四点共圆
四点共圆_精品文档
四点共圆引言在几何学中，四点共圆是一个经典的概念，它指的是四个不在一条直线上的点可以构成同一个圆。
本文将介绍四点共圆的基本概念、性质以及证明方法。
基本概念四点共圆是指当给定四个不在一条直线上的点时，存在一个圆可以通过这四个点。
为了方便讨论，我们将这四个点依次标记为A、B、C和D，并假设它们不共线。
这样，我们可以通过构造圆来证明是否四点共圆。
性质根据四点共圆的定义，我们可以得出以下性质：•任意三个点确定一个圆，即如果取三个点A、B和C，那么存在一个圆可以通过这三个点。
•如果四个点A、B、C和D共圆，那么它们的任意三个点仍然共圆，即如果A、B、C和D共圆，那么A、B和C共圆，A、B和D共圆，以及B、C和D共圆等。
证明方法下面我们将介绍两种常见的证明方法，即推论法和向量法。
推论法推论法是一种常见的证明四点共圆的方法，它基于欧氏几何的公理和定理。
以下是一个简单的推论法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。
为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。
首先，选择其中三个点A、B和C。
根据性质1，存在一个圆可以通过这三个点，假设这个圆为O1。
接下来，我们选择点D。
我们希望证明点D也在圆O1上。
为此，我们需要证明点D和圆O1的半径相等。
利用欧氏几何中的定理，我们可以证明从圆心到半径上任意一点的距离相等。
因此，我们只需要证明点D到圆心O1的距离与其他三个点到圆心O1的距离相等。
通过推理，我们可以得出结论：点D也在圆O1上。
因此，四个点A、B、C和D共圆。
向量法向量法是另一种常见的证明四点共圆的方法。
它基于向量的运算和性质。
以下是一个简单的向量法证明：证明：设四个点A、B、C和D不共线。
为了证明它们共圆，我们需要证明存在一个圆可以通过这四个点。
假设圆的圆心为O，我们需要证明向量OA、OB、OC和OD共面。
根据向量运算的性质，我们可以使用向量混合积来判断向量是否共面。
根据向量混合积的定义，我们有以下公式：(OA × OB) · (OC × OD) = (OA · OC) × (OB · OD) - (OA · OD) × (OB · OC)其中，× 表示向量的叉乘，·表示向量的点乘。
四点共圆的性质
四点共圆的性质四点共圆是指四个点在同一圆上的情况，这种情况下四个点之间有一些特殊的性质和关系。
下面我们来详细介绍一下四点共圆的性质。
第一、四点共圆的条件四点共圆的条件是：这四个点上的任意三点不共线。
如果这四个点共线，那么它们无法在同一个圆上，也就不可能满足四点共圆的条件。
第二、四点共圆的性质1. 相交弦定理这个定理指的是：如果通过四个共圆的点中的任意两个点，都可以画出它们之间的弦，那么这些弦两两相交的点也处于同一圆上。
2. 径与弦垂直这个性质是指，如果有一个圆和这个圆上的四个点，那么这个圆的直径将垂直于连接这个圆上的任意两个点的弦。
3. 相交角等于逆角相交角等于逆角是指，如果连接四个共圆的点中的任意两个点，再连接它们各自与另外一个点的连线，那么这两条连线的夹角等于这两个点的逆角（也就是不在这两点的连线上的那个角）。
4. 外接角等于逆角外接角等于逆角是指，如果在四点共圆的情况下，连接四个点中的任意三个点，再连接其中的两条线段的夹角，等于该角所对的另一个角的逆角。
5. 等角对应如果在四点共圆的情况下，有两个角相等，那么它们所对的弧也相等。
6. 关于圆心对称四点共圆的四个点关于这个圆的圆心对称。
这是因为圆心是连接圆上任意两点的直线的垂直平分线，所以两点关于圆心对称的点和它们的对应角度不存在差异。
7. 割线定理割线定理是指，如果通过四个共圆的点中的任意两个点作一条割线，那么它所分割的弦线段的积等于该割线上分离的两个线段的积。
换句话说，割线外的线段上的线段长度之积等于割线上的线段长度之积。
8. 正交性如果在四点共圆的情况下，有两条弦互相垂直，那么这两条弦所对的圆心角也是互相垂直的。
9. 重心结构四点共圆的任意三个顶点都是个点的重心，这个点是这个圆的圆心。
第三、应用四点共圆的性质在各种数学和几何问题中都有广泛的应用，比如，它们可以用于求解三角形、四边形、圆弧的性质；它们也可以用于解构各种形状如星形、轮廓（contour）等的几何图形。
四点共圆_精品文档
四点共圆四点共圆是一个几何学中的概念，指的是四个点在同一个圆上。
定义在平面几何中，给定四个不共线的点A、B、C和D，如果这四个点可以被一个圆围起来，使得这四个点都位于圆的周上，那么这四个点就被称为共圆点，同时被围住的圆称为这四个点共有的圆，也称为这四个点的外接圆。
特性四点共圆的特性如下：1.圆心定理：四个点共圆的圆心是这四个点连线的交点的中垂线相交处。
2.弦的性质：相交于圆弦上的两个弧被它们所包含的圆心角所对应的弧所等分。
3.弧度的性质：共圆的四个点所对应的弧所对应的弧度相等。
4.弧角的性质：共圆的四个点所对应的弧所对应的圆心角度相等。
判定判定四个点是否共圆有多种方法，下面介绍两种常用的判定方法：1.同样圆周角的测量方法：计算并对比四个可能的圆周角，如果它们的度数相等，则这四个点共圆。
2.使用外接圆标准方程判定：根据外接圆标准方程，计算四个点的坐标，并将它们带入方程来验证。
如果四个点坐标满足方程，则这四个点共圆。
应用四点共圆的概念在几何学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1.三角形外接圆：在一个三角形ABC中，如果三个顶点A、B、C共圆，则称这个圆为三角形ABC的外接圆。
外接圆在三角形的各个关系中有着重要的作用。
2.圆的切线：在切点的两侧，圆的切线与切点所对应的弧所对应圆心角的度数相等。
这个性质可以用于证明几何问题。
3.三点定圆：给定三个点，通过它们共圆的圆心和半径，可以确定一个唯一的圆。
这个性质被广泛应用于圆的构造和计算。
总结四点共圆是一个重要的几何学概念，它涉及到圆的构造和性质，具有一定的理论和实际应用价值。
通过学习四点共圆的定义、特性和判定方法，我们可以更好地理解和应用几何学中的相关知识。
四点共圆的9种判定方法证明
四点共圆的9种判定方法证明嘿，咱今天就来聊聊四点共圆的 9 种判定方法证明。
你可别小瞧了这四点共圆，它在数学里那可是相当重要呢！先来说说第一种方法，要是同一底边的两个同侧顶角相等，那这四个点肯定共圆。
就好像是四个小伙伴，他们有着共同的特点，自然而然就聚在一起啦。
再看看第二种，要是线段同侧的两点对线段两端点的张角相等，那它们也能共圆。
这就好比是大家有着相同的“磁场”，相互吸引着围成一个圆。
还有呢，外角等于内对角的四边形，那肯定也是四点共圆的。
你想想看，这就像是一个独特的标志，一下子就把它们联系在一起了。
若两个三角形有一条公共边，且在公共边同侧又有相等的顶角，那这四个点也能共圆。
这就好像是一个大家庭，有着亲密的关系把大家凝聚在一起。
再有就是相交弦定理的逆定理啦，如果两条线段相交，交点把每条线段分成的两条线段的积相等，那这四点不就共圆了嘛。
割线定理的逆定理也不能落下呀，如果从一点向一条线段引两条割线，这两条割线和这条线段交出的两条线段的积相等，嘿，它们也能共圆呢。
同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，这不是显而易见的嘛。
四边形的一组对角互补，那它们也肯定共圆咯。
最后一种，四边形的一个外角等于它的内对角，那也能说明四点共圆呀。
