高中物理竞赛辅导教材讲义(高一适用)

第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解5、如图所示，有一河面宽L=1km ，河水由北向南流动，流速v=2m/s ，一人相对于河水以u=1m/s 的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=30°角，船到达对岸要用多少时间？到达对岸时，船在下游何处？（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度？最短时间等于多少？到达对岸时，船在下游何处？（3）若要使船相对于岸划行的路程最短，船头应与岸成多大的角度？到达对岸时，船在下游何处？要用多少时间？（1）船头与正北方向成15°角，船到对岸花多少时间？何处？（2已知水流速度 V ＝2m/s ，船在静水中的速度是 V`＝S ＝1千米＝1000米（1）当船头与正北方向成15°角时，把静水中的航速V`正交分解在平行河岸与垂直河岸方向，垂直河岸方向的速度分量是 V`1＝V`*sin15°＝1.5*sin15°＝1.5*根号[(1－cos30°) / 2 ]＝0.388m/s平行河岸方向的速度分量是 V`2＝V`*cos15°＝1.5*cos15°＝1.5*根号[(1＋cos30°) / 2 ]＝1.45m/s船过河所用时间是 t1＝S / V`1＝1000 / 0.388＝2575.8秒＝42.93分钟 在沿河岸方向的总速度是 V 岸＝V －V`2＝2－1.45＝0.55 m/s在这段时间内，船向下游运动距离是L1＝V 岸* t1＝0.55*2575.8＝1416.7米＝1.42千米即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.42千米远的对岸处。

（2）要求时间最短，船头的指向必须与河对岸垂直，即船头与河岸应90度。

最短时间是 t 短＝S / V`＝1000 / 1.5＝666.67秒＝11.11分钟在这段时间内，船向下游运动的距离是 L ＝V* t 短＝2*666.67＝1333.33米＝1.33千米即船到达对岸的位置是在出发点的下游1.33千米远的对岸处。

北东【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向，A 有向左的速度v ，B 有向右的速度2v ，求交点P 的速度。

【例题2】一人以7m/s 的速度向北奔跑时，感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以1m/s 的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

以自学伽利略变换系，很简单的，主要因为这些都是向量运算，高中阶段可能不好理解，我以坐标系的坐标式表示 第一次人的速度(0,7)，风相对人的速度为(b,-b) 推得风速为(b,7-b)第二次 人的速度为 (1,0)v2vABP风相对人的速度为(a,a) 推得人的速度为(1+a,a) 解方程组就行了，可得(4,3) 风速大小就是5了，方向为arctan(3/4)【例题3】 一人站在到离平直公路距离为d=50m 的B 处，公路上有一汽车以v 1=10m/s 的速度行驶，如图所示。

当汽车在与人相距L=200m 的A 处时，人立即以v 2=3m/s 的速率奔跑。

为了使人跑到公路上时，能与车相遇。

问：（1）人奔跑的方向与AB 连线的夹角θ为多少？（2）经多长时间人赶上汽车？（3）若其它条件不变，人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少？如图所示，一个人站在距离平直公路h=50m 远的B 处，公路上有一辆汽车以v 1=10m/s 的速度行驶．当汽车与人相距L=200m 的A 处时，为了使人跑到公路上时能与车相遇，人的速度至少为多大？此时人应该沿哪个方向运动？用α表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角，θ表示视线与公路间的夹角． 设人从B 处跑到公路上的D 处与汽车相遇，所用的时间为t ， 对△ABD 有：AD=v 1t ，BD=v 2t ，AB=L ，∠ABD=α，sin θ= h Ld Aβv 1据正弦定理列式可得：ADsinα= BDsinθ，即v1tsinα=v2tsinθ，v2=sinθsinαv1=hv1Lsinα要使人的速度最小，sinα应该最大，即α=90°，v2=hv1L=50×10200=2.5m/s．人应该沿垂直AB方向运动．答：人的速度至少为2.5m/s，人应该沿垂直AB方向运动．【练习】1、一艘船在河中逆流而上，突然一只救生圈掉入水中顺流而下。

经过t0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。

问船掉头后要多长时间才能追上救生圈？某传在静水中的速度为54KM\H，现在流速为5M\S的河水中逆流而上，在A处船尾的救生圈掉入水中，半小时被船员发现并立即掉头追赶，问追上时的地方离A处有多远？以河水为参照物，救生圈掉入水中半小时后被发现开始掉头追赶，由于船与河水的相对速度一定，所以掉头追赶的时间等于发现救生圈掉落掉头时的时间等于半小时。

这样，从救生圈从A 处掉落到船掉头追上累计用时：0.5+0.5=1小时1小时的时间救生圈随河水漂流的距离=v 河水*t=5*3600=18000米=18km答：追上时的地方离A 处18km2、平面上有两直线夹角为θ（θ<90°），若它们各以垂直于自身大小为v 1和v 2的速度在该平面上作如图所示的匀速运动，试求交点相对于纸面的速率和相对于每一直线的速率。

