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1、幻方的种类
2、起源记载 3、历史发展 4、幻方欣赏 5、构造原理
一、幻方种类 1、完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等 2、乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等 3、高次幻方 n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、 各列及两条对角线所含的n个数的和相等。 高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻 方条件者，称此幻方为k次幻方。例： 4 9 2
后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的 和的公式为： S=n(n^2+1) /2 其中n为幻方的阶数，所求的数为S. 幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在 2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一 次提起幻方。 中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学 家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中。在 欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。 而在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西 安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在 印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多 年，印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉 伯数字)十三世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果. 直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人 认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符，也把它叫作「Magic Square」. 欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的， 上面有一个四阶幻方，而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514 年）.这是欧洲最古老的幻方.
3 8 5 1 7 6
反幻方 反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任 意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表， 称为“反幻方”。 反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而 反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个 数之和。如下图3阶反幻方的比较
十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方 的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数 学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组 合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的 共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正 逐步得到揭示。它已在组合分析、实验设计、图论、数论、 群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域 得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美 国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在 的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿。
五、构造原理 最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体 幻方、高次幻方世界上很多数学家仍在研究，只讨论平面幻方。 对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其 它偶数(4n+2的形式） 1、 N 为奇数时，最简单： ⑴ 将1放在第一行中间一列； ⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 ⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; ⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。 2、 N为4的倍数时 采用对称元素交换法。 首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心 作对 称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。 （或者将对角线不变，其它位置对称交换也可） **以上方法只适合于n=4时**
四、幻方欣赏 1、富兰克林八阶幻方，是美国著名电学家富兰克林 (1706~1790)制作的八阶幻方 美国著名电学家富兰克林(1706~1790)制作的八阶幻 方，它有一些独特的性质: (1)幻方中的64个数字是从1顺序增加至64; (2)每半行、半列上各数和为130(幻和是260); (3)幻方角上的四个数与最中心四个数和等于幻和值 260;52+45+16+17+54+43+10+23=260; (4)从16到10，再从23到17所成折线"∧"上八个数字 之和也为 260; 且平行这种折线的诸折线"∧"上的八 个数字和也为260。 补充(5)将幻方从中心竖线左右分成两部分，17~48全 在右边，剩下的(1~16、49~64)全在左边。 补充(6)幻方中任意2*8或8*2的数幻和值为260。 另外，在丹布朗的小说《失落的秘符》里，哈佛大 学符号学家罗伯特· 兰登运用富兰克林的八阶幻方的 数字重新排列相应格子中的字符，成功地破解原来 在金字塔底部的图案。
幻方
{是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都 相等的方法。 幻方也是一种中国传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若 干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列 和同一对角线上的几个数的和都相等}
——2016级汽车服务工程本科一班 主讲人：廖清平
目录
(图中边框外围的数字之和就是幻和。红 色为偶数，黑色为奇数)
可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以 部分相同。如下图多种3阶反幻方。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、起源记载 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方 形中，图中任意一横行、一纵行及对角线 的几个数之和都相等，具有这种性质的图 表，称为“幻方”中国古代称为“河图”、 “洛书”，又叫“纵横图” 九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。九宫之数源于《易经》。幻方也称 纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代 的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治 礼仪著作《大戴礼· 明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、 一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是 中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对 中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重 要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在 内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物， 这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。1975年上海人民出版 社出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》，对于幻方作了特别的 述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图 洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代‘组合数学’最古老的发现。” 还附了全书唯一的插图
三、历史发展 幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早起源于中国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。 幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一 幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称 为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是 一样的，这就是我们所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物；而"河图"则是描 述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍. 另外在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的 正面写着：「万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者」，而玉挂的另一面就是 一个四阶幻方. 关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得 天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着 一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河 图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图 有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连 在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们 把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
2、起源记载 3、历史发展 4、幻方欣赏 5、构造原理
一、幻方种类 1、完全幻方 完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等 2、乘幻方 乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等 3、高次幻方 n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、 各列及两条对角线所含的n个数的和相等。 高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻 方条件者，称此幻方为k次幻方。例： 4 9 2
后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的 和的公式为： S=n(n^2+1) /2 其中n为幻方的阶数，所求的数为S. 幻方最早记载于中国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在 2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一 次提起幻方。 中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学 家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中。在 欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。 而在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西 安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在 印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多 年，印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉 伯数字)十三世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果. 直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人 认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符，也把它叫作「Magic Square」. 欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的， 上面有一个四阶幻方，而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514 年）.这是欧洲最古老的幻方.
