初三数学第一轮复习方法

初三第一轮复习方法【复习要达成的目标】1．通过全面地复习梳理，理解与掌握知识要点，形成基本的知识体系；2．能进行正确的运算、简单地识图与推理，形成基本的数学技能；3．正确掌握概念、定理、公式、法则及一些实用的数学规律与结论；4．基本具备几种数学思想：数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、化归思想；掌握几种数学方法：配方法、换元法、待定系数法、列举法等．【复习内容比重与时间安排】1．数与代数：中考所占比重大概在45﹪，分值大约58分左右．复习课时安排21课时左右．2．空间与图形：中考所占比重大概在40﹪，分值大约在52分左右．复习课时安排在26课时左右．3．概率与统计：中考所占比重大概在15﹪，分值大约在20分左右．复习课时安排在7课时左右．4．第一轮复习基本要控制在四月底完成，各地区可以根据实际情况作相应的调整．【复习方法指导】一、第一轮复习的基本原则这个阶段的复习目的是让学生全面复习基础知识，加强基本技能训练，渗透数学的基本思想，做到全面、扎实、系统．1．依纲扣本，系统复习“纲”指的是教学大纲、新课程标准和《苏州中考补充说明》，它们是中考命题的依据，对我们进行的第一轮复习工作具有导向的作用；这里的“本”是指课本和《苏州市中考复习指导》，课本反映着教学大纲的要求，而《数学学习能力自测》则体现了中考命题的基本思路．(1)以课本为主，把书中的内容进行归纳整理，使之形成体系；搞清课本上的每一个概念、公式、法则、性质、公理、定理；抓住基本题型，记住常用公式，理解来龙去脉．对经常使用的数学公式要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化进行探究．使学生更好地掌握公式，胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果．例1 初二几何《直角三角形全等的判定》中有这样一个问题：求证：有一条直角边及斜边上的高线对应相等的两个直角三角形全等这个问题学生不难证明，但教师不能到此为止，应引导学生进行多方面的探索：探索1：能否将斜边上的高线改为斜边上的中线和对应角的角平分线？命题1．有一条直角边及斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．命题2．有一条直角边及对应角的角平分线相等的两个直角三角形全等．探索2：能否把直角三角形改为一般三角形？命题3．有两边及第三边上的高线对应相等的两个三角形全等．让学生思考得出命题错误，因为三角形的形状不同，高线的位置不同．那么在什么条件下命题成立？学生自然提出下面三个命题：命题4．如果两个锐角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等．命题5．如果两个直角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等．命题6．如果两个钝角三角形的两条边和第三边的高线对应相等，那么这两个三角形全等．大多数学生认为这样分类以后，三个命题肯定正确，对命题6教师引导学生画图探究，可以发现如图13-1中的ΔABC 和ΔADC 符合条件但结论不成立．探索3：把命题3的高线变为中线或角平分线呢？命题7．有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．命题8．有两边及这两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等．【说明】该题源于课本，是在原有例习题基础上的“再发现”和“再创造”．因此，在第一轮复习中，一定要立足课本，回归基础，加强变式教学与训练，对课本中的典型例习题多引申、多研究，引导学生理清知识体系，帮助他们建立起初中数学基础知识的网络，避免题海战术，切实打好扎实基础，真正做到落实“三基”．例2 初二几何有这样一道例题：求证：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．【说明】这道题的复习价值很高，教师可以把条件中的四边形分别换成矩形、菱形、正方形或等腰梯形，引导学生探索相对应的中点四边形的形状，还可以探索：满足什么条件的四边形，它所得的中点四边形形状分别是矩形、菱形、正方形？仅仅一道题目，便覆盖了《四边形》一章几乎全部的定义、定理．(2)对一些很容易被学生忽略的内容，如实习作业、探究性活动、定理的推导、“想一想”、“做一做”、“读一读”等等，教师在备课、编题时都应当予以重视，不可忽略．例3 初三数学《直线与圆的位置关系》一节中，在讲授切线与切线长定理之后，引导学生思考：(1)过圆外一点如何画圆的一条切线(不能估计)、两条切线？并说明理由；(2)如何用尺规作图的方法作出上述两条切线，并说明理由．