四点共圆

四点共圆

一、知识点梳理

1、四点共圆的概念

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

性质：①圆内接四边形的对角互补；

②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。 2、初中阶段四点共圆的常见判定方法

（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。

（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。 （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，

PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，

PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

A

B

C

D

P

A

C

D

P

3、四点共圆的妙用

巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。

二、例题精练

1、四点共圆的性质

a.例题讲解

1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3

2．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）

A．100°B．112.5°C．120°D．135°

3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．

4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长

8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．

（1）求证：DG⊥AB；

（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．

D

C

B

A

b.举一反三

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC 上一点，则∠BPD不可能为（）

A．40°B．60°C．80°D．90°

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）

A．50°B．55°C．65°D．70°

3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，

CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．

4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．

（1）求证：∠EDF=∠CDF；

（2）求证：AB2=AF•AD；

（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．

2、四点共圆的妙用之边角问题

a.例题讲解

1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .

2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=

3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；

（2）AE=DC；

（3）AE与DC的夹角为60°；

（4）△AGB≌△DFB；

（5）△EGB≌△CFB；

（6）BH平分∠AHC；GF∥AC

4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．

（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，

①求证：∠DAG=∠DCG；

②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；

（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；

b.举一反三

1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，

CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．

2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在

AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．

C

B

3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是

12O O O 、、,求证12=O O OO

2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与

CD 交于点F ．

（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．

b.举一反三

1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．

A

B

B

A

F

三、演练场

1．（2014•东营）如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四

个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：

①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，

DF=AF．

其中正确结论的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一

个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1，则AE=；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．