高等数学中的重要思想方法
数学思想方法在高等数学教育中的作用
数学思想方法在高等数学教育中的作用数学思想方法在高等数学教育中的作用数学作为一门科学，是研究数量、结构、变化以及空间等方面的学科。
而数学思想方法则是在解决问题时所采用的一种思考方式。
在高等教育中，数学思想方法的重要性不言而喻，它可以培养学生的逻辑思维能力和创新能力，帮助他们更深入的理解数学概念和知识，从而更好地应用数学知识解决实际问题。
一、数学思想方法对逻辑思维能力的培养数学思想方法要求我们充分的理解数学概念以及使用数学知识去解决问题。
它强调“因果关系”、“推断”的过程，是一种启发式的思考方式。
在解决问题时，我们需要通过分析问题的特点和规律，构建数学模型，寻找问题的规律和解决方案。
这个过程不仅能够培养学生的问题解决能力，而且能够加强学生的逻辑思维能力。
通过加强逻辑思维能力，能够让学生更好的理解数学概念和知识。
例如，在学习微积分的过程中，我们要求学生构建函数极限的概念，通过分析极限的性质和特点，从而确立极限的定义。
这个过程不仅可以加强学生对极限概念的理解，而且还能够培养学生的逻辑思维能力。
二、数学思想方法对创新能力的培养数学思想方法要求我们在解决问题时要发掘问题中的规律，并以创新的思维方式寻找解决方案。
这种思考方式能够培养学生的创新能力，从而使学生能够更好地应用数学知识解决实际问题。
例如，在学习微积分的过程中，我们可以通过微分和积分这两个概念，来解决问题中的相关性以及变化率和增量的概念。
这个过程中需要学生能够灵活运用微积分的概念和方法，从而能够用微积分来解决实际的问题。
这样的学生能够在现实中应用微积分的知识来解决相关的问题。
三、数学思想方法对数学知识的理解数学思想方法要求我们慎重分析数学问题，通过学习数学的基本概念和知识，来解决实际问题。
这个过程中需要学生能够深入地理解数学概念，并将数学概念与实际问题相联系。
例如，在学习向量的过程中，我们需要了解向量的基本概念和性质，从而能够将向量运用到实际的问题中来。
浅谈高等数学教学中数学思想方法的教学
据．
数学 问题是数学生命 的源泉 ，数学思想 与方法是 问题
解决 的技术与手段 ， 数学知识则是认识 的结果． 就数学 问题 、
３ 数学思想方 法的教学原则
数 学学科 的全 部内容 ， 由数学 问题 、 是 数学知识 、 数学 方法与数学思想组成 的系统． 数学思想是人们 对数学知识和 数学方法的本质认识 ，是数学知识与数学方法 的高度 抽象 与概括 ， 属于对 数学规律 的理性认识的范畴 ． 数 学问题 、数学知识 、数学方法 与数学思想是相互影 响 、 相联系 、 同发 展的辨证统一体 ， 互 协 它们的相互作 用 与 相互结合不仅使 数学成 为一个有机 的整体 ，而且推动着数
高等数学是 高等 院校理工类专业学生 的一 门重要的基
础课 ． 高等数学 的教 学 目的 ， 不仅使 学生掌握基础 知识 与基
证其全面成长 的相辅 相成的三个重要 方面． 因此 ， 数学 的教 学是传授知识 、 培养能力 和提高素质 的统一体 ． 学生在 掌握 数学知识 和技能的基 础上 ， 还必须掌握数学 的思想 方法 ， 领
教学． 但是数学思想不是独立于数学知识之外的， 它们是一
个有机的整体． ， 因此 在高等数学 的教学 中 ， 必须遵循一定的
原则 才能取得满意的效果．
是数学方法 的进 一步概括和升华． ， 因此 数学思 想才是 数学
的灵魂 ． ２ 数学思想方法的重要性
３ 渗透性原则 ． １
所谓渗透性原则 ， 是指必须在具体数学知识 的教学中 ，
学 的不 断发展． 纵观数学 的发展历史可 以看 到 ， 人们在 解决
浅析高等数学中蕴含的数学思想
浅析高等数学中蕴含的数学思想摘要:高等数学中蕴含了许多数学思想，最常见的有1，极限思想。
2，转化与划归的思想。
3，函数与方程的思想。
4，数形结合的思想。
5，分类与整合的思想。
6，对应的思想。
本文对每种数学思想进行了阐述，并通过举例来说明。
关键词:数学思想一、问题引入高数老师们经常说：在教学中应该时刻渗透数学思想的内容。
那么在高等数学中蕴含了哪些数学思想呢？老师在教学中又该如何渗透呢？二问题分析（一）极限思想极限思想贯穿整个《高等数学》课程中，是最重要，最常见的思想。
它是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
具体内容是：对于被解决的问题，先设法构思一个与它有关的变量，确认该变量通过无限过程的结果就是所求的问题，最后用极限计算得到结果的一种数学思想。
如导数的概念，要解决的问题是求瞬间变化率，先构造平均变化率，当时间趋向零时，平均变化率就变成了瞬间变化率。
如定积分的概念，要解决的问题是求一个值（面积，体积，路程等），先构造一个近似值（面积微元，体积微元，路程微元等），求这个近似值和式的极限就是最后所求。
（二）转化与化归的思想是把那些待解决或难解决的问题划归到已有知识范围内可解问题的一种数学思想。
如有的高次方程就是通过因式分解转化为低次方程来解决还有如高阶微分方程转化为低阶的微分方程，三重积分转化为二重积分，二重积分转化为定积分等。
（三）函数与方程的思想是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象出其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种数学思想。
（四）数形结合的思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化类解决数学问题的一种数学思想。
（五）分类与整合的思想是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便划归为单一本质属性的问题解决时，根据其不同点旋转适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种数学思想。