【解】AD C H 图13-1(1)如图13－3－1，将直角三角形板置于圆上，使一条直角边过圆心，另一条过点P ，直角顶点在圆周上，则直角顶点即为切点；过此切点画OP 的垂线，与⊙O 的交点即为另一个切点．(2)如图13－3－2，连结OP ，以OP 为直径作辅助圆，与⊙O 的两个交点即为切点． (说理略)【说明】本题以课本知识为背景，以画图与作图为载体，让学生通过观察、操作、发现和证明等过程，考查了学生的说理能力与创新精神，在一个小题中涉及了直线与圆的位置关系一节中许多关键的知识点，具有较好的复习指导价值．2．夯实基础，学会思考数学中考试题中，基础题占的分值最多．因此，初三数学复习教学中，必须扎扎实实地夯实基础，使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求；在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速．让学生学会思考是从根本上提高成绩，解决问题的良方，我们要“教会学生思考”，并且要“让学生学会思考”．会思考是要学生自己“悟”出来，自己“学”出来，教师教给学生的是思考问题的方法和策略，然后让学生用学到的方法和策略，在解决具有新情境问题的过程中，感悟出如何进行正确的思考．例4 如图13-3，已知二次函数y ＝x 2－2x －1的图象的顶点为A ，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数y ＝x 2－2x －1的图象的对称轴上．⑴求点A 与点C 的坐标；⑵当四边形AOBC 为菱形时，求函数y ＝ax 2＋bx的关系式．【说明】这是一道代数和几何的综合题，把这道题分解后可以发现，它其实由以下六个主要知识点组合变化而成：①求抛物线与x 轴的交点坐标； ②已知抛物线的一般式，求抛物线的顶点坐标；③用待定系数法求二次函数的解析式； ④抛物线是轴对称图形；⑤菱形的对角线互相垂直且平分； O P O P图13-3-1 图13-3-2图13-3对于那些基础知识不扎实，基本图形不会找，分析问题能力不强的学生，都是不能完整地解答出这道题的．另一方面，我们也注意到，中考压轴题的分值设定十分细致、比较合理，基础知识复习扎实的同学，只要你动笔，就能很容易拿到分数．这样的命题及评分导向，有利于提高学生复习基础知识的积极性，促使老师和学生在第一轮复习中高度重视“三基”的复习，避免为了中考最后一两道压轴题而随意拔高第一轮复习的要求．3．强调通法，淡化技巧，数学基本方法过关中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学方法的考查，如待定系数法，配方法，换元法等数学方法．在复习时应对每一种方法的内涵，所适应的题型，包括解题步骤等都应熟练掌握．例5 对比下列两个试题：(1)已知x－1x＝3，求多项式：x3－x2－7x＋5的值；(2)已知x－1x ＝3，求代数式：(x－1x)2－x＋1x的值．【说明】第(1)题是带有技巧的特殊方法，不属于通性通法，而第(2)题考查了整体代换的数学思想．逐渐淡化带有某种技巧的特殊方法，逐步重视通性通法的考查，应该成为中考考查的方向．因此老师们在第一轮复习过程中，要重视通性通法的教学，不要把精力荒废到钻研疑难怪题上．4．重视对数学思想理解及运用的渗透要对数学思想有目的，有计划地渗透，不可能全到第二轮复习中才讲．如告诉了自变量与因变量，要求写出函数解析式，或者用函数解析式去求交点等问题，都需用到函数的思想，教师要让学生加深对这一思想的理解，多做一些相关内容的题目；方程思想，它是利用已知量与未知量之间联系和制约的关系，通过建立方程把未知量转化为已知量；数形结合的思想，它是沟通代数与几何的桥梁；分类讨论思想，它是中考的热点和难点．例6如图13-4直角坐标系中，已知点P(－2，－1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点．(1)求点P关于原点的对称点P'的坐标；(2)当t取何值时，△P' TO是等腰三角形？【说明】此题涉及等腰三角形的分类讨论，△P' TO按顶点的不同可分为：①以O为顶点，则T1(－5,0)，T2(5,0)；②以P'为顶点，则T3(4,0)；③以T为顶点，则T4( 54,0)．二、第一轮复习常用的几点操作方法1．以《数学学习能力自测》为蓝本，梳理整个初中数学知识点，复习大致程序是：⑴要求学生课前必须完成当天所要复习内容的基本知识并完成《中考复习指导》基础演练习题；⑵上课前老师必须调查学生的自习与练习情况，摸清学生学习现状，在此基础之上，评讲学生的练习，提出学生在该知识点学习中存在的问题；⑶选取典型例题评讲．