你说这四点共圆的判定方法是不是很神奇？就像一把钥匙，能打开数学世界里的一扇扇奇妙之门。
在解题的时候，只要我们灵活运用这些方法，就能轻松搞定那些看似复杂的问题。
数学的世界就是这么充满魅力，四点共圆只是其中的一小部分。
我们在探索的过程中，不断发现新的规律和方法，就像是在挖掘宝藏一样。
每一个发现都让我们兴奋不已，让我们更加热爱数学这个神奇的领域。
所以呀，大家可别小看了这四点共圆的 9 种判定方法证明，它们可是我们在数学海洋中航行的重要指引呢！好好掌握它们，让我们在数学的天空中自由翱翔吧！。
四点共圆条件 课件
已知点A（$- 1$，$- 1$），B（$- 2$，$- 3$），C（$- 3$ ，$- 2$），以点D（$- 1$，$- 2$）为圆心作圆，下列结论 正确的是( )
提高习题
题目：已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$和直线l ：$ax + by - ab = 0(a > 0,b > 0)$，则( )
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点，然后证明所得线段的两端分别平行于相对 两边的中点连线，最后证明该线段等于相对两边的中点连线的一半，从而证明 了四点共圆。
利用角平分线定理证明
总结词
通过角平分线定理，我们可以证明四 点共圆。
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点， 然后证明相对两边的中点连线将相对 的两个角平分，最后证明相对两边的 中点连线与相对的两边垂直，从而证 明了四点共圆。
A.直角三角形 B.等腰 三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
提高习题
题目
在直角坐标系中，$bigtriangleup ABC$三个顶点的坐标分 别是A（$- 3$，$0$），B（$- 1$，$- 2$），C（$- 2$，$1$），则$bigtriangleup ABC$外接圆的方程为____．
圆心是三个不共线点确定的三角形的 外心，而半径等于从圆心到圆上任一 点的距离。
圆的基本性质
圆的对称性
圆是中心对称和轴对称图形，对 称中心是圆心，任何经过圆心的 直线都可以将圆分成两个对称的 部分。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半。
02
四点共圆的条件
证明几何定理
证明四点共圆的方法
证明四点共圆的方法四点共圆是指四个点可以在同一个圆上。
要证明四点共圆，可以利用静态几何学的基本定理和性质，下面将介绍三种常用的方法。
方法一：利用圆的定义和性质对于任意圆，其上的所有点到圆心的距离都是相等的。
因此，我们可以通过计算四个点到圆心的距离来判断它们是否共圆。
设四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，圆心为O(x0,y0)。
若四个点共圆，则AO=BO=CO=DO。
利用距离公式得到：AO²=(x1-x0)²+(y1-y0)²BO²=(x2-x0)²+(y2-y0)²CO²=(x3-x0)²+(y3-y0)²DO²=(x4-x0)²+(y4-y0)²若AO=BO=CO=DO，那么AO²=BO²=CO²=DO²，即(x1-x0)²+(y1-y0)²=(x2-x0)²+(y2-y0)²=(x3-x0)²+(y3-y0)²=(x4-x0)²+(y4-y0)²。
通过比较以上等式，我们可以判断四个点是否共圆。
方法二：利用圆的定理和性质若四个点共圆，则它们可以共同对应一个圆。
根据圆的定理和性质，我们可以利用以下定理进行推导和证明：1.三角形的外接圆：如果一个三角形的三个顶点都位于一些圆上，那么这个圆叫做这个三角形的外接圆。
2.交角的异弦：如果两条弦分别交于一个圆的两点，那么它们所夹的两个交角相等。
3.切割定理：规定公式pA×pB=pC×pD，其中p是代表点到圆心的距离，A、B、C、D分别是点到圆心的两条弦所分割的两部分。
根据以上定理和性质，我们可以进行推导和证明四点共圆。
方法三：利用方程推导和证明利用坐标系中的几何图形的方程进行计算和推导是另一种证明四点共圆的常用方法。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
四点共圆的判定方法
四点共圆的判定方法四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中经常会遇到。
那么如何判断四个点是否共圆呢？本文将介绍四种方法，包括解析几何法、向量法、余弦定理法和三角形面积法。
以下是详细的方法：一、解析几何法1. 假设已知四个点的坐标分别为A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3,y3）和D（x4, y4）。
2. 计算出AB、AC和AD三条线段的长度，分别记作a、b和c。
3. 根据勾股定理可以求出三角形ABC、ABD和ACD的面积S1、S2和S3。
4. 如果S1+S2+S3等于ABC三角形的面积，则说明四个点共圆。
二、向量法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 分别计算出向量AB、AC和AD的叉积，得到三个向量的模长，分别记作a、b和c。
3. 计算出向量AB与AC之间的夹角α，向量AB与AD之间的夹角β，以及向量AC与AD之间的夹角γ。
4. 如果α+β+γ等于180度，则说明四个点共圆。
三、余弦定理法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 计算出AB、AC、AD、BC、BD和CD三对线段之间的夹角，分别记作α、β和γ。
3. 根据余弦定理可以求出三个角的余弦值cosα、cosβ和cosγ。
4. 如果cosα+cosβ+cosγ等于0，则说明四个点共圆。
四、三角形面积法1. 假设已知四个点A、B、C和D。
2. 构造三角形ABC和ABD，分别计算出它们的面积S1和S2。
3. 构造三角形ACD和BCD，分别计算出它们的面积S3和S4。
4. 如果S1+S2等于S3+S4，则说明四个点共圆。
总结：以上就是判断四点共圆的四种方法，其中解析几何法比较简单易懂，适用于初学者；向量法需要一些向量知识，但计算较为简便；余弦定理法需要一些三角函数知识，但也比较容易掌握；三角形面积法则需要计算多个三角形的面积，稍微有些繁琐。
根据实际情况选择合适的方法进行判断即可。
四点共圆知识点总结
四点共圆知识点总结四点共圆是指如果四个点A、B、C、D在同一圆上，那么称这四个点共圆。
四点共圆是圆的性质之一，也是解几何问题中常见的题型。
在这篇文章中，我将对四点共圆的性质、证明方法、应用以及相关定理进行总结和归纳。
一、四点共圆的性质1. 四点共圆的定义四点共圆是指若四个点A、B、C、D在同一圆上，那么称这四个点共圆。
这就是四点共圆的基本定义。
2. 四点共圆的性质四点共圆具有以下性质：（1）任意三个点共圆，那么这三点构成的圆上的所有点也共圆。
（2）如果四个点共圆，那么这四个点所在的圆是唯一的。
3. 四点共圆的方法确定四点共圆的方法一般有以下几种：（1）利用圆的性质，通过证明四个点在同一圆上，从而得出四点共圆的结论。
（2）通过等角的关系来证明四点共圆。
二、证明四点共圆的方法1、利用圆的性质证明四点共圆的方法之一是利用圆的性质。
根据圆的性质，我们可以利用圆的直径、相交弦的性质等进行证明。
