﹣【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示∴S ＝＝（）＝﹣＝故选：A．【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）A ．B ．C ．D ．﹣1【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．16【解答】解：由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，故选：C．【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围17成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为，联立，解得或，即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为＝＝，解得，故选：D．【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；故选：A．【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．1825．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，故选：C．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．26．如图，阴影部分的面积为（）A．2B．2﹣C ．D ．【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，故选：C．19【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）A ．B ．C ．D．8【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由解得，∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．故选：A．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）A ．B ．C ．D．9【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．故选：B．【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了20定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题．29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）A．1J B．J C．J D．2J【分析】由物理学知识知，变力F（x）所作的功对应“位移﹣力”只要求W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx，进而计算可得答案．【解答】解：由于F（x）与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F•cos30°，W＝∫12（5﹣x2）•cos30°dx＝∫12（5﹣x2）dx＝（5x﹣x3）|12＝故选：C．【点评】本题属于物理学科的题，体现了数理结合的思想方法，属于基础题．30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）A．（a+）dyB．2（a+）dyC．dxD．2dx【分析】由圆的方程求得y关于x的解析式，再求出x的取值范围，根据圆的对称性和定积分的几何意义，写出圆的面积表达式．【解答】解：由圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0），得y＝±，由（x﹣a）2≤r2，解得a﹣r≤x≤a+r；根据圆的对称性和定积分的几何意义，计算圆的面积为S圆＝2dx．故选：D．【点评】本题考查了圆的方程与定积分的应用问题，是基础题．31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）A．（x2﹣4）dxB．|（x2﹣4）dx|C．|x2﹣4|dxD．（x2﹣4）dx+（x2﹣4）dx【分析】由题意结合定积分的几何意义整理计算即可求得最终结果．【解答】解：定积分表示曲边梯形的面积，位于x轴上方为正面积，位于x轴下方为负面积，据此可得：由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是．故选：C．【点评】本题考查定积分的几何意义及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）A．B．C．D．【分析】首先确定所给数据中唯一曲边三角形的点的个数，然后利用频率近似概率，结合几何概型求解曲边三角形的面积即可．【解答】解：由表可知，向矩形区域{（x，y）|1⩽x⩽e，0⩽y⩽1}内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其横坐标分别为2.5，1.22，2.52，2.17，1.89，2.22其频率为．∵矩形区域的面积为e﹣1，∴曲边三角形面积的近似值为．故选：D．【点评】本题考查了蒙特卡洛模拟的方法，频率值近似为概率值，将古典概型与几何概型联系起来即可，属于常考题目．