例题范围：《数学学习能力自测》中的例题探究和适当的补充例题，选取的问题必须侧重基础，题型全面，适当提高；⑷学生课后按时完成《数学学习能力自测》中强化训练习题，并做好及时批阅和辅导，特别关注学生答题规范和无谓的失误．2．第一轮复习要面向全体学生，尤其是学困生，复习教学要做到“低起点、多归纳、快反馈”．⑴低起点．由于第一轮复习面向全体学生，尤其是基础较差的学困生，因此教学的起点必须低，以数、式的运算为起点，将教材原有的内容降低到学生可接受的程度上进行教学．从学生已掌握的知识、例子作为起点，通过新旧知识的异同点类比进行复习教学．如“解不等式”可以与“解方程”进行类比，“分式”可以通过“分数”、“相似形”可通过“全等形”进行类比教学等；⑵多归纳．针对学生的实际情况，要给予学生多归纳、总结，使学生掌握一定的条理性和规律性．归纳主要是两个层面，第一是对课本知识的归纳，做到书越读越薄，第二是对例题与习题教学后的归纳，强调解题规律的剖析，注重解题过程的分析，形成特定的解题策略和方法．只有不断的总结，才能真正做到举一反三．⑶快反馈．在第一轮复习中教师对于作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的教学过程中等办法进行反馈、矫正和强化．及时反馈，可以提高补缺的效果，使学生及时获得帮助；受到激励，有利于激发学生的学习热情，提高非智力因素的教学作用．3．对于第一轮复习的课堂教学，仍需有例题的讲解，并通过例题进行思维训练以及方法提炼．对于例题的处理，除了让学生先练后讲、讲在关键处之外，还要注意例题的价值分析，即对例题的解题方法的提练，否则就失去例题的作用，就等于是一道常规的训练题而已，要强调方法的重要性．4．在第一轮复习时，除了快步走，还要多回头，多注意循环训练，每周应有一定的时间来进行巩固训练．回头训练时应该注意不是炒冷饭，而是注意收集前期复习中学生出现的一些错例，一些存在不足的知识点，进行针对性强的知识弥补训练．5．注重对尖子生的培养．在解题过程中，要求他们尽量走捷径、出奇招、有创新，注重逻辑关系，力求解题完整、完美，以提高中考的正确率和优秀率．同时，对于尖子生在强化双基教学的同时，可以引导他们研究近年来各地中考大题，并以思想方法为主线对大题进行分类，以专题的形式进行思维的启迪．三、第一轮复习时应注意的几个误区及相应的对策1．复习无计划，效率低，体现在重点不准，详略不当，对大纲和教材的上下限把握不准．【对策】教师必须明确方向，突出重点，对中考“考什么”、“怎样考”应了如指掌，总复习能否取得较佳的效果，是要看教师对《课标》、《考试说明》等理解是否透彻，研究是否深入，把握是否到位，对于删去的内容就不要再花时间复习了，对于调整的内容按调整后的要求进行复习．2．复习不扎实，漏洞多，体现在：⑴高档题难度太大，扔掉了大块的基础知识；⑵复习速度过快，学生心中无底；⑶要求过松，对学生有要求无落实，大量的复习资料，只布置不批改．【对策】不能让学生过早地做综合练习题及中考模拟题，而应以课本(或《数学学习能力自测》)的编排体系为主线进行系统复习．选题要难度适宜，举一反三，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法；提倡增大课堂复习容量，但不是追求面面俱到，而是重点内容多用时间，非重点内容敢于舍弃，集中精力解决学生困惑的问题，增大思维容量，少做无用功，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．3．解题不少，能力不高，表现在：⑴以题论题，满足于解题后对一下答案，忽视解题规律的总结；⑵题目无序，没有循序渐进；⑶题目重复过多，造成时间、精力浪费．【对策】要发挥学生主体地位作用，教会学生掌握复习策略(如做题，看书，独立思考，反思的好习惯)，让学生参与解题活动，参与教学过程．重视复习课中典型例题的讲解．通过例题让学生掌握学习方法，要求做到能举一反三，触类旁通．在例题教学中多用“变式训练”，如变条件、变结论、变图形、变式子、变表达方式等．习题也最好来源于课本和《中考复习指导》，对其中的题目进行演变，如适当改变题目的条件，改变题目的问法等等．【命题趋势与方向预测】1．重视数学基础知识、基本技能和数学思想的考查，并注重了考查方式的创新． 例7．写出一个无理数，使它与2的积是有理数，这个数是 ．2．在试卷中充分体现考查学生的实践能力和自主探究的能力，操作题、探究题和开放题等都将成为考试的热点和重点．例8．用一条宽相等的足够长的纸条打一个结，如图13-5-1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图13-5-2所示的正五边形ABCDE ，则∠BAC ＝ ．3．继续体现《标准》的一些新要求．选材时注意趣味性、现实性、开放性，注意学科之间的整合，规律探索类题和运动类题继续是中考的亮点．