高等数学思想归纳总结
高等数学思想归纳总结高等数学是大学数学课程中的重要组成部分，它包含了微积分、线性代数、概率论等方面的知识，具有较高的抽象性和深度。
在学习过程中，我们需要将所学的数学思想进行归纳总结，以便更好地理解和应用这些概念和方法。
本文将对高等数学的思想进行分类与归纳，并对其在实际问题中的应用进行探讨。
一、微积分思想微积分是高等数学的核心内容，它涉及到极限、导数、积分等概念和方法。
在学习微积分的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 极限思想：极限是微积分中最基本的概念之一，它描述了变量趋于无穷大或无穷小时的情况。
通过研究极限，我们能够更好地理解函数的性质，并推导出导数和积分的定义和性质。
2. 导数思想：导数是函数变化率的度量，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
导数具有几何和物理等多种应用，如切线方程、极值判定等。
3. 积分思想：积分是导数的逆运算，它描述了曲线下面积的概念。
积分在计算面积、求解微分方程等问题中具有重要作用。
二、线性代数思想线性代数是数学中重要的分支之一，它涉及向量空间、矩阵、线性变换等内容。
在学习线性代数的过程中，我们需要关注以下几个关键思想：1. 向量空间思想：向量空间是线性代数中的基本概念，它描述了一组向量的集合和向量之间的运算规则。
向量空间可以用来解决线性方程组、矩阵求逆等问题。
2. 矩阵思想：矩阵是线性代数中的重要工具，它可以表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵的运算和性质对于理解线性代数的思想非常关键。
3. 线性变换思想：线性变换描述了一个向量空间到另一个向量空间的映射关系。
线性变换可以用来解决几何变换、图像处理等问题。
三、概率论思想概率论是高等数学中的重要分支，它涉及到随机变量、概率分布、统计推断等内容。
在学习概率论的过程中，我们需要掌握以下几个重要思想：1. 随机变量思想：随机变量描述了实验结果的不确定性，它可以是离散的也可以是连续的。
通过研究随机变量，我们可以得到它的概率分布以及相关的期望、方差等。
高等数学思想归纳总结
高等数学思想归纳总结高等数学思想高等数学是一门基础学科，是数学中的一种综合性学科。
它包含了微积分、数学分析、线性代数、概率论等内容。
高等数学的学习对于理工科和经济管理等专业的学生来说都是非常重要的。
在学习高等数学的过程中，我们会接触到很多的思想和方法，下面就对其中一些常见的思想进行归纳总结。
1. 极限思想极限是高等数学中的一个重要概念。
通过极限的引入，能够使我们更好地理解函数的性质和变化规律。
极限思想的核心是无限逼近的概念，即通过无限逼近将不连续的函数转化为连续的函数。
在极限思想的指导下，我们能够求出各种类型函数的极限值，进而解决很多实际问题。
2. 近似和逼近思想近似和逼近是高等数学中常见的思想之一。
在实际应用中，我们经常会遇到无法精确求解的问题，这时就需要采用近似和逼近的方法。
常见的近似和逼近方法有泰勒展开、数值逼近、线性回归等。
通过这些方法，我们可以在一定程度上对实际问题进行求解和分析。
3. 矢量思想矢量是高等数学中的重要内容之一，它是具有大小和方向的量。
在学习矢量的过程中，我们会接触到一系列关于向量运算和向量代数的概念和方法。
矢量思想可以很好地帮助我们理解空间中的几何关系，解决几何问题。
同时，在物理学和工程学等领域，矢量思想也有着广泛的应用。
4. 泛函分析思想泛函分析是数学分析的一个分支领域，它研究的对象是函数空间中的函数。
泛函分析的核心思想是将函数看作向量，通过引入内积和范数的概念，建立函数空间的度量和拓扑结构。
泛函分析思想在数学、物理学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。
5. 微分方程思想微分方程是数学中研究变化规律的一种方法和工具。
通过微分方程的建立和求解，我们可以描述和分析很多实际问题，比如物理学中的运动问题、生物学中的增长问题等。
微分方程思想的核心是将问题抽象成数学模型，通过求解微分方程来得到解析解或数值解。
以上仅是高等数学中常见思想的一部分，还有很多其他思想和方法没有涉及到。
高等数学的学习需要我们掌握和运用这些思想，通过理论的学习和实际问题的解决，提高自己的数学思维和解决问题的能力。
高等数学的思想总结是什么
高等数学的思想总结是什么高等数学是大学数学的重要组成部分，是数学的一门基础课程。
它通过引入极限的概念，建立了微积分的理论体系，并在此基础上进一步发展了数学的许多分支，如微分方程、多元函数、级数等。
高等数学的思想总结可以从以下几个方面来展开：1. 极限与连续的思想：高等数学最核心的思想之一是极限的思想。
通过引入极限的概念，我们可以研究数列和函数的性态与趋势，从而建立微积分的理论体系。
极限的概念也使我们能够定义出函数的连续性，进而研究函数的导数和积分等相关概念。
2. 微分与积分的思想：微积分是高等数学的核心内容之一，它以导数和积分为基础，研究函数的变化率、曲线的切线、曲线下的面积等问题。
微分与积分的思想让我们能够解决实际问题中的优化、曲线拟合、面积求解等问题，是应用数学中不可或缺的工具。
3. 代数与方程的思想：高等数学中的代数与方程思想在建立数学模型和解决实际问题中起着重要的作用。
代数的思想使我们可以抽象出一般的数学规律和性质，进而研究和解决更为复杂的问题。
方程的思想则提供了解决等式和不等式的方法，并且在求解函数的性质、求解方程组等方面具有重要的作用。