二．填空题（共18小题）33．cos xdx+dx＝1+．【分析】cos xdx可以直接积分，dx根据几何意义积分即可．【解答】解：dx表示单位圆在[0，1]上的部分的面积，即个单位圆的面积，∴cos xdx+dx＝sin x+＝1+，故答案为：1+．【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．34．计算定积分＝．【分析】＝dx﹣dx，前式根据定积分的几何意义求解，后式直接积分即可得到所求．【解答】解：＝dx﹣dx，dx表示半圆y＝在[0，1]上部分的面积，即个单位圆的面积，∴＝dx﹣dx＝﹣x＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．35．（e x+2x）dx＝e2+3．【分析】直接利用定积分运算法则求解即可【解答】解：（e x+2x）dx＝e2﹣1+（22﹣0）＝e2+3，故答案为：e2+3【点评】题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力36．计算：dx＝π﹣．【分析】根据定积分的几何意义，结合圆的知识求解即可．【解答】解：依题意，dx表示半圆y＝，在x＝1和x＝2之间的部分与x轴围成的区域的面积，如图中阴影所示，依题意，△AOB为等边三角形，故B的纵坐标为∴dx＝π×22﹣＝π﹣，故答案为：π﹣．【点评】本题考查了定积分的求法，考查定积分的几何意义，主要考查计算能力和直观想象，属于中档题．37．若，则a＝2．【分析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出a的值．【解答】解：若，则，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2+2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：将直线方程与曲线方程联立可得，所以正直线y＝x和抛物线y＝﹣x2+2x交点坐标为（0，0），（1，1），结合图象可知围成的封闭图形的面积为．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．本题属于基础题．39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是【分析】根据定积分的几何意义和积分法则求解即可．【解答】解：根据定积分的几何意义，由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是：S＝＝＝﹣0＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了定积分的几何意义与计算问题，是基础题．40．计算定积分sin xdx＝2．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得sin xdx＝（﹣cos x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，sin xdx＝（﹣cos x）＝cos0﹣cosπ＝2；故答案为：2．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．41．定积分＝+e．【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（+e x），进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，＝（+e x）＝（+e）﹣（0+1）＝+e，故答案为：+e．【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式．42．的值为8π．【分析】利用定积分性质和圆的面积求出即可．【解答】解：根据定积分的性质，y＝sin3x为奇函数，在[﹣4，4]图象关于原点对称，定积分为0，y＝在x∈[﹣4，4]的面积为以（0，0）为圆心，半径为4的圆的面积的一半，故为8π，故答案为：8π．【点评】本题考查定积分的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为3﹣2ln2．【分析】求出曲线，直线y＝2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式求解即可．【解答】解：依题意，由解得，∴封闭的图形面积为＝（x2﹣2lnx）＝3﹣2ln2．故答案为：3﹣2n2．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．【分析】联立直线和抛物线，可得交点坐标，对y积分即可求得面积．【解答】解：联立y2＝x与y＝x﹣2可得，直线与抛物线的交点为（1，﹣1），（4，2），根据定积分的意义，图象所围成的阴影部分面积：S＝＝（）＝，故答案为：．【点评】本题考查了定积分的应用，定积分的几何意义，属于基础题．45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为1．【分析】根据定积分的几何意义求解即可．【解答】解：依题意，令e+1＝e x+1，得x＝1，所以直线x＝0，y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的区域的面积为S＝＝＝（ex﹣e x）|＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了定积分的几何意义，定积分的计算，属于基础题．