【返回目录】图13-5-1 C D E B A 图13-5-2初三数学第二轮复习方法【复习要达成的目标】如果说第一轮复习阶段是总复习的基础，是重点，侧重双基训练，那么第二轮复习阶段就是第一阶段复习的延伸和提高，绝不是第一轮复习的压缩，而是一个知识点巩固、完善、综合、提高的过程．即巩固第一轮学习成果，强化知识系统的记忆；完善是通过专题复习，查漏补缺，进一步完善强化知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的连接点，增强题目的综合性和灵活性；提高是培养和提高思维能力，概括能力以及分析问题解决问题的能力．【复习内容比重与时间安排】1．复习内容第二轮复习的时间相对集中，在一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度；第二轮复习重点突出，特别是在热点、难点内容上．在这一轮复习中，要以数学思想、方法为主线，学生的综合训练为主体，减少重复，突出重点．这就需要充分发挥教师的主导作用，可进行以专题复习和专题模拟训练相结合的形式．专题通常分为“运动型问题”、“探究性问题”、“应用性问题”、“实验、操作型问题”、“阅读理解型问题”、“代数、几何综合型问题”等等．2．时间安排【复习方法指导】下面以“阅读理解型问题”为例谈谈复习的一些具体做法，以资共勉．阅读题是近几年中考中的热点新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查数学思维能力和创新意识．其基本的解题策略是：首先认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法、背景及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂示例的过程及应用；其次能根据对呈现的新知识、新方法等进行灵活运用，提炼题目的数学本质与内涵，抽象概括出数学思想与方法，注重知识的迁移与创新等．一、方法模拟迁移型阅读：此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中却蕴含某种数学思想或方法，然后要求解答者通过阅读与理解，不仅要看懂背景问题所提供的思想或方法，还要能将所学到的思想或方法去解答后面所提出的新问题．例1 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4－y 4，因式分解的结果是(x －y)(x ＋y ) (x 2＋y 2)，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：(x －y )＝0，(x ＋y )＝18，(x 2＋y 2)＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3－xy 2，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是： ________．(写出一个即可)【分析】通过阅读，要求学生理解密码产生的原理，实质是考查因式分解，同时渗透了如何求代数式的值．例2 定义[p ，q ]为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．(1)若特征数为[2，k －2]的一次函数为正比例函数，求k 的值；(2)设点A ，B 分别为抛物线y ＝(x ＋m )(x －2)与x ，y 轴的交点，其中m ＞0，且△OAB 的面积为4，O 为原点．求图象过A ，B 两点的一次函数的特征数．【分析】本题是定义类阅读理解题，要求学生根据呈现的新知识进行灵活运用．本质上重点考查学生对一次函数及二次函数知识的综合运用能力．本题难点在于第(2)小题，根据题中已知条件，在m >0的情况下，抛物线y ＝(x ＋m )(x －2)与x 轴的交点(－m ，0)、(2，0)分布在x 轴的两侧，而抛物线与y 轴的交点(0，－2m )在y 轴的负方向上，由此想到满足条件的一次函数解析式应该有两个．从而根据△OAB 的面积为4可得到m ＝2，题目得解．【解】 (1)∵特征数为[2，k －2]一次函数为y ＝2x ＋k －2，∴k －2＝0，∴k ＝2．(2) ∵抛物线与x 轴的交点A 1(－m ，0)，A 2(2，0)，与y 轴的交点为B (0，－2m )． ∴ 若41=∆OBA S ，则4221=⋅m m ，m ＝2． 若42=∆OBA S ，则42221=⋅⋅m ，m ＝2． ∴ 当m ＝2时，满足条件．此时抛物线为y ＝(x ＋2)(x －2)， 它与x 轴的交点为(－2，0)，(2，0)，与y 轴的交点为(0，－4)，∴一次函数为y ＝－2x －4或y ＝2x －4，∴特征数为[－2，－4]或[2，－4]．二、判断纠错型阅读：此类问题，常常是事先给出详细的解答过程，但在解答的过程中却设下错误的陷阱，而这些错误也往往是学生在学习、应用这个知识的过程中常犯的错．