计量经济学第十讲v

第十讲 ARCH 模型及其扩展

一、数学准备：迭代期望定律

如果信息集Θ⊆Ω，则有][()()E E X E X ΩΘ=Θ，此即迭代期望定律。为了理解上述等式，考虑一个极端情况：Ω包含了任何信息，则基于信息集Ω对x 进行预测其预测误差为零，即有：()E X X Ω=1，因此必有][()()E E X E X ΩΘ=Θ。另外，无条件期望所对应的信息集是空集，因此按照迭代期望定律必有：[()]()E E X E X Ω=。

二、ARCH 模型

考虑如下一个模型：

01t t t y x φφε=++ （1）

其中t v ε=，t v 是白噪声，方差为21v δ=；t v 和

(1)t i i ε-≥相互独立；0110,,...,0,1p

p i i a a a a =>≥<∑。

对上述模型，可以验证：

（1）)0(t E ε=

1 在这里，我们把()I E X 看作是基于信息集I 对X 的预测。我们可以采用各种各样的预测方法，但如果以()I E X 作为对X 的预测，在较弱的条件下，其条件均方预测误差和无条件均方预测误差都是最小的。均方预测误差是对预测准确性的一种度量，例如，如果以()()I E X X μ=作为对X 的预测，则条件均方预测误差和无条件均方预测误差分别是2([()])I E X

X μ-和2[()]E X X μ-。参见Wooldridge(Third

Edition,p.752)。

练习：证明上式（提示：证明12

,,...,)0(t t p t t E εεεε---=，再利用[()]()E E X E X Ω=）。

（2）)0,0(t t i i E εε-=≠，即误差项序列无关。

证明：首先，

,...,,...,12

12

,,...,,,...,))0

((t t t i t i t p t i t t t p t i t t E E εεεεεεεεεεεε----------== 其次，按照迭代期望定律有：

,...,12

,,...,)])[((t t t i t i t p t i t t E E E εεεεεεεε------= 因此有：)0,0(t t i i E εε-=≠

（3）201)1(t p i i a a E ε==

-∑ 证明：22220011[()]())(t p p t i t i i t i i i v a a a a E E E εεε

--==+=+=∑∑ 令2)(t t x E ε=，则有差分方程：

01

t t i p

i i x a a x -==+∑ 由于11,...,0,1p

p i i a a a =≥<∑，故上述差分方程满足平稳性的充分条件：11p

i i a =<∑（参见第八讲附

录），因此，当t 趋于无穷大时t x 收敛于均衡值

x *，其中01

p i i x a a x **==+∑，即0

11p i i a a x *==-∑。我们一般都假定所有的时间序列其发生时间都较为久远，因此20

1)1(t p i i a a E ε==-∑。

笔记：

由上述证明可以理解为何规定0110,,...,0,1p

p i i a a a a =>≥<∑。我

们也应该注意到，010,,...,0p a a a >≥恒成立保证了

在i t v ε=中201

0p i t i i a a ε-=>+∑恒成立。 上述一系列证明表明t ε是平稳时间序列，如果再施加解释变量x 严格外生的条件，则模型满足所有的高斯-马尔科夫假定。因此可以对（1）进行OLS 估计得到最优线性无偏估计量。然而，OLS

估计并未利用

t v ε=这一条件，因此，必定存在比OLS

估计量更有效的估计量，显然，这样的估计量必定是非线性。我们现在不考虑如何估计模型，而是关注这个模型到底具有什么含义这个问题。

让我们来考察t ε的条件方差。由于条件期望12,,...,0)(t

t p t t E εεεε---=，因此t ε的条件方差t h 等于

212

,,...,)(t t p t t E εεεε---。进而有： 220

112,,...,())(p t t i t i i t p t t v a a h E εεεε-=---=+∑ 2201

12,,...,())(p t i t i i t p t t v a a E εεεε-=---+=∑ 2201())(p

t i t i i v a a E ε-==+∑

201

p i t i i a a ε-==+∑ 201

p i t i i t a a h ε-==+∑具有什么样的含义呢？假定均值方

程中解释变量x 非随机，则2t i ε-表示变量y 在过去时刻所体现出的波动，从而上式意味着：如果已知变量y 在过去时刻的波动比较大，那么变量y 当期波动的预测值，即212,,...,)(t t p t t E εεεε---也比较大，反之亦然。一个

问题是，这种预测机制合理吗？我们注意到，在金融市场上，收益率等时间序列数据常常表现出“波动集聚”（V olatility clustering ）现象：变量在某些时段波幅较小，在某些时段波幅较大。下图是“波动集聚”现象的一个例子。在“波动集聚”现象下，如果已知过去的波动比较大，则基于这个信息我们预测当期的波动也比较大，反之亦然。如果这种预测机制是合理的，那么这意味着模型：

均值方程：01t t t y x φφε=++

条件方差方程：201p

i t i i t a a h ε-==+∑

能够很好地描述产生“波动集聚”这种现象的数据生成过程。

S&P500日收益率（1990.1 -1999.12）

笔记：

1、在上图中，似乎存在两个转折点。在第一个转折之处，波动由大变小；在第二个转折之处，波动由小变大。但从统计角度上看，我们关注的是大部分观测结果所具有的规律。

2、条件异方差并不意味着无条件方差是相异的，事实上我们已证明，无条件方差是常数。怎么理解这一点呢？注意到：

22212

,,...,)]][([()t t t p t t t h E E E E εεεεεεδ---=== 即无条件方差是对条件方差的平均。因此，尽管条件方差是相异的，但无条件方差可以是常数。