比如，通过证明四边形的对角线互相平分、垂直平分或者等长等等，从而得出四点共圆的结论。
2、利用等角关系利用等角的关系也是证明四点共圆的一种常见方法。
当我们能够找到四点共圆的特殊角度关系时，就可以得出四点共圆的结论。
比如，利用相交弦与此弦的交点处的两个相等角，利用垂径定理等等。
三、四点共圆在解题中的应用四点共圆是解几何问题中常见的题型，尤其是在证明题中经常会用到四点共圆的性质。
常见的应用有以下几个方面：1、辅助证明定理在证明定理的过程中，我们经常需要利用四点共圆的性质来推出结论。
比如，证明一个四边形为菱形或者矩形时，就可以利用四点共圆的性质。
2、判断点的位置在解题过程中，有时需要判断一个点是否在同一圆上，这就需要利用四点共圆的性质来确定。
3、证明等价关系在解题中，有时候需要利用四点共圆的性质来证明等价关系，比如利用四点共圆来证明辅助线与所给线段平行等等。
四、四点共圆的相关定理在几何中，和四点共圆相关的定理较多，下面介绍几个常见的定理：1、相交弦定理在一个圆上，如果两条弧所对的两条弦相交，那么这两个相交点和弦的两端点构成的四个点共圆。
四点共圆
四点共圆一、知识点梳理1、四点共圆的概念如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
性质：①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
2、初中阶段四点共圆的常见判定方法（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
ABCDPAB CDP3、四点共圆的妙用巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。
二、例题精练1、四点共圆的性质a.例题讲解1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：32．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）A．100°B．°C．120°D．135°3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．（1）求证：DG⊥AB；（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．DCBAb.举一反三1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（）A．40°B．60°C．80°D．90°2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC 延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．（1）求证：∠EDF=∠CDF；（2）求证：AB2=AF•AD；（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．2、四点共圆的妙用之边角问题a.例题讲解1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；GF∥ACHFGEDA C4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；b.举一反三1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．C2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．B3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是12O O O 、、,求证12=O O OO2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F ．（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．ABb.举一反三1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ．求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．B AF三、演练场1．（2014•东营）如图，四边形ABCD 为菱形，AB=BD ，点B 、C 、D 、G 四个点在同一个圆⊙O 上，连接BG 并延长交AD 于点F ，连接DG 并延长交AB 于点E ，BD 与CG 交于点H ，连接FH ，下列结论：①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG 为⊙O 的直径时，DF=AF ． 其中正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．42．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP=1，则AE= ；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．3．（2018•路南区三模）如图1，已知∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边△BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．（1）当OB⊥AM时，点O ∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；（2）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，求证：点O 在∠MAN的平分线上；（3）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，求证：△ABO∽△ACP；设AP=m，直接写出AC•AO的值（用含m的式子表示）；（4）若点D在射线AN上，AD=2，⊙K为△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP与⊙K相切时，请直接写出点A与点O的距离．4．（2018春•历下区期末）如图，已知菱形ABCD边长为4，BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．（1）如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的前提下，求EF的最小值和此时△BEF的面积；（3）当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则∠AMD大小是否变化请说明理由．5．（2018•泉州二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．（1）求证：∠BFE=∠ADE；（2）求BF的最大值；（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．6．（2015秋•南岸区期末）在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F 在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=，DF=3，连接EG，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F 在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．。
