高等数学中的重要思想方法

高等数学中的几种重要思想方法

中国地质大学（武汉）徐达

摘要:高等数学是工科类本科学生重要的基础课程，对同学们今后的学习、工作有极大帮助。本文通过列举并分析高等数学学习中的几种重要思想方法，并从这几种方法的原理、应用实例和适用条件等方面入手进行阐释，使高等数学的学习更科学、规范、高效。

关键词：高等数学；思想方法

Several important thinking methods of advanced

mathematics

XU Da

Abstract: Advanced mathematics is an important basis course of engineering courses, which will be helpful for our study and work a lot in future. This article lists and analyzes several important thinking methods of mathematics learning and interprets some aspects of these methods including principles, using examples and suitable conditions. These will make advanced mathematics learning more scientific, normal and concentrated.

Key words: advanced mathematics; important thinking methods

引言

高等数学的学习有着独特的复杂性。一方面，作为一门基础学科，高等数学在工科课程中有着无法替代的重要地位。另一方面，高等数学的内容较为繁多复杂，对学习者知识掌握的熟练性和知识运用的灵活性有很高要求，往往令很多同学感到困难或不易接受。因此，要想将高等数学学好，除了用功稳固知识的掌握，更要能学习这门学科的一些重要思想方法，以此为突破口，才能对课程内容及其延伸有更深的理解，才能将各部分的知识灵活运用，以达到事半功倍的效果。

本文着重总结了在高等数学中运用广泛，对学习者要求较高的四种思想方法，分别是函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想和转化与化归的思想。如果能将以此为代表的思想方法深入研究、探讨，透彻理解，对高等数学的学习与知识运用有极大帮助。

一、函数与方程的思想

函数与方程的思想自始至终贯穿在高等数学的教材中.很好的掌握这种思想,用函数与方程的方法来解决高等数学中的一些问题,往往可以起到良好的效果.运用函数的方法,引入辅助函数,化静为动,化离散为连续,将所讨论的问题转化为函数与方程的问题加以解决,从而在更“一般”的角度上来解决“特殊”问题.这也正说明了用函数与方程的思想来解决问题,

探索数学世界发展规律的现实意义。在高等数学中主要应用的是连续性,可微性,可积性等解析性质,这就需要我们从实际问题中找到对应函数并灵活运用这些性质。 现在结合实例进行说明。

例一

质量为1g 的质点受外力作用做直线运动，此外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比。在t=10s 时，其速度为50cm/s ，外力为4g ·cm/s ²，问从运动开始经过一分钟质点的速度是多少？

这是高等数学中的一道实际应用题，对函数与方程的思想有明确要求。首先要正确理解速度与时间的函数v(t)以及外力所产生的加速度与时间的函数a(t)。

若质点t 时刻的速度为v(t),t ＋Δt 时刻的速度为v(t ＋Δt),则Δt 时间内其速度增量为 Δv=v(t+Δt)－v(t),由定_

a =

()t

t t v t v ∆∆+=∆∆，当0→∆t 时，平均

加速度的极限为某时刻的瞬时加速度， 即dt

dv

t v t =∆∆→∆0lim

,因此加速度即速度对时间的导数。

所以对于这道题目，我们就可以根据变量间的函数关系得到方程 由外力与时间成正比且与速度成反比即v

t

k

F =，由10=t 时，s cm v 50=，24s cm g F ∙=，可解得20=k ,因此v

t

F 20=

又由牛顿第二定律dt

dv

ma F ==，得到微分方程tdt vdv 20=

解此微分方程得c t v +=2

2102

1

再代入已知条件解得250=c ，因此()

500202

+=t

v

当60=t 时，()

()s cm v 3.26950060

202

=+∙=

。解毕

由以上分析可以看出，在解含有相关的变量的题目时，应该要有牢固的函数与方程的思想，这种思想的运用在高等数学中比比皆是，是学习高等数学必备的素质

二、数形结合的思想

利用数形结合便于增强对概念的理解，将概念与空间形式巧妙而和谐地结合起来，可增强解题中的求简意识，根据问题的条件与结论的内在联系，既分析数式特征，又揭示几何意义，使数量关图学数学应加强数形结合能力的培养。任何知识的产生和发展都来源于对实践的感性认识，在对数学的认识过程中，更是如此。通过数形结合提高对数学知识的认知能力。

数学中的很多知识体系都与形象直观的几何图形有关。故利用数形结合直觉体验知识的发展经历，能加深对概念的认识、理解，深入理解数学知识的内涵和外延，并提高解决问题的能力和自主学习能力

例如，在导数的应用这一部分中，函数的极值及其求法是重要内容。在这里有一个需要重点掌握的定理，即极值的第一充分条件：

设函数()x f 在0x 处连续，且在0x 的某去心邻域()δ,0x U o

内可导。

（1） 若()00,x x x δ-∈

时，()00>'x f ，而()δ+∈00,x x x 时，()00<'x f ，则()

x f 在0x 处取得极大值

（2） 若()00,x x x δ-∈

时，()00<'x f ，而()δ+∈00,x x x 时，()00>'x f ，则()

x f 在0x 处取得极小值

（3） 若()δ,0x U

x o

∈时，()x f '的符号保持不变，则()x f 在0x 处没有极值

如果只根据定理本身将这个重要知识理解并掌握显然并不容易，这个时候数形结合的思想的重要性就体现出来。在函数的学习中，函数的图象必然是重要的内容，我们可以根据定理将()x f 的函数图象做出，对极值的第一充分条件获得准确而深入的理解。

在（1）中，当()00,x x x δ-∈时，()00>'x f ，由函数的导数与单调性的关系可知()x f 在区间()00,x x δ-上单调递减，同理在()δ+00,x x 上单调递增，由此我们做出()x f 的大致图像