2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习
沪教版八年级下-第二十一章--《代数方程》全章复习与巩固知识讲解--讲义
《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.6 代数方程复习(二) 课件
(C) 4x 1 1 (D) x 1
x 1 x 1
4、若关于x的方程 2x 3 m
无实数根，则m的取值范围是（ B ）
（A）大于零
（B）小于零
（C）不大于零 （D）不小于零
5、下列方程组中，属于二元二次
方程组的是（ C ）
A x2 y2 2x
4、写出原方程的根.
换元法呢?
例题：
1、解方程：
1 x2
1 x2
4 1 x2 4
例题： 2、 解方程：x 2 x 1 2
x2 x
解:设x2+x=y,则原方程可化为
2 y+1=
y
去分母并整理得 y2+y-2=0
解得 y1=-2, y2=1 当y1=-2时, x2+x=-2, △<0,无实数根
经检验x1=2,x2=-1是原方程的根. ∴原方程的根是 x1=2,x2=-1
1.解无理方程的思路是：
无理 方程
平方
有理 方程
2.解无理方程的一般步骤
1、通过两边同平方去掉根号，转化为有理方程。 2、解有理方程. 3、代入原方程进行检验。 4、写出原方程的根.
例题：
解方程 (1) x 1 x 7
代数方程复习（二）
分式方程、无理方程、二元二次方程组
相关概念
分式方程： 分母中含有未知数的有理方 程。
无理方程： 根号内xx含1y有未yx知6数5的3 方程。
x
二元二次 方程组4中x含有两1个未知数3，
方程组： 并且含有未知数的项的最高 次数为两次，这样的整式方 程组叫做二元二次方程组．
练习
1.下列方程中，不是分式方程的是( D )
上海市沪教版八年级数学第二学期 代数方程练习题
上海市沪教版八年级数学第二学期代数方程练习题代数方程练题一．选择题（共4小题）1.下列方程组中，属于二元二次方程组的是()A。
3y=2x+xy-x=2B。
1/2+2y-x=xyx^2+y=1C。
x+5=y3x-y=-1D。
3y=x-1x+3y=52.在下列关于x的方程中，是二项高次方程的是()A。
81x^4-16=0B。
x^3=0C。
x^2-x=0D。
x^3-x=03.下列方程中，在实数范围内有解的是()A。
1/x=x-1/(x-1)B。
x-1+2=0C。
x^3+1=0D。
x^2-x+1=04.下列方程中，有实数根的方程是()A。
x^5+32=0B。
x^2+3x+2=0C。
x-2+1=0D。
x^2-5x+6=0二．填空题（共6小题）5.当m=____时，方程3-x/(mx(m+1))=1会出现增根。
6.方程2-x/(x(x+1))=的解是____。
7.将方程组：2x-y=1转化成两个二元二次方程组分别是x^2-5xy+6y^2=0和2x+y=1.8.可以根据方程x^2-4xy-5y^2=0的特点把它化成两个二元一次方程，它们分别是x-2y=0和x+5y=0.9.如果关于x的无理方程x+2-1+k=0没有实数根，那么k的取值范围是k<1.10.已知关于x的方程2x^2+mx-1=0是二项方程，那么m=-4.三．解答题（共8小题）11.甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再次提速。
解：设原速度为v1，提速后速度为v2，则有v2=v1+20.设原行驶时间为t1，提速后行驶时间为t2，则有t2=t1-4.根据距离公式，有1600=v1*t1=（v1+20）*（t1-4）。
化简得v1*t1=1680-20t1，即t1=(1680-v1*t1)/20.因为安全行驶速度不得超过140千米/时，所以v1<=140.代入上式得t1<=9.因此，在现有条件下，列车还可以提速。
代数方程重难点题型专训(10大题型)—2023-2024学年八年级数学下册(沪教版)(解析版)
代数方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一 一元整式方程题型二 二项方程题型三 分式方程的定义题型四 列分式方程题型五 解分式方程题型六 根据分式方程解的情况求值题型七 分式方程无解问题题型八 分式方程的实际应用题型九 无理方程题型十 二元二次方程组及其解法【知识梳理】知识点一、整式方程：1字母系数：关于x 的方程20,0mx n ax bx c +=++=中，把用字母表示的已知数m 、n 、a 、b 、c 叫做字母系数.2.含字母系数的一元一次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1；注意：系数化为1时视情况讨论！3．含字母系数的一元二次方程定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；一元n 次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n ；其中n 大于2的方程称为一元高次方程.5.二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零. 一般形式为： 00,(,)0n ax b a b n +=≠≠是正整数.二项方程的解法：将方程0n ax b +=变形为n b x a =−，当n 为奇数时，n b x a=−；当n 为偶数时，如果0ab <，n b x a=±−；如果0ab >，那么方程没有实数根. 知识点二、分式方程：6.可化为一元二次方程的分式方程解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解；解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验，是否有增根.知识点三、无理方程⎧⎪⎨⎪⎩无理方程的无理方程无理方程、有理方程、代数方程三者的解无理方程步骤的概念关系1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭根号根号里含有未知方程中含有；理解两点缺一不可！.数①② 2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩整式方程代数方程分式方程有理方程无理方程有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.3.无理方程的解法（1）基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解；（2）一般步骤：.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①变形：当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式；②去根号：方程，将这个方程化成有理方程；③解有理方程；④：由于去根号两边平方时，单独放在等号一边两边同时平方验根产生未知数的范围扩大而可能，因此验根必不可少增根 知识点四、二元二次方程组与列方程（组）解应用题1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.(2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【经典例题一 一元整式方程】【例1】（22-23八年级下·全国·课时练习）下面四个方程中是整式方程的是（ ）．A ．212x x x =+B ．33x x x −−=C ．100991x x x −=−D ．()7110x x+= 【答案】C【分析】根据整式方程与分式方程的定义解答．分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断．【详解】A. 212x x x =+分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意； B. 33x x x −−=即为331x x x −=，分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意；C. 100991x x x −=−两边都是含未知数的整式，是整式方程；D. ()7110x x +=分母中含有求知数，是分式方程，不符合题意.故选C.【点睛】本题考查了整式方程的定义．判断一个方程是否为整式方程，主要是依据整式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．【变式训练】1．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列方程中，是关于x 的一元三次方程的是（ ） A ．631x x += B ．4321x x x += C ．()323331x x x −=−− D ．()22210ax x ax −−+=（a 为非零常数）【答案】D【分析】根据一元三次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的最高次数为3的整式方程，进行判断即可．【详解】解：A ．631x x +=，整理，得：331x x +=，当x 为负数时，不是一元三次方程，不符合题意；B ．不是整式方程，不符合题意；C ．()323331x x x −=−−，整理得：330x −=，没有3次项，不符合题意； D ．()22210ax x ax −−+=（a 为非零常数）整理，得：3410ax ax −+=（a 为非零常数），是一元三次方程，符合题意；故选D ．【点睛】本题考查一元三次方程的识别．熟练掌握一元三次方程的定义，是解题的关键．2．（21-22八年级下·上海·期末）方程x 3﹣x ＝0在实数范围内的解是【答案】x1＝0，x2＝-1，x3＝1．【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】解：x3﹣x ＝0，x （x2﹣1）＝0，x （x+1）（x ﹣1）＝0，x ＝0或x+1＝0或x ﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，故答案为：x1＝0，x2＝-1，x3＝1．【点睛】本题考查了解高次方程，能把解高次方程转化成解低次方程是解此题的关键．3．（22-23七年级上·上海杨浦·阶段练习）解方程：4322316320x x x x +−++=【答案】12x =，212x =，323x =−+，423x =−−【分析】方程两边同时除以2x 得：223223160x x x x +−++=，变形后令1x y x +=，则方程可化为223200y y +−=，求得152y =，24y =−，则可得152x x +=或14x x +=−，方程两边再同时乘以x 得到两个关于x 的一元二次方程，分别求解即可．【详解】解：由方程可知0x ≠，方程两边同时除以2x 得：223223160x x x x +−++=， ∴221123160x x x x ⎛⎫⎛⎫+++−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1x y x +=， 则22212x y x ++=， ∴22212x y x +=−， ∴方程可化为()2223160y y −+−=，整理得：223200y y +−=， 解得：152y =，24y =−， ∴152x x +=或14x x +=−，方程两边同时乘以x 得：25102x x −+=或2410x x ++=，解得：12x =，212x =，323x =−+，423x =−−． 【点睛】本题考查了解高次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【经典例题二 二项方程】【例2】（22-23八年级下·上海崇明·期中）下列方程中，是二项方程的为（ ）A ．221x x +=B ．20x x +=C ．380x −=D ．0x =【答案】C【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x ，另一项是常数项；方程的右边是0，结合选项进行判断即可．【详解】解：A ．不是二项方程，方程右边不等于0，不符合题意；B ．不是二项方程，方程左边没有常数项，不符合题意；C ．是二项方程，符合题意；D ．不是二项方程，方程左边只有一项，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为0，熟练掌握二项方程的定义是解决问题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·上海长宁·期末）下列说法中，正确的是（ ）A ．240x x −=是二项方程B ．11032x x +−+=是分式方程C ．23210x x −−=是无理方程D ．201x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程组 【答案】D【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】A. 240x x −=不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意； B. 11032x x +−+=不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 23210x x −−=不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；D. 201x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键．2．（22-23八年级下·上海闵行·期末）方程513022x +=的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 1.246− 【分析】先求出53x =−，再利用计算器求出即可． 【详解】解：513022x +=，53x =−，53 1.246x =−≈−，故答案为： 1.246−． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出53x =−是解此题的关键．3．（22-23八年级下·上海宝山·阶段练习）解方程：()4116404x −−=． 【答案】15=x ，23x =−．【分析】首先移项，再两边同时乘以4得到()42116x −=，开方得到()2116x −=，最后两边直接开平方即可得到两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．【详解】解：∵()4116404x −−=， ∴()42125616x −==， ∴()2116x −=，或()2116x −=−（舍去），则14x −=或14x −=−，解得15=x ，23x =−．【点睛】此题主要考查了解高次方程，解这类问题要把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，利用数的开方求解．【经典例题三 分式方程的定义】【例3】（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x −=+的根为2；③方程11224=−x x 的最简公分母为2(24)x x −；④1111x x x +=+−是分式方程．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【分析】根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答．【详解】解：分式方程不一定会产生增根，故①错误； 方程4102x −=+的根为x=2，故②正确； 方程11224=−x x 的最简公分母为2x(x -2)，故③错误；1111x x x +=+−是分式方程，故④正确；故选：B ．【点睛】此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．【变式训练】1．（2023·四川成都·三模）下列结论正确的是（ ）A ．153y y +=是分式方程 B ．方程221624x x x −−+−＝1无解 C ．方程223x x x x x x =++的根为x ＝0 D ．解分式方程时，一定会出现增根【答案】B 【分析】根据分式方程的定义和分式方程的增根的意义即可判断．【详解】解：A ．原方程中分母不含未知数，不是分式方程，所以A 选项不符合题意；B ．解方程，得x ＝﹣2，经检验x ＝﹣2是原方程的增根，所以原方程无解，所以B 选项符合题意；C ．解方程，得x ＝0，经检验x ＝0是原方程的增根，所以原方程无解，所以C 选项不符合题意；D ．解分式方程时，不一定会出现增根，只有使分式方程分母的值为0的根是增根，所以D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的增根、分式方程的定义，解决本题的关键是掌握分式方程的相关知识． 2．（12-13八年级下·全国·课时练习）下列关于x 的方程①153x −=，②141=−x x ，③33x x −=−1，④11=−x a b 中，是分式方程的是 ( )（填序号）【答案】②【分析】分式方程 分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程叫做分式方程，等号两边至少有一个分母含有未知数．【详解】根据分式方程的定义即可判断.符合分式方程的定义的是②.【点睛】本题考查的是分式方程的定义，解题的关键是掌握分式方程的定义.3．（2021八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1）231x =+ （2）131x x =− （3）22x x+ （4）2211x x x =−− 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程．【详解】（1）231x =+是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程，（2）131x x =−是分式方程，去分母可转化为3x=x -1，不是一元二次方程，（3）22x x +是分式，不是分式方程， （4）2211x x x =−−是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程，∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程．【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．【经典例题四列分式方程】【例4】（2023·河南周口·一模）“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担，增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学家的故事》以供学生课外阅读．现有A，B两个商家供货，A商家每本图书的售价比B商家每本图书的售价少2元，用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买B商家图书的数量相同．设A商家的图书每本售价为m元，可列方程为（）A．200022002m m=−B．220020002m m=+C．200022002m m=+D．200022002m m=−【答案】C【分析】由两商家图书销售单价间的关系，可得出B商家的图书每本售价为(2)m+元，利用数量=总价÷单价，结合用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买B商家图书的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：A商家每本图书的售价比B商家每本图书的售价少2元，且A商家的图书每本售价为m元，B∴商家的图书每本售价为(2)m+元．根据题意得：200022002m m=+．故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为()A．18018032x x−=+B．18018032x x−=+C．18018032x x−=−D．18018032x x−=−【答案】B【分析】设小组原有x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：180x元，出发时每名同学分担的车费为：180x2+，根据每个同学比原来少分摊了3元车费即可得到等量关系．【详解】解：设小组原有x人，根据题意可得：18018032x x−=+，故选：B．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．2．（2022·山东青岛·一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径．针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．设该厂当前参加生产的工人有x人，根据题意可列方程为：．【答案】1615 81010 x x=+（）【分析】设当前参加生产的工人有x人，然后根据计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂，列出方程即可．【详解】解：设当前参加生产的工人有x人，依题意得：1615 81010)x x=+（．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意，列出方程．3．（22-23八年级上·山东·单元测试）列方程解实际问题南宁到昆明西站的路程为828千米，一列普通快车与一列直达快车都从南宁开往昆明，直达快车的速度是普通快车速度的1.5倍，普通快车出发2小时后，直达快车出发，结果比普通快车先到4小时，求两车的速度．【答案】普通快车速度为46千米/时，直达快车速度为69千米/时【分析】设普通快车速度为x千米/时，则直达快车速度为1.5x千米/时，分别计算两车所用时间，根据题意列出方程即可.【详解】设普通快车速度为x千米/时．则直达快车速度为1.5x千米/时，828828241.5x x−=+解方程得x=46（千米/时）经检验x46=是原方程的解.1.5x=1.5⨯46=69（千米/时）答：普通快车速度为46千米/时，直达快车速度为69千米/时．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程是解决问题的关键．