四点共圆常用公式
四点共圆常用公式一、四点共圆的概念四点共圆是指平面上的四个点在同一圆上的几何关系。
如果四个点A、B、C和D共圆，即存在一个圆，使得这四个点都在圆上，那么我们称这四个点共圆。
二、四点共圆的性质1. 任意两条相交的弦所对的弧等于它们所夹的角这个性质可以用公式表示为：∠ACB = 1/2(α + β)，其中α和β为相交弦AB和CD所对的弧的度数。
2. 相交弦的交点到圆心的距离乘积相等如果弦AB和CD相交于点E，且E到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OE×OE'，其中OE'为E关于圆心O的对称点。
3. 弦上两点到圆心的距离乘积相等如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，则有r1×r2 = OA×OB。
4. 弦上两点到圆心距离的平方差等于弦长的平方如果弦AB上任意两点A和B到圆心O的距离分别为r1和r2，弦AB的长度为l，则有r1^2 - r2^2 = l^2。
三、常用公式1. 弦长公式已知弦所对的弧的度数为α，圆的半径为r，则弦的长度可以用公式表示为l = 2r×sin(α/2)。
2. 弦的中点与圆心的距离已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中点与圆心的距离可以用公式表示为d = sqrt((2r)^2 - l^2)。
3. 弦的中垂线长度已知弦的长度为l，圆的半径为r，则弦的中垂线的长度可以用公式表示为h = r - sqrt(r^2 - (l/2)^2)。
四、应用示例假设有一个圆心为O，半径为r的圆，其中AB和CD为两条相交的弦，交点为E。
已知弦AB的长度为l1，求弦CD的长度l2。
根据弦长公式，可得l1 = 2r×sin(α/2)，l2 = 2r×sin(β/2)。
其中α和β为弦AB和CD所对的弧的度数。
根据相交弦的交点到圆心的距离乘积相等的性质，可得r1×r2 = OE×OE'。
四点共圆的6种判定
四点共圆的6种判定
在几何学中，我们了解到四点共圆（Four points on the same circle）是指满足给定四点能够围成一个圆形的结论。
目前存在许多不同的方法来判定一个给定的四点是否能围成一个圆形，其中最常用的有六种：
一、角平分线法：即把给定的四点连成两条边，然后计算这两条边的中点，如果这四个中点能够完成一个圆，则这四个点可以围成一个圆形。
二、垂线法：即绘制外切圆的圆心到直线ABC的三点的垂线，如果三点的垂线相交点在圆内，则四个点可以围成一个圆形。
三、外切圆法：即计算四边形的外接圆，如果外接圆的半径在最近的两段间符合要求，则四个点可以围成一个圆形。
四、三等分线法：即绘制每条边的三等分线，如果相交点都在边上，则四个点可以围成一个圆形。
五、两角平分线法：即把每条边的两个对角给定，并计算它们的中点，如果四个点能够完成一个圆，则四个点可以围成一个圆形。
六、垂直角平分线法：即计算每条边的垂直角平分线，如果相交点都在边上，则四点可以围成一个圆形。
四点共圆判定的方法由此可见，有多种途径可用于确定四点是否能够围成一个圆形，而且每种方法都有其特定优势，手动计算会比较复杂，只要用上数学公式和计算机几何处理程序，就可以完成自动判定。
四点共圆
【四点共圆的性质及判定】判定定理1：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． 判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，若对角互补，则A 、B 、C 、D 四点共圆. 判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，若PA ·PC=PB ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
判定定理5：割线定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 两边AB 、DC 的延长线相交于P ，若PB ·PA=PC ·PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆。
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长解：延长AB 、DC 相较于点P∵∠A=60°∴∠PCB=60° 又∠PBC=90° ∴PC=2BC ，PB=3BC∵四边形ABCD 是圆的内接四边形 ∴PA ·PB=PD ·PC ∴（PB+AB ）·PB=（PC+CD ）·PC∴（3BC+2）·3BC=（2BC+1）·2BC ∴BC=23-2例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长 解：连接BF 。
∵DF=CE ，CD=BC ，∠CDF=∠BCE ∴△CDF ≌△BCE ∴∠CFD=∠BEC ∵∠DCF+∠CFD=90°∴∠DCF+∠BEC=90°∴∠EPC=90°又∠BAF=90°∴∠EPC+∠BAF=180°∴F 、A 、B 、P 四点共圆∴AP ·BF=PF ·AB+AF ·PB ∵△CDF ∽△CPE ∴CD ：CP=CF ：CE=DF ：PE ∴ ： =：=：PE ∴CP=1，PE=12 ∴PF=CF-CP=52 -1= 32 ，PB=BE-PE=52 -12=2∴AP ×52 =32 × +×2，∴AP=F例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长解:∵ ⌒ BC = ⌒ DC ∴∠BDC=∠DBC∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠DBC 又∠ACB=∠BCE ∴△ABC ∽△BEC∴AC:BC=BC:EC ∴(AE+EC):BC=BC:EC即(6+EC):4=4:EC ∴EC=2 ∵AE ·EC=EB ·ED 即6×2=EB ·ED ∴EB ·ED=12 ∵线段EB 和ED 的长是正整数，且三角形两边之和大于第三边 ∴只能是EB=3，ED=4或EB=4，ED=3 ∴BD 的长是7例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P 点，A 、C 、Q 三点共线，求证：OA 2=OP ·OQ证明：延长OF 交⊙O 于E ，连接AP 、OB∵OF ⊥AB ，∴AF=BF∴PA=PB 又OA=OB ，OP=OP∴△AOP ≌△BOP ∴∠APO=∠BPO∵OF ⊥AB ∴ ⌒ AE = ⌒ BE =12 ⌒ AB∴∠AOF=12 ∠AOB ，又∠ACB=12∠AOB∴∠AOF=∠ACB∴A 、O 、P 、C 四点共圆，∴∠OAQ=∠CPQ ∵∠CPQ=∠BPO ，∴∠OAQ=∠BPO 又∠APO=∠BPO ，∴∠OAQ=∠APO 又∠AOQ=∠POA ，∴△OAQ ∽△OPA∴OA ：OP=OQ ：OA ，∴OA 2=OP ·OQ例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB ：BD=PC ：CD证明:过点B 作BE ∥CD 交PO 于E,连接OA 、OB 、OC ∵PA 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA又AD ⊥PO ，∴PA 2=PD ·PO∵PA 是⊙O 的切线，∴PA 2=PB ·PC∴PD ·PO=PB ·PC ∴B 、C 、O 、D 四点共圆，∴∠BDE=∠BCO ∵OB=OC ，∴∠BCO=∠CBO ，∴∠BDE=∠CBO又∵∠CBO=∠CDO ，∴∠BDE=∠CDO∵BE ∥CD ∴∠BED=∠CDO ∴∠BDE=∠BED ∴BD=BE ∵BE ∥CD ∴PB ：BE=PC ：CD ∴PB ：BD=PC ：CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离 解：连接PB 、PC 、ME 、NE∵PM ⊥AB ，PE ⊥BC ∴∠PMB+∠PEB=180°∴P 、M 、B 、E 四点共圆 ∴∠PME=∠PBE同理可证P 、N 、C 、E 四点共圆 ∴∠NCP=∠NEP∵AC 是圆的切线∴∠NCP=∠PBE∴∠PME=∠NEP同理可证∠PEM=∠PNE例7： 在半⊙O 中，AB 为直径，直线CD 交半圆于C 、D ，交AB 延长线于M （MB<MA ，AC<MD ），设 K是△AOC 与△DOB 的外接圆除点O 外的另一个交点，求证：∠MKO=90° 证明：连接BC 、BK 、CK 、AD ，则∠BMC=∠ACD-∠BAC =∠ABD-∠OKC =∠ODB-∠OKC=∠OKB-∠OKC =∠BKC∴B 、M 、K 、C 四点共圆 ∴∠MKO =∠MKB+∠OKB=∠MCB+∠ODB=∠BAD+∠ODB =∠ADO+∠ODB =90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，AC=a ，求：四边形ABCD 的面积（用a表示）解：∵ABCD 是圆O 的内接四边形 ∴AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC∵解：∵ABCD 是圆O 的内接四边形 ∴AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC∵AB=AD ，∠BAD=60° ∴△ABD 是等边三角形∴AB=AD=BD∴AC ·BD=BD ·CD+BD ·BC∴AC=BC+CD∵∠ACB=∠ADB=60°， ∠ACD=∠ABD=60°∴S △ABC =(1/2)AC ·BC ·sin ∠ACB =(1/2)AC ·BC ·sin60° S △ADC =(1/2)AC ·CD ·sin ∠ACD =(1/2)AC ·CD ·sin60° ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =(1/2)AC ·BC ·sin60°+(1/2)AC ·CD ·sin60° =(1/2)AC ·sin60°·(BC+CD)=(1/2)AC ·sin60°·AC = a 2/4A∴△PME ∽△∴PM ：PE=PE ：PN ∴PE 2=PM ·PN ∴PE 2=6×4=24 ∴PE=2【对应练习】 一、选择题1、设ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：(1)sinA=sinC ； (2)sinA+sinC=0；(3)cosB+cosD=0； (4)cosB=cosD ；其中总能成立的关系式的个数是( B ) A 、一个； B 、两个； C 、三个； D 、四个； 2、下面的四边形有外接圆的一定是( C )A 、平行四边形；B 、梯形；C 、等腰梯形；D 、两个角互补的四边形； 3、四边形ABCD 内接于圆，∠A ：∠B ：∠C=7：6：3，则∠D 等于( B )A 、36º；B 、72º；C 、144º；D 、54º； 4、如图1，在四边形ABCD 中，AB=BC=AC=AD ，AH ⊥CD 于H ，CP ⊥BC 交AH 于P ，若，AP=1，则BD 等于( C )A 、；B 、2；C 、3； D；5、对于命题：①内角相等的圆内接五边形是正五边形； ②内角相等的圆内接四边形是正四边形。
四点共圆公式
四点共圆公式四点共圆是一个有趣的数学概念，在咱们的数学学习中可有着独特的魅力呢！咱们先来说说啥是四点共圆。
简单来讲，如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那这四个点就叫四点共圆。
那怎么判断四个点是不是共圆呢？这就不得不提到几个重要的公式和方法啦。
比如说，如果四个点连成的四边形的对角互补，那这四个点就共圆。
这就好比一个四边形，两个对角加起来要是 180 度，那它们肯定是在同一个圆上“玩耍”。
再比如，如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那这四个点也共圆。
这个就有点像在一个圆里，外角和内对角就像是一对默契的小伙伴，它们的关系就揭示了这四个点是不是共圆。
我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸困惑地问我：“老师，这四点共圆到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，这用处可大啦！比如在解决几何问题的时候，知道四点共圆，就能找到一些隐藏的角度关系，让难题变得简单不少呢！”就拿一道题来说吧。
有一个四边形 ABCD，角 A 是 80 度，角 B 是100 度，角C 是120 度，让咱们判断这四个点是不是共圆。
咱们一看，角 A 加角 C 正好是 80 + 120 = 200 度，而四边形内角和是 360 度，所以角 B 和角 D 的和就是 360 - 200 = 160 度。
但是题目中告诉咱们角 B是 100 度，那角 D 就应该是 60 度。
这时候咱们再看，角 A 加角 C 等于 200 度，角 B 加角 D 等于 160 度，两角之和不等于 180 度，所以这四个点不共圆。
在实际生活中，四点共圆的概念也有不少应用呢。
比如说建筑设计中，设计师们可能会利用四点共圆的原理来确保某些结构的稳定性和对称性。
还有在测量领域，当需要确定一些距离或者角度的时候，四点共圆的知识也能派上用场。
总之，四点共圆这个公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了方法，多做几道题练习练习，就能轻松应对啦！希望同学们在学习的过程中，多思考，多探索，发现数学的乐趣和美妙之处！。
(完整版)四点共圆
