第四章 资产组合选择

w w1 w2 ...wn 1 , wi 1
T
i 1
n
w w
T
实质：在两个线性等式约束条件下的二次函数的 求最小极值问题
通过拉格朗日乘数和来解决带有约束条件的
最优化问题，这里构造的拉格朗日函数如下：
L
i , j 1
w w
i j
n
ij
( wi ri r ) ( wi 1)
a，风险资产的权重 1 a
，
而且存在 a 1 。
• 投资组合的期望收益值为： arf 1 a ri
• 收益率的标准差为： 1 a 2 2i 1 a i • 如果定义 f 0 ，则资产组合的风险收益关系为：
p a f 1 a i 1 a i
无差异曲线与有效集合的切点就是最优组合。
• 在特定风险条件下最优组合选择只有一个。 • 对于相同的可行集和有效集，不同投资者选择的 最优组合也是不同的。
rp
第二节
资产组合边界
资产组合的形状 资产组合的边界
包含无风险证券的资产组合边界
一、资产组合的形状
rp
p
两种证券的组合
二、资产组合的边界
三、包含无风险证券的资产组合边界
• 引入无风险资产后，投资组合的形状将发生相应变化。
• 假定某种无风险资产存在确定的收益率，记为 r f 。其
他任何风险资产的收益率为
然为0。
ri ，方差为 2i。根据协方
差计算公式，风险资产与无风险资产之间的协方差必 • 构建一个含有风险资产和无风险资产的证券组合，其 中无风险资产的权重为
无差异曲线及其特征 有效集定理 最优组合选择
一、无差异曲线及其特征
对于一个特定风险厌恶的
投资者而言，任意给定一
个资产组合，根据他对风
I1
I2
I3
险的态度，按照期望收益
率对风险补偿的要求，就 可以得到一系列满意程度 相同（无差异）的证券组 合。
无差异曲线的特征：
• 无差异曲线的一个基本特征就是无差异曲线不能 相交。
• 上述两个等式表明，资产组合的均值和方差随 着 a 值的大小呈线性变动。与 a 值变动相适应， 代表投资组合的点的运动轨迹将在 平面 p rp 上呈现一条直线。
rp arf 1 a ri
无风险资产对组合形状的影响
第三节
资产组合边界
均值――方差有效前沿的形成 均值――方差有效前沿的表达及 其求解
第四章 资产组合选择
本章导读
马科维茨的均值――方差理论，提供了投资组合分析
的基本方法，资产组合选择理论主要应用这一基本理论对
资产组合进行分析。 在本章中，应重点掌握： （1）资产组合可行集和有效集； （2）资产组合的边界； （3）有效前沿及其求解； （4）两基金分离定理及其应用。
第一节 可行集与有效集
可行集特征：
若至少有三种资产（非完全相关且均值不同），则 可行集是一个二维的实心区域。 可行区域凸向左边。
r

有效集定理应用于可行集
有效集
同风险收益最大 同收益风险最小
可行集
有效集定理应用于可行集
同风险收益最大 同收益风险最小
三、最优组合选择
• 最佳的投资组合只能对应于与有效集的切点上，
一、均值――方差有效前沿的形成
投资者只会对最小方 差集上半部分感兴趣， 即同时符合最大预期 回报率或最小风险两 个条件的组合集，这 一部分被称为有效边
界或有效前沿。
二、均值――方差有效前沿的表达及其求解：
min
s.t.
2 w wT w ij wi w j
i , j 1
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i 1 i 1
n
n
• 无差异曲线的弯曲程度因人而异，它反映了不同 投资者的风险态度。
• 随着无差异曲线向右移动，曲线将变得越来越陡 峭，而不是越来越平缓。
• 无差异曲线的变动方向一定是从左下方向右上方。
二、有效集定理
• 对特定投资者而言，最优组合的选择必须按照均值 ――方差原则进行，最大的效用函数并不代表是可 行的资产组合，而最小的风险约束同样也不一定是 最大的预期效用，因此必须将风险和效用这两个约
束条件结合起来进行资产组合选择，才能挑选出符
合一定风险――收益关系特征的特定投资者的最优
组合。而这一问题的解决，就需要运用有效集定理。
可行集：
• 可行集又称为机会集，由它可 以确定有效集。可行集代表一 组证券所形成的所有组合，也 就是说，所有可能的组合位于 可行集的边界上或内部。一般 而言，这一集合呈现伞形，具 体形状依赖于所包含的特定证 券，它可能更左或更右、更高 或更低、更胖或更瘦。