第十四讲同态与同构

第十四讲同态与同构

§14.1. 同态

§14.2. 同态基本定理

§14.1. 同态

在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。

1.1.定义：设(G,*)与(H,︒)为群，f: G→H为映射

(1)f为从群G到群H的同态，指(∀a,b∈G)(f(a*b)=f(a)︒f(b))，

记为G∽f H

(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto

(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G

≌f H

(4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b)

(5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且

1-1&onto

1.2.例：

(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，

令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。

令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。

(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为

f(x)=2x

∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。

(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，

则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。

1.3.命题：设(G,*),(H,︒)为群，

(1)令f: G→H，对∀x∈G,f(x)=e H,则f为同态。

(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。

证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)

∴f a为同态

又∵f a为1-1&onto

∴f a为同构. #

1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。

证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)

∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod

6)=f i(x)+6f i(y)

∴f i为同态.

∵f i(1)=i

∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。

(2)设f: Z6→Z6为自同态，则若i∈{0,…,5}，

则f(i)=f(1+61+6…+61)=f(1)+6f(1)+6…+6f(1)=if(1)(mod

6),

令f(1)=k,故f=f k ,从而(Z 6,+6)恰有6个自同态。

(3)f 0,f 2,f 4不是满同态，故它们非同构。

f 1为同构，f 5(x)=5x(mod 6)=6-x(mod 6)为同构，f 3不是1-1故不是同构。

习题：(Z n ,+n )共有几个自同构？

解：（1）令:i n

n f Z Z →，()(mod )([/])i f x ix n ix ix n n ==-⨯，(0,1,2,...,1)i n =-,则,n

x y Z ∀∈，()()(mod )(mod )(mod )

i n n n f x y i x y n ix n iy n +=+=+()()i n i f x f y =+，故:i n n

f Z Z →是自同态，又(1)i f i =，则i j f f ≠，i j ≠，故(,)n n Z +至少有n 个自同态。 （2）设:n n f Z Z →为自同态，则()(1)(1)...(1)(1)n n n f i f f f if =+++=（modn ），令(1)f k =，()k n <,则()(mod )f i ik n =(mod )k if n =,故(,)n n Z +有n 个自同态，自同构是其中满足一一映射的自同态。

1.5. 命题：设f 为从群(G ,*)到群(H,︒)的同态

(1) f(e G )=e H

(2) f(a -1)=(f(a))-1 for all a ∈G

证明：(1)∵f(e G )=f(e G e G )=f(e G )f(e G )

∴f(e G )=f(e G )(f(e G ))-1=e H

(2)∵f(a -1)f(a)=f(a -1a)=f(e G )=e H

f(a)f(a -1)=f(aa -1)=f(e G )=e H

∴f(a -1)=(f(a))-1 # 1.6. 命题：设f 为从群(G ,*)到群(H,︒)的同态

(1) 若(T,*)≤(G,*)，则(f(T),︒)≤(H,︒)

(2) 若(T,*) (G,*)且f 为onto ，则(f(T),︒) (H,︒)

证明：(1)设(T,*)≤(G,*),欲证(f(T), ︒)≤(H, ︒),只需证：

(1.1)f(T)≠∅

(1.2)(∀t,s∈T)f(t)(f(s))-1∈T

(1.3)∵T≠∅∴f(T)≠∅，故(1.1)成立。

对于t,s∈T,∵f(t)(f(s))-1=f(t)f(s-1)=f(ts-1),

又ts-1∈T∴f(t)(f(s))-1∈f(T),故(1.2)成立。

(2)欲证f(T)是正规的，只需证(∀t∈T)(∀h∈H)(hf(t)h-1∈T)

设t∈T,h∈H,∵f为onto，∴有s∈T使h=f(s)

从而hf(t)h-1=f(s)f(t)(f(s))-1=f(sts-1)

∵T正规，∴sts-1∈T,故hf(t)h-1∈f(T) # 在第十一讲“群”的例子中，我们提及群(T A,︒),这里T A={f|f: A→A且f为1-1&onto},︒为复合，T A被称为A上的变换群。1.7.(Cayley定理)设(G,*)为群，(G,*)同构嵌入于(T G,︒),i.e.有τ:

G→T G为1-1同态映射，从而(G,*)同构于(T G,︒)的某个子群。

证明：令τ: G→T G,对于a∈G,τ(a): G→G定义如下：

记τ(a)为τa, τa(x)=xa,由于群G满足消去律且对ax=b方程有解，故τa为1-1&onto, τa∈T G

(1)τ(a*b)= τ(a)︒τ(b)

∵τab(x)=xab=τa(x)b=τb(τa(x))

∴τab=τa︒τb

(2)τ为1-1.∵τa=τb→τa(a)= τb(a)→aa=ab→a=b∴τ为1-1.

(3)(G,*)≌τ(τ(G),︒)≤(T G, ︒) #