46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．【分析】计算出阴影面积，圆的面积，代入几何概型的概率计算公式即可．【解答】解：依题意，图中阴影面积为S＝2＝﹣2cos x|＝4，而圆的面积为S'＝π×π2＝π3，所以圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的求法，圆的方程与面积，几何概型的概率计算，属于基础题．47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．【分析】根据定积分的几何意义，先求出积分的上下限，即可求出所围成的图形的面积【解答】解：由曲线y＝与直线y＝2x﹣1构成方程组，解得，由直线y＝2x﹣1与y＝0构成方程组，解得；∴曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为：S＝dx﹣（2x﹣1）dx＝﹣（x2﹣x）＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算问题，关键是求出积分的上下限，是基础题．48．由函数y＝e x，y＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为e e﹣2e．【分析】运用定积分知识计算围城曲边梯形的面积可得结果．【解答】解：根据题意得，联立得；∴S＝＝e e﹣e﹣e（lne﹣ln1）＝e e﹣2e故答案为e e﹣2e．【点评】本题考查由定积分计算围成图形的面积．49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝±6．【分析】求出直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）的两个交点，确定被积函数和被积区间，利用定积分可求出围成的封闭区域的面积，即可求出k的值．【解答】解：当k＞0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1上方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为＝k，得k ＝6；当k＜0时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1交于（0，1）和（1，k+1）两点，且当0＜x＜1时，直线y＝kx+1在抛物线y＝kx2+1下方，此时，直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为，得k＝﹣6．故答案为：±6．【点评】本题考查利用定积分来计算面积，解决本题的关键是确定被积函数和被积区间，属于中等题．50．计算2xdx＝8．【分析】直接根据定积分的计算法则即可．【解答】解：2xdx＝x2＝32﹣12＝8，故答案为：8【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题。
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a＝22x2sinxdx，则 a、 b、 c 的大小关系是 ()xdx， b＝ e dx， c＝000A ．a<c<b B． a<b<c C． c<b<a D ．c<a<b2．由曲线 y＝ x2， y＝ x3围成的封闭图形面积为 ()练习、设点 P 在曲线 y＝ x2上从原点到A(2,4)挪动，假如把由直线OP，直线 y＝x2及直线 x＝ 2 所围成的面积分别记作S1，S2.以下列图，当 S1＝ S2时，点 P 的坐标是 () 4， 164， 164， 154， 13A. 3 9B. 59C. 37D. 573．由三条直线 x＝ 0、 x＝ 2、 y＝ 0和曲线 y＝ x3所围成的图形的面积为()418A ．4 B.3 C. 5D． 64．1－1(sin x＋1)dx的值为()A ．0B ．2C． 2＋ 2cos1D． 2－ 2cos15．曲线 y＝ cosx(0≤ x≤2π)与直线 y＝ 1 所围成的图形面积是()3πA ．2πB． 3π C. 2D．π6．函数 F(x)＝x t(t－ 4)dt 在[ － 1,5] 上()A ．有最大值 0，无最小值B ．有最大值 0 和最小值－32 3C．有最小值－32，无最大值 D ．既无最大值也无最小值3n n2n 2＋ n，函数 f(x)＝x13，则 x 的取值范围是 ()7．已知等差数列 { a } 的前 n项和 S＝t dt，若 f(x)< a1A.3，＋∞B ．(0， e21)－ D ．(0， e11)C． (e 11， e)68．以下列图，在一个长为π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y＝ sinx(0≤ x≤ π)与 x 轴围成以下列图的阴影部分，向矩形 OABC 内随机投一点 (该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在暗影部分的概率是 ()123πA. πB.πC.πx＋2 －2≤ x<09．函数 f(x)＝π的图象与 x 轴所围成的图形面积S 为()2cosx 0≤x≤231A. 2B． 1C． 4 D.210．设函数 f( x)＝ x－[ x] ，此中 [x] 表示不超出 x的最大整数，如 [ － 1.2] ＝－ 2， [1.2] ＝ 1， [1] ＝ 1.