勾股定理全章知识点总结教学内容

勾股定理

【知识脉络】

【基础知识】

Ⅰ. 勾股定理

(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=.

(2)勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是:

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422

S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

(3)勾股定理的适用范c b a H G F E D C B A b a c b a

c c a b c a b a b c c b a E D C B A 方法一 方法三 方法二

围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

(4)勾股定理的应用:

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC

∆中，90

∠=︒，则c，

C

b=，a；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题Ⅱ. 勾股定理的逆定理

(1)内容：如果三角形三边长a，b，c满足222

+=，那么这个三角形是直角三角形，

a b c

其中c为斜边。

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转

化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22

+与

a b

较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；

②若222

+>，时，以a，

a b c

a b c

+<，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222 b，c为三边的三角形是锐角三角形；

③定理中a，b，c及222

+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边

a b c

长a，b，c满足222

+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为

a c b

斜边

(2)勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222

+=中，a，b，c为

a b c

正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；

9,12,15；9,40,41；等

Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

A B C 30° D C B A A D B C

Ⅳ. 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.