【经典例题五 解分式方程】【例5】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）分式方程1212x x =+−的解是（） A ．1x = B ．3x =C ．4x =−D ．3x =−【答案】C【分析】方程两边都乘()()12x x +−去分母，求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：1212x x =+−，方程两边都乘()()12x x +−，得222x x −=+，解得：4x =−， 检验：当4x =−时，()()120x x +−≠，所以分式方程的解是4x =−． 故选：C ．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·浙江·期中）若非负整数m 使得关于x 的一元二次方程()210m x x n −+−=有实数根，且实数n 满足分式方程23111n n n +=−−，则所有满足条件的m 的值的和为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式方程求出n =−4，即可得到关于x 的一元二次方程为()2140m xx −++=，根据方程有实数根求出1716m ≤，根据m 为非负整数且10m −≠，得到0m =，问题得解． 【详解】解：解分式方程23111n nn +=−−，得n =−4， 检验：当n =−4时，10n −≠， ∴原分式方程的解为n =−4，∴关于x 的一元二次方程为()2140m x x −++=，∵关于x 的一元二次方程为()2140m x x −++=有实数根， ∴()22414410b ac m ∆=−=−⨯−≥，解得1716m ≤，∵m 为非负整数且10m −≠， ∴0m =，∴所有满足条件的m 的值的和为0． 故选：A2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）已知25m −≤≤，若关于x 的分式方程2122x m x x−+=−−−有正整数解，则m 的值是 ． 【答案】2【分析】先解分式方程求得2mx =，再根据分式方程有正整数解，可得42=022m m −−≠，即4m ≠，即可求解．【详解】解：2122x m x x −+=−−−， 去分母得，2=2x m x +−−， 移项、合并同类项得，2x m =，系数化为1得，2mx =，∵分式方程2122x m x x −+=−−−有正整数解， 把2mx =代入2x -得，42=022m m −−≠，∴40m −≠，即4m ≠， ∵25m −≤≤， ∴2m =， 故答案为：2．3．（22-23八年级上·新疆喀什·期中）解方程 (1)21212339x x x −=+−− (2)242111x x x++=−−− 【答案】(1)无解(2)13x =【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点．（1）先将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2）先将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：21212339x x x −=+−− 21212339x x x +=+−−去分母得∶ 32612x x −++=， 移项合并得∶39x =，解得∶ 3x =， 经检验 3x = 是增根， 所以分式方程无解；（2）解：242111x x x ++=−−−，242111x x x +−=−−−，去分母得：()()24121x x x −++=−+，解得：13x =．经检验 13x =是分式方程的解．【经典例题六 根据分式方程解的情况求值】【例6】（23-24八年级上·四川德阳·期末）若关于的不等式组35342122x x x a x ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩无解，且关于y 的分式方程53122ay y y −−=−−有整数解，则满足条件的整数a 的值的和为（ ） A ．12 B ．10C ．9D ．16【答案】A【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤是解题的关键．先求得不等式组中各不等式的解集，根据不等式组无解可求得a 的取值范围，然后求得分式方程的解，根据解为整数，且20y −≠，即可求得满足条件的所有整数a 的值．【详解】解：35342122x x x a x ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩①②解不等式①，得1x ≤． 解不等式②，得1x a >−．因为关于x 的不等式组35342122x x x ax ++⎧≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩无解，可得：11a −≥． 解得2a ≥．解关于y 的分式方程53122ay yy −−=−−，得：61y a =−． ∵61a −为整数，2a ≥，6201a −≠−,∴2a =或3a =或7a =．∴满足条件的所有整数a 的和23712=++=． 故选：A ．【变式训练】1．（23-24八年级上·重庆渝中·期末）若关于x 的分式方程243111x m xx x−−+=−−的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥−B ．3m ≥−且1m ≠C ．3m ≤D ．3m ≤且1m ≠【答案】B【分析】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 首先解分式方程，然后根据方程的解的情况列不等式组计算求解．【详解】解：243111x m xx x −−+=−− 整理，可得243111x m xx x −−−=−− 解得34m x +=，由题意可得304314m m +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得3m ≥−且1m ≠，故选：B ．2．（2023年重庆市渝北区高中指标到校招生文化测试数学模拟试题）如果关于x 的不等式组()14733x mx x −⎧<⎪⎨⎪−>−⎩的解集为1x <，且关于y 的分式方程2311my y y +=−−有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是 ． 【答案】5− 【分析】本题考查一元一次不等式组及分式方程的解法．根据题意分别解出一元一次不等式组及分式方程得到m 的范围即可．【详解】解不等式14x m−<得4x m <+解不等式73(3)x x −>−得1x < 不等式组的解集为1x <41m ∴+≥ 3m ∴≥−解分式方程2311my y y +=−−得13y m =− 0y Q ≥且1y ≠3m ∴<且2m ≠ 33m ∴−≤<且2m ≠∴所有符合条件的整数m 的值为3,2,1,0,1−−−则所有符合条件的整数m 的值之和是321015−−−++=−． 故答案为：5−．3．（23-24八年级上·山东威海·期末）已知3111a x x+=−−是关于x 的分式方程． (1)当5a =时，求方程的解；(2)若该方程的解为正数，求a 的取值范围． 【答案】(1)3x = (2)2a >且3a ≠【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．（1）将5a =代入原方程，解关于x 的方程即可求解；（2）先求出原方程的解，然后根据解为正数和分式有意义得出关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】（1）解：原方程为53111x x +=−−， 解得3x =，检验：当3x =时，10x −≠． ∴3x =是原方程的根；（2）解：解分式方程得2=−x a ， ∵分式方程的解是正数， ∴0x >且1x ≠， ∴20a −>且21a −≠， 解得：2a >且3a ≠，∴a 的取值范围是：2a >且3a ≠．【经典例题七 分式方程无解问题】【例7】（23-24八年级上·陕西安康·期末）若关于x 的方程15102x mxx x−=−−无解，则m =（ ） A ．85−B ．85C ．5D ．95−【答案】A【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握分式方程无解即最简公分母为0是解题关键．由题意可知5x =，再将5x =代入()21x mx−−=，求出m 的值即可．【详解】解：方程15102x mxx x −=−−去分母得：()21x mx−−=， 方程15102x mxx x −=−−无解，5x ∴=，将5x =代入()21x mx −−=，得：()2515m−⨯−=，解得：85m =−，故选：A ．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东烟台·期中）若关于x 的分式方程()6311x kx x x x+=−−−无解，则k 的取值是（ ） A ．3k =− B ．3k =−或5k =−C ．1k =D ．1k =或5k =−【答案】B【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可．【详解】解：()6311x kx x x x+=−−−()631x x k x =+−−63x x kx k =+−+()53k x k +=+∵关于x 的分式方程()6311x k x x x x+=−−−无解，∴当50k +=时，即5k =−时，分式方程无解； 当50k +≠时，35k x k +=+，此时分式方程有增根， ∴()10x x −=，解得0x =或1x =∴当0x =时，即305k x k +==+，解得3k =−； ∴当1x =时，即315k x k +==+，无解；综上所述，k 的取值是5k =−或3k =−． 故选：B ．2．（23-24八年级上·山东聊城·期末）若关于x 的方程222x mx x =+−−无解．则m = ． 【答案】2【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，方程两边同时乘以2x -，转化为整式方程，解得4x m =−，再根据题意即可求解，解题的关键是正确理解分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x 的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成ax b =的形式，如果0,0a b =≠，此时分式方程也无解．【详解】解：去分母得：24x x m =−+， 4x m =−，∵关于x 的方程222x m x x =+−−无解， ∴42x m =−=， 解得：2m =， 故答案为：2．3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）已知关于x 的分式方程2323x m x x−−=−． (1)当9m =时，求分式方程的解； (2)求m 为何值时，分式方程2323x m x x−−=−无解． 【答案】(1)32x =；(2)当3m =或6m =时，分式方程无解．【分析】（1）本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法即可解题．（2）本题考查了分式方程的无解的情况，即考虑整式方程无解及分式方程有增根的情况，分类讨论这两种情况下m 应满足的条件，即可解题．【详解】（1）解：当9m =时，分式方程为29323x x x −−=−， 去分母，得()()()292333x x x x x −−−=−，去括号，得22292639x x x x x −−+=−，移项合并同类项，69x =， 系数化1，得32x =，检验：当32x =时，()30x x −≠， 所以32x =是原分式方程的解．（2）解：2323x m x x −−=−， 方程两边同乘()3x x −，得()()()22333x x m x x x −−−=−，整理，得()39m x −=.①若整式方程无解，30m −=，解得3m =； ②若分式方程有增根，0x =或30x −=， 即当0x =或3x =时，分式方程无解． 当0x =时，方程()39m x −=无解；当3x =时，()339m −=，解得6m =．综上，当3m =或6m =时，分式方程无解．【经典例题八 分式方程的实际应用】【例8】（23-24八年级上·山东德州·期末）八年级3班的小王和小张同时从学校出发去距离15千米的夏津森林公园游玩，设小张每小时走x 千米，则根据题意可列方程：1515112x x −=+．题干中缺失的内容是（ ） A ．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张晚到半小时 B ．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张晚到半小时 C ．小王比小张每小时少行1千米，结果比小张早到半小时 D ．小王比小张每小时多行1千米，结果比小张早到半小时 【答案】D【分析】本题考查分式方程的实际运用，根据所给分式方程分析，即可解题． 【详解】解：小张每小时走x 千米，∴方程1515112x x −=+中，1x +表示小王比小张每小时多行1千米，15x 表示小张所用时间，151x +表示小王所用时间，1515112x x −=+表示小张所用时间比小王所用时间多半小时，即小王比小张早到半小时． 故选：D ．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）甲、乙两地相距160千米，一辆汽车从甲地到乙地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4小时到达，那么这辆汽车原来的速度为（ ）A ．80千米/小时B ．90千米/小时C ．100千米/小时D ．110千米/小时【答案】A【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．。
(完整版)2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习
代数方程专题复习学员姓名指导科目数学教师年级八升九授课日期课次数 2课题代数方程专题复习一、能成功解答整式方程教课目的二、经过授课能找出分式方程的分类用对应方法解题；三、能找出对应无理方程的解法并作答。
重、难点较复杂的解方程题目。
教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录一、知识重点1、整式方程的解法跟的鉴别式、韦达定理2、可化为一元二次方程的分式方程的解法注意：3、无理方程的解法注意：4、方程组的解法整式方程组分式方程组无理方程组5、方程（组）的应用解题思想二、专题解说【一元一次方程和一元二次方程的解法】例题用适合的方法解以下方程：（ 1）（2x+1）2=25 （2）2 x2 4 x 1 0（ 3）3x2+8x-1=0(4) x 2-9x=0【含字母系数的整式方程的解法】例题解以下对于 x 的方程（ 1）(3a-2)x=2 （ 3-x ）（2）bx2-1=1-x2（b≠-1）【特别的高次方程的解法】（ 1）二项方程ax n b 0(a 0, b0) 的解法二项方程的根的状况：对于二项方程 ax n b 0(a 0,b0) ，当 n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当 n 为偶数时，假如 ab 0 ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；假如 ab 0 ，那么方程没有实数根。
例题判断以下方程是否是二项方程，假如是二项方程，求出它的根。
3 4（1） x -64=0 （2）x +x=05 3（3） x = -9 （4）x +x=1（ 2）双二次方程的解法例题判断以下方程是否是双二次方程，假如是，求出它的根：(1)x 4-9x 2+14=0 (2 ）x4+10x+25=0 （ 3）2x4 -7x 3-4=0 (4 ）x4+9x2+20=0（ 3）因式分解法解高次方程例题解以下方程：（ 1）2x3+7x2-4x=0（2）x3-2x2+x-2=0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】1．适合用“去分母”的方法的分式方程例题解以下方程4 x 3 x 45x 5 12 x x2 17 602.适合用“换元法”的分式方程例题解以下方程：x 2x 8(x 2 2x) 3(x 2 1)（1） 5 6 0 ；（2）x 1 x 1 x 2 1 x 211. 2x【无理方程的解法】1．只有一个含未知数根式的无理方程例题解以下方程：(1) 2x 3 x 6（2）3 2 x 3 x2.有两个含未知数根式的无理方程例题解以下方程：（ 1）x 2 2 2x1 0 （）2 x 2x 13.适合用换元法解的无理方程例题解方程 2 x 2 2 x 4 3 x 2 6x 4【二元二次方程的解法】二一型:常有分类二二型:“二·一”型方程组的解法（1）代入消元法（即代入法）ax by 0 的方程组 形如2 dxyey 2cx 0（ 2）逆用根与系数的关系形如xya 的方程组xy b“二·二”型方程组的解法2形如ax bxc例题剖析：例 1．解方程组例 2．例 3．4例 4． k 为何值时，方程组。
2021-2022学年度沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习试题(含解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x的不等式组4331523m xx x->-⎧⎪-+-⎨≤⎪⎩有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程2622my yy y-++--＝﹣2的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和是（）A．5 B．6 C．9 D．102、若关于x的一元一次不等式组313221xxx a-⎧≤-⎪⎨⎪-<-⎩的解集为5x≤-，且关于y的分式方程11422ayy y-+=--有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（）A．4 B．5 C．6 D．7 3、下列无理方程有解的是（）A50=B4x-Cx=-D4、若关于x的一元一次不等式组2(3)4152x xx a+-<+⎧⎨-≤⎩的解集为1x<-，且关于y的分式方程1144y a y y++=--的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．-15 B ．-10 C ．-7 D ．-45、若a 为整数，关于x 的不等式组2(1)4340x x x a +<+⎧⎨-<⎩有解，且关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有正整数解，则满足条件的a 的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，直线2y x =与y kx b =+相交于点(),2P m ，则关于x 的方程2kx b +=的解是（ ）A ．12x =B ．1x =C ．2x =D ．4x =7、若整数a 使关于x 的不等式组2062x a x x->⎧⎨->⎩有解，且最多有2个整数解，且使关于y 的分式方程2ay y +-412y=-的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．4-B ．4C ．2-D ．2 8、若分式方程1244x a x x +=---无解，则a 的值是（ ） A ．-5 B ．4 C ．3 D ．09、学校建围栏，要为24000根栏杆油漆，由于改进了技术，每天比原计划多油400根，结果提前两天完成了任务，请问原计划每天油多少根栏杆？如果设原计划每天油x 根栏杆，根据题意列方程为（ ）A ．24000x ＝24000400x -＋2B ．24000x ＝24000400x -﹣2C ．24000x ＝24000400x +﹣2D ．24000x ＝24000400x +＋2 10、以二元一次方程21x y -=的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结果行驶这两段路程所用时间相等，则汽车先后行驶的速度分别是________．2、已知一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k 的值是 __．3、关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是________． 4、已知直线y ＝3x 与y ＝﹣x +b 的交点坐标为（a ，3）则2b +a 的平方根是______．5、阅读下列材料：①1111123x x x x -=-+--的解为x ＝1，②1111134x x x x -=----的解为x ＝2，③11111245x x x x -=-----的解为x ＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、列方程解应用题：某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所用时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？2、如图，已知直线1l：y＝3x＋1与y轴交于点A，且和直线2l：y＝mx＋n交于点P（－2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组31y xy mx n=+⎧⎨=+⎩，请你直接写出它的解；（3）判断直线3l：122y nx m=--是否也经过点P？请说明理由；（4）若直线1l，2l表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，求直线2l的函数解析式．3、王强参加了3000米的赛跑比赛．预赛中他以6m/s的速度跑了前一段路程后，又以2m/s的速度跑完了其余路程，一共花了15min．（1）求王强以2m/s的速度跑了多少米？（2）为了在决赛中取得好名次，赛跑时间应不超过10min．若前一段路程王强仍保持6m/s的速度，则其余路程2m/s的速度至少应该提高到m/s．4、某一工程，在工程招标时，接到甲乙两个工程队的投标书．施工一天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元．