初二数学知识点专题讲解与练习3---因式分解的方法(培优版)

．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
（“五羊杯”竞赛试题）
（ ） ． 6 4x4 − 4x3 −14x2 +12x + 6
（太原市竞赛试题）
9．已知乘法公式：
a5 + b5 = (a + b)(a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4 )
a5 − b5 = (a − b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4 )
原式＝ ； (x2 − xy)+ (4x − 4y) = x(x − y)+ 4(x − y) = (x − y)(x + 4)
（ ） ． 2 a2 − b2 − c2 + 2bc
原式＝ ． ( ) a2 − b2 + c2 − 2bc = a2 − (b − c)2 = (a + b − c)(a − b + c) 第仿（照上1）述题分分解组因后式能的直方接法提，公把因下式列，各第式（分2）解题因分式组：后能直接运用公式． （ ） ； 1 a2 − ab + ac − bc
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）
（2） x3 − 9x +8；（请给出多种解法） （“祖冲之杯”邀请赛试题）
（ ） ． 3 a4 + 2a3 + 3a2 + 2a +1 解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．
利用或者不利用上述公式，分解因式： x8 + x6 + x4 + x2 +1．
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
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10．分解因式： （ ） ； 1 x3 + 6x2 − 27x
（ ） ； 2 a3 + a2 − a −1 （ ） ． 3 8(x2 − 2 y2 ) − x(7x + y) + xy
11．对方程 a2b2 + a2 + b2 = 2004 ，求出至少一组正整数解．
6．将多项式 x2 − 4y2 −9z2 −12yz 分解因式的积，结果是（ ）．
．A (x + 2 y − 3z)(x − 2 y − 3z)
．B (x − 2y − 3z)(x − 2 y + 3z)
．C (x + 2 y + 3z)(x + 2 y − 3z)
．D (x + 2 y + 3z)(x − 2 y − 3z)
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
初二数学知识点专题讲解与练习 专题 3 因式分解的方法
阅读与提思公因考式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来 选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止．
一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 对1．一换些元数法、：式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替， 从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元 时有一元代换、二元代换等． 拆2．项拆即、把添代项数法式：中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中 进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法 分解．
（美国犹他州竞赛试题）
（湖北省黄冈市竞赛试题）
（ ） ； 2 x4 +1999x2 +1998x +1999
（江苏省竞赛试题）
（ ） ； 3 (a2 + a +1)(a2 − 6a +1) +12a2
（陕西省中考试题）
（ ） ； 4 4x3 − 31x +15
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（ ） ； 5 (2x − 3y)3 + (3x − 2 y)3 −125(x − y)3
．分解因式： ＝ ． 3
(x2 −1)(x + 3)(x + 5) +12 _________________________
（“希望杯”邀请赛试题）
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．分解因式： ＝ ． 4
x5 + x −1 ______________________
5．将 x5 + x4 +1因式分解得（ ）．
（“五羊杯”竞赛试题）
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4. x − 2 5. 9 6. D 7. A 8. D 9. A 10. A
11. (1) x(2x − 3)(x − 3)(2x + 3)
= (x + 2)(x2 + 4x + 3) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
A级
1. (1) x(x − 1 )2
2
(2) 4mn(m + 2n)(m − 2n) 2. (1) (x − y)(x − y −1)
(2) (x −1)(x + 4)(x + 1)(x + 2) 3. (a + b + 1)(a − b + 3)
2．分解因式： （ ） ＝ ； 1 x(x −1) + y( y +1) − 2xy _________________________
（泰安市中考试题） （威海市中考试题）
（ ） ＝ ． 2 (x2 + 3x)2 − 2(x2 + 3x) − 8 _____________________________
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定
7． 2x3 + x2 −13x + 6 的因式是（ ）．
． ． ． A 2x −1 B x + 2 C x − 3
8．分解因式： （ ） ； 1 (a + b − 2ab)(a + b − 2) + (1− ab)2
．D x2 +1