又函数xg(x)＝－3，f(x)在区间 (0,2)上零点的个数记为 m，f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为n，则n g(x)dx 的值是 ()m5457A．－2B．－3C．－4D．－611．甲、乙两人进行一项游戏竞赛，竞赛规则以下：甲从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间 [0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c 可以相等 )，若关于 x 的方程 x2＋ 2bx＋ c＝ 0 有实根，则甲获胜，不然乙获胜，则在一场竞赛中甲获胜的概率为()1213A. 3B.3C.2D.412．已知正方形四个极点分别为O(0,0)， A(1,0)， B(1,1) ，C(0,1)，曲线 y＝ x2(x≥ 0)与 x 轴，直线 x＝ 1构成地域 M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在地域M 内的概率是 () 1112A. 2B.4C.3D.5二、填空题13．已知函数 f(x)＝ 3x2＋ 2x＋ 1，若 1 －1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.14．已知 a＝∫π)6的睁开式中含x2项的系数是 ________．20(sinx＋cosx)dx，则二项式(a x－1x15．抛物线 y2＝ 2x 与直线 y＝ 4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线 y2＝ax(a>0)与直线 x＝ 1围成的封闭图形的面积为4，若直线 l 与抛物线相切且平行于直线32x－ y＋ 6＝ 0，则 l 的方程为 ______ ．17．已知函数 f(x)＝－ x3＋ ax2＋ bx(a， b∈ R)的图象以下列图，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成地域 (图中暗影部分 )的面积为1，则 a 的值为 ________．12三、解答题18．以下列图，在区间[0,1] 上给定曲线y＝ x2，试在此区间内确立t 的值，使图中暗影部分的面积S1＋S2最小．1、 [答案 ]D[分析 ]a ＝2 1 22＝ 2， b ＝2 xx 02＝ e 2－ 1>2， c ＝22＝ 1－xdx ＝ 2x |0 e dx ＝ e |sinxdx ＝－ cosx|cos2∈(1,2)，∴ c<a<b.1 1 1 7 A. 12B.4C.3D.122、[答案 ]A[分析] y ＝ x2得交点为 (0,0) ， (1,1)．由y ＝ x 31 1 1∴ S ＝1(x 2－x 3)dx ＝3x 3－ 4x 401＝ 12.练习； [答案 ]A[ 分析 ] 设 P(t ， t 2)(01＝ t2t 3 ； S 22 2≤ t ≤ 2)，则直线 OP ： y ＝ tx ，∴ S(tx － x )dx ＝ 6＝ (xt34，∴ P 4，16－tx)dx ＝ 8－ 2t ＋t，若 S 361＝ S 2，则 t ＝33 9.x402＝4.3、[答案 ]A[分析]S ＝ 2x 3dx ＝ 44、[答案 ] B[分析 ]1(sinx ＋ 1)dx ＝ (－ cosx ＋ x)|－ 11＝ (－ cos1＋ 1)－ (－ cos(－ 1)－1)＝ 2.5、[ 答案 ] A[分析]2π2π如右图， S ＝ ∫ 0 (1－ cosx)dx ＝ (x － sinx)|0 ＝ 2π.6、[答案 ]B[分析 ]F ′(x) ＝ x(x － 4)，令 F ′ (x)＝ 0，得 x 1＝ 0， x 2 ＝ 4，∵ F(－ 1)＝－ 7， F(0)＝ 0，F(4)＝－ 32， F(5)＝－250，最小值为333 .∴最大值为－ 323.7、[答案 ]1D ； [分析 ] f(x)＝ xdt ＝ lnt|1x ＝ lnx ， a 3＝ S 3－ S 2＝ 21－ 10＝ 11，由 ln x<11 得， 0<x<e 11.t18、[ 答案 ] A[分析]由图可知暗影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得πS ＝ sinxdx＝－ cosx|0π＝－ (cos π－ cos0)＝ 2，再依据几何概型的算法易知所求概率P ＝ S ＝ 2 1＝ .S 矩形OABC 2π π9、[答案 ]C[分析 ]面积 S ＝∫ππ－ 2f(x)dx ＝－ 2(x ＋ 2)dx ＋ ∫ 02cosxdx ＝ 2＋ 2＝ 4.2210、 [答案 ] A[分析] 由题意可得，当 0<x<1 时， [x] ＝ 0，f(x)＝ x ，当 1≤x<2 时， [x] ＝1，f(x)＝ x － 1，因此当 x ∈ (0,2)时，函数 f(x)有一个零点，由函数 f( x)与 g( x)的图象可知两个函数有4 个交点，因此 m ＝1，n＝4，则 n g(x)dx ＝ 4－x dx ＝ －x 253 614＝－ .m1211、[答案 ]A ； [分析 ] 方程 x 2＋ 2bx ＋ c ＝0 有实根的充要条件为＝ 4b 2－ 4c ≥ 0，即 b 2≥c ，1 2b db1由题意知，每场竞赛中甲获胜的概率为p ＝1× 1＝ .312、 [答案 ] C ；[分析 ]1 21301＝1，故所求如图，正方形面积 1，地域 M 的面积为 S ＝ x dx ＝ 3x |31概率 p ＝ .31－ 1f(x)dx ＝－ 1(3x 2 3213、 [答案]－1 或3；[分析]∵＋2x ＋ 1)dx ＝ (x ＋ x111－ 1f(x)dx ＝ 2f(a)，∴21 ＋x)|－＝ 4，6a ＋ 4a ＋ 2＝ 4，∴ a ＝－ 1 或 .1314、 [答案 ]－ 192；[分析 ] 由已知得 a ＝ ∫π π π π20(sinx ＋ cosx)dx ＝(－ cosx ＋ sinx)| 0＝ (sin － cos )－ (sin0222－cos0)＝2，(2x －16的睁开式中第 r ＋ 1 项是 T ＋ 1＝(－1)r×C r × 26－ r ×x 3－ r ，令 3－ r ＝ 2 得， r ＝1，故其 )r6x系数为 (－ 1)1× C 61× 25＝－ 192.y 2＝ 2x215、 [答案 ]18[分析 ] 由方程组y ＝ 4－ x解得两交点 A(2,2)、 B(8，－ 4)，选 y 作为积分变量x ＝ y、 x ＝ 42－ y2－ 4[(4 － y)－y223∴ S ＝]dy ＝ (4y － y － y )|－4 2＝ 18.2 2 616、 [答案 ]16x－ 8y＋1＝ 0[分析 ]由题意知12，∴ a＝ 1，0axdx＝3设 l： y＝ 2x＋b 代入y2＝ x 中，消去y 得， 4x2＋ (4b－1)x＋ b2＝0，由＝0 得， b＝ 1，8∴ l 方程为 16x－ 8y＋ 1＝ 0.17、 [答案 ]－1[分析 ] f ′ (x)＝－ 3x2＋ 2ax＋ b，∵ f ′ (0) ＝ 0，∴ b＝ 0，∴ f(x) ＝－ x3＋ ax2，令 f(x) ＝0，得 x＝0 或 x＝a(a<0) ．S 暗影＝－0(－ x3＋ ax2)dx＝1a4＝1，∴ a＝－ 1.a121218、 [分析 ]由题意得2t 2 2 3S1＝ t·t－x dx＝ t ，3S2＝1x2dx－t23－ t2＋1，因此41≤ t≤ 1)．2(1－ t) ＝ t3S＝ S1＋ S2＝ t3－ t2＋ (0333t又 S′ (t)＝ 4t2－ 2t＝4t t－1，令 S′(t)＝ 0，得 t＝1或 t＝0. 2211由于当 0< t< 时， S′( t)<0；当<t≤ 1 时， S′ (t)>0.22因此 S(t)在区间0，1上单调递减，在区间1， 1 上单调递加．因此，当t＝1时， S min＝1.2224。
备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题15定积分求值问题答案解析
【高考地位】定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.【方法点评】类型一利用微积分基本定理求定积分使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x 的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1sin xdx 的值为（）A ．2B ．C ．1D ．2【答案】D 【解析】考点：微积分基本定理．【点评】一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.【变式演练1】下列计算错误的是（）A ．ππsin 0xdx B ．1023xdxC ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx D ．π2πsin 0xdx【答案】D试题分析：A 选项，sin cos 0xdx x ，所以A 正确；B 选项，13122233xdxx，所以B 正确；C 选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C 正确；D 选项错误。
考点：定积分的计算。
【变式演练2】若22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x则123S S S 的大小关系为（）A ．123S S SB ．213S S SC ．231S S S D ．321S S S 【答案】B 【解析】【变式演练3】2231111dx xxx（）A ．7ln 28B ．7ln 22C ．5ln 28D ．17ln 28【答案】A 【解析】试题分析：由题意得2212321111117(ln )|ln 2228dx xxxxx，故选 A.考点：定积分的应用.【变式演练4】若11(2)3ln 2(1)axdx ax，则a 的值是___________．【答案】2a 【解析】试题分析：由22111(2)(ln )|ln 13ln 2a a xdx xx aa x，得213ln ln 2aa，所以考点：定积分的运算．【变式演练5】221)(sin dxx _____________．【答案】4【解析】试题分析：由题意得2222(sin 1)(cos )|(cos22)[cos(2)2]4x dx x x ．考点：定积分的计算．【变式演练6】设2lg 0()30axxf x x t dtx ,若((1))1f f ，则a．【答案】 1 【解析】考点：1．函数的表示；2．定积分运算．【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（）A ．23B ．53C ．323D ．353【答案】C 【解析】试题分析：面积为312213332323|33xxx dxxx ．考点：定积分．。
专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版