4. 几何与图形的思想：高等数学中的几何与图形的思想不仅包括平面几何、立体几何的基本概念和性质，还涉及到向量、坐标系、空间曲线等更为抽象和广义的概念。
几何与图形的思想可以帮助我们理解和研究抽象的数学结构，同时也有助于解决与空间相关的实际问题。
5. 推理与证明的思想：高等数学强调推理和证明的能力培养，这是数学思维的重要组成部分。
通过学习高等数学，我们能够培养逻辑思维、严谨推理和精确表达的能力，这对于在数学和其他学科中的研究和应用都具有重要的意义。
综上所述，高等数学的思想总结可归纳为极限与连续的思想、微分与积分的思想、代数与方程的思想、几何与图形的思想以及推理与证明的思想。
这些思想不仅构成了高等数学的理论基础，也在应用数学中起着重要的作用，促进了数学在科学研究和实际应用中的发展。
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是数学中一种非常重要的思想方法，其应用广泛，可以解决各种问题。
在高等数学学习中，总结归纳法也是必不可少的一种方法，能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念和理论，解决各种数学问题。
下面就是对高数解题中总结归纳法的应用的一些总结。
一、数列问题数列问题是总结归纳法最常用的应用之一。
在数列问题中，我们可以使用归纳法的方法，递推求出数列的通项公式，从而得到数列的一些性质和定理。
例如：1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果已知a1和d，则可以通过递推求出数列的通项公式an=a1+(n-1)d，然后通过归纳法证明。
3. 证明斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其通项公式为an=F(n)=[(1+sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)-[(1-sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)，可以通过递推求出，然后通过归纳法证明。
二、数学归纳法证明数学归纳法是总结归纳法中最常见的一种方法，可以用来证明各种数学定理和命题。
归纳法的基本思想是：对于某个命题或定理，如果已知它对某个整数成立，同时又知道它对某个整数k+1成立，那么可以推导它对所有大于等于该整数的整数也成立。
例如：1. 证明等差数列的前n项和公式：首先假设k=1时该公式成立，那么对于k+1时，有Sn+1=S(n+1)+a(n+1)，代入等差数列通项公式可以得到Sn+1=1/2(n+1)(a1+an)，证毕。
2. 证明数学归纳法原理：假设P(1)成立，即当n=1时命题成立；再假设当n=k时命题成立，则要证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
证毕。
三、不等式证明不等式证明也是总结归纳法的一种应用方式。
在不等式证明中，我们可以通过找到一些基准式，从而验证不等式的成立。
例如：1. 证明柯西不等式：对于数列a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn，柯西不等式表示(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
论高数教学中数学思想方法的应用
论高数教学中数学思想方法的应用作者：南先本来源：《新校园·上旬刊》2013年第11期摘要：正确的数学学习方法对学生的学习有非常重要的作用，高等数学中的一个重要思想就是转化和归纳，简称为化归。
在高等数学的教学过程中，培养学生的独立思考能力和思维的创新能力是一项系统性的工作。
关键词：数学思想；教学方法；划归；分类应用高等数学的思想指的是在解决数学问题的过程中，提出有见地的数学观点，运用数学知识解决生活中的问题。
数学思想方法的应用主要是指通过科学的方法使学生能够利用数学中的思维方式解决问题，以体现数学的科学性，通过良好的数学思维方式选择比较明确的数学思维方法，从而更好地进行数学学习。
高数的学习方法是通过科学的思维方式对数学进行认识和改造的方法。
数学教育方法主要是关于数学的发展规律、数学教育的思想以及数学方面等思想方法。
掌握数学的思想不仅能够加深对高等数学的认识，还能够提高应用数学中各种思想方法的水平。
本文就高等数学中的转化归纳法和分类法进行了讨论，具体分析了这两种方法在日常数学学习中的应用，希望能够对日后的数学教育工作有所帮助。
一、化归的思想方法高等数学中一个非常重要的思想就是转化和归纳，简称为化归，这种方法是高数学习中一种比较常用的方法，其基本思想是人们在解决数学问题的过程中将较难或者比较陌生的问题转化为另一个比较熟悉或者比较简单的问题，通过后者固定的或者已有的解决模式来为前者提供解决办法，解决这类问题的核心思想就是将未知的向已知的问题进行转化，将复杂的问题向简单的问题转化，就是新知识转化为旧知识的过程。
生活中的大部分问题都可以利用数学进行解决，这当中一方面是命题之间的互相转化，另一方面是强调问题之间、实物和数学之间的联系。
要通过逻辑的归纳，善于将日常生活中的实物进行数字化，按照数学内部的逻辑联系，讨论问题和结论之间的关系，这就为解决新问题提供了更多的途径，通过化归的思维方法来做到基础问题解决方法的积累，然后通过这些知识的积累完成更多更复杂的问题。
高等数学重要思想方法之一——反转化法
高等数学重要思想方法之一——反转化法“反转化法”是指一系列运用特定的数学技术，从而将一个问题转换为另一个问题，通常有利于求解难题的方法。
在高等数学中，“反转化法”是一种重要的数学技术，它不仅帮助我们更好地理解各种难题，而且为我们探索更深层次的知识和理论提供了极大的便利。
首先，反转化法是以两个难题直接的联系来实现的。