工程领导们根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：方案A：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；方案B：乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天；方案C：若甲乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？5、2020年3月，象群共计16头从西双版纳州进入普洱市，一路“象”北．当地政府组成大象护卫队，全程跟踪象群迁移轨迹，全景式记录大象“出走”经过．护卫队分成甲、乙两组，甲组行程120km和乙组行程80km所用时间相等，已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km，求甲、乙两组的速度．-参考答案-一、单选题1、A【分析】先解不等式组，根据不等式组有3个整数解可以确定m的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是整数在取值范围内找到符合条件整数m，再根据增根排除掉使分母为0的根，从而可得答案．【详解】解：4331523m xx x->-⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩①②解不等式①得34mx+ <，解不等式②得1x≥-,∵不等式组仅有三个整数解，∴3124m+<≤，即15m<≤，所以，m的整数值为2、3、4、5解2622my yy y-++--＝﹣2，方程两边乘以2y-得：2624 my y y---=-+移项合并同类项得121y m =+， ∵方程的解是整数， ∴整数2m =或3m =或5m =，∵20y -=时方程有增根，∴5m ≠，∴2m =或3m =，满足条件的整数m 的值之和是5．故选：A ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．2、B【分析】解关于x 的不等式组，然后根据不等式组的解集确定a 的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况结合a 为整数，取所有符合题意的整数a ，即可得到答案．【详解】 解：313221x x x a -⎧≤-⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①得：5x ≤-，解不等式②得：21x a <-，∵该不等式组的解集为5x ≤-，∴215a ->-，∴2a >-，分式方程去分母得：14(2)1ay y -+-=-，解得：64y a=-， ∵分式方程有正整数解，且2y ≠，∴满足条件的整数a 可以取：2、3，∴235+=，故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解本题的关键．3、C【分析】根据二次根式双重非负性逐一判断即可得．【详解】解：A 5=-知，此方程无实数解；B 、由题意得3040x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得34x x ≤⎧⎨≥⎩无解知，此方程无实数根； C 、由题意得030x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得30x -≤≤知，此方程有实数根； D 、由题意得5030x x -=⎧⎨-=⎩，解得53x x =⎧⎨=⎩无解知，此方程无实数根； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了无理方程，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．4、B【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为1x<-，在数轴上标出x的解集求出a的范围；根据分式方程分母不能为0的性质得出y-4≠0，再在分式方程两边同乘以y-4,解出分式方程的解，再根据a的范围求出y的取值范围，找出符合条件的y的正整数解，分别代入求出a的值，求和即可．【详解】解：2(3)4152x xx a+-<+⎧⎨-≤⎩ ① ②，解不等式①得：x<-1，解不等式②得：x≤25a+，∵不等式组的解集为1x<-，∴25a+≥－１，∴a≥－7；要想分式方程有意义，则y-4≠0，∴y≠4分式方程两边同乘以（y-4）得：y+y-4=-a-1，解得：y=32a-，∵a≥－7∴y=32a-≤5，∵方程的解是正整数且y≠4∴ y 的正整数解有：1，2，3，5．把y ＝1，2，3，5分别代入32a -，可得整数a 的值为1，-1，-3，-7． ∴所有满足条件的整数a 的值之和是：1+(-1)+(-3)+(-7)=-10故选：B ．【点睛】解一元一次不等式组可通过数轴求解解集，注意不等式两边同乘以负号的时候不等号的方向一定要改变．解分式方程时，防止增根产生，要保证分母不为0．5、A【分析】观察此题先解不等式组确定x 的解集，由不等式组有解确定a 的取值范围，再根据分式方程有正整数解，即可找出符合条件的所有整数a ．【详解】不等式组2(1)4340x x x a +<+⎧⎨-<⎩①②， 解①得：2x >-， 解②得：4a x <， 24a x ∴-<<且不等式组有解， 2,48,a a ∴-<∴>-解关于x 的分式方程11222ax x x -+=--得： 22x a =-，分式方程有正整数解，a为整数，∴==x a1,0,x a==方程产生增根，舍去，2,1,∴符合条件的a的值有1个，为0，故选：A．【点睛】此题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，综合性较强，熟练掌握不等式组的解法以及分式方程的解法是解决本题的关键．6、B【分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．【详解】解：∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），∴2＝2m，∴m＝1，∴P（1，2），∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1，故选：B．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．7、D根据题意先解不等式，确定a 的范围，进而根据分式方程的解为整数，确定a 的值，再求其和即可．【详解】解：2062x a x x ->⎧⎨->⎩①② 解不等式①得：2ax >解不等式②得：2x < 不等式组有解，则22a x <<且最多有2个整数解，则122a -≤< 解得24a -≤<2,1,0,1,2,3a ∴=--分式方程去分母得：42ay y -=- 解得21y a =- 分式方程2ay y +-412y =-的解为整数， 21a ∴-是整数，且2,10y a ≠-≠ 2,1,2a ∴≠-1,0,3a ∴=-1032∴-++=即符合条件的所有整数a 的和为2，故选D此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8、A【分析】按解分式方程的步骤化为关于x 的一元一次方程，可知x =4是一元一次方程的解，把解代入即可求得a 的值．【详解】 方程1244x a x x +=---两边同乘(x －4)，得：12(4)x x a +=-- 即9x a -=由题意知，x=4是原分式方程的增根，则它是9x a -=的解∴49a -=解得5a =-故选：A【点睛】本题是分式方程无解问题，考查了分式方程的解法，一元一次方程的解的概念，关键是理解分式方程无解，则它在一般情况下是有增根，也即使分式方程的分母为零的未知数的值．9、D【分析】如果设每天油x 根栏杆，要为24000根栏杆油漆，开工后，每天比原计划多油400根，结果提前2天完成任务，根据原计划天数＝实际天数+2可列出方程．【详解】解：设每天油x 根栏杆，根据题意列方程：24000x ＝24000400x +＋2 故选：D ．【点睛】 本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的步骤与解法，抓住原计划天数＝实际天数+2可列出方程是解题关键．10、B【分析】先解出方程2x −y =1的二个解，再在平面直角坐标系中利用描点法解答．【详解】解：二元一次方程2x −y =1的解可以为：01x y =⎧⎨=-⎩或120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以，以方程2x −y =1的解为坐标的点分别为：（12，0）、（0，-1），它们在平面直角坐标系中的图象如下图所示： ，故选：B ．【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解及其直线方程的图象，表示出方程的解是解题的关键．二、填空题1、km/h,4045km/h【分析】 设汽车先行驶的速度是x km h ，则汽车后行驶的速度是()5x km h +，根据“行驶这两段路程所用时间相等”可列出方程，解出即可．【详解】 解：设汽车先行驶的速度是x km h ，则汽车后行驶的速度是()5x km h +，根据题意得：1201355x x =+ ， 解得：40x = ，经检验：40x =是原分式方程的解且符合题意， ∴汽车后行驶的速度是545x km +=．故答案为：40/,45/km h km h ．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．2、4±【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：当0x =时，044y k =⨯-=-，∴一次函数4y kx =-的图象与y 轴交于点(0,4)-；当0y =时，40kx -=，解得：4x k=， ∴一次函数4y kx =-的图象与x 轴交于点4(k ，0)．一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2， ∴14|4|||22k⨯-⨯=， 4k ∴=±，经检验，4k =±是原方程的解，且符合题意．故答案为：4±．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 3、1a <-且2a ≠-【分析】根据题意得：0x > 且10x -≠ ，然后解出方程，得到1x a =-- ，从而得到关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：根据题意得：0x > 且10x -≠ ，211x a x +=-，解得：1x a =-- ， ∴10a --> 且110a ---≠ ，解得：1a <- 且2a ≠- ．故答案为：1a <-且2a ≠-【点睛】本题主要考查了分式方程的解，根据题意得到0x > 且10x -≠ 是解题的关键．4、±3【分析】将x ＝a ，y ＝3代入y ＝3x ，求得a ＝1，将x ＝1，y ＝3代入y ＝﹣x +b 得b ＝4，然后可求得2b +a 的值，进而求出2b +a 的平方根．【详解】解：∵将x ＝a ，y ＝3代入y ＝3x 得：3＝3a ，解得a ＝1，∴直线y ＝3x 与y ＝﹣x +b 的交点坐标为（1，3）．将x ＝1，y ＝3代入y ＝﹣x +b 得：﹣1+b ＝3．解得：b ＝4．∴2b +a ＝8+1＝9，∴2b +a 的平方根是±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查了两条直线相交问题以及平方根，根据题意求得a 、b 的值是解题的关键．5、()()()()11112112x n x n x n x n -=------+-+ x n = 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x 值的平均数，可得答案．【详解】解：方程为：()()()()11112112x n x n x n x n -=------+-+，解为x n =， 故填：()()()()11112112x n x n x n x n -=------+-+，x n =． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．三、解答题【分析】设原计划平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产（x +50）台机器，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450台机器所需时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解方程即可．【详解】设该工厂原来平均每天生产x 台机器，则现在平均每天生产（x +50）台机器．依题意得： 60045050x x=+ 解得：x =150．经检验知，x =150是原方程的根．所以现在平均每天生产200台机器．答：现在平均每天生产200台机器．【点睛】考查了分式方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程．2、（1）-5；（2）25x y =-⎧⎨=-⎩；（3）122y nx m =--经过点P ，见解析；（4）y =x -3． 【分析】（1）因为点P （-2，a ）在直线y =3x +1上，可求出a =-5；（2）因为直线y =3x +1直线y =mx +n 交于点P ，所以方程组31y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解就是P 点的坐标； （3）把点P 坐标代入直线l 2，得到关于m 、n 的等式，再把点P 代入直线l 3，如果得到同样的m 、n 的关系式，则点P 在直线l 3上，否则不在；（4）因为直线l 1，l 2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x ＞3，所以直线l 2过点（3，0），又有直线l 2过点P （-2，-5），可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可．解：（1）∵（-2，a）在直线y=3x+1上，∴当x=-2时，a=-5；（2）∵直线l1：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线l2：y=mx+n交于点P（-2，-5），∴关于x，y的方程组31y xy mx n=+⎧⎨=+⎩的解为25xy=-⎧⎨=-⎩；（3）由（2）知点P（-2，-5），∵点P（-2，-5）在直线l2：y=mx+n上，∴-2m+n=-5，当x=-2时，直线l3：y=-12nx-2m=-2m+n=-5，所以直线l3：y=-12nx-2m也经过点P（-2，5）；（4）∵直线l1，l2表示的两个一次函数都大于0，此时恰好x＞3，∴直线l2过点（3，0），又∵直线l2过点P（-2，-5），∴3025m nm n+=⎧⎨-+=-⎩，解得13mn=⎧⎨=-⎩．∴直线l2的函数解析式为y=x-3．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法，另外本题还渗透了数形结合的思想．3、（1）1200m；（2）4m/s．【分析】（1）设王强以2m/s的速度跑了x米，则王强以6m/s的速度跑了(3000-x)米，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可．（2）设其余路程2m/s的速度至少应该提高到y m/s，根据题意可列出关于y的分式方程，求出y，即得出答案．【详解】（1）设王强以2m/s的速度跑了x米，则王强以6m/s的速度跑了(3000-x)米．15min900s=，根据题意可列方程300090062x x-+=，解得：1200x=．故王强以2m/s的速度跑了1200米；（2）根据（1）可求王强以6m/s的速度跑了3000-1200=1800米．设其余路程2m/s的速度至少应该提高到y m/s，10min600s=，根据题意可列方程180012006006y+=，解得：4y=．经检验，4y=是原分式方程的解．故其余路程2m/s的速度至少应该提高到4m/s．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用．根据题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键．4、选择C方案，理由见解析【分析】设甲单独完成这一工程需x天，则乙单独完成这一工程需()5+x天．根据方案C，可列方程得444155x x x x -++=++，解方程即可解决问题． 【详解】解：设甲单独完成这一工程需x 天，则乙单独完成这一工程需()5+x 天．根据方案C ，可列方程得444155x x x x -++=++， 解这个方程得20x ，经检验：20x 是所列方程的根．即甲单独完成这一工程需20天，乙单独完成这项工程需25天．所以A 方案的工程款为1.52030⨯=（万元），B 方案的工程款为1.12527.5⨯=（万元），但乙单独做超过了日期，因此不能选．C 方案的工程款为1.54 1.14 1.11628⨯+⨯+⨯=（万元），所以选择C 方案．【点睛】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．解题的关键是熟练掌握路程＝速度×时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题．5、甲组的速度为9km/h ，乙组的速度为6km/h ．【分析】设乙组的速度为x km/h ，则甲组的速度为（x +3）km/h ，根据题意可列出关于x 的分式方程，解出方程并检验，即可得出结果．【详解】解：设乙组的速度为x km/h ，则甲组的速度为（x +3）km/h ， 依题意列方程得：120803x x =+解得x=6经检验，x=6是方程的解∴x+3=6+3=9（km/h）答：甲组的速度为9km/h，乙组的速度为6km/h．【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．。
沪教版(五四制)八年级数学下代数方程总复习.docx
代数方程总复习一、填空题1、关于x 的方程22()x a b -=的根是2、如果关于x 的方程21(5)x a x +=-无解，那么a =3、方程2(3)0x x -=的根是4、方程22(31)0x -=的根是5、如果分式方程211633x x x x +=-+++两边都减去13x +后，变为方程26x x =-，那么这两个方程的解 （填“相同”或“不相同”）6、把分式方程232111x x -=-+去分母后，得到的整式方程是 7、用换元法解方程2215132x x x x -+=-时，如果设21x y x =-，那么将原方程变形后表示为一元二次方程的一般形式是8、如果关于x 的分式方程3x a x-=无解，那么a = 二、选择题1、解关于x 的方程n ax b =时，下列说法中错误的是（ ）A ．当a =0,b=0时,方程有无数多解B ．当n 为奇数且0a ≠时，方程有且只有一个实数根C ．当n 为偶数且0,0a b =≠时，方程无实数根D ．当n 为偶数且00a b ≠>，时，方程有两个实数根2、（222)30m m x mx --++=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≠-B ．2m ≠C ．1m ≠-且2m ≠D ．一切实数3、关于x 的方程351x a bx -+=+有唯一解，则必须（ ）A ．2a b ≠B ．6a ≠且3b ≠C ．3b ≠D ．6a =且3b ≠ 4、如果分式2264x x x +--的值为零，那么x 的值是（ ） A ．2 B ．—3 C ．2，—3 D ．—25、如果关于x 的分式方程22111x m x x x x x++-=++有增根，那么m 的值是（ ）A ．—1或—2B ．—1或2C ．1或2D ．1或—2三、解答题1、关于x 的方程43mx x n +=-，分别求m 、n 为何值时，原方程：（1） 有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解。
最新2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习
代数方程专题复习学员姓名 辅导科目 数学 教师 年 级 八升九授课日期课次数2课 题 代数方程专题复习教学目标一、 能成功解答整式方程二、 通过讲课能找出分式方程的分类用对应方法解题； 三、 能找出对应无理方程的解法并作答。
重、难点较复杂的解方程题目。
教 学 内 容知识点及例题精讲重点提示与记录 一、知识要点 1、整式方程的解法 跟的判别式、韦达定理2、可化为一元二次方程的分式方程的解法 注意：3、无理方程的解法 注意：4、方程组的解法 整式方程组 分式方程组 无理方程组5、方程（组）的应用 解题思想 二、专题讲解【一元一次方程和一元二次方程的解法】 例题 用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2=25 （2）01422=--x x （3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0【含字母系数的整式方程的解法】 例题 解下列关于x 的方程（1）(3a-2)x=2（3-x ） （2）bx 2-1=1-x 2（b ≠-1）【特殊的高次方程的解法】（1）二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n 的解法 二项方程的根的情况：对于二项方程)0,0(0≠≠=+b a b ax n ， 当n 为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n 为偶数时，如果0<ab ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果0>ab ，那么方程没有实数根。
例题 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。