一．题源探究·黄金母题
（求函数 的单调递增区间．
【解析】设 ，函数 的单调递增区间为 ．由 ，得 ．易知 ．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数 （ ， ），其图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，
∵函数 （ ， ）的图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的周期为 ，故 ，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的 恒成立”等价于“ 对于任意的 恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得 在 上的取值范围是 的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解．
④将 的图象向右平移 个单位可得到图像 ．
【答案】①②③
【解析】对于 ，
令 ，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线 对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令 ，可得 ，故函数f(x)在区间 是增函数，故③正确，
由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．
((新课标人教A)[[高三数学试题]]高中数学专题训练《曲边梯形的面积与定积分》习题
![((新课标人教A)[[高三数学试题]]高中数学专题训练《曲边梯形的面积与定积分》习题](https://img.taocdn.com/s3/m/47fce625a417866fb94a8e27.png)
【课内练习】1． 下列定积分值为1的是（ ）A ．10tdt ⎰B 。
10(1)x dx +⎰ C 。
10dx ⎰ D 。
1012dx ⎰ 2． 1321(tan sin )x x x x dx -++⎰=（ ）A ．0B 。
13202(tan sin )x x x x dx ++⎰C ．03212(tan sin )x x x x dx -++⎰D 。
13202|tan sin |x x x x dx ++⎰3． 设连续函数f (x )＞0，则当a ＜b 时，定积分()d b af x x ⎰的符号（ ）A ．一定是正的B ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负C ．一定是负的D ．当0<a <b 时为负，当a <b <0时为正 4． 由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ⎰--11B 。
()[]dx x x ⎰-+-211C ．()[]dy y y ⎰--2101D 。
()[]dx x x ⎰+--1015． 和式111122n n n +++++L 当n →+∞时，无限趋近于一个常数A ，则A 用定积分可表示为 。
6． 曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．7． 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。
试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x 2所围成的曲边三角形的面积。
（下列公式可供使用：12+22+…+n 2=1(1)(21)6n n n ++）8． 求由曲线1y x =+与1,3,0x x y ===所围的图形的面积.9． 计算20()f x dx ⎰，其中,2,01,()5,1 2.x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。
2021-2022年高考数学必做黄金100题专题8函数的解析式
【解析】当 0t 1 时，
2
2 ； 当 复习参考题 B 组第 2 题
1t 2
时，
f (t) 1 2 2
3 1 (2 t)(2 t) tan 60
2
＝
【母题评析】本题以平面几何图形为载体，
考查函数解析式的求法，以及根据函数解
3 (t 2)2 2
3
；当
t
2
时，
f
(t)
1 2
2
3
＝
3 ．综
f f
(1) b 2 8 '(1) a b 2
a 4 ，解得 b
12
，所以
10
f
(x)
12 ln
x
x2
10 x
1．
知或能确定函数的解析 式的构成形式(如一次 函数、二次函数、反比 例函数、函数图象等)，
求函数解析式．其解法
是根据条件写出它的一
般表达式，然后由已知
考向 2 利用换元法（或配凑法）求解析式
讨论的思想，同时要注意结合平面几何及
三角知识进行求解．
二．考场精彩·真题回放
【2019 年高考北京理数】设函数 f x ex aex （a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；若
f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________
【答案】 1 ,0
【命题意图】本题考查函数的奇偶性､单调
【学科素养】数学运算，
【难点中心】这类题的解答常和函数的性 质综合考查，要熟练运用函数的性质。
即 a e2x 在 R 上恒成立，
又 e2x 0 ，则 a 0 ，
即实数 a 的取值范围是 , 0 .