以正弦(sinx)的平方根为例，我们可以以此表达式的含义来避免复杂的计算过程： sin^2x=1-cos^2x;反而我们可以使用它来计算正弦的平方根：sin x=sqrt(1-cos^2x);其次，反转化法可以用于构造一些复杂函数的表达式，以此来求解某个特定的问题，这种方法可以帮助我们成功求解复杂的数学问题。
以多项式为例，由于其表达式极其复杂，我们通常无法从单一的方程式中获得解决方案，但它可以被反转化为多个简单的方程，从而成功求解。
此外，“反转化法”还可以被用来求解一些不可分离的问题，即当一个问题的解决方案可以被分解为一系列有关联的子问题时，“反转化法”是一个有效的方法。
例如，“最大优化法”中的多项式最优化问题，它通常会将一个复杂的最优化问题拆分成一系列子问题，然后用反转化法来进行处理，使用反转化法可以分解复杂的问题，从而更容易求解。
最后，“反转化法”还可以被用来解决计算机科学中的一些问题，例如数据结构的设计、优化算法的实现等等。
通过反转化法，我们可以将复杂的算法转换为一系列容易处理的子算法，从而提高算法的效率。
由此可见，“反转化法”在高等数学中扮演着非常重要的角色，它不仅可以用来求解复杂难题，而且极大地为我们探索深层次知识和理论提供了便利。
我们应该好好利用它，发挥其出色的功能。
高等数学中的几种思维方法
高等数学中的几种思维方法作者：周金城来源：《读写算·教研版》2017年第01期摘要：学习数学不只是掌握现成的公式、定理，更重要的是掌握科学的思维方法。
本文探讨了如何运用多种教学方法在高等数学教学中努力培养大学生的思维品质。
关键词：高等数学；思维方法；培养中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）01-247-01数学教育的主要任务应该是培养学生具有创造性的数学能力和解决实际问题的能力。
学生学习数学，不仅要掌握数学知识、技能和能力，而且要掌握数学思维的方法，促进思维的发展。
“高等数学”是高等教育中的一门重要基础理论课，对学生素质的培养起着重要作用，“高等数学”所传播的基本概念与方法、蕴涵的数学思想以及由数学思想培养起来的思维能力和素养，将会使学生终生受益。
笔者结合教学实践，总结了高等数学教学中的几种重要的思维方法。
一、归纳思维归纳是数学里一种基本的、重要的思维方法。
著名数学家拉普拉斯指出：“在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。
”归纳思维就是从众多的事物中找出共性和本质的东西的抽象化思维。
从数学的发展可以看出，许多新的数学概念、定理、法则的形成，都经历过积累经验的过程，从大量观察、计算，然后归纳出其共性和本质的东西。
在高等数学中，许多重要结果的得出，都用到了归纳思维。
例如：求某一函数的阶导数，通常的方法是求出其一阶、二阶（有时还要求出其三阶、四阶）导数，再归纳出阶导数的表达式。
又各类多元复合函数求导归纳出连锁法则，进而知道隐函数、参数方程求导，再进一步延伸到空间曲线切线、法平面的求法。
教师在讲解上述这些内容时，不但要使学生掌握归纳方法的要点、本质，更要使学生树立起归纳的意识，并使他们认识到它在创新能力中的作用与价值，使学生能在学习和工作中能有意识的去运用，这样有利于对学生创造思维的培养。
教学中，首先教师要以身作则，要在教学的各个环节给予学生以示范，其次再要求学生去运用，去掌握。
浅谈高等数学中极限思想及其应用
浅谈高等数学中极限思想及其应用
高等数学中的极限思想是解决很多数学问题的基础，它直接或间接地影响着数学研究中各
个领域的发展，对数学的发展起到了非常重要的作用。
极限的概念源于古希腊数学家坎伯乐，他研究函数时发现函数可以趋于一个固定值，当函
数满足某些条件时，就收敛到一个值，这个值就是函数的极限，从而发展出了极限的概念。
古希腊数学家特拉法尼希将坎伯乐的极限思想进行了进一步发展，把概念化，形成了极限
的定义，推导出了极限的几何学定理，奠定了极限法在数学发展中的地位。
极限的应用主要集中在微分、积分、几何和微分方程中，现代数学发展的离不开极限的思想，几乎所有数学问题的解法中都有极限的踪迹。
比如微分学中，著名的微积分方程及其
解法，正是利用极限思想得出的。
物理学的新发展与极限思想也息息相关：物理量的变化
可以简单地用极限知识来分析和推导，从而取得重要的结论。
总之，极限思想是高等数学中不可或缺的一部分，它是解决复杂数学问题的重要方法，它也在许多学科领域得到了广泛的应用，发挥着不可替代的作用。
高等数学及其思想方法与实验
高等数学及其思想方法与实验
高等数学是建立在初等数学的基础上，具有更深刻、更抽象、更普遍的数学思想，在现代科学中占有重要地位。
高等数学的思想方法包括：
1. 抽象化方法：高等数学中的概念和方法具有很强的抽象性，通过对具体问题的抽象，将其转化为一般性的数学问题，从而简化问题的分析。
2. 归纳与演绎方法：高等数学的证明过程通常采用归纳和演绎方法，通过从已知事实出发逐步推导出新的结论。
3. 数学建模方法：高等数学经常被用于对实际问题建立模型，通过对模型进行分析和求解，得到实际问题的解决方法。
4. 对称性思想：高等数学中的对称性思想十分重要，对称性是很多概念和定理的本质特征，通过对称性的分析，可以得到很多有用的结论。
高等数学的实验通常是通过计算机数值计算的方法进行，利用数值计算求解高等数学中的方程、函数等，从而得到实验结果。
数值计算方法在高等数学中有着越来越重要的地位，它的应用范围广泛，如在物理、工程、化学等领域都有着重要的应用。
数学思想方法有哪些
数学思想方法有哪些
1. 归纳法: 通过对少量特殊情况的验证，从而得到一般情况的结论。
2. 逆向思维: 从已知结果出发，逆向推导出问题的解决方法。
3. 等式变形: 使用代数运算法则，将方程或不等式中的项进行重组和移项，从而简化问题。
