初三中考数学 新定义问题
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专题三 新定义问题
【点拨交流】 (1)在图①中，除了已知∠A＝∠B＝∠DEC以外，你还能 找出哪些相等的角？ (2)你知道图①中哪两个三角形相似吗？ (3)你能在图②中作出“相似点”吗？ (4)图③中，你能运用相似的知识求出AB与BC的数量关系 吗？
专题三 新定义问题
【方法总结】 专题三 新定义问题
(2)作法：以CD为直径作圆，它与AB交于点E1，E2，点E1， E2即为所作．
(3)点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个“强相似点”， 可分两种情况：
第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC， AM AE AE AE
则有ME＝EC＝CD＝AB. 过点 E 作 EN⊥MC 于点 N. 由角平分线的性质定理易证 AE＝EN＝EB，
(5)根据新定义，a b＝0可转化成什么等式？
专题三 新定义问题
【方法总结】 专题三 新定义问题
二、定义一个新概念
例2 [2014·自贡] 如图ZT3－1①，在四边形ABCD的边
AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以 把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似， 我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三 个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强 相似点”．
专题三 新定义问题
变式题 对于实数 a，b，定义一种运算“ 为 a b＝a2
＋ab－2.有下列命题：
①1 3＝2；
②方程 x 1＝0 的根为 x1＝－2，x2＝1；
③不等式组－2
x－4<0， 的解集为－1<x<4；
1 x－3<0
④点12，52在函数 y＝x (－1)的图象上．
其中结论正确的是( C )
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
专题三 新定义问题
[解析] 1 3＝12＋1×3－2＝2，故①正确；
∵x 1＝0，
∴x2＋x－2＝0，∴x1＝－2，x2＝1，故②正确； ∵(－2) x－4＝4－2x－2－4＝－2x－2，1 x－3＝1＋x－2－3
＝x－4，
∴－ x－2x4－ ＜20＜ ，0，解得－1＜x＜4， ∴③正确；∵y＝x (－1)＝x2－x－2，
专题三 新定义问题
解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否为 四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形 网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方 形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的AB边上的“强相似 点”； (3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的 点 E 处 ， 若 点 E 恰 好 是 四 边 形 ABCM 的 边 AB 上 的 一 个 “ 强 相 似 点”，试探究AB与BC之间的数量关系．
一、定义一种新运算
例1 [2011·安徽] 定义运算：a b＝a(1－b)，下列给 出了关于这种运算的几点结论：
①2 (－2)＝6； ②a b＝b a； ③若a＋b＝0，则(a a)＋(b b)＝2ab； ④若a b＝0，则a＝0. 其中正确的结论序号是___①__③___(在横线上填上你认为所 有正确结论的序号)．
AM AE 1 则 E 为 AB 的中点，ME＝AB＝2，
专题三 新定义问题
EB 3 AB 2 3 ∠MEA＝∠ECB＝30°，BC＝ 3 ，BC＝ 3 . 第二种情况：△MAE∽△EBC∽△CEM， 则∠CEB＝∠ECM，CM∥EB， 与题意不符，假设不成立． 综上所述， AB 2 3 BC＝ 3 .
专题三 新定义问题
安徽近几年的中考题中出现了一类“新定义”型的创新 题．“新定义”型问题主要是指在问题中定义了一些没有学 过的新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意，并结 合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、 迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学的 新亮点．
┃经典探究 ┃
图ZT3－1
专题三 新定义问题
解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由 如下：
∵∠DEC＝45°， ∴∠DEA＋∠CEB＝135°. ∵∠A＝45°， ∴∠ADE＋∠AED＝135°， ∴∠ADE＝∠CEB. 又∵∠A＝∠B， ∴△ADE∽△BEC， ∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
∴当
1
11
9
x＝2时，y＝4－2－2＝－4，故④错误．故选
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C.