四点共圆四点共圆的性质及判定：判定定理1：共斜边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．判定定理2：共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． 判定定理3：对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆判定定理4：相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆判定定理5：割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 即：若四边形ABCD 内接于圆，则有BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.例1：如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC 的长例2：如图，正方形ABCD 的面积为5，E 、F 分别为CD 、DA 的中点，BE 、CF 相交于P ，求AP 的长P F E D C B A D C BAD B例3：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，CB=CD=4，AC 与BD 相交于E ，AE=6，线段BE 和DE 的长都是正整数，求BD 的长例4：如图，OQ ⊥AB ，O 为△ABC 外接圆的圆心，F 为直线OQ 与AB 的交点，BC 与OQ 交于P点，A 、C 、Q 三点共线，求证：2OA OP OQ =⋅E A BC D例5：如图，P 是⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于点A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证： ::.PB BD PC CD例6：如图，直线AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6cm 、4cm ，求P 到BC 的距离例7：在半⊙O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线与M（MB<MA，AC<MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO=90°例8：如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：四边形ABCD的面积（用a表示）。
四点共圆的六种判定方法
2 过点B作BG AC于点G,得到GBC=45 解RtABG、RtBCG，求得AC的值
判断方法二
练习3：如图，在四边形ABCD中，ABC ADC=90， CAD=26，则ABD的度数为__6_4_°__
常见的四点共圆模型
亦墨数学 小派老师
若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
若一个凸四边形的一组对角互补，则这个边形的四个顶点共圆。
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆 相交弦定理的逆定理： 若AB、CD两条线段相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 割线定理的逆定理： 若AB、CD两条线段延长后相交于点P，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆 托勒密定理的推广： 若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆
判断方法三
共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆
如图，ACD与 BCD，A B， 则A、B、C、D四点在一个圆上。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
分析：由题可知AFD AOD=90，故A、O、F、D四点共圆。 由四点共圆可得AFO=45，构造直角三角形求出OF的长度。
判断方法三
练习5：如图，若正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是DC边上的一点，DAE=30， 过点D作DF AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ______
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明方法一：共分四种情况设有四个点A，B，C，D，如果它们共圆，可分为以下四种情况进行判定。
第一种情况：四个点都在同一直线上。
当四个点都在同一直线上时，它们不可能共圆。
因为共圆的四个点是不能共线的，如果共线则无法满足圆的特性，即任意三点在同一直线上。
第二种情况：任意两条边都相交于圆心。
当四个点满足任意两条边都相交于圆心时，可以判定它们共圆。
因为在一个圆上，任意两条边都是过圆心的直径，所以四个点形成的四条边都是过圆心的直径，满足共圆的条件。
第三种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线外。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线外时，可以判定它们共圆。
因为圆上的任意三点都不能共线，所以剩下的一个点就是圆心，四个点共圆。
第四种情况：任意三点共线，剩下一点在这条直线上。
当四个点满足任意三点共线，剩下一点在这条直线上时，可以判定它们共圆。
因为根据圆的性质，任意三点在同一直线上时，中间的那个点就是圆心，四个点共圆。
方法二：利用圆的性质验证如果四个点共圆，可以通过验证它们是否满足以下条件来证明。
条件一：四个点在同一平面上。
三维空间中的四个点如果共在同一平面上，则可能共圆。
条件二：四个点两两之间的距离相等。
在共圆的情况下，四个点两两之间的距离必须相等。
条件三：任取三点组成的三角形的外接圆，必须包含第四个点。
构建三角形时，任取三点组成的外接圆上的任意一点，如果包含第四个点，则满足共圆的条件。
条件四：通过四边形的对角线的交点，若可以确定一个圆心，则四个点共圆。
可以通过构建四边形的对角线，找到交点，如果能确定一个圆心，即其中一条边的中垂线与另一边的中垂线相交于一点，且该点距离四个顶点相等，则可以判定四个点共圆。
方法三：利用向量运算判断设四个点的坐标为A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）。
则可以通过向量运算判断四个点是否共圆。
条件一：任取三个点A、B、C，判断它们是否共线。
四点共圆
四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。
四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆)(2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。