4. 反证法: 假设问题的反面而推导出矛盾的结论，从而得出原命题的正确性。
5. 分而治之: 将复杂的问题分解为若干个相对简单的子问题，然后逐个解决这些子问题。
6. 枚举法: 通过穷举所有可能的情况，找出满足条件的解。
7. 几何方法: 利用几何图形的性质和关系，进行推导和证明。
8. 求反函数: 通过求解原函数的反函数，得到问题的解。
9. 近似方法: 将复杂的问题简化为近似的计算方式，得到问题的近似解。
10. 统计分析: 利用统计学的方法对问题进行分析和推断，并得出相应的结论。
高等数学十大极限思想总结
高等数学十大极限思想总结高等数学中的极限思想可以说是整个学科的精髓，它是数学建模和分析的基础，对于理解数学问题的本质和求解复杂问题起着至关重要的作用。
下面我将对高等数学中的十大极限思想进行总结，希望可以帮助读者更好地理解和应用这些思想。
1. 无穷小与无穷大的概念：在极限思想中，我们常常需要讨论当自变量趋于某个值时，函数的行为。
当自变量趋于某个值时，如果函数的取值无限地接近某个有限值，我们将其称为无穷小；如果函数的取值无限地增大或减小，我们将其称为无穷大。
无穷小和无穷大的概念在极限计算中起到了重要的作用。
2. 无穷小代换：当我们计算复杂的极限时，往往不便直接计算，而是通过一些等价转化的方法，将复杂的函数用简单的无穷小函数代替。
这就是无穷小代换的思想。
无穷小代换可以大大简化极限计算的过程，并帮助我们更好地理解函数的极限。
3. 极限的四则运算：极限的四则运算是高等数学中最基本的思想之一。
根据四则运算的性质，我们可以通过已知函数的极限来求解复杂函数的极限。
加减乘除的运算规则为我们解决极限问题提供了一个重要的工具。
4. 复合函数的极限：复合函数的极限是极限思想的重要应用之一。
当我们研究一个复杂函数时，可以将其拆分为若干个简单的函数的组合。
通过对各个简单函数的极限进行分析，再进行复合，得到复合函数的极限。
复合函数的极限可以帮助我们研究复杂函数的性质。
5. 函数列与一致收敛：函数列是高等数学中极限思想的重要内容之一。
通过构造一系列函数，我们可以研究一个函数在某个点或者某个区间上的极限。
一致收敛是函数列中的一个重要概念，它指的是函数列中的每一个函数都在同一个区间上收敛，并且收敛的速度相同。
一致收敛的概念对于理解函数列收敛性质起到了重要的作用。
6. 可导性与极值：可导性和极值是高等数学中对函数局部性质进行研究的重要方法。
通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数在某个点的切线斜率和函数的极值点。
可导性和极值的概念是研究函数本身的性质和函数在某个特定区间上的变化规律的重要工具。
数学思想方法在高等数学教育中的作用
数学思想方法在高等数学教育中的作用
数学思想方法在高等数学教育中发挥了重要作用。
以下是几点
说明：
1. 培养创新思维能力：数学思想方法强调“理性与创造性相结合”，关注问题本质，突破惯性思维，挖掘数学的本质和规律。
这
种思维方式能够培养学生的创新思维能力，使其能够主动思考问题，发掘问题的内在联系，将问题从不同角度来看待，从而提高解决问
题的能力。
2. 促进批判性思维的提高：数学思想方法注重逻辑推理、严密
证明，强调思维的深度和精细度，学习数学的过程需要不断地审视
自己的思维方式，挑战和批判现有观点和结论，这种思维方式能够
促进学生的批判性思维的提高。
3. 增强实际问题解决能力：数学思想方法讲究跨学科思维，将
数学知识和实际问题结合起来，通过模型构建、简化和抽象等方式
研究解决实际问题。
学生通过运用数学思维方法分析问题，提出问
题的本质和特点，将问题归纳到适当的数学模型中，进而研究模型
的特征和解，完成解决实际问题的能力。
4. 培养优秀品质：数学思想方法注重细节和精度，要求学生要
细心、耐心、自律、有条理，这些优秀品质能够培养学生良好的学
习和生活习惯。
同时，在数学研究过程中还需要学会合作和分享，
学习和借鉴别人的思维方式和经验，这能够培养学生的合作和分享
精神。
高等数学重要思想方法之一——反转化法
２０ ０ ６年 １ ２月
百家 庄 职 业 技 术 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｉ ｈ ａ ｇ Ｖ ｃ ｔ ｎ ｌ ｅ ｈ ｏ ｇ ｎｔ ｕｅ ｏ ｒａ Ｏ ｉ ｚ ｕ ｎ ｏ ａｉ ａ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｙ Ｉｓｉ ｔ Ｓ ｊ ａ ｏ ｏ ｔ
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例 ２２ 求 级数 【 分 析 ： 级 数 的 通 项 对
收 稿 日期 ： ０ ６一Ｏ ２０ ９一ｌ ４
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在定 积 分 计算 中 ， 有些 积 分 利 用 无穷 级 数将 被
积函数用其幂级数展开式代替， 逐项进行积分 ， 可不
作者简介 ： 敦冬 梅（９ ４一） 女 ， １６ ， 河北 石家庄人 ， 石家庄职业技术学院剐教授
变代变 再 回到变 的常用 方 法 ． 转化 可分 为 ２种 ： 一 第 种是将 看起来 较 复杂 的问 题通过 适 当的变换 转化 为
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摘 要 ： 从方法论 的角度 ， 借助 实例 从几个方 面介 绍 了反转化法的应用。 明了反转化法 的灵活性与 多变性 说 关键词 ： 高等数学 ； 积分； 反转化法 中田分粪号 ： ６ ２４ Ｇ ４ ． 文献标识码 ： Ａ
转 化是辩 证解 题 的基 本 方 法 ， 等 数学 的基 本 高 问题 决定 了转 化 是 实现 以直 代 曲 到再 回 到 曲 ， 以不
