模态参数辨识的频域方法
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模态参数辨识的频域方法
吕毅宁
目录
模态参数辨识的频域方法 (1)
单点输入单点输出(SISO) (1)
图解法............................................................................................................ 1 频域多参考点模态参数辨识（MIMO ） ............................................................ 2 频域模态测试和参数辨识的可控性和可观性. (5)
单点输入单点输出(SISO) 图解法
1) 峰值检测 半功率点
)(2
1
)()(21r j H j H j H ωωω=
= （1） r
r ωωωξ21
2-=
（2）
2) 模态检测
()
ir r
jr r r
r
ij r
jr
ir r r r r jr ir r r ij Q A Q j j Q j H ψσψσσψψωσωψψω-=
-=
-=
+-=
)
()(
（3）
式中，r Q 是模态比例换算因子。
在上式中，()
r ij A 是模态质量r m 和模态刚度r k 的函数，又由下面的关系
2r r
r
m k ω= （4）
联立即可求得模态质量和模态刚度。 3) 圆拟合法 固有频率
max ==ω
ωωd ds
r
r （5）
振型
r
er I ij g k H 1
-=
（6）
jr
ir r
er k k ϕϕ=
（7）
er k 是等效模态刚度，r
r
r k g η=
是等效结构阻尼。
()r ij r I
ij
ir r
r jr R g k )(2==-H ϕϕ （8）
模态阻尼
r
g )
1(2tan 211
ωα-=
（9）
r
g )
1(2tan 222
-=
ωα （10）
2
tan
2
tan
22
1
12ωωω+-=
r
r g （11）
模态刚度 由
r
er r I ij g k H 1
)1(-=
=ω （12）
可得
r
r I
ij er g H k )1(1
=-=
ω （13）
模态质量
2
r r
r k m ω=
（14）
其他方法，如正交多项式曲线拟合法，非线性优化辨识方法。
频域多参考点模态参数辨识（MIMO ）
一个N 自由度粘性阻尼线性系统，对它施加P 个激励力，在N 个点上进行响应
测量，则系统的运动方程为，
F KX X C X
M =++ （15）
系统在单位脉冲力作用下的响应矩阵为
)( , )(P N e t t ⨯=L ψH Λ
（16）
ψ为复模态矩阵)2( N N ⨯，Λ为特征值矩阵)22( N N ⨯，L 为模态参与因子矩
阵)2( P N ⨯，N 为模态数。 对（15）进行拉氏变换可得
)()(s s ψT H =
（17） L ΛI T 1)()(--=s s
（18）
速度响应函数
)()()()()()()()(0s s s s s s s t s s s t ψΛT T ΛI ψψT ψL H H H H =--=-=-== （19） 由此可得，
)(0)()(s s s s T ψΛψψL H H ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （20）
即
)
()()(s s s T ψΛψH H ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （21）
设特征值问题形式如下
0=-ψΛA ψ
（22）
即
[]0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-ψΛψI A
（23）
[][]0)()()(=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψL H H I A T ψΛψI A
s s s s （24）
令ψL B =，可得
B H AH -=)()(s s s （25）
令ωj s =，则
B H AH -=)()(ωωωj j j （26）
采用m 个采样频率
),...,2,1( , )()(m i j j j i i i =-=B H AH ωωω
（27）
令
[])()()(21m j j j ωωωH H H D = （28） []I I I
Ωm j j j diag ωωω 21=
（29）
则
[][]D ΩΙΙΙD B A =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡m 2
1 （30）
则
[][]+
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m ΙΙΙD D ΩB A 2
1
（31）
对实测得到的频响函数矩阵)(ωj H 在求特征值问题求响应时会出现病态矩阵。为了解决此问题采用主分量缩减方法，将实测得到的频响函数矩阵)(ωj H 缩减为由其主分量构成的)(/ωj H ，两者的关系
)()(/ωωj j QH H =
（32）
Q 是变换矩阵。
用)(/ωj H 替换推导（31）式时用到的)(ωj H ，则由（31）可以求得A 、B ，进而由（22）或（23）式求特征值问题可得特征值/Λ及特征向量/ψ 由特征向量的变换关系为
Q ψψ=/
（33）
可以求得ψ如下
()
T T Q Q Q ψ1
-=
（34）
则系统的模态参数可以由下式求得
模态频率
22)Im()Re(r r r λλω+=
（35）
模态阻尼