解(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2212y x +=并化简得242210x x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则122626,44x x -+==， 1212121221,,2()2124x x x x y y x x +==-+=-++= 由题意得3123122(),()12x x x y y y =-+=-=-+=-，所以点P 的坐标为2(,1)2--. 经验证点P 的坐标2(,1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分(II)解法一【圆的定义】由P 2(1)-和题设知Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x = ① 设AB 的中点为M ，则21)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为214y x =+ ② 由①、②得1l 、2l 的交点为21(,)88N -于是22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+--=，32||4AM =， 22221133||()()4828MN =++-=22311||||||NA AM MN =+=||||NP NA =， 又||||NP NQ =，||||NA NB =，于是||||||||NA NP NB NQ ===,由此可知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …12分 解法二【对角互补】由(1)知2613,)42A ，22(,1),(,1)22P Q ，于是 13311122221226226244244AP AQ K K ，因此，90PAQ ，由轴对称可知90PQB 由对角互补，可知,,,A P B Q 四点共圆。
四点共圆的证明的所有方法
四点共圆的证明的所有方法证明：“四点共圆”的概念是指四个点在同一个圆上。
下面将介绍六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
方法一：通过圆的定义证明1.过给定的四个点中任意三个点相互连接得到三条线段。
2.如果这三条线段的两个线段互相垂直，则可以得出结论：它们共同交于同一个圆心，因此四个点在一个圆上。
方法二：通过圆锥曲线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.将直径完全平分，将A、B两点之间的弦平分。
3.如果C、D两点相等于刚才的这两个点之间的任意一点，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法三：通过三角形内角平分线性质证明1.给定四个点A、B、C、D，选择其中任意两个点A、B，并通过这两个点画出一个与直线CD平行的线段DE。
2.根据三角形的内角平分线性质，线段DE将角ADC与角BDC平分成两个相等的角。
3.如果这两个相等的角的顶点分别为A和B，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法四：通过周重圆定理证明1.给定四个点A、B、C、D。
2.假设AB与CD相交于点E，并假设AC与BD相交于点F。
3.如果EF垂直于CD，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法五：通过正交变换证明1.给定四个点A、B、C、D，假设A、B为直径。
2.进行适当的正交变换，将这个圆形变换为一个单位圆，使得A点位于单位圆的正上方并成为圆心，B点位于单位圆的负下方。
3.如果C、D两点与单位圆有相同的距离，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
方法六：通过托勒密定理证明1.给定四个点A、B、C、D，假设B、D两点在圆内，且BD为这个圆的直径。
2.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD。
3.如果AB×CD+AD×BC=AC×BD成立，则可以得出结论：四个点在同一个圆上。
综上所述，我们介绍了六种不同的方法来证明四个点共圆的情况。
通过不同的几何定理和性质，可以找到不同的路径来达到证明的目的。
证明四点共圆的基本方法
证明四点共圆的基本方法
方法一：利用圆的定义
根据圆的定义，可以通过证明四点到圆心的距离相等来证明四点共圆。
设四点分别为A、B、C和D，圆心为O。
首先，可以计算出四点到圆心O
的距离AO、BO、CO和DO。
然后，证明AO=BO=CO=DO即可证明四点A、B、
C和D共圆。
方法二：利用相交弦的性质
如果四点共圆，则它们所在的圆上的任意两条弦应满足一定的性质。
可以通过证明四点所在的两条弦相交于同一点，或者四点所在的两条弦互
相垂直，来证明四点共圆。
方法三：利用圆心角的性质
若四点共圆，则它们所在的圆上的任意两条弦所对应的圆心角应满足
一定的关系。
可以通过计算四点所对应的圆心角，并证明这些圆心角相等，来证明四点共圆。
方法四：利用欧拉定理
欧拉定理指出，对于任意一个三角形，三个特殊点，外心、重心和垂心，以及三条特殊线，外心连线、重心连线和垂心连线，这些特殊点和特
殊线都共线。
可以利用欧拉定理来证明四点共圆。
方法五：利用共轴性
如果四点共圆，则可以找到与该圆相切的另外一条圆，并通过证明四
点共轴来证明它们共圆。
以上是常见的证明四点共圆的基本方法。
在实际证明中，可以根据具体问题选择合适的方法，并根据具体情况灵活应用。
证明四点共圆时，关键是通过计算和推理来得到所需的结论，一步步论证，使得结论得到充分的证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四点共圆
一、知识点梳理
1、四点共圆的概念
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
性质：①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
2、初中阶段四点共圆的常见判定方法
（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。
（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。
（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。
（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，
PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。
（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，
PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。
A
B
C
D
P
A
C
D
P
3、四点共圆的妙用
巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长等问题。
二、例题精练
1、四点共圆的性质
a.例题讲解
1．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（）A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．1：4：2：3 D．1：2：4：3
2．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=3∠BAC，则∠ADC的度数为（）
A．100°B．112.5°C．120°D．135°
3．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=．
4.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长