Ｉｃ ２０ ） ｃ． ０６
第 ｌ 第 ６期 ８卷
ＶＯ ． ８ Ｎ（． １ １ １６
文 章 编 号 ：０ ９４ ７பைடு நூலகம்（０ ６０ ０ ８０ １０ ．８ ３ ２ ０ ）６０２ ．２
分类讨论是一种重要的数学思想方法
分类讨论是一种重要的数学思想方法，俗称“化整为零，各个击破,再积零为整”．它是一种基本解题策略，更是高考重点考查内容之一，纵观近几年高考试卷，均涉及到分类讨论思想方法的考查，突出对学生数学能力的考查.常见的分类情形有：按数的特性分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能性分类；按图形的位置特征分类等．2010年绍兴市高三教学质量调测第22（3）题得分率不高，主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。
而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。
每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。
引起分类讨论的主要原因归纳一下主要由以下五种：1、由数学概念引起的分类讨论；2、由数学运算引起的分类讨论；3、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；4、由图形的不确定性引起的分类讨论；5、由参数的变化引起的分类讨论。
含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要用不同的求解或证明方法。
而对参数的分类按什么标准进行分类讨论是我们的难点。
分类讨论思想是指在解决一个问题时,无法用同一种方法去解决,而需要一个标准将问题划分成jL个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。
分类讨论思想是一种重要的教学思想,也是一种典型的逻辑方法,能够正确地利用分类讨应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的区域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．5. 分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。
高等数学的思想总结初一
高等数学的思想总结初一高等数学是一门研究数学中的基本概念、基本原理及其在实际问题中的应用的学科。
初学高等数学，我们需要全面理解和掌握基本的数学概念和思想。
以下是高等数学中的一些重要思想的总结。
一、函数和极限的思想函数是高等数学的核心思想之一。
函数是自变量与因变量之间的一种对应关系，它描述了两个数集之间的关系。
在实际问题中，很多现象和过程都可以用函数来描述和分析。
极限是函数中的一个重要概念，指的是当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋向。
极限可以帮助我们理解函数在某一点的特性，例如是否连续、是否存在最大值和最小值等。
通过研究函数的极限，可以解决很多实际问题。
二、导数和微分的思想导数是描述函数变化率的一个概念，表示函数在某一点的变化趋势。
导数的计算可以帮助我们分析函数的特性，例如函数的递增递减性、拐点等。
微分是导数的一种运算，表示函数在某一点附近的变化情况。
微分的概念在自然科学、工程技术等领域中有广泛的应用，它可以用来描述物理量的变化、函数的近似计算等问题。
导数和微分的思想为我们提供了一种刻画和分析函数的工具，可以帮助我们理解和解决实际问题。
例如，通过求解导数和微分，可以求得函数的最大值和最小值，从而优化问题的解。
三、积分的思想积分是导数的逆运算，表示函数在一定区间上的累积变化量。
积分的计算可以帮助我们求解曲线下的面积、计算物体的体积、求解曲线长度等问题。
积分的思想在实际应用中具有广泛的应用，例如在物理学中，通过对函数的积分可以求解质点的位移、速度和加速度等问题。
在经济学和金融学中，积分可以用来计算消费曲线下的总消费量、计算债券的现值等。
积分的思想为我们提供了一种对连续变量进行量化和分析的方法，它能够帮助我们求解实际问题，从而提高问题的解决效率。
四、级数和数列的思想级数是数列的和的概念。
级数的研究对于理解和分析数列有着重要的作用。
通过对级数的研究，我们可以探索数列的性质、收敛性、发散性等问题。
级数和数列的思想在实际应用中也具有重要的作用。
求解复数方程的常用思想方法
求解复数方程的常用思想方法解复数方程是高等数学、复变函数等课程中非常重要的一部分，常用的思想方法有以下几种：1.代数法：对于给定的复数方程，可以利用代数运算的性质将方程转化为另一个形式更简单的方程来求解。
常用的代数法包括分解法、因式分解法、移项法等。
2. 极坐标法：复数可以表示为一个模长和一个幅角的形式，即 z = r(cosθ + isinθ)。
利用复数的极坐标形式，可以通过等式的模长和幅角的性质来求解复数方程。
通过将方程中的复数表示为极坐标形式，进行相关运算后再转换为直角坐标形式，可以得到最终的解。
3. 共轭复数法：对于给定的复数方程，可以利用共轭复数的性质来求解。
复数的共轭定义为实部相同但虚部符号相反的复数，即z = a + bi，则其共轭复数为z* = a - bi。
通过利用共轭复数的性质进行运算，可以使得方程的虚部相互抵消，从而得到仅含有实数部分的方程。
求解出实数解后，再根据共轭复数的定义求得复数解。
4.代数方程显隐约化法：对于给定的复数方程，可以将方程转化为一个显含有复数解的代数方程或者隐含有复数解的代数方程来求解。