第二题：经过时间t 以后，交点的竖直位移是v2t ，水平位移是合位移是s=t√(v2)^2+(v2/tanα+v1/sinα)^2。

下面算根号里边的部分： (v2)^2+(v2/tanα)^2=(v2/sinα)^2，所以根号里边的部分等于(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]， 所以交点速度v=s/t=√(v1/sinα)^2+(v2/sinα)^2+[2v1v2cosα/(sinα)^2]。

先算相对于L2的速度：因为L2是水平的，交点的水平位移是v2t/tanα+v1t/sinα，所以v2’=v1/sinα+v2/tanα=(v1+v2cosα)/sinα，根据对称性，交换一下v1和v2， 就是v1‘=v1/tanα+v2/sinα=(v1cosα+v2)/sinα。

3、如图所示，一辆汽车以速度v 1在雨中行驶，雨滴落下的速率v 2与竖直方向偏前θ角，求车后一捆行李不会被雨淋湿的条件。

1． 如图，一辆汽车以速度v 1与竖直方向偏前θHLθv θv v ≥cos sin 221-4、如图所示，AA 1和BB 1是两根光滑的细直杆，并排固定于天花板上，绳的一端拴在B 点，另一端拴在套于AA 1杆中的珠子D 上，另有一珠子C 穿过绳及杆BB 1以速度v 1匀速下落，而珠子D 以一定速度沿杆上升，当图中角度为α时，珠子D 上升的速度v 2是多大？A 1B 1纸上5、有A 、B 两艘船在大海中航行，A 船航向正东，船速15km/h ，B 船航向正北，船速20km/h 。

A 船正午通过某一灯塔，B 船下午两点也通过同一灯塔。

问：什么时候A 、B 两船相距最近？最近距离是多少？设灯塔点为O ，由斜边大于直角边可得，在12：00前，AB40的。

设当A 经过灯塔h 小时候，AB 相隔最近，S = 15h*15h + (20*2-20*h)*(20*2-20*h)的平方根。

现在就是求S 的最小值了。

最后解的h=1.28小时，S=24。

也就是当A 进过灯塔1.28小时候，即在13时16分48秒时，AB 相隔最近，相隔24千米。

没有画图软件，就不给出图形了，自己画一个就可以了6、一个半径为R 的半圆柱体沿体沿水平方向向右做匀加速运动，在半圆柱体上搁置一竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动（沿图所示），当半圆柱体的速度为v 时，杆与半圆柱体接触点P 与柱心连线（竖直方向）的夹角为θ，求此时竖直杆的速度和加速度。

设竖直杆运动的速度为V1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP在OP 方向的投影相等，解得V1=V0.tgθ.7、在宽度为d 的街上，有一连串汽车以速度u 鱼贯驶过，已知汽车的宽度为b ，相邻两车间的间距为a 。

如图所示，一行人想用尽可能小的速度沿一直线穿过此街，试求此人过街所需的时间。

走一个斜线，假设穿过车队时间为t ，平行街道与车同向的速度为v1，垂直车道方向v2.则(u-v1)t=a.同时v2*t=b 。

则v1=u-(a/b)*v2合速度v=根号下v1平方+v2平方，将上式带进去得到v 与v2的表达式 对v2求导，导数等于0时v2=abu/(a^2+b^2)，则v1=b^2*u/(a^2+b^2)。

可得合速度v=bu/根号(a^2+b^2)。

方向是与街道夹角为A ，tanA=v2/v1=a/b.8、一架飞机以相对于空气为v 的速率从A 向正北方向飞向B ，A 与B 相距为L 。

假定空气相对于地速率为u ，且方向偏离南北方向有一角度θ，求飞机在A 、B 间往返一次所需时间为多少？并就所得结果，对u 和θ进行讨论。

A-B 对地速度：v+ucosθ ∴tº=L/(v+ucosθ )同样 B-A t¹=L/(v-ucosθ ) ∴t=tº+t¹=2Lv/(v²-u²cos²θ ) 若 u>v 且 θ=0 t<0 既不能返回 若 u=v 且θ=0 t=∞ 既不能返回若 u<v 且 θ=0 t>0 返回时间=2Lv/(v²-u²cos²θ ) 若 θ=90º t=2L/v -------(和无风一样） 若 θ为任意角 需讨论v<=>vcosθ三种情况第七讲：匀变速直线运动【知识要点】速度公式：at v v t +=0 ① 位移公式：2021at t v s += ② 推论公式：as v v t 2202+= ③平均速度：20t v v t s v +==④v方向为正上述各式，要注意用正、负号表示矢量的方向。

一般情况下规定初速度方向，a、v t、s等矢量与正方向相同则为正，与正方向相反则为负。

利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。

找出各过程的共同点及两过程转折点的速度、再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解，尽管公式都是现成的，但选择最简单的公式却有很多技巧，解题中要注意一题多解，举一反三，以达到熟练运用运动学规律的目的。

【例题1】一小球自屋檐自由下落，在△t=0.2s内通过窗口，窗高h=2m，g=10m/s2，不计空气阻力，求窗顶到屋檐的距离。

【例题2】一气球从地面以10m/s的速度匀速竖直上升，4s末一小石块从气球上吊篮的底部自由落下，不计空气阻力，取g=10m/s2，求石块离开气球后在空气中运行的平均速度和平均速率。