三．理论基础·解题原理
高中数学曲边梯形的面积与定积分
作和式In=
f ( )x
i 0 i
n 1
i
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b] 上的定积分，来自记作ab
f ( x )dx
其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量， [a，b]称为积分区间，a, b分别称为积分 的上限和下限，f(x)dx叫做被积式，此时 称f(x)在区间[a，b]上可积。
2
1 1 1 1 lim Sn lim (1 )(2 ) 由此得到S= x 0 x 0 6 n n 3
从图形上看，当n越来越大时，划分的 越来越细，阴影部分飞面积与曲边梯形 的面积相差越来越小，当n→+∞时，阴影 部分趋近于曲边三角形，因此可以将极 1 限值 视为此曲边三角形的面积。
3
例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成 正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长 量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x, 则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力 的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，
b 将[0，b] n等分，记△x= n ， 2b b 分点依次为x0=0，x1= ，x2= n ,……， n (n 1)b
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
y
1
x O
1
解：将区间[0，1]等分成n个小区间，
1 1 2 [0, ], [ , ], n n n i 1 i n 1 n ,[ , ], ,[ , ] n n n n i i 1 1 每个小区间的长度为 x n n n
专题42平面向量与三角形的四心问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)
第42题 平面向量与三角形的四心问题如右图所示，已知点()y f x =是)3,2m ⎡∈⎣的重心，过点6C π=作直线与31S ∆=+两边分别交于两点，且22223sin sin sin sin sin sin A B C A B C =+-，则2ab 的最小值为（ ）A ．2B ．2223sin 2a b cC ab+-=C ．3sin cos C C =D ．3tan 3C =【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知．由基本不等式得，即．当且仅当，即时，等号成立，故最小值为．212b=+212b=+54cosb a b+=+21022516cosy=+-)()2025,16b a b a b a b+==+=b a b+的最小值是54cos b a bθ+=+(=3 )AB(=3可得在Rt AOE ∆中，cos 2AE AB OAE AO AO∠==，所以182ABAB AO AB AO AO⋅=⋅⋅=，同理可得22AD AC AO AC AO AO⋅=⋅⋅=，所以()18220AO AB AC AO AB AO AC +=⋅+⋅=+=．考查了平面向量的数()393922425220248181AB AC ⎛⎫⎛⎫-+225247204314AB AC AC⎛⎫⎛⎫--224742162014160AB AC ⎛⎫⎛⎫=-根据余弦定理可得：cos 216BAC BA AC ∠==⋅ cos AB AC =8181281160201110．重心 D ．垂心得0AH CB ⋅=，0BH AC ⋅=，故H 是三角形的垂心，应选答案D ．0BH AC ⋅=，由此可H 推断是三角形的垂心，从而使得问题简捷、如图，D 、F 分别是AB 、PC 的中点，连PD ，DM ，FM ，则有2PA PB PD +=，而2PA PB PC PM ++=，∴()22PC PM PD DM =-=，即有2PCDM PF ==，有DM 与PF 共线， ∵ABC 的外接圆的的圆心是M ，有MD AB ⊥，则PC AB ⊥，同理有PB AC ⊥，PA BC ⊥， ∴P 是ABC 的垂心. 故选：D.2020·江西）已知443．内心D．垂心则四边形ADFE 是菱形，且AB AC AF AD AE c b→→→→→=+=+．AF ∴为BAC ∠的平分线．0aOA bOB cOC →→→→++=()()0a OA b OA AB c OA AC →→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC →→→→++++=，∴()b c bc AB AC bcAO AB AC AF a b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A ∴，O ，F 三点共线，即O 在BAC ∠的平分线上．同理可得O 在其他两角的平分线上，O ∴是ABC 的内心．故选：B ．B ．1 D= NA NB．外心，重心，垂心NA NB NC∴==，||||||PA PC-=，()0CA=，PA6.（2020·江苏海陵）已知点G 为ABC 的重心，120A ∠=︒，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是（ ）A ．33B ．22C ．23D ．34【答案】C【解析】如图所示，设BC 的中点为M ，由三角形重心性质可得23AG AM =， 又M 为BC 中点， ()12AM AB AC ∴=+，21()33AG AM AB AC ∴==+， 则221||23AG AB AC AB AC =++⋅. 又2AB AC ⋅=-，120A ∠=︒，由向量的数量积定义可得，cos1202AB AC AB AC ︒⋅=⋅⋅=-，4AB AC ∴=.22112424333AG AB AC AB AC ∴=+-≥-=，当且仅当2AB AC ==时等号成立，即AG 的最小值23. 故选：C .7.（2020·云南）已知点O 为三角形ABC 的外心（各边中垂线的交点），4AB =，则AB AO ⋅=（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】如图，设AB 的中点为D ，则12AD AB =， 所以cos AB AO AB AO OAD ⋅=⋅∠21116=822AB AD AB =⋅==⨯. 故选：A.