通过隐含约束条件或者显含约束条件，可以消去方程中的复数变量，得到一个只含有实数变量的方程。
通过求解这个新得到的方程，可以得到复数方程的解。
5.求最值法：对于给定的复数方程，可以利用最值性质来求解。
通过求解方程中的最大或最小值，可以得到方程的解。
这种方法常用于求解由复数构成的函数方程、最值问题等。
6.代数方程构造法：对于给定的复数方程，可以通过构造适当的代数方程来求解。
通过设法将复数方程转化为一个代数方程，可以利用已知的代数方程的求解方法来求解复数方程。
上述方法并不是完整的，实际上在求解复数方程时往往需要结合多种方法进行分析求解。
不同的复数方程可能需要采用不同的方法。
要熟练掌握这些方法，需要通过大量的练习和实际问题的应用来提高求解的效率和准确性。
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高等数学中的几种重要思想方法中国地质大学（武汉）徐达摘要:高等数学是工科类本科学生重要的基础课程，对同学们今后的学习、工作有极大帮助。
本文通过列举并分析高等数学学习中的几种重要思想方法，并从这几种方法的原理、应用实例和适用条件等方面入手进行阐释，使高等数学的学习更科学、规范、高效。
关键词：高等数学；思想方法Several important thinking methods of advancedmathematicsXU DaAbstract: Advanced mathematics is an important basis course of engineering courses, which will be helpful for our study and work a lot in future. This article lists and analyzes several important thinking methods of mathematics learning and interprets some aspects of these methods including principles, using examples and suitable conditions. These will make advanced mathematics learning more scientific, normal and concentrated.Key words: advanced mathematics; important thinking methods引言高等数学的学习有着独特的复杂性。
一方面，作为一门基础学科，高等数学在工科课程中有着无法替代的重要地位。
另一方面，高等数学的内容较为繁多复杂，对学习者知识掌握的熟练性和知识运用的灵活性有很高要求，往往令很多同学感到困难或不易接受。
因此，要想将高等数学学好，除了用功稳固知识的掌握，更要能学习这门学科的一些重要思想方法，以此为突破口，才能对课程内容及其延伸有更深的理解，才能将各部分的知识灵活运用，以达到事半功倍的效果。
本文着重总结了在高等数学中运用广泛，对学习者要求较高的四种思想方法，分别是函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想。
如果能将以此为代表的思想方法深入研究、探讨，透彻理解，对高等数学的学习与知识运用有极大帮助。
一、函数与方程的思想函数与方程的思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握这种思想,用函数与方程的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数与方程的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数与方程的思想来解决问题,探索数学世界发展规律的现实意义。
在高等数学中主要应用的是连续性,可微性,可积性等解析性质,这就需要我们从实际问题中找到对应函数并灵活运用这些性质。
现在结合实例进行说明。
例一质量为1g 的质点受外力作用做直线运动，此外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比。
在t=10s 时，其速度为50cm/s ，外力为4g ·cm/s ²，问从运动开始经过一分钟质点的速度是多少？这是高等数学中的一道实际应用题，对函数与方程的思想有明确要求。
首先要正确理解速度与时间的函数v(t)以及外力所产生的加速度与时间的函数a(t)。
若质点t 时刻的速度为v(t),t ＋Δt 时刻的速度为v(t ＋Δt),则Δt 时间内其速度增量为 Δv=v(t+Δt)－v(t),由定_a =()tt t v t v ∆∆+=∆∆，当0→∆t 时，平均加速度的极限为某时刻的瞬时加速度， 即dtdvt v t =∆∆→∆0lim,因此加速度即速度对时间的导数。
所以对于这道题目，我们就可以根据变量间的函数关系得到方程 由外力与时间成正比且与速度成反比即vtkF =，由10=t 时，s cm v 50=，24s cm g F ∙=，可解得20=k ,因此vtF 20=又由牛顿第二定律dtdvma F ==，得到微分方程tdt vdv 20=解此微分方程得c t v +=221021再代入已知条件解得250=c ，因此()500202+=tv当60=t 时，()()s cm v 3.26950060202=+∙=。
解毕由以上分析可以看出，在解含有相关的变量的题目时，应该要有牢固的函数与方程的思想，这种思想的运用在高等数学中比比皆是，是学习高等数学必备的素质二、数形结合的思想利用数形结合便于增强对概念的理解，将概念与空间形式巧妙而和谐地结合起来，可增强解题中的求简意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关图学数学应加强数形结合能力的培养。