（1）x 3-64=0 （2）x 4+x=0 （3）x 5= -9 （4）x 3+x=1（2）双二次方程的解法例题 判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根： (1)x 4-9x 2+14=0 (2）x 4+10x+25=0 （3）2x 4-7x 3-4=0 (4）x 4+9x 2+20=0（3）因式分解法解高次方程 例题 解下列方程：（1）2x 3+7x 2-4x=0 （2）x 3-2x 2+x-2=0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程 例题 解下列方程601745123542+--=--+-x x x x x2.适宜用“换元法”的分式方程 例题 解下列方程：（1）061512=+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； （2）112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x .【无理方程的解法】1．只有一个含未知数根式的无理方程 例题 解下列方程：(1)632-=-x x （2）x x =--3232.有两个含未知数根式的无理方程 例题 解下列方程：（1）01222=+--x x （2）12=-+x x3.适宜用换元法解的无理方程例题 解方程 46342222+-=+-x x x x【二元二次方程的解法】常见分类⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅::二型二一型二“二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法）形如⎩⎨⎧=++=+0022ey dxy cx by ax 的方程组 （2）逆用根与系数的关系形如⎩⎨⎧==+b xy ay x 的方程组“二·二”型方程组的解法形如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022f ex dx c bx ax例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k为何值时，方程组。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21章小结 代数方程复习课 教案 (1)
代数方程复习课教学目标:（1）进一步理解代数方程的概念；会用换元法、因式分解的方法解某些简单的高次方程。
掌握分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤及验根的基本方法。
掌握代入消元法、因式分解法解二元二次方程组。
（2）通过对本章的复习，经历整式方程从低次到高次以及从整式方程到分式方程、再到无理方程的扩展过程，探索并获得各类简单方程的解法，领会贯穿其中中化归的数学思想和消元、降次的数学方法。
教学重点重点是进一步复习巩固特殊的高次方程的解法和简单的分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法。
教学难点:难点是对分式方程和无理方程有可能产生增根的理解。
221619.,242x x x x +-=--+分式方程原方程可化为整式方程为_____________ 223310.20,+1__________y x x x xy +-+==用换元法解分式方程设原方程可化为关于的整式方程为_____________11.3-2x-3,x =无理方程原方程可化为整式方程为_____________2x 3012.,_______20y y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组本题宜采用法消元后关于的方程是_____________22222222x 32013.,50x 2055xy y x y x y y x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩-=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解方程组本题宜采用__________法，原方程可化为以下两个方程组或可化为整式方程为_____________ （二）请同学们判断解题过程的正确性，如果错误请指出错误的地方 下面是平时作业中同学的解题过程，请大家观察，找出解题过程中的错误，并说出为什么错，如何改正（题目附在PPT 上学生通过观察找错，并说明错误原因．展示平时作业中容易出现的问题，以轻松的形式找错，激发学生学习的兴趣，反思自己解题过程中的错误． 三、课堂小结通过学习这节课，你有什么收获吗？1.代数方程的分类.2.代数方程概念及解法复习学生自谈收获学生整理思路，及时查漏补缺. 四、思考提高21.(2)31x a x a x --=+解关于的方程22.y y=4290x a xx y -⎧⎨-+=⎩讨论关于，的二元二次的方程组解的情况应用知识思考作答 展示学生答案拓展提高五、作业布置一课一练单元二十一328.20,x x --=解方程x 本题可以采用____________法板书：代数方程复习课后反思本节课的亮点在于利用类比思想对代数方程进行分类,利用化归思想对代数方程进行求解,通过学生实践,潜移默化地掌握数学思想的运用,遗憾的是纠错部分由于时间问题,没有让学生的思维进行充分碰撞,可能仅仅适合于部分学生.。
最新沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析试题(含详细解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、设直线y ＝kx +6与y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…），则S 5的值等于（ ）A ．35B ．910C ．1D ．32、如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是（ ）．A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．31x y =-⎧⎨=-⎩C ．31x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩3、下面是四位同学解方程2111x x x+=--过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）A ．21x x +=-B ．21x x -=-C ．21x x -=-D ．21x +=4、若关于x 的不等式组4213222()x x x x a +-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，且关于y 的分式方程1211y a y y y --+--＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．﹣6B ．0C ．4D ．125、直线y ＝kx ＋1与y ＝x ﹣1平行，则y ＝kx ＋1的图象经过的象限是（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限6、已知直线1l 交x 轴于点()3,0-，交y 轴于点()0,6，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，将直线1l 向下平移8个单位得到直线3l ，则直线2l 与直线3l 的交点坐标为（ ）A ．()1,4--B ．()2,4--C ．()2,1--D ．()1,1--7、在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为x m ，根据题意，列方程正确的是（ ）A ．()233x x =-B ．()233x x =-C ．23x =D ．23x x =-8、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求前一小时的行驶速度．设前一小时的行驶速度为x km/h ，则可列方程（ ）A ．180218013 1.5x x-=+ B ．180218013 1.5x x +=+ C ．180218013 1.5x x x --=+ D ．180218013 1.5x x x ++=+ 9、熊猫绿道，起于我市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10千米.甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步.已知甲每小时徒步a 千米，乙每小时徒步b 千米()a b >，他们各自走完绿道所用的时间，乙比甲多半小时．则符合题意的方程是（ ）A ．101030b a -=B ．101030a b-= C ．101012b a -= D ．101012a b -= 10、下列方程是二项方程的是（ ）A ．0n ax b +=B ．2280x +=C ．40x x +=D ．220x =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、方程11212x x =+-的解是x =______． 2、如图，直线:AB y kx b =+与直线:CD y mx n =+交于点E (3，1)，则关于x ，y 的二元一次方程组y kx b y mx n=+⎧⎨=+⎩的解为___．3、几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x人，则可列方程___．4、代数式22231x xx---的值等于0，则x=________．5、一个分数的分子比分母少6，如果分子分母都加1，则这个分数的值等于14，则这个分数为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解分式方程21233xx x-+=--（2）先化简，再求值（22444xx x--+－22x-）÷222x xx+-，然后选取一个你喜欢的数代入求值．2、列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？3、某次动车平均提速a km/h，用相同的时间，动车提速前行驶b/km，提速后比提速前多行驶100km，提速前动车的平均速度为多少？4、某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该救中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元，所购进的中性笔数量与第一次相同．（1）求第一次购进的每支中性笔的进价是多少元？（2）若这两次购进的中性笔按同一价格进行销售，全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔的售价至少是多少元？5、为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某企业用400元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用600元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元，问第一批口罩每包的价格是多少元？-参考答案-一、单选题1、A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；当y=0时，5x+6=0，解得：x=65 -，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（65-，0），当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．∴S5=12BD•OA=12×|-1-（65-）|×6=35，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b 是解题的关键．2、C【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为(3,1)-；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：根据函数图可知，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P 的坐标是(3,1)-，故y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是31x y =-⎧⎨=⎩， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3、B【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．【详解】解：方程的两边同乘（x −1），得2−x ＝x −1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．4、D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出积即可．【详解】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩，∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+，∵关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，∴22a+≥0，且22a+≠1，解得，a≥﹣2，且a≠0，∴﹣2≤a≤3，且a≠0，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、A【分析】根据两直线平行得到k ＝1，然后根据一次函数图象与系数的关系判断y ＝k x ＋1的图象经过的象限．【详解】解：∵直线y ＝kx ＋1与y ＝x −1平行，∴k ＝1，即直线y ＝kx ＋1的解析式为y ＝x ＋1，∴y ＝kx ＋1的图象经过第一、二、三象限．故选：A ．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．同时考查了一次函数图象与系数的关系．6、A【分析】设直线1l 的解析式为()1110y k x b k =+≠ ，把点()3,0-，点()0,6代入，可得到直线1l 的解析式为26y x =+，从而得到直线3l 的解析式为22y x =- ，再由直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，可得点()0,6关于x 轴对称的点为()0,6- ，然后设直线2l 的解析式为()2220y k x b k =+≠ ，可得直线2l 的解析式为26y x =--，最后将直线2l 与直线3l 的解析式联立，即可求解．【详解】解：设直线1l 的解析式为()1110y k x b k =+≠ ，把点()3,0-，点()0,6代入，得：111306k b b -+=⎧⎨=⎩ ，解得：1126k b =⎧⎨=⎩， ∴直线1l 的解析式为26y x =+，∵将直线1l 向下平移8个单位得到直线3l ，∴直线3l 的解析式为22y x =- ，∵点()0,6关于x 轴对称的点为()0,6- ，设直线2l 的解析式为()2220y k x b k =+≠ ，把点()0,6- ，点()3,0-代入，得：222306k b b -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：2226k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线2l 的解析式为26y x =--，将直线2l 与直线3l 的解析式联立，得：2622y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得：14x y =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线2l 与直线3l 的交点坐标为()1,4--．故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的平移特征，一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．7、B【分析】设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意列方程化简即可．【详解】解：设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意可得：33x xx-=，化简可得()233x x=-故选B【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．8、C【分析】根据原计划的时间=实际所用时间+提前的时间可以列出相应的分式方程．【详解】解：设前一小时的行驶速度为x km/h，由题意可得：18040180160 1.5xx x--=+，即180218013 1.5xx x--=+，故选：C．【点睛】本题主要是考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系，通过等量关系列出对应的分式方程，这是解题的关键．9、C【分析】根据各自走完绿道所用的时间，乙比甲多半小时乙可列方程．【详解】解：甲每小时徒步a 千米，乙每小时徒步b 千米()a b >，由乙比甲多半小时． 得：101012b a -=． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是理清甲乙两人各自走完绿道所用的时间，再根据时间差可得方程．解题时要注意单位统一．10、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A. 0n ax b +=，当a =0时，不是二项方程，不合题意；B. 2280x +=，是二项方程，符合题意；C. 40x x +=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. 220x =，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．二、填空题1、-3【分析】根据解分式方程的步骤去分母，解方程，检验解答即可．【详解】解：方程的两边同乘()()212x x +-，得：221x x -=+，解这个方程，得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，∴原方程的解是3x =-．故答案为-3．【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题步骤是关键．2、31x y =⎧⎨=⎩【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】解：∵直线:AB y kx b =+与直线:CD y mx n =+交于点E (3，1)，∴关于x ，y 的二元一次方程组y kx b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩； 故答案为：31x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3、240240104x x -=+ 【分析】设原有人数为x 人，根据增加之后的人数为(4)x +人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了10元车费，列方程240240104x x -=+． 【详解】解：设原有人数为x 人，根据则增加之后的人数为(4)x +人， 由题意得，240240104x x -=+． 故答案为：240240104x x -=+． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．4、3【分析】根据题意建立分式方程，求解并检验即可．【详解】 解：由题意，222301x x x --=-， 左右同乘21x -，得：2230x x --=，()()310x x -+=，解得：3x =或1x =-，检验：当3x =时，210x -≠；当1x =-时，210x -=，则舍去；故答案为：3．【点睛】本题考查可化为一元二次方程的分式方程，理解题意，准确建立分式方程求解并检验是解题关键． 5、17【分析】设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据“分子分母都加1，则这个分数的值等于14，”可列出方程，解出即可．【详解】解：设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据题意得：11614x x +=++ ， 解得：1x = ，经检验：1x =是原方程的解，且符合题意， ∴这个分数为116167x x ==++ ． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．三、解答题1、（1）5x =；（2）12x +，当1x = 时，原式13= 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）先将原式化简，再根据分式的分母不等于0，可得x 不能取 2，-2，0 ，再选合适的数代入，即可求解．【详解】解：（1）方程两边同乘以3x -，得：22(3)1x x -+-=．解得：5x =．检验：当5x =时，320x -=≠ ，所以5x =是原方程的解；（2）解：原式()()()()22222222x x x x x x x ⎡⎤+--=-⋅⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦=（22x x +-－22x -）·2(2)x x x -+ ＝2x x -·2(2)x x x -+ ＝12x + ， 根据题意得：()220,0,20x x x -≠≠+≠ ，所以x 不能取 2，-2，0 ，当1x = 时，原式11123==+ ． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．2、约为1.5吨【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨 由题意，得15021620 1.2x x+=．解得 1.5x =． 经检验， 1.5x =是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．3、100ab km/h 【分析】设提速前动车的平均速度为x km/h ，由题意：某次动车平均提速a km/h ，用相同的时间，动车提速前行驶b /km ，提速后比提速前多行驶100km ，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设提速前动车的平均速度为x km/h ， 依题意列方程得：100b b x x a +=+， 解得：x ＝100ab ， 经检验，x ＝100ab 是原分式方程的解，且符合题意， 答：提速前动车的平均速度为100ab km/h ． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、（1）第一次每支铅笔的进价为4元；（2）每支售价至少是6元.【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，则第二次每支铅笔的进价为x +1元，然后根据题意列出方程求解即可；（2）设售价为y 元，再根据（1）得到的第一次和第二次每支铅笔的进价，然后根据题意列出不等式求解即可.【详解】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，由题意得6007501x x =+， 解得：4x =，经检验4x =是原分式方程的解．答：第一次每支铅笔的进价为4元；（2）设售价为y 元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为5元， 由题意得：()()7506004545045y y ⨯-+-≥ 解得6y ≥.答：每支售价至少是6元.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，读懂题意、根据题意列出分式方程和不等式成为解答本题的关键.5、20元【分析】根据题意设第一批口罩每包x 元，则第二批口罩每包（x ﹣5）元，由“第二批口罩的数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣5）元，根据题意得60040025x x=⨯-，解得x＝20，经检验，x＝20是分式方程的解，答：第一批口罩每包的价格是20元．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，列出分式方程是解题的关键，注意分式方程要检验．。
