《函数与导数》解题方法总结 学案

《函数与导数》解题方法总结学案

解题策略

1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.

2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.

3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.

4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.

5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()

f x在（a，b）内有极值，那么()

f x在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数()

f x在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数()

f x在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.

6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/()

f x＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与()

f a，()

f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当()

f x在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处()

f x有极大（小）值，则可以确定()

f x在该点处了取到最大（小）值.

7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'()

f x＞0是()

f x递增的充分条件而非必要条件（'()

f x＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'()

f x＞0（或'()

f x＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.

8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.

典型例题

考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法

例1、函数

y=的定义域为

A．(4,1)

--B．(4,1)

-C．(1,1)

-D．(1,1]

-

例2、用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设()

f x=min{2x, x+2,10-x} (x≥ 0),则()

f x的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

考点二.函数的零点

例1、函数

2

x+2x-3,x0

x)=

-2+ln x,x>0

f

⎧≤

⎨

⎩

（的零点个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【方法总结】：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公

式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

例2、设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。

【方法总结】：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观

估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。

例3、已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，求实数a 的取值范围。

【方法总结】：函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决

该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立⇔

⎨

⎧<∆>0

a ；f(x)<0恒成立⇔⎩

⎨⎧<∆<00

a .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.

考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性

例1、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区

间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=

【方法总结】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题

例2、已知函数22

4,0()4,0

x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞

【方法总结】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便

考点四.函数的图象

例1、右图是函数)()(x f y x f y '==的导函数的图象，给出下列命题： ①—3是函数)(x f y =的极值点；②—1是函数)(x f y =的最小值点；

③)(x f y =在0=x 处切线的斜率小于零； ④)(x f y =在区间（—3，1）上单调递增。 则正确命题的序号是 （ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．③④

例2、函数

的图像为

143

13

+-=

x x y ( )

例3、方程内根的个数为

在)2,0(07622

3

=+-x x ( )

A 、0

B 、1

C 、2

D 、3

考点五. 利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围

例1、已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2

3与x ＝1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间

（2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）

恒成立，求c 的取值范围。

考点六 抽象函数

例1、定义在R 上的单调函数()f x 满足(3)f =log 23且对任意x ，y ∈R 都有()f x y += ()f x +()f y ．(1)求证()

f x 为奇函数；(2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

【方法总结】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。