任何知识的产生和发展都来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，更是如此。
通过数形结合提高对数学知识的认知能力。
数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。
故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，深入理解数学知识的内涵和外延，并提高解决问题的能力和自主学习能力例如，在导数的应用这一部分中，函数的极值及其求法是重要内容。
在这里有一个需要重点掌握的定理，即极值的第一充分条件：设函数()x f 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域()δ,0x U o内可导。
（1） 若()00,x x x δ-∈时，()00>'x f ，而()δ+∈00,x x x 时，()00<'x f ，则()x f 在0x 处取得极大值（2） 若()00,x x x δ-∈时，()00<'x f ，而()δ+∈00,x x x 时，()00>'x f ，则()x f 在0x 处取得极小值（3） 若()δ,0x Ux o∈时，()x f '的符号保持不变，则()x f 在0x 处没有极值如果只根据定理本身将这个重要知识理解并掌握显然并不容易，这个时候数形结合的思想的重要性就体现出来。
在函数的学习中，函数的图象必然是重要的内容，我们可以根据定理将()x f 的函数图象做出，对极值的第一充分条件获得准确而深入的理解。
在（1）中，当()00,x x x δ-∈时，()00>'x f ，由函数的导数与单调性的关系可知()x f 在区间()00,x x δ-上单调递减，同理在()δ+00,x x 上单调递增，由此我们做出()x f 的大致图像根据函数图象，我们可以对这一定理有直观的理解。
在o x 的邻域oU 内的任一x 有()()0x f x f <，因此()x f 在0x 处取得极大值。
同样的，定理中的（2）、（3）也可由函数图象直观而准确的得到理解。
我们再看一个积分第一中值定理用到的数形结合的简化作用的例子： 若()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点ε，使得()()()⎰-=baa b f dx x f ε积分第一中值定理的几何意义（见上图）是，若f 在[]b a ,上非负连续，则()x f y =在[]b a ,上的曲边梯形的面积等于以()εf 为高，[]b a ,为底的矩形面积。
而()⎰-badx x f a b 1则可理解为()x f 在[]b a ,上所有函数值的平均值。
这是通常有限个数的算术平均值的推广。
通过积分第一中值定理的几何意义，我们很容易就能把握定理所表达的内涵的来龙去脉，从而使学习变得轻松。
三、分类讨论思想解决数学问题,实质上是接收信息、加工信息和输出信息的过程当我们面对较为繁杂无序的信息时,要想尽快地、准确地将有关信息传输到适当的流程中去,首先必须对接收到的信息进行鉴别、判断、分类、梳理,然后逐类进行加工,这就是分类讨论—它是一种十分重要的数学思想方法。
数学中的分类是一种逻辑划分,即在研究解决数学问题时,按照一定的标准,将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分。
实践证明,准确分类是提高解题效率的关键,下面结合两个具体的高等数学问题加以说明。
例一求1lim ++∞→kx kx x e b ae ，其中b a k ,,为常数 该题目中的函数1++=kx kx e b ae y 除了自变量x 以外，还有a,b,k 三个参数,所确定分类标准是找到切入口的关键在上述解答中选定k 作“主参数”，按k 的取值情况进行分类，起到举纲带目。
当0>k 时，原式等于a e e ba kxkx x =++∞→1lim ；当0=k 时，原式等于()b a +21；当0<k 时，因0lim =∞→kxx e ，故原式等于b,解毕。
例二讨论函数()()()1lim 112+++=--∞→x n x n n e bax e x x f 的连续性，其中a,b 为常数。
解：先化简()x f 的表达式当1<x 时，由于()0lim 1=-∞→x n n e，故()()()b ax e bax e x x f x n x n n +=+++=--∞→1lim 112； 当1=x 时,将1=x 代入)(x f 得()()121++=b a x f ； 当1>x 时，()()()211211lim x ee b ax x xf x n x n n =+++=--∞→。
于是()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=2121,x b a b ax x f 111>=<x x x其次讨论()x f 的连续性。
因()()b a b ax x f x x +=+=--→→11lim lim ，()1lim lim 211==++→→x x f x x ，而()()1211++=b a f ，故由连续性的要求得()12111++==++b a b a （1） 当1=+b a 时，()x f 在1=x 处连续，因而()x f 在()+∞∞-,内连续；（2） 当1≠+b a 时，()x f 有一个间断点1=x由这个例题我们可以看出对于一些较为复杂的问题,往往须要多次进行分类讨论,至于分类的标准则应根据解题过程中的具体要求灵活掌握，及时调整。
四、化归与转化的思想化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。