基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题测试试题(含答案及详细解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果关于x的方程3111ax x=---无解，则a＝（）A．1 B．3 C．－1 D．1或32、某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．10801080615x x=+-B．10801080615x x=--C．10801080615x x=-+D．10801080615x x=++3、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求前一小时的行驶速度．设前一小时的行驶速度为x km/h，则可列方程（）A．180218013 1.5x x-=+B．180218013 1.5x x+=+C．180218013 1.5xx x--=+D．180218013 1.5xx x++=+4、若分式方程1244x a x x +=---无解，则a 的值是（ ） A ．-5 B ．4 C ．3 D ．05、如图，直线2y x =与y kx b =+相交于点(),2P m ，则关于x 的方程2kx b +=的解是（ ）A ．12x =B ．1x =C ．2x =D ．4x =6、课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）A ．甲、丁B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙 7、要把方程250363y y -=-化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） A ．3y －6 B ．3y C ．3 （3y －6） D ．3y （y －2）8、关于x 的分式方程3122m x x -=--有增根，则22m m-的值为（ ） A ．32 B ．32- C ．﹣1 D ．﹣39、已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．60k -<<B ．30k -<<C ．3k <-D ．6k <-10、一次函数32y x =-与2y x b =+的图象的交点为()2,4P ，则二元一次方程组32,2x y x y b -=⎧⎨-=-⎩的解和b 的值分别是（ ）A ．4,2x y =⎧⎨=⎩，6b =-B ．4,2x y =⎧⎨=⎩，0b =C ．2,4x y =⎧⎨=⎩，0b =D ．2,4x y =⎧⎨=⎩，6b =- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线y ＝﹣2x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若点P 为x 轴上一点，且△ABP 的面积为3，则点P 的坐标为 ___．2、列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）__________；（4）解方程；（5）__________；（6）答．3、若关于x 的一元一次不等式组2123x x x m -⎧≤+⎪⎨⎪≥⎩的解集为x m ≥；且关于y 的分式方程34122y m y y y +--=++有负整数解，则所有满足条件的m 的整数值之和是__________．4、为了营造绿色环境，小区决定进行绿化美化工程．甲、乙两队合作6天可以完成，乙、丙两队合作10天可以完成，甲、丙两队合作5天可以完成全工程的23，问三个队分别单独做该工程，各需几天完成？设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得方程组________________，又设111,,a b c x y z===，原方程组变形为________________，解这个关于a 、b 、c 的三元方程组，得a =______，b =______，c =______，所以x =______，y =______，z =______．5、已知函数3y ax =-和y kx =的图象交于点()2,1P -，则关于x ，y 的二元一次方程组3y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是_______________；三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得：1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯．解答下面的问题： （1）猜想并写()11n n =+ ． （2）求111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值． （3）探究并解方程：()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++．2、（1）解分式方程21233x x x -+=-- （2）先化简，再求值（22444x x x --+－22x -）÷ 222x x x +-，然后选取一个你喜欢的数代入求值． 3、虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．4、对于任意两个非零实数a ，b ，定义运算⊗如下：()()00a a a b b a b a ⎧>⎪⊗=⎨⎪+<⎩． 如：2233⊗=，()23231-⊗=-+=． 根据上述定义，解决下列问题：（1=，(= ；（2）如果()()2211x x x +⊗-=，那么x ＝ ；（3）如果()()232x x x -⊗=-⊗，求x 的值．5、列方程解应用题：同学们在计算机课上学打字． 张帆比王凯每分钟多录入20个字，张帆录入300个字与王凯录入200个字的时间相同． 问王凯每分钟录入多少个字．-参考答案-一、单选题1、B【分析】先去分母，化成整式方程，令x -1=0，确定x 的值，回代x ＝4－a ，得a 值．【详解】 ∵3111a x x=---， ∴去分母，得3=x -1+a ，整理，得x ＝4－a ，令x -1＝0，得x =1，∴4－a ＝1，∴a ＝3．故选B ．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解的意义是解题的关键．2、C设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，所用A型包装箱的数量=所用B型包装箱的数量-6，列分式方程10801080615x x=-+即可．【详解】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，根据题意，得：10801080615x x=-+，故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出等量关系．3、C【分析】根据原计划的时间=实际所用时间+提前的时间可以列出相应的分式方程．【详解】解：设前一小时的行驶速度为x km/h，由题意可得：18040180160 1.5xx x--=+，即180218013 1.5xx x--=+，故选：C．【点睛】本题主要是考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系，通过等量关系列出对应的分式方程，这是解题的关键．4、A按解分式方程的步骤化为关于x 的一元一次方程，可知x =4是一元一次方程的解，把解代入即可求得a 的值．【详解】 方程1244x a x x +=---两边同乘(x －4)，得：12(4)x x a +=-- 即9x a -=由题意知，x=4是原分式方程的增根，则它是9x a -=的解∴49a -=解得5a =-故选：A【点睛】本题是分式方程无解问题，考查了分式方程的解法，一元一次方程的解的概念，关键是理解分式方程无解，则它在一般情况下是有增根，也即使分式方程的分母为零的未知数的值．5、B【分析】首先利用函数解析式y ＝2x 求出m 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x 的方程kx +b ＝2的解可得答案．【详解】解：∵直线y ＝2x 与y ＝kx +b 相交于点P （m ，2），∴2＝2m ，∴m ＝1，∴P （1，2），∴当x ＝1时，y ＝kx +b ＝2，∴关于x 的方程kx +b ＝2的解是x ＝1，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．6、B【分析】根据题意可设这种饮料的原价每瓶是x 元，则根据等量关系“九折购买的饮料数量比36元购买的一箱饮料的数量多2瓶”，或“一箱加2瓶的饮料九折后的价格是36元”；若设每箱有x 瓶，则根据“购买一箱加2瓶时，每瓶的价格和每瓶九折后的价格相等”分别列出方程即可【详解】设这种饮料的原价每瓶是x 元，则363620.9x x-=； 设这种饮料的原价每瓶是x 元，则()0.936236x ⋅+=；设每箱有x 瓶，则36360.92x x ⨯=+ 故选B【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．7、D【详解】略8、A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程求出m 的值，进一步即可求得代数式的值．【详解】解：去分母得：m ＋3＝x −2，由分式方程有增根，得到x −2＝0，即x ＝2，代入整式方程得：m ＝−3， ∴23=22m m -， 故选：A【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9、A【分析】先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．【详解】解：由题意得，36y kx k y x =+⎧⎨=-⎩， 解得6393k x k ky k --⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， ∵两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，∴603903k k k k --⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪-⎩， ∴-6＜k ＜0；故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键．10、C【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解，即可得出该方程组的解；将P (2，4)代入2y x b =+，解出b 即可．【详解】∵322x y x y b -=⎧⎨-=-⎩可改写为：322y x y x b=-⎧⎨=+⎩ ∴一次函数32y x =-与2y x b =+的图象的交点坐标即为方程组的解，∴原方程组的解为24x y =⎧⎨=⎩． ∵点P (2，4)在一次函数2y x b =+的图象上，∴422b =⨯+解得：0b =．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系以及函数图象上的点的坐标满足其解析式．理解两个函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解是解答本题的关键．二、填空题1、（4，0）或（-2，0）【分析】先求出A、B坐标，再设x轴上的点P（m，0），根据△ABP的面积为3列方程，即可得到答案．【详解】解：如图：在y=-2x+2中，令x=0得y=2，令y=0得-2x+2=0，x=1，∴A（1，0），B（0，2），设x轴上的点P（m，0），则AP=|m-1|，∵△ABP的面积为3，∴12AP•|y B|=3，即12|m-1|×2=3，∴|m-1|=3，解得m=4或m=-2，∴P（4，0）或（-2，0），故答案为：（4，0）或（-2，0）．【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标特征，涉及三角形面积，解题的关键是根据已知，列出方程1|m-21|×2=3．2、列分式方程检验【分析】根据列分式方程解应用题的方法和步骤作答．【详解】解：列分式方程解应用题的方法和步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列分式方程；（4）解方程；（5）检验；（6）答；故答案为：列分式方程；检验．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是掌握列分式方程解应用题的方法和步骤．3、-8【分析】得到m的取值范围，解分式方程，根据解是负整数，且不化简一元一次不等式组，根据解集为x m是增根，确定整数m的取值，从而求解．【详解】解：∵2123x x x m -⎧≤+⎪⎨⎪≥⎩①②，解不等式①，得：7x ≥-，解不等式②，得：x m ≥，又∵不等式组的解集为x m ≥，∴7m ≥-； 分式方程34122y m y y y +--=++去分母， 得：()342y y m y +-+=-， 解得：23m y -=． 又∵分式方程有负整数解，且2y ≠-，∴符合条件的整数m 可以取-7，-1，其和为-7+(-1)=-8，故答案为：-8．【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．4、11611125311101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩x y x z z y 6()125()310()1+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b 110 115 130 10 15 30 【分析】设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得关于x 、y 、z 的方程组，再设111,,a b c x y z===，可得到关于,,a b c 的方程组，可求出110115130⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ，从而求出10,15,30x y z === ，即可求解．【详解】解：设甲、乙、丙单独做各需x 、y 、z 天，由题意可得：11611125311101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩x y x z z y 又设111,,a b c x y z===， 则原方程组变形为6()125()310()1+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b ， 解得：110115130⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ， ∴111111,,101530===x y z ， 解得：10,15,30x y z === ．故答案为： 11611125311101⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩x y x z z y ；6()125()310()1+=⎧⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩a b a c c b ；110；115；130；10；15；30．【点睛】本题主要考查了分式方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5、21x y =⎧⎨=-⎩【分析】根据函数3y ax =-和y kx =的图象交于点P （2，-1）即可得．【详解】解：∵函数3y ax =-和y kx =的图象交于点P （2，-1），∴关于x ，y 的二元一次方程组3y ax y kx=-⎧⎨=⎩的解为21x y =⎧⎨=-⎩， 故答案为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系．三、解答题1、（1）111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭；（2）20202021；（3）2x = 【分析】（1）根据材料可直接得出答案；（2）根据（1）的规律，将算式写出差的形式，计算即可；（3）先按照（1）的结论进行化简，再解分式方程，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，可知：()11111n n n n =-++； 故答案为：111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭； （2）由（1）可知，111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ =1111111(1)()()()2233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =111111112233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =112021-=20202021； （3）由（1）可知，()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++， ∴211111113()33366918x x x x x x x -+-+-=++++++， ∴21113()3918xx x -=++， ∴2119918x x x -=++， ∴299(9)18x x x =++， ∴22918x x x +=+，∴2x =；经检验，2x =是原分式方程的解．∴2x =．【点睛】本题考查了解分式方程以及有理数的混合运算，掌握分式方程的解法是解题的关键．2、（1）5x =；（2）12x +，当1x = 时，原式13= 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）先将原式化简，再根据分式的分母不等于0，可得x 不能取 2，-2，0 ，再选合适的数代入，即可求解．【详解】解：（1）方程两边同乘以3x -，得：22(3)1x x -+-=．解得：5x =．检验：当5x =时，320x -=≠ ，所以5x =是原方程的解；（2）解：原式()()()()22222222x x x x x x x ⎡⎤+--=-⋅⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ =（22x x +-－22x -）·2(2)x x x -+ ＝2x x -·2(2)x x x -+ ＝12x + ， 根据题意得：()220,0,20x x x -≠≠+≠ ，所以x 不能取 2，-2，0 ，当1x = 时，原式11123==+ ． 【点睛】 本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．3、60米【分析】设原计划每天铺设管道x 米，根据题中等量关系原计划完成时间-实际完成时间=2列分式方程，然后求解即可解答．【详解】解：设原计划每天铺设管道x 米，由题意，得72072021.2x x-=， 解得x ＝60，经检验，x ＝60是原方程的解．且符合题意，答：原计划每天铺设管道60米． -【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．4、（10；（2）1-；（3）1x =±．【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；（2）根据210x +＞得到221=1x x x +-，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到()2x -⊗=-2+x ，对23x -分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．【详解】解：（10，0，=(=0=，，0；（2）∵210x +＞，∴()()221x x x +⊗-=221=1x x x +-， ∴ 22+1=x x x -，解得1x =-，经检验，1x =-是方程221=1x x x+-的解， 故答案为：-1；（3）∵-2＜0，∴()2x -⊗=-2+x ．①当230x ->时，232x x x-=-+， 解得：32x =， 经检验32x =是原方程的解，但不符合230x ->， ∴32x =舍去． ②当230x -<时，232x x x -+=-+，解得：1x =±．经检验1x =±是原方程的解，且符合230x -<．∴1x =±．【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论．5、王凯每分钟录入10个字【分析】由题意得出等量关系：张帆录入300个字=王凯录入200个字的时间，根据等量关系列出方程，解方程即可得出答案．【详解】解：设王凯每分钟录入x 个字，由题意得：30020020x x=+ 解得：10x =经检验，10x =是方程的解．答：王凯每分钟录入10个字．【点睛】本题考察了列分式方程解决实际问题的应用，找出等量关系列出方程，解方程得出答案，需要注意解分式方程需检验．。
