信号与系统 §9.2 常系数线性差分方程的求解

A1n A0
xn A
x n r
n n
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C 2 r
n
n
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
齐次解：C r
yn ayn 1 0
或由特征方程 r a 0, 可得r a
设y 1 2 a ,
指数形式
n Cr n Ca n y
求待定系数
令n 0
由方程解 yn
Hale Waihona Puke Baidu
C由边界决定
y0 ay 1 2
y0 Ca C
0
n
所以C 2
齐次解
y n 2a
根据特征根，解的三种情况
1.无重根 r1 r2 rn
n
n阶方程
n n
yn C1 r1 C 2 r2 C n rn
2.有重根
3.有共轭复数根
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
输入 an x n e
n
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即 y 1 y 2 0
经典法：齐次解+特解
求解方法
卷积法
x n e
j n
输出 an yn Ae
yn Ae
jn
xn cos n xn sin n
x n n
k
yn A cos( n ) yn A sin( n )
yn Ak n Ak 1n
k k 1
§9.2 常系数线性差分方程 的求解
解法
1.迭代法
2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系，
但得不到输出序列 n的解析式 y
二．时域经典法
1.齐次解：齐次方程的解