8．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F．连接AC，若∠ACD=∠BAD．
（1）求证：DG⊥AB；
（2）若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．
D
C
B
A
b.举一反三
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC 上一点，则∠BPD不可能为（）
A．40°B．60°C．80°D．90°
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若AC=AD，则∠DBC的度数为（）
A．50°B．55°C．65°D．70°
3．如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，
CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为cm2．
4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB2=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．
2、四点共圆的妙用之边角问题
a.例题讲解
1.如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为6，则cos∠BOE= .
2.如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点P为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA：PB=3:4，则PB=
3.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC；
（2）AE=DC；
（3）AE与DC的夹角为60°；
（4）△AGB≌△DFB；
（5）△EGB≌△CFB；
（6）BH平分∠AHC；GF∥AC
4.四边形ABCD是正方形，AC 与BD，相交于点O，点E、F 是直线AD上两动点，且AE =DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G ，连接AG ，直线AG 交BE 于点H ．
（1）如图1，当点E 、F 在线段AD 上时，
①求证：∠DAG=∠DCG；
②猜想AG 与BE 的位置关系，并加以证明；
（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO 平分∠BHG；
b.举一反三
1.在ABC ∆的边AB ，BC ，CA 上分别取D ，E ，F ．使得BE DE =，
CE FE =，又点O 是ADF ∆的外心． 求证：O 在DEF ∠的平分线上．
2.如图，已知ABC ∆中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，︒=∠60B ，F 在
AC 上，且AF AE =． 求证：CE 平分DEF ∠．
C
B
3.已知AD 是ABC ∆角平分线交BC 于D ，ABD ACD ABC ∆∆∆、、外心分别是
12O O O 、、,求证12=O O OO
2.如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与
CD 交于点F ．
（1）证明：A 、E 、F 、M 四点共圆；（2）证明：22AB BM BF AC =⋅+．
b.举一反三
1.如图，已知BA 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，割线BD 、BF 分别交⊙O 于C 、E ，连接AE 、CE ． 求证：BD BC BF BE ⋅=⋅．
A
B
B
A
F
三、演练场
1．（2014•东营）如图，四边形ABCD为菱形，AB=BD，点B、C、D、G四
个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：
①AE=DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，
DF=AF．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一
个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE=；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
3．（2018•路南区三模）如图1，已知∠MAN=60°，点B在射线AM上，AB=4，点P为直线AN上一动点，以BP为边作等边△BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），点O是△BPQ的外心．
（1）当OB⊥AM时，点O∠MAN的平分线上（填“在”或“不在”）；
（2）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，求证：点O 在∠MAN的平分线上；
（3）如图2，当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP
交于点C，求证：△ABO∽△ACP；设AP=m，直接写出AC•AO的值（用
含m的式子表示）；
（4）若点D在射线AN上，AD=2，⊙K为△ABD的内切圆，当△BPQ的边BP与⊙K相切时，请直接写出点A与点O的距离．
4．（2018春•历下区期末）如图，已知菱形ABCD边长为4，BD=4，点E从点A出发沿着AD、DC方向运动，同时点F从点D出发以相同的速度沿着DC、CB的方向运动．
（1）如图1，当点E在AD上时，连接BE、BF，试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；
（2）在（1）的前提下，求EF的最小值和此时△BEF的面积；
（3）当点E运动到DC边上时，如图2，连接BE、DF，交点为点M，连接AM，则∠AMD大小是否变化？请说明理由．
5．（2018•泉州二模）如图1，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．（1）求证：∠BFE=∠ADE；
（2）求BF的最大值；
（3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长．
6．（2015秋•南岸区期末）在正方形ABCD中，点E是对角线AC的中点，点F在边CD上，连接DE、AF，点G在线段AF上
（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接EG，求EG的长；
（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接FH，求证：∠CFH=∠AFD；
（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当
点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生改变？若不改变，求出∠EGH的度数；若发生改变，请说明理由．。