专题02代数方程(考点串讲)-八年级数学下学期期中考点大串讲(沪教版)
速度．
【解析】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千
米/时，
根据题意得：
2
-
+
=3，
整理得：x +20x-2400=0，
解得：x1=40，x2=-60，
经检验，x1=40，x2=-60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=-60不符合题意，舍
去分母
因式分解
换元
低次方程
整式方程
求解
原方程的根
无理方程
去根号
由两个二元二次方
程组成的方程组
有理方程
因式分解
求解
求解
检验
检验
舍去增根
原方程的根
特殊的二元
二次方程组
舍去增根
原方程的根
含一次方程的
二元二次方程组
代入消元求出一
个未知数的值
回代求出另一
个未知数的值
原方程组的解
典例剖析
1、字母系数方程的讨论
x 1
解得y1 3, y2 5
x
3
当y= 3时,
3, 解得x =
x 1
4
x
5
当y=5时，
5，解得x =
x 1
4
3
5
经检验:x1 = ，x2 = 是原方程的根
4
4
题型二：倒数换元
例题2
解方程：
x2 3
x
1
解：设
y, 则 2
x
x 3 y
3 13
原方程变为：y+ =
基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习试题(含答案及详细解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列方程是二项方程的是（ ）A ．0n ax b +=B ．2280x +=C ．40x x +=D ．220x =2、函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y ax b y cx d=+⎧⎨=+⎩有（ ）解．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3、关于x 的方程312a x x -=-的解为整数．且关于x 的不等式组312(2)413x x x a +≤-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集为5x ≤-．则满足条件的所有整数a 值之和为（ ）A ．5B ．3C ．4D ．04、关于x的分式方程3122mx x-=--有增根，则22mm-的值为（）A．32B．32-C．﹣1 D．﹣35、某人往返于A，B两地，去时先步行2公里再乘汽车10公里；回来时骑自行车，来去所用时间恰好一样，已知汽车每小时比步行多走16公里，汽车比骑自行车每小时多走8公里，若步行速度为x公里/小时，则可列出方程（）A．21210816x x x+=++B．10122168x x x-=++C．21012168x x x+=++D．10122168x x x+=++6、直线y＝kx＋1与y＝x﹣1平行，则y＝kx＋1的图象经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限7、方程322x x=-的解为（）A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．x＝﹣38、如果关于x的方程3111ax x=---无解，则a＝（）A．1 B．3 C．－1 D．1或39、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）和y＝mx+n（m≠0）相交于点(2，﹣1)，则关于x，y的方程组kx y bmx n y=-⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．21x y =⎧⎨=⎩ 10、若关于x 的方程63x x --﹣23m x -＝0有增根，则m 的值是（ ） A ．23- B ．32 C ．3 D ．﹣3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在去分母解关于x 的分式方程244x a x x=---的过程中产生增根，则=a __． 2、一次函数5y x m =+与5y kx =+的图象的交点坐标为(2,9)，则m =_______，k =_______．3、若点A （8，0），B （0，n ），且直线AB 与坐标轴围成的三角形面积为12，则n ＝____．4、分式方程2132x x=+的解是x =______． 5、已知轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，水流的速度为3米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为___________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知一次函数y 1＝mx ﹣2m +4（m ≠0）．（1）判断点（2，4）是否在该一次函数的图象上，并说明理由；（2）若一次函数y 2＝﹣x +6，当m ＞0，试比较函数值y 1与y 2的大小；（3）函数y 1随x 的增大而减小，且与y 轴交于点A ，若点A 到坐标原点的距离小于6，点B ，C 的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．求△ABC 面积的取值范围．2、某经销商用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元．（1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该经销商购进A ，B 型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A 型商品m 件，求该经销商销售这批商品的利润p 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，该经销商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．3、为了营造“创建文明城区、共享绿色家园”的良好氛围，房山某社区计划购买甲、乙两种树苗进行社区绿化，已知用1200元购买甲种树苗与用1000元购买乙种树苗的棵树相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少20元，问甲种树苗每棵多少元？4、（1）解方程：252744x x x x-=++； （2）23441222a a a a a a a +-⎛⎫+÷- ⎪++-⎝⎭． 5、利用函数图象解方程组32123x y x y +=-⎧⎨-=-⎩．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．解：A. 0n ax b +=，当a =0时，不是二项方程，不合题意；B. 2280x +=，是二项方程，符合题意；C. 40x x +=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. 220x =，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．2、B【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．【详解】函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y ax b y cx d=+⎧⎨=+⎩有唯一解．故选B【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．3、B【分析】（1）先解分式方程得62x a =+，由于解是整数，故可推出a 的值，解不等式，由于解集为5x ≤-，即可确定a 的可能值，相加即可得出答案．解分式方程得：62x a =+， ∵x 为整数，2x ≠且0x ≠，∴a 可为8-，5-，4-，-3，1-，0，4，312(2)413x x x a +≤-⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 由①得：5x ≤-，由②得：43x a ≤+，∵解集为5x ≤-，∴435a +≥-，解得：2a ≥-，∴整数a 可为1-，0，4，∴1043-++=．故选：B ．【点睛】本题考查解分式方程和一元一次不等式组，掌握求解的步骤是解题的关键．4、A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程求出m 的值，进一步即可求得代数式的值．【详解】解：去分母得：m ＋3＝x −2，由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x＝2，代入整式方程得：m＝−3，∴23=22mm-，故选：A【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5、C【分析】本题未知量是速度，已知路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“来去所用时间恰好一样”；等量关系为：步行时间+乘车时间＝骑自行车时间．【详解】解：步行所用时间为：2x，乘汽车所用时间为：1016x+，骑自行车所用时间为：128x+．所列方程为：21012168x x x+=++．故选C．【点睛】找到关键描述语，等量关系是解决问题的关键．6、A【分析】根据两直线平行得到k＝1，然后根据一次函数图象与系数的关系判断y＝k x＋1的图象经过的象限．【详解】解：∵直线y＝kx＋1与y＝x−1平行，∴k＝1，即直线y＝kx＋1的解析式为y＝x＋1，∴y＝kx＋1的图象经过第一、二、三象限．故选：A．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．同时考查了一次函数图象与系数的关系．7、B【分析】方程两边同乘以x（x－2），将分式方程化为整式方程，解整式方程，最后验根．【详解】解：方程两边同乘以x（x－2），得3（x－2）＝2x，去括号，得3x－6＝2x，移项，得x＝6，检验：当x＝6时，x（x－2）＝24≠0，∴x＝6是原方程的解，故选：B【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的方法以及最后要验根是解题的关键．8、B【分析】先去分母，化成整式方程，令x-1=0，确定x的值，回代x＝4－a，得a值．【详解】∵3111ax x=---，∴去分母，得3=x-1+a，整理，得x＝4－a，令x-1＝0，得x=1，∴4－a＝1，∴a＝3．故选B．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解的意义是解题的关键．9、B【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】解：∵一次函数y=kx+b和y=mx+n相交于点（2，-1），∴关于x、y的方程组kx y bmx n y=-⎧⎨+=⎩的解是21xy=⎧⎨=-⎩．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．10、B【分析】先将方程化为整式方程，由分式方程有增根可求解x 值，再将x 值代入计算即可求解m 值．【详解】 解：由63x x --﹣23m x -＝0得6-x -2m =0， ∵关于x 的方程63x x --﹣23m x -＝0有增根， ∴x =3，当x =3时，6-3-2m =0，解得m =32， 故选：B ．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．二、填空题1、4【分析】先将分式方程化为整式方程，再由分式方程有增根，可得4x =，再代入整式方程，即可求解．【详解】解：方程两边同乘()4x -得：2(4)x x a =-+，关于x 的分式方程244x a x x =---有增根， 40x ∴-=，解得：4x =，将4x =代入方程2(4)x x a =-+，得：42(44)a =-+，解得：4a =．故答案为：4【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． ．2、-1 2【分析】先把(2,9)代入5y x m =+，求出m 的值，然后把(2,9)代入5y kx =+，求出k 的值即可．【详解】把(2,9)代入5y x m =+，得9= 5×2+m ，∴m =-1，把(2,9)代入5y kx =+，得9= 2k +5，∴k = 2，故答案为：-1，2．【点睛】本题主要考查一次函数的交点坐标问题，属于基础题，将两个一次函数的交点坐标分别代入是解题关键．3、±3【分析】先分别求出点A 、点B 到坐标轴的距离即OA 、OB ，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：∵点A （８，0），B （0，n ），∴OA =8，OB =｜n ｜，∵直线AB 与坐标轴围成的三角形面积等于12， ∴12×8×｜n ｜=12，解得：n =±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质，会利用点的坐标求图形的面积的方法是解答的关键．4、1【分析】根据解分式方程的步骤“先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验”进行解答即可得．【详解】 解：2132x x =+ 方程两边同乘2(3)x x +，得43x x =+，移项，得33x =，系数化为1，得1x =，检验：当1x =时，2(3)0x x +≠，∴原分式方程的解为1x =，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并检验．5、504033=+-x x【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据轮船顺水航行50千米所需的时间和逆水航行40千米所需的时间相同，列方程即可．【详解】设轮船在静水中的速度为x千米/时，由题意得，504033=+-x x，故答案为：504033=+-x x．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．三、解答题1、（1）在，理由见解析；（2）当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2；（3）6＜S△ABC＜8【分析】（1）把点（2，4）代入解析式即可判断；（2）求得两直线的交点为（2，4），根据一次函数的性质即可比较函数值y1与y2的大小；（3）根据题意求得A的纵坐标的取值，然后根据三角形面积公式即可求得．【详解】解：（1）把x ＝2代入y 1＝mx ﹣2m +4得，y 1＝2m ﹣2m +4＝4，∴点（2，4）在该一次函数的图象上；（2）∵一次函数y 2＝﹣x +6的图象经过点（2，4），点（2，4）在一次函数y 1＝mx ﹣2m +4的图象上， ∴一次函数y 2＝﹣x +6的图象与函数y 1＝mx ﹣2m +4的图象的交点为（2，4），∵y 2随x 的增大而减小，y 1随x 的增大而增大，∴当x ＞2时，y 1＞y 2；当x ＝2时，y 1＝y 2；当x ＜2时，y 1＜y 2；（3）由题意可知，﹣6＜﹣2m +4＜6且m ＜0，∴﹣1＜m ＜0，∵点B ，C 的坐标分别为（0，﹣2），（2，1）．∴6＜AB ＜8，∴6＜S △ABC ＜8．【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．2、（1）一件B 型商品的进价为150元，则一件A 型商品的进价为160元；（2）()101750080125p m m =+≤≤；（3）当010a <<时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(18750125)a ﹣元；当10a =时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为17500元；当1080a <≤时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(1830080)a -元【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(10)x +元．根据16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w 元．则(80)70(250)(10)17500w a m m a m =-+-=-+，分三种情形讨论利用一次函数的性质即可解决问题．（1）解：设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(10)x +元， 由题意：160007500210x x=⨯+， 解得150x =，经检验150x =是分式方程的解，∴10160x +=，答：一件B 型商品的进价为150元，则一件A 型商品的进价为160元；（2）解：∵客商购进A 型商品m 件，∴客商购进B 型商品(250)m -件，由题意：()()240160220150(250)1017500p m m m =-+--=+，∵A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件，∵80250m m ≤≤-，∴80125m ≤≤；（3）解：设收益为w 元，则()(240160)220150(250)(10)17500w a m m a m =--+--=-+，①当100a ->时，即010a <<时，w 随m 的增大而增大，∴当125m =时，最大收益为(18750125)a ﹣元； ②当100a =-，即10a =时，最大收益为17500元；③当100a <-时，即1080a <≤时，w 随m 的增大而减小，∴80m =时，最大收益为(1830080)a -元，∴当010a <<时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(18750125)a ﹣元；当10a =时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为17500元；当1080a <≤时，该经销商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为(1830080)a -元．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，，熟练掌握相关知识及寻找题目的等量关系列式求解是解决本题的关键．3、甲种树苗每棵120元【分析】设甲种树苗每棵x 元，根据题意列出分式方程，故可求解．【详解】解：设甲种树苗每棵x 元． 依题意列方程：1200100020x x =-， 解得：120x =经检验120x =是所列方程的解且符合题意，答：甲种树苗每棵120元．【点睛】此题主要考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程求解．4、（1）5x =；（2）42a a +-（1）根据分式方程的解法将分式方程化为整式方程求解即可；（2）根据分式混合运算法则、平方差公式、完全平方公式进行运算即可．【详解】（1）解：()5247x x -+=，5287x x --=，315x =，5x =，检验：当5x =时，(4)0x x +≠∴原分式方程的解为5x =；（2）解：原式234(2)(2)12(1)2a a a a a a a a a ++++-=÷-++- 2(2)2(1)1(2)(2)2a a a a a a a ++=⋅-++-- 2(2)22a a a a +=--- 242a a a +-=- 42a a +=-． 【点睛】本题考查解分式方程、分式的混合运算，熟记完全平方公式、平方差公式，掌握解分式方程的步骤和分式混合运算法则是解答的关键5、11x y =-⎧⎨=⎩．直接利用两函数图象的交点横纵坐标即为x，y的值进而得出答案．【详解】解：方程组对应的两个一次函数为：3122y x=--与23y x=+，画出这两条直线，如图所示：由图像知两直线交点坐标为（-1，1）．所以原方程组的解为11xy=-⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确利用数形结合分析是解题关键．。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21章小结 代数方程复习(1) 教案
第二十一章代数方程复习（1）教学目的：通过系统的疏理，帮助学生归纳、整理代数方程的知识体系。
使学生加深对各类方程（组）概念的理解，熟练掌握各类方程（组）的解法，并能灵活选择合适的解法，教会学生整理知识的方法，提高学生的学习能力。
教学重点：掌握各类方程（组）的基本解法，领会分类、化归思想。
教学难点：选择合适的方法解方程（组）4、将二元二次方程0562=+-x xy x 化为二个一次方程为 ．5、用换元法解方程322122=-+-x xx x 时，如果设y xx =-12，那么可以得到一个关于y 的一元二次方程是6、一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==4,2y x 和⎩⎨⎧-=-=.4,2y x 试写出符合要求的一个方程组 ． 二、解方程（组） 1、关于y 的方程：)1(9122-≠-=+m y my2、2231242x x x--=--． 3、2725=--+y y4、0342)2(2=----x x x x5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++.1103,215y x y x y x y x6、⎪⎩⎪⎨⎧=--=-.02342222y xy x y x 三、选做题：如果关于x 的方程1151222--=+-+-x k x x k x x 无解，求k 的值有挑战性，要给学生留有做数学与思考数学的空间，照顾到全班不同层次学生的学习水平，使他们都有收益，真正做到让每一个学生动起来，让学生“思维”飞起来。