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反幻方 反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任 意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表， 称为“反幻方”。 反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而 反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个 数之和。如下图3阶反幻方的比较
十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方 的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数 学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组 合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的 共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正 逐步得到揭示。它已在组合分析、实验设计、图论、数论、 群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域 得到广泛应用。1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美 国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在 的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿。
五、构造原理 最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。对于立体 幻方、高次幻方世界上很多数学家仍在研究，只讨论平面幻方。 对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其 它偶数(4n+2的形式） 1、 N 为奇数时，最简单： ⑴ 将1放在第一行中间一列； ⑵ 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放： 按 45°方向行走，如向右上 每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1 ⑶ 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。 例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1; ⑷ 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时， 则把下一个数放在上一个数的下面。 2、 N为4的倍数时 采用对称元素交换法。 首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵 然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心 作对 称交换，即a(i,j）与a(n+1-i,n+1-j）交换，所有其它位置上的数不变。 （或者将对角线不变，其它位置对称交换也可） **以上方法只适合于n=4时**
四、幻方欣赏 1、富兰克林八阶幻方，是美国著名电学家富兰克林 (1706~1790)制作的八阶幻方 美国著名电学家富兰克林(1706~1790)制作的八阶幻 方，它有一些独特的性质: (1)幻方中的64个数字是从1顺序增加至64; (2)每半行、半列上各数和为130(幻和是260); (3)幻方角上的四个数与最中心四个数和等于幻和值 260;52+45+16+17+54+43+10+23=260; (4)从16到10，再从23到17所成折线"∧"上八个数字 之和也为 260; 且平行这种折线的诸折线"∧"上的八 个数字和也为260。 补充(5)将幻方从中心竖线左右分成两部分，17~48全 在右边，剩下的(1~16、49~64)全在左边。 补充(6)幻方中任意2*8或8*2的数幻和值为260。 另外，在丹布朗的小说《失落的秘符》里，哈佛大 学符号学家罗伯特· 兰登运用富兰克林的八阶幻方的 数字重新排列相应格子中的字符，成功地破解原来 在金字塔底部的图案。
幻方
{是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都 相等的方法。 幻方也是一种中国传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若 干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列 和同一对角线上的几个数的和都相等}
——2016级汽车服务工程本科一班 主讲人：廖清平
目录
(图中边框外围的数字之和就是幻和。红 色为偶数，黑色为奇数)
可以说反幻方是一种特殊的幻方。反幻方的幻和可以全部不同，也可以 部分相同。如下图多种3阶反幻方。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、起源记载 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方 形中，图中任意一横行、一纵行及对角线 的几个数之和都相等，具有这种性质的图 表，称为“幻方”中国古代称为“河图”、 “洛书”，又叫“纵横图” 九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。九宫之数源于《易经》。幻方也称 纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于中国古代 的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治 礼仪著作《大戴礼· 明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、 一、八”的洛书九宫数记载。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是 中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对 中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等都产生了重 要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在 内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物， 这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。1975年上海人民出版 社出版的自然辩证法丛书《自然科学大事年表》，对于幻方作了特别的 述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图 洛书纵横图，即为九宫算，被认为是现代‘组合数学’最古老的发现。” 还附了全书唯一的插图
三、历史发展 幻方又称为魔方，方阵或厅平方，最早起源于中国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。 幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一 幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称 为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是 一样的，这就是我们所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物；而"河图"则是描 述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍. 另外在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的 正面写着：「万物非主，惟有真宰，默罕默德，为其使者」，而玉挂的另一面就是 一个四阶幻方. 关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得 天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着 一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河 图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图 有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连 在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们 把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...