第2讲 椭圆双曲线抛物线

= 4a2 4c2 2 F1C F2C
2 F1C F2C
=
2b2 1 .
F1C F2C
|F1C||F2C|≤
( F1C F2C )2 2
=a2，
∴cos∠F1CF2≥
2b2 a2
1
2c2 2c2
1
0
，
∴∠F1CF2≤
2
.
a
（3）解 设直线PQ的方程为y=- b (x-c),即y=- 2(x-c).
因式可得.
（2）用法： ①可得 b 或 a 的值. ab ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
6.直线与圆锥曲线的位置关系
（1）相离；（2）相切；（3）相交.
特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直
线与双曲线相交且只有一个公共点.
②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线
与抛物线相交且只有一个公共点.
Q，若△PF2Q的面积是 20 3 ，求此时椭圆的方程.
思维启迪（1）从OM∥AB入手，寻找a，b，c的关
系式，进而求出离心率.
（2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出
cos∠ F1CF2,再结合基本不等式.
（3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则
SF1PQ
1 2
F1F2
•
y1
（1）解 设椭圆方程为
3
,x1x2=
4k 2 12 4k 2 3 .
∴ AP • AQ =（x1+2,y1）·（x2+2,y2）
=(x1+2)(x2+2)+y1y2
y2
x2 a2
用设而不求的思路求解.
y2 b2
1
(a>b>0)，则
M (c, b2 ) ， a
∴ b2 b
b2
b
koM
ac , kAB
, a
c
2
b c a 2c,e .
ac a
a2
（2）证明 由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a，
cos∠F1CF2=
F1C 2 F2C 2 F1F2 2 2 F1C F2C
一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程
例1 如图所示，椭圆 x2 y2 1上的点M与椭 圆右焦点F1的连线MF1与xa轴2 垂b2
直，且OM（O是坐标原点）与椭 圆长轴和短轴端点的连线AB平行. （1）求椭圆的离心率；
（（∠23）F）1CF过2F是F2≤1椭且圆与2的AB左垂焦直点的，直C线是交椭椭圆圆上于的P任、一点，证明：
代入椭圆方程消去x得：a12 (c
1 y)2 y2 1
2
b2
,
整理得：5y2-2 2cy-2c2=0,
∴y1+y2=
2
2c 5
∴（y1-y2）2=
,y1y2=
2c2 5
.
(2
2c )2
8c2
48c2
.
5
5 25
S PF2 Q
1 • 2c • 2
y1 y2
4
3c 2 5
20
3,
因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为
c
2
x2
25
y2
1.
50 25
探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；
（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是
椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.
变式训练1 （x-1）2+y2=
4已49 知，圆动F圆1：M与（圆x+1F）1、2+Fy22都= 相14 切,圆. F2：
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 定义
标准 方程
椭圆
双曲线
抛物线
|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|)
||PF1|-|PF2|︱ =2a(2a<|F1F2︱)
|PF|= PM 点F 不在直线l上，
PM⊥l于M
x2 y2 1
a2 b2
x2 y2 1 a2 b2
(0 e 1)
(e 1)
质 准线
a2 x
c
通径
2b2 AB
a
渐近线
ybx a
x0 (0,0) 关于x轴 对称
( p ,0) 2
e=1
x p 2
AB 2 p
2.椭圆中的最值
x2 y2 F1，F2为椭圆 a2 b2 =1(a>b>0)的左、右
焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端
点，O为坐标原点，则有
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点A（-2，0），过点F2作直线l与曲线C交于
P，Q两点，求 AP • AQ 的取值范围.
解 （1）设动圆圆心为M（x,y），圆M的半径为r,
则|MF1|=r+ 1 ，|MF2|= ∴|MF1|+|MF22|=4.
7 2
-r，
则动圆圆心M的轨迹C为以F1（-1，0），F2（1，0）
y2=2px (p>0)
（a>b>0)
(a>0,b>0)
图象
范围 x a, y b x a
顶点 (a,0),(0,b) (a,0)
对称性 关于x轴，y轴和原点对称
焦点
（ c,0 ）
轴
长轴长2a, 短轴长2b
实轴长2a， 虚轴长2b
几 何
离心率
e c 1 b2
a
a2
e c
b2 1
a
a2
性
19,232）7 ，AP.
(3,
3 2
)
,
③当l与x轴不2 重合也不垂直时，设4l：y=4k(x-1），
P（x1,y1）,Q(x2,y2)
y=k(x-1),
由
x2 y2 1
整理，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0 .
43
Δ=144k2+144>0恒成立.
∴x1+x2=
8k 2 4k 2
右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，
则有
（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.
（3）SF1PF2
b2
tan
Fra Baidu bibliotek
4.抛物线中的最值2
( =∠F1PF2).
点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为焦点， 则有:（1）|PF|≥ p .
2
（2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p. （3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值. 5.双曲线的渐近线 （1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解
为焦点的椭圆.
∵a=2,c=1，b2=3. 故轨迹C的方程为 x2 y2 1 .
43
(2)∵F2在曲线C内部，∴过F2的直线与曲线C恒有两个公 共点.
①当l与x轴重合时，P或Q有一个与A重合，
∴ AP • AQ 0 .
②当l⊥x轴时，P（ 1, AQ (3, 3 ) , AP
3 2 •
），Q（ AQ 9
（1）|OP|∈［b,a］. (2)|PF1|∈［a-c,a+c］.
（3）|PF1| •|PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.
（（56））S焦点F1P弦F2以=b通2ta径n2为最( 短 .=∠F1PF2).
3.双曲线中的最值
F1，F2为双曲线
x2 y2 1 a2 b2
(a>0,b>0)的左、