教学反思：本节课是一节复习课，是前面所学知识的归纳和应用，因而本课的重点是鼓励学生独立回顾，对已学的知识和方法在头脑中再现和整理；给学生适当的时间交流，再回顾和明确已学的知识和方法。
通过适当的回顾，使学生认识到数学知识和方法在解决实际问题中的作用，迅速唤起对已有知识的再现，最终使课堂教学得以有效生成，为下节课在实际问题中建模打下基础。
（1）教学过程设计符合学生的认知规律，以先抛给学生辨别方程的类型的问题，完成代数方程的部分知识体系，再让学生动手解这些方程，来总结方法和策略，真正做到让每一个学生动起来，让学生“思维”飞起来。
难点详解沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习试卷(含答案详解)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、直线2y x =--与直线3y x 的交点为（ ） A ．71,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(0,2)- D ．(0,3)2、某工地调来144人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工（停工等待）？为解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土，下列所列方程：①14413x x -=；②1443x x -=；③3144x x +=；④3144x x =-．正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、若关于x 的不等式组4213222()x x x x a +-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，且关于y 的分式方程1211y a y y y --+--＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．﹣6B ．0C ．4D ．124、若整数a 使关于x 的不等式组2062x a x x ->⎧⎨->⎩有解，且最多有2个整数解，且使关于y 的分式方程2ay y +-412y=-的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．4-B ．4C ．2-D ．25、下列每小题中的两个方程的解相同有（ ）组．（1）2322x x x +=--与23x +=；（2）2422x x x +=--与24x ； （3）112311x x x ++=+--与23x +=；（4）2227161x x x x x +=+--与26x = A ．0 B ．1 C ．2 D ．36、若关于x 的方程11ax x =+的解大于0，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．1a < C ．1a >- D ．1a <-7、函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y ax b y cx d=+⎧⎨=+⎩有（ ）解．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8、已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．60k -<<B ．30k -<<C ．3k <-D ．6k <- 9、解分式方程8587142x x x x--=--时，去分母后得到的整式方程是（ ） A ．2（x －8）＋5x ＝16（x －7）B ．2（x －8）＋5x ＝8C ．2（x －8）－5x ＝16（x －7）D ．2（x －8）－5x ＝8 10、已知关于x 的分式方程10327333x k x x --=---的解满足2＜x ＜5，则k 的取值范围是（ ） A ．﹣7＜k ＜14B ．﹣7＜k ＜14且k ≠0C ．﹣14＜k ＜7且k ≠0D ．﹣14＜k ＜7 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，函数y =mx +3与y =2x -的图象交于点A (a ，2)，则方程组320y mx x y =+⎧⎨+=⎩的解为______．2、（1）每一个含有未知数x 和y 的二元一次方程，都可以改写为______的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条_____，这条直线上每个点的坐标(x ，y )都是这个二元一次方程的解．（2）从“数”的角度看，解方程组，相当于求_____为何值时对应的两个函数值相等，以及这两个函数值是______；从形的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的______．3、关于x 1=有一个增根4x =，则=a _______．4、一次函数1y x =-+与7y x =-的图象与y 轴围成的三角形的面积是________．5、某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x 米，则所列方程是____________________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某工厂生产A ，B 两种型号的扫地机器人．B 型机器人比A 型机器人每小时的清扫面积多50%，清扫2100m 所用的时间，A 型机器人比B 型机器人多用40分钟．求A 型号扫地机器人每小时清扫面积是多少？2、今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？3、如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B （0，6），与正比例函数3y x =的图象交于点C （1，m ）．（1）求一次函数y kx b =+的解析式；（2）比较OCA S △和OCB S △的大小；（3）点N 为正比例函数图象上的点（不与C 重合），过点N 作NE ⊥x 轴于点E （n ，0），交直线y kx b =+于点D ，当ND ＝AB 时，求点N 的坐标．4、（1）分解因式：①4m 2﹣36； ②2a 2b ﹣8ab 2+8b 3.（2）解分式方程： ①26124x x x -=--； ②21233x x x-=---． 5、解分式方程：224124x x x -=-+--参考答案-一、单选题1、B【分析】直接联立两个函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到两函数图象的交点．【详解】解：联立两个函数解析式得23y x y x =--⎧⎨=+⎩， 解得5212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则两个函数图象的交点为(52-，12)，故选：B ．【点睛】本题主要考查了两函数交点问题，两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．2、C【分析】关键描述语为：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”；等量关系为：挖土的人的数量与运土人的数量之比＝3：1，由此列式．【详解】解：x 人挖土，则（144﹣x ）运土，3人挖出的土1人恰好能全部运走，那么使挖出来的土能及时运走且不窝工，说明挖土的人的数量与运土人的数量之比＝3：1．①②④都是这个等量关系的变形正确． ③运土的人数应是3x ，方程应为x 3x +=144， 故选：C ．【点睛】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题需重点理解：3人挖出的土1人恰好能全部运走．3、D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出积即可．【详解】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩，∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+，∵关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，∴22a+≥0，且22a+≠1，解得，a≥﹣2，且a≠0，∴﹣2≤a≤3，且a≠0，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、D【分析】根据题意先解不等式，确定a 的范围，进而根据分式方程的解为整数，确定a 的值，再求其和即可．【详解】解：2062x a x x ->⎧⎨->⎩①②解不等式①得：2ax >解不等式②得：2x < 不等式组有解，则22a x <<且最多有2个整数解，则122a -≤< 解得24a -≤<2,1,0,1,2,3a ∴=--分式方程去分母得：42ay y -=- 解得21y a =- 分式方程2ay y +-412y =-的解为整数， 21a ∴-是整数，且2,10y a ≠-≠ 2,1,2a ∴≠-1,0,3a ∴=-1032∴-++=即符合条件的所有整数a 的和为2，故选D【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、C【分析】分别解每组方程进行判断即可．【详解】解：（1）解方程2322x x x +=--得x =1， 经检验，x =1是该方程的解；解23x +=得x=1，故两个方程同解；（2）解2422x x x +=--得x =2， 经检验，x =2不是该方程的解，该方程无解；解24x 得x =2，故两个方程不同解；（3）解112311x x x ++=+--得x =1， 经检验，x =1不是该方程的解，该方程无解；解23x +=得x =1，故两个方程不同解；（4）解2227161x x x x x +=+--得x =3，经检验，x =3是该方程的解；解26x =得x =3，故两个方程同解，故选：C ．【点睛】此题考查解分式方程及解一元一次方程，正确掌握解分式方程及一元一次方程的解法是解题的关键，注意解分式方程需检验．6、A【分析】先去分母，求出分式方程的解，进而得到关于a 的不等式组，即可求解．【详解】 解：由11ax x =+，解得：11x a =-， ∴101a >-且a -1≠0， ∴1a >，故选A ．【点睛】本题主要考查解分式方程以及不等式，掌握去分母，把分式方程化为整式方程，是解题的关键．7、B【分析】函数所表示的直线的交点即为函数所组成的方程组的解，方程组有几个解就是要看有几个交点．【详解】函数y ax b =+与函数y cx d =+的图象是两条直线，只有一个交点，则二元一次方程组y ax b y cx d=+⎧⎨=+⎩有唯一解．故选B【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，理解直线的交点即方程组的解是解题的关键．8、A【分析】先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．【详解】解：由题意得，36y kx k y x =+⎧⎨=-⎩， 解得6393k x k k y k --⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， ∵两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限， ∴603903k k k k --⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪-⎩， ∴-6＜k ＜0；故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键．9、A【详解】略10、C【分析】先解分式方程，然后根据分式方程的解满足2＜x ＜5和分式有意义的条件进行求解即可．【详解】 解：∵10327333x k x x --=---， ∴()1032733x k x -=-++-， ∴217k x -=， ∵分式方程10327333x k x x --=---的解满足2＜x ＜5， ∴212572137k k -⎧<<⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩， 解得147k -<<且0k ≠，故选C ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．二、填空题1、12 xy=-⎧⎨=⎩【分析】把（a，2）代入y=-2x中，求得a值，把交点的坐标转化为方程组的解即可．【详解】∵函数y=mx+3与y=2x-的图象交于点A(a，2)，∴-2a=2，解得a=-1，∴A(-1，2)，∴方程组320y mxx y=+⎧⎨+=⎩的解为12xy=-⎧⎨=⎩，故答案为：12xy=-⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了一次函数的交点与二元一次方程组的关系，正确理解一次函数解析式的交点坐标与由解析式构成的二元一次方程组的解的关系是解题的关键．2、y=kx+b(k，b是常数，k≠0) 直线自变量多少交点坐标【分析】（1）根据一次函数与二元一次方程的关系解答即可；（2）根据一次函数与二元一次方程组的关系解答即可；【详解】（1）一般地，任何一个二元一次方程都可转化为一次函数的形式，∴每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线，故答案为：y =kx +b (k ，b 是常数，k ≠0)；直线（2）方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． ∴答案为：自变量；多少；交点坐标【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程问题，关键是根据一次函数与二元一次方程（组）的关系解答． 3、5【分析】1=3x a =--，再两边同时平方得：()()24243x x a -=--，然后把4x =代入求解，最后求出的a 值代入原方程进行检验即可．【详解】1=，1=两边同时平方得：241x a x +=-+-移项化简得：3x a =--，两边同时平方得：()()24243x x a -=--，1=有一个增根4x =，∴把4x =代入()()24243x x a -=--得()()248443a -=--，解得5a =或3a =-，把3a =-1，当4x =1=，即此时方程左右两边相等，∴说明此时4x =不是增根，∴3a =-不符合题意；∴5a =，故答案为：5．【点睛】本题主要考查了无理方程，解题的关键在于能够利用两边同时平方去根号进行求解．4、16【分析】首先求出两直线与y 轴的交点坐标，再求出两直线的交点坐标，进而求出三角形的面积．【详解】解：在1y x =-+中，令x =0，则y =1；在7y x =-中，令x =0，则y =-7；∴两个一次函数与y 轴的交点坐标分别为（0，1）和（0，-7），解方程组17y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得43x y =⎧⎨=-⎩， 两直线的交点坐标为(4，3-)，∴两直线与y 轴围成的三角形面积为12×4×(1+7)=16．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的交点坐标以及直线与y 轴围成的三角形的面积，解题的关键是求出两直线交点坐标，此题难度不大．5、7207202(120%)x x-=+ 【详解】略三、解答题1、A 型号扫地机器人每小时清扫面积250m ．【分析】设A 型号扫地机器人每小时清扫面积2xm ，则B 型号扫地机器人每小时清扫面积21.5xm ，根据题意列出方程求解即可得，注意对分式方程的解进行检验．【详解】解：设A 型号扫地机器人每小时清扫面积2xm ，则B 型号扫地机器人每小时清扫面积21.5xm ， 40分钟23=小时，根据题意可得： 10010021.53x x -=， 解得：50x =，检验：当50x =时，1.50x ≠，∴50x =为分式方程的解，∴A 型号扫地机器人每小时清扫面积250m ．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解题关键．2、（1）鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；（2）见解析【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x 元，根据“花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同”列方程求解；（2）设购买鲁迅文集a 套，根据“总费用不超过570元”列不等式求解．【详解】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x 元，列方程得1000150025x x =+， 解得50x =，经检验50x =是方程的解且符合题意，∴25502575x +=+=，答：鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；（2）设购买鲁迅文集a 套，则()507510570a a +-≤，解得7.2a ≥，∵10a <且a 为正整数，∴8a =、9，答：该班有两种购买方案．见下表【点睛】3、（1）36y x =-+；（2）见解析；（3）点N 的坐标为（13+1，3 【分析】 根据点C 在3y x =上，可得m ＝3，从而得到点C 坐标为（1，3），再将将B （0，6）和点C （1，3）代入y kx b =+中，即可求解；（2）可先求出点A 坐标为（2，0），再分别求OCA S △和OCB S △的大小，即可求解；（3）根据题意可得：点N 的坐标为（n ，3n ），点D 的坐标为（n ，-3n +6），从而得到66ND n =-，再由ND ＝AB ，可得66n -=【详解】解：（1）∵点C 在3y x =上，∴m ＝3×1＝3，即点C 坐标为（1，3），将B （0，6）和点C （1，3）代入y kx b =+中，得：36k b b +=⎧⎨=⎩，解得：36k b =-⎧⎨=⎩ ∴一次函数解析式为36y x =-+；（2）由（1）知一次函数解析式为36y x =-+，当0y = 时，2x = ，∴点A 坐标为（2，0），∵B （0，6）和点C （1，3）， ∴12332OAC S =⨯⨯=，16132OBCS =⨯⨯=， ∴OAC OBC S S =；（3）由题意知，点N 的坐标为（n ，3n ），点D 的坐标为（n ，-3n +6） ∴3(36)66ND n n n =--+=-，∵在Rt △AOB 中，AB =∴当ND AB ＝时，有66n -=即66n -=66n -=-解得：1n =1n =，∴点N 的坐标为（1313． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质利用数形结合思想解答是解题的关键．4、（1）①4（m ﹣3）（m +3）；② 2b （a ﹣2b ）2；（2）①x ＝1；②原方程无解．【分析】（1）①先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；②先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）①先对分子分母因式分解，然后去分母，然后解方程求解即可；②先去分母，然后解方程求解即可．【详解】解：（1）①4m 2﹣36=4（m ２﹣9）=4（m ﹣3）（m +3）②2a 2b ﹣8ab 2+8b 3=2b （a 2-4ab +4b 2）=2b （a ﹣2b ）2（2）①解：26124x x x -=-- 2x x -﹣1＝6(2)(2)x x -+x （x +2）﹣（x +2）（x ﹣2）＝6x 2+2x ﹣x 2+4＝62x ＝2x ＝1检验：把x ＝1代入（x +2）（x ﹣2）≠0∴原方程的解是x ＝1． ②23x x --＝13x-﹣2 23x x --＝13x --﹣2 2﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣3）2﹣x ＝﹣1﹣2x +6﹣x +2x ＝﹣1+6﹣2x ＝3检验：把x ＝3代入（x ﹣3）＝0∴x ＝3不是原方程的解∴原方程无解．【点睛】此题考查了因式分解的方法和解分式方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和解分式方程的步骤．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．5、x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-， 两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．。