专题三 新定义问题
【点拨交流】 (1)观察新定义运算等式的左边和右边有什么对应关系？
(2)对于结论①，定义中的a，b分别是多少？
(3)按照定义，结论②的左边等于什么？右边等于什么？
(4)结论③的左边含有哪些运算？如何利用条件a＋b＝0 将(a a)＋(b b)的结果进行化简？
【点拨交流】 (1)在图①中，除了已知∠A＝∠B＝∠DEC以外，你还能 找出哪些相等的角？ (2)你知道图①中哪两个三角形相似吗？ (3)你能在图②中作出“相似点”吗？ (4)图③中，你能运用相似的知识求出AB与BC的数量关系 吗？
专题三 新定义问题
【方法总结】 专题三 新定义问题
(2)作法：以CD为直径作圆，它与AB交于点E1，E2，点E1， E2即为所作．
(3)点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个“强相似点”， 可分两种情况：
第一种情况：△MAE∽△EBC∽△MEC， AM AE AE AE
则有ME＝EC＝CD＝AB. 过点 E 作 EN⊥MC 于点 N. 由角平分线的性质定理易证 AE＝EN＝EB，
(5)根据新定义，a b＝0可转化成什么等式？
专题三 新定义问题
【方法总结】 专题三 新定义问题
二、定义一个新概念
例2 [2014·自贡] 如图ZT3－1①，在四边形ABCD的边
AB上任取一点E(点E不与A，B重合)，分别连接ED，EC，可以 把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似， 我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三 个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强 相似点”．
专题三 新定义问题
变式题 对于实数 a，b，定义一种运算“ 为 a b＝a2
＋ab－2.有下列命题：
①1 3＝2；
②方程 x 1＝0 的根为 x1＝－2，x2＝1；
③不等式组－2
x－4<0， 的解集为－1<x<4；
1 x－3<0
④点12，52在函数 y＝x (－1)的图象上．
其中结论正确的是( C )
A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④
专题三 新定义问题
[解析] 1 3＝12＋1×3－2＝2，故①正确；
∵x 1＝0，
∴x2＋x－2＝0，∴x1＝－2，x2＝1，故②正确； ∵(－2) x－4＝4－2x－2－4＝－2x－2，1 x－3＝1＋x－2－3
＝x－4，
∴－ x－2x4－ ＜20＜ ，0，解得－1＜x＜4， ∴③正确；∵y＝x (－1)＝x2－x－2，
专题三 新定义问题
解决问题： (1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否为 四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由； (2)如图②，在矩形ABCD中，A，B，C，D四点均在正方形 网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方 形的顶点)上，试在图②中画出矩形ABCD的AB边上的“强相似 点”； (3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的 点 E 处 ， 若 点 E 恰 好 是 四 边 形 ABCM 的 边 AB 上 的 一 个 “ 强 相 似 点”，试探究AB与BC之间的数量关系．
一、定义一种新运算
例1 [2011·安徽] 定义运算：a b＝a(1－b)，下列给 出了关于这种运算的几点结论：
①2 (－2)＝6； ②a b＝b a； ③若a＋b＝0，则(a a)＋(b b)＝2ab； ④若a b＝0，则a＝0. 其中正确的结论序号是___①__③___(在横线上填上你认为所 有正确结论的序号)．
AM AE 1 则 E 为 AB 的中点，ME＝AB＝2，
专题三 新定义问题
EB 3 AB 2 3 ∠MEA＝∠ECB＝30°，BC＝ 3 ，BC＝ 3 . 第二种情况：△MAE∽△EBC∽△CEM， 则∠CEB＝∠ECM，CM∥EB， 与题意不符，假设不成立． 综上所述， AB 2 3 BC＝ 3 .
专题三 新定义问题
安徽近几年的中考题中出现了一类“新定义”型的创新 题．“新定义”型问题主要是指在问题中定义了一些没有学 过的新概念、新运算、新符号等，要求学生读懂题意，并结 合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、 迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学的 新亮点．
┃经典探究 ┃
图ZT3－1
专题三 新定义问题
解：(1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由 如下：
∵∠DEC＝45°， ∴∠DEA＋∠CEB＝135°. ∵∠A＝45°， ∴∠ADE＋∠AED＝135°， ∴∠ADE＝∠CEB. 又∵∠A＝∠B， ∴△ADE∽△BEC， ∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
∴当
1
11
9
x＝2时，y＝4－2－2＝－4，故④错误．故选
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C.
专题三 新定义问题
【点拨交流】 (1)观察新定义运算等式的左边和右边有什么对应关系？
(2)对于结论①，定义中的a，b分别是多少？
(3)按照定义，结论②的左边等于什么？右边等于什么？
(4)结论③的左边含有哪些运算？如何利用条件a＋b＝0 将(a a)＋(b b)的结果进行化简？