同理392AO AC m n →→⋅=+， 又2111()()2222AO AB AD AB AB BD AB AB →→→→→→→→⋅=⋅=+⋅==， 同理92AO AC →→⋅=， 所以342239922m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1349m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以有序实数对14(,),39m n ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：14,39⎛⎫ ⎪⎝⎭的重心，且【解析】因为cos2所以1cos 2A =或cos 2A =（舍去）. 设BC 边上的中线为AD ，如图所示：因为273AP =，所以7AD =， 又因为()12AD AB AC =+， 所以()222124AD AB AC AB AC =++⋅， 所以()22172cos 4c b bc A =++，2211722242⎛⎫=++⨯⨯ ⎪⎝⎭c c ， 化简得22240c c +-=，解得4c =或6c =-（舍去）.故答案为：4。
(2021年整理)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(1)
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高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考）a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝错误!e xd x ，c ＝错误!sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a 〈c <bB ．a 〈b <cC ．c <b <aD ．c 〈a 〈b[答案］ D［解析] a ＝错误!x d x ＝错误!x 2｜02＝2，b ＝错误!e x d x ＝e x |02＝e 2－1〉2，c ＝错误!sin x d x ＝－cos x ｜02＝1－cos2∈（1,2),∴c <a 〈b 。
专题62 空间几何体表面积与体积的计算 -2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)
1/ 18第62题 空间几何体表面积与体积的计算一．题源探究·黄金母题如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比．【答案】1:5【解析】设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，则截出的棱锥的体积为1111326V abc abc =⨯=，剩下的几何体的体积21566V abc abc abc =-=，所以12:1:5V V =【试题来源】人教版A 版必修二第28页习题1.3A 组第3题【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何体的体积公式即可正确作答．但须注意设出长方体的三条棱长,,a b c 参与辅助解答．【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚两点：（1）正确识别几何体的类型；（2）正确选用体积公式与面积公式．二．考场精彩·真题回放【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．2/ 18【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧面积）的计算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.【学科素养】数学运算、直观想象 【难点中心】（1）对简单几何体的考查主要围绕体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息．（2）求锥的体积确定其高是一个难点．三．理论基础·解题原理考点一 棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的n 边形与n 个平行四边形组成；n 棱锥的展开图由一个n 边形与n 个共顶点三角形组成；n 棱台的展开图由两个相似的n 边形与n 个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为a 的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋． 考点二 圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长．3/ 18考点三 柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即13V Sh =圆锥．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是213V r h π=圆锥． 考点五 台体的体积台体（棱台、圆台）的体积由上底面积S 、下底面积S '、高是h 确定，即1()3V S SS S h ''=++圆台．特别地，上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221()3V r Rr R h π=++圆台．考点六 球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】从近年的全国及各自主命题省市的高考题看，基本上每一套课标卷都对空间几何体的表面积或体积进行了考查，它既可出现在客观题中，也可以出现在解答题中．考向1 柱体的表面积与体积半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A ．44B ．54C ．88D ．108【温馨提醒】圆柱的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，因此只要计算出侧面积4/ 18【答案】C与一个底面的面积，其表面积就可求，而侧面积可以利用侧面展开图得到．计算棱柱的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解，n 通常情况下棱柱的展n 开图由两个全等的边n 形与个平行四边形组成．考向2 锥体的表面积与体积在梯形中， ， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的 体积为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【温馨提醒】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查。