这就要求老师指导好学生认真读题，对给出的解答过程的每一步都仔细判断，确定解答或变形的依据，然后仔细判断题中给出的这个解答过程是否符合这个依据．在“细”字上下功夫，可谓细节决定成功．例3阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．【解】∵a2c2－b2c2＝a4－b4(A)∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2) (B)∴c2＝a2＋b2(C)∴△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；(2)错误的原因为：；(3)本题正确的结论为：．【分析】本题主要考查在等式两边同除以同一个数或式子时，必须保证这个数或式的值是非零的才行．而在实际考试或学生在做练习时，常常忽视这一点，因而造成解题的失误而丢分．【解】(1)上述解题过程，从C步开始出现错误；(2)错误的原因为：没有考虑a2－b2＝0，就在等式的两边同除以了这个式子；(3)当a2－b2＝0时，得a＝b，此时△ABC是等腰三角形．当a2－b2≠0时△ABC是直角三角形．所以本题正确的结论为：△ABC是直角三角形或等腰三角形．例4下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法．(1)假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示．)【分析】本题以等腰三角形为背景提出一个学生很容易出现错误的问题．通过问题的正确解答，培养学生树立用分类的思想去正确求解等腰三角形的相关问题．而在实际考试或学生在做练习时，学生常常忽视这一点，因而造成解题的失误而丢分．【解】(1)答：上述两同学回答的均不全面，应该是：其余两角的大小是75°和75°或30°和120°．理由如下：当∠A是顶角时，设底角是 ．则30︒＋α＋α＝180︒，∴α＝75︒．∴其余两角是75°和75°．当∠A是底角时，设顶角是β，∴30︒＋30︒＋β＝180︒，β＝120︒．∴其余两角分别是0°和120°．(2)感受答有“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的语句就可以．【说明】本题体现了分类讨论的思想．全面考虑问题的各种可能情形是数学严谨性的体现．三、归纳、猜想型阅读此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中却蕴含某种变化规律或不变性的结论．她要求读者通过阅读与理解，不仅要归纳、猜想出背景问题所蕴含的规律或结论，还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面所提出的新问题．例5 阅读下面材料并完成填空．你能比较两个数20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较n n＋1和(n＋1)n的大小(n≥1的整数)．然后，从分析n＝1，n＝2，n＝3，……，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算，比较下列①～③各组两个数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)①12_____21；②23______32；③34______43；④45＞54；⑤56＞65；⑥67＞76；⑦78＞87；…(2)从第(1)小题的结果经过归纳，可以猜想出n n＋1和(n＋1)n的大小关系是：_______．(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得到20012002______20022001(填“＞”“＜”或“＝”)．【分析】本题从几个特殊的范例启发学生，不难发现其中的规律．【解】(1) ①12＜21；②23＜32；③34＞43；(2) 当n≤2时n n＋1＜(n＋1)n；当n＞2时,n n＋1＞(n＋1)n(3) 20012002＞20022001【说明】本题是考查学生归纳、探索规律能力的概括探究型阅读题，渗透了不完全归纳法的思想．四、补充完善型阅读此类问题，常常是事先给出问题背景，但在问题背景中有着不完善的解答过程或蕴含某种结论．它要求读者通过阅读与理解，不仅要完善解答过程，还要解答后面所提出的新问题．例6 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等?(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．。