2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项攻克试题(名师精选)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x 的一元一次不等式组3214x x x a+⎧>-⎪⎨⎪≤⎩的解集为x a ≤，且关于y 的分式方程52122y a y y y --+=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52、下列方程是二项方程的是（ ）A ．0n ax b +=B ．2280x +=C ．40x x +=D ．220x =3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x 、y 的二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解，那么这个点是( )A．M B．N C．E D．F 4、下列每小题中的两个方程的解相同有（）组．（1）2322xx x+=--与23x+=；（2）2422xx x+=--与24x；（3）112311xx x++=+--与23x+=；（4）2227161x x x x x+=+--与26x=A．0 B．1 C．2 D．35、若关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，且关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之积是（）A．﹣6 B．0 C．4 D．126、某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（）A．10801080615x x=+-B．10801080615x x=--C．10801080615x x=-+D．10801080615x x=++7、宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为（）A．35357(120%)x x-=+B．35357(120%)x x-=+C．3535720%x x-=D．117(120%)x x+=+8、设甲、乙、丙为三个连续的正偶数，已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍，设乙为x ，所列方程正确的是（ ）A ．12311x x x+=-+ B ．12322x x x +=+- C ．12322x x x +=-+ D ．12311x x x +=+- 9、若关于x 的分式方程232422kx x x x =--+-无解，则k 的值为（ ） A ．1或﹣4或6B ．1或4或﹣6C ．﹣4或6D ．4或﹣6 10、若(1)a b s s b a+=≠-，则b 可用含a 和s 的式子表示为（ ） A ．1a as s ++ B ．1a as s -+ C ．1a as s -- D ．1a as s +- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x 人，则可列方程___．2、如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点A ，则根据图象可得，二元一次方程组y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的解是_______．3、一个分数的分子比分母少6，如果分子分母都加1，则这个分数的值等于14，则这个分数为________．4、 “有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁．”快速发展的中国高速铁路，正改变着中国人的出行方式．下表是从北京到上海的两次列车的相关信息：已知从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟．设G27次高铁列车的平均速度为x km/h ，根据题意可列方程为____________．5、在教学活动中我们知道，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如图，已知直线y ＝ax ﹣6过点P （﹣4，﹣2），则关于x 、y 的方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解是__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解方程：22110x x x x+++=． 2、甲、乙两小商贩每次都去同一批发商场买进白糖．甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖．最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？3、解分式方程：（1）21133x x x x =+++． （2）11222x x x -+=--． 4、一粥一饭当思来之不易，半丝半缕恒念物力维艰．开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已经成为一种时尚．某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费，针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份．近日，学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%．求苹果每千克的价格．5、解方程2213211x xx x--=--．-参考答案-一、单选题1、B【分析】解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．【详解】解：3214xxx a+⎧>-⎪⎨⎪≤⎩①②，解不等式①，得：x＜6，解不等式②，得：x≤a，∵该不等式解集为x≤a，∴a＜6；由521 22y a yy y--+= --分式方程去分母，得：y-a-（5-2y）=y-2，解得：y=32a+，∵分式方程有正整数解，且y≠2，∴满足条件的整数a 可以取5；3；-1；共3个；故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．2、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A. 0n ax b +=，当a =0时，不是二项方程，不合题意；B. 2280x +=，是二项方程，符合题意；C. 40x x +=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. 220x =，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．3、C【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可直接进行求解．【详解】解：由图象知，直线解析式为111a x b y c +=与222a x b y c +=相交于点E ，若要求点E 坐标即联立这两条直线解析式，即为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩， 故选C ．【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．4、C【分析】分别解每组方程进行判断即可．【详解】解：（1）解方程2322x x x +=--得x =1， 经检验，x =1是该方程的解；解23x +=得x=1，故两个方程同解；（2）解2422x x x +=--得x =2， 经检验，x =2不是该方程的解，该方程无解；解24x 得x =2，故两个方程不同解；（3）解112311x x x ++=+--得x =1， 经检验，x =1不是该方程的解，该方程无解；解23x +=得x =1，故两个方程不同解；（4）解2227161x x x x x +=+--得x =3， 经检验，x =3是该方程的解；解26x =得x =3，故两个方程同解，故选：C ．【点睛】此题考查解分式方程及解一元一次方程，正确掌握解分式方程及一元一次方程的解法是解题的关键，注意解分式方程需检验．5、D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a 的值，求出积即可．【详解】解：不等式组整理得：822x x a ≤⎧⎨≥+⎩， ∵关于x 的不等式组4213222()x x x x a +-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解， ∴2a +2≤8，即a ≤3， 解分式方程1211y a y y y --+--＝﹣3得y ＝22a +， ∵关于y 的分式方程1211y a y y y --+--＝﹣3的解为非负数， ∴22a +≥0，且22a +≠1， 解得，a ≥﹣2，且a ≠0，∴﹣2≤a≤3，且a≠0，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6、C【分析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，所用A型包装箱的数量=所用B型包装箱的数量-6，列分式方程10801080615x x=-+即可．【详解】解：设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(x15+)本，根据题意，得：10801080615x x=-+，故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出等量关系．7、B【分析】设原计划每天铺设管道的长度为x千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度x千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可．【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为35357(120%)x x-=+．故选择B．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．8、C【分析】因为甲、乙、丙为三个连续的正偶数，设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，然后根据已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍列出方程即可．【详解】解：∵甲、乙、丙为三个连续的正偶数，∴设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，根据题意得：12322x x x+=-+，故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解决本题的关键．9、A【分析】按照解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程，根据整式方程的特点及分式方程的增根情况，即可求得k的值．【详解】分式方程两边都乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得：kx=3(x-2)-2(x+2)整理得：(k -1)x =-10当k =1时，上述方程无解，从而原分式方程无解；当k ≠1时，分式方程的增根为2或-2当x =2时，则有2(k -1)=-10，解得：k =-4；当x =-2时，则有-2(k -1)=-10，解得：k =6综上所述，当k 的值为1或﹣4或6时，分式方程无解；故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程无解问题，本题很容易漏掉k =1的情况，这是由于化为一元一次方程后，一次项的系数不是常数．10、D【分析】 先将a b s b a+=-转化为关于b 的整式方程，然后用a 、s 表示出b 即可． 【详解】 解：∵a b s b a+=-，s ≠1 ∴()s b a a b -=+， ∴1a asb s +=- 故选：D ．【点睛】本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的一般步骤．二、填空题1、240240104x x-=+【分析】设原有人数为x人，根据增加之后的人数为(4)x+人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了10元车费，列方程240240104x x-=+．【详解】解：设原有人数为x人，根据则增加之后的人数为(4)x+人，由题意得，240240104x x-=+．故答案为：240240104x x-=+．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．2、23 xy=⎧⎨=⎩【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组求解．【详解】解：由图像可知二元一次方程组y ax by kx=+⎧⎨=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，故答案为：23 xy=⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：两个一次函数图象的交点坐标满足由两个一次函数解析式所组成的方程组．3、17【分析】设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据“分子分母都加1，则这个分数的值等于14，”可列出方程，解出即可．【详解】解：设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据题意得：11614x x +=++ ， 解得：1x = ，经检验：1x =是原方程的解，且符合题意， ∴这个分数为116167x x ==++ ． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、1463132526109860x -= 【分析】由题意直接依据从北京到上海乘坐G27次高铁列车比T109次特快列车用时少10小时26分钟建立分式方程即可.【详解】解：由题意设G27次高铁列车的平均速度为x km/h ，可得1463132526109860x -=. 故答案为：1463132526109860x -=. 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意并根据题干所给定的等量关系建立方程是解题的关键.5、42x y =-⎧⎨=-⎩ 【分析】先判断点(4,2)P --在直线12y x =上，则点(4,2)--为直线6y ax =-与12y x =的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到关于x 、y 的方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解． 【详解】解：4x =-时，122y x ==-，∴点(4,2)P --在直线12y x =上， ∴方程组612y ax y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩的解为42x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：42x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．三、解答题1、1x =-【分析】 设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x+的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】 解：设1 y x x=+， 则222211()22x y x x x+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x +=1，即210x x -+=．由30=-＜，此方程无实根，当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=， 解得：121x x ==-，经检验，x ＝－1是原分式方程的解，∴原方程的解为x ＝－1．【点睛】 题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用22211()2x x x x +=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程．2、两人中甲的平均价格低一些【分析】根据题意求出甲乙两人的平均价格，利用作差法比较大小即可．【详解】设两次买糖的进价分别是,x y x y ≠、（单位：元/斤），A 、B 分别是甲、乙两人买糖的平均进价， 则根据题意得：10001000221000()xy A x y x y=⨯÷+=+， (10001000)(10001000)2x y B x y +=+÷+=， ∴222()4()22()2()x y xy x y xy x y B A x y x y x y ++---=-==+++＞0， ∴甲的平均价低一些，【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清题意并列出式子是解本题的关键．3、（1）x =32-；（2）原方程无解． 【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母3（x +1），化为整式方程，解此方程后检验即可得答案；（2）方程两边同时乘以最简公分母（x -2），化为整式方程，解此方程后检验即可得答案．【详解】解：（1）21133x x x x =+++， 方程两边同时乘以3（x +1）得：3x =2x +3x +3，解得：x =32-， 检验：把x =32-，代入3（x +1）=32-≠0， ∴原方程的解为：x =32-．（2）11222xx x-+=--，方程两边同时乘以（x-2）得：1+2（x-2）=x-1，解得：x=2，检验：把x=2代入x-2=0，∴原方程无解；【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4、14元【分析】设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x-元．根据“学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果，采购的砂糖橘比苹果多50千克，”列出方程，即可求解．【详解】解：设苹果每千克的价格为x元，则砂糖橘每千克的价格为(140%)x-元．根据题意，得1500180050 (140%)x x-=-解得14x=经检验：14x=是原分式方程的解，且符合题意，∴苹果每千克的价格为14元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．5、13 x=-【分析】观察可得最简公分母是()()11x x +-，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘()()11x x +-，得，（1+x ）﹣2（1﹣x 2）＝3x ﹣x 2，即3x 2﹣2x ﹣1＝0，()()3110,x x ∴+-=10x ∴-=或310,x +=解得：x ＝1或13x =- 检验：当x ＝1时，()()11x x +-＝0，∴x ＝1是原方程的增根，舍去． 当13x =-时，()()11x x +-＝89≠0， ∴原方程的解为：13x =-． 【点睛】本题考查的分式方程的解法，一元二次方程的解法，掌握“去分母，把分式方程化为整式方程”是解题的关键.。
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代数方程专题复习
【二元二次方程的解法】
常见分类⎪⎩
⎪
⎨⎧⋅⋅::二型二一型二
“二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法）
形如⎩⎨⎧=++=+00
2
2ey dxy cx by ax 的方程组 （2）逆用根与系数的关系
形如⎩
⎨⎧==+b xy a
y x 的方程组
“二·二”型方程组的解法
形如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
022f ex dx c bx ax
例题分析：
例1．解方程组
例2．
例3．
例4． k为何值时，方程组。
（1）有两组相等的实数解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解。
例5．解方程组
例6．解方程组。
例7．解方程组
例8．解方程组
例9．解方程组
例10：
【代数方程应用题分类】
行程问题：路程=速度×时间
顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速； 1、
货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小
时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ） （A ）
203525-=x x ； （A ）x x 352025=-； （A ）203525+=x x ； （A ）x
x 35
2025=+.
2、A 、B 两地相距900千米，甲、乙两车分别由A 、B 两地同时出发相向而行，经过8小时它们在途中C 处相遇，相遇后甲再过4小时到达B 地，乙再过16小时到达A 地，求两车速度.
元用电费外,超出部分还要按每度0.01A元交费.
（1）该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A度,则超过部分应交
电费元(用A表示)
（2）下表是这户居民三、四月用电情况和交费情况：
月份用电量交电费总数
三月80度25元
四月45度10元
根据上表的数据,求电厂规定的A度是多少？
课后作业家长监督1．解下列关于x的方程：
（1）ax+x=2（x—2）（a≠1）（2）bx2=x2+1（b>1）
2．解下列方程：
（1）x4+3x2—4=0；（2）x3—8x2+15x=0；
3．解方程或方程组：（1）（2）
4．解下列方程： （1）
； （2） ；
5．解下列方程组：
（1） ⎩⎨⎧=+-023x ，12=2y + x 22y xy （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-12092222y xy x y x
【应用】
1）一般行程问题
某人驾车从A 地到B 地，出发2小时后，车子出了点毛病，耽搁半小时修好了车，为了弥补耽搁的时间，他将车速增加到原来的1.6倍，结果按时到达。
已知A 、B 两点的距离为100千米，求某人原来驾车的速度。
2）航行问题
已知两城市之间的距离为2080千米，一架飞机飞行于这两城市之
间，顺风飞行需要的时间比逆风飞行需要的时间少20分钟，已知飞机无风时的飞行速度为500千米／小时。
若风速为某一确定值，求出风的速
于
7
1，求这个分数。
6）工程进度问题
某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。