E. 2x +1
【例 6】分解因式： x3 + 6x2 +11x + 6 ．
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（河南省竞赛试题）
解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．
能力训练
1．分解因式：
A级
（ ） ＝ 1 1 x + x3 − x2 ___________________________． 4
（ ） ＝ ． 2 4m3n −16mn3 __________________________
（莫斯科市竞赛试题）
12．已知在△ABC 中， a2 −16b2 − c2 + 6ab +10bc = 0(a,b,c是是是是是是是是 ) ，
求证： a + c = 2b ．
（天津市竞赛试题）
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专题 03 因式分解的方法答案
例 1. (x2 + x + 5)(x2 + x − 2)
例 2. (1) 原式 = (a2 − ab) + (ac − bc) = a(a − b) + c(a − b) = (a − b)(a + c)
(2) 原式 = x2 − (4 y2 − 4 yz + z2 ) = x2 − (2 y − z)2 = (x + 2 y − z)(x − 2 y + z)
例 3.(1) (1999x + 1)(x −1999)
(2) (x + 1)( y + 1)(xy + x + y −1)
(3) 3(x − 2)( y − 2)(x − y) 例 4. D 例 5.(1) (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1)
a = 2008 b = 2007
B级
．分解因式： ＝ ． 1
4x2 − 4x − y2 + 4 y − 3 _______________
（重庆市竞赛试题）
．分解因式： ＝ ． 2
(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + x(x + 5) _____________
（“五羊杯”竞赛试题）
7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）．
．A x3 − 9x2 + 27x − 27
．B x3 − x2 + 27x − 27
．C x4 − x3 + 27x − 27
．D x3 − 3x2 + 9x − 27
8．把a4 + 4分解因式，其中一个因式是（ ）．
（“希望杯”邀请赛试题）
提示: 原式 = (x5 − x2 ) + (x2 + x + 1)
(2) (x −1)(x2 + x − 8) 提示: 原式 = 9x3 − 9x − 8x3 + 8
(3) (a2 + a + 1)2
提示: 原式 = (a4 + a3 + a2 ) + (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1)
10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
例 6. 解法 1 原式 = (x3 + x2 ) + (5x2 + 5x) + (6x + 6) = x2 (x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 5x + 6) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
解法 2 原式 = (x3 + 2x2 ) + (4x2 + 8x) + (3x + 6) = x2 (x + 2) + 4x(x + 2) + 3(x + 2)
（ ） ； 2 (x + y)(x + y + 2xy)+ (xy +1)(xy −1)
（ ） ． 3 (x − 2)3 − (y − 2)3 − (x − y)3
（重庆市竞赛题） （“缙云杯”邀请赛试题） （“五羊杯”竞赛试题）
解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中 x + y 、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．
．A a +1
．B a2 + 2
．C a2 + 4
．D a2 − 2a + 2
9．多项式 a3 − b3 + c3 + 3abc 有因式（ ）．
．A c + a − b
．B a + b + c
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．C a2 + b2 + c2 − bc + ac − ab
．D bc − ac + ab
（“五羊杯”竞赛试题）
（ ） ； 3 x4 − 7x2 +1
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
（ ） ； 4 x3 + 2x2 − 5x − 6
（重庆市竞赛试题）
（ ） ； 5 x4 + y4 + (x + y)4
（ ） ． 6 (6x −1)(2x −1)(3x −1)(x −1) + x2
12．先化简，在求值：
，其中 ， ． 2a(a + b) − (a + b)2
（西宁市中考试题） （ ） ． 2 x2 − 4 y2 − z2 + 4 yz
（临沂市中考试题） 解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失
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败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．
【例 3】分解因式 （ ） ； 1 1999x2 − (19992 −1)x −1999
．A (x2 + x +1)(x3 + x +1)
．B (x2 − x +1)(x3 + x +1)
．C (x2 − x +1)(x3 − x +1)
．D (x2 + x +1)(x3 − x +1)
（陕西省竞赛试题）
6．已知 a,b,c 是△ABC 三边的长，且满足 a2 + 2b2 + c2 − 2b(a + c) = 0 ，则此三角形是（ ）．
例题与求解
【例 】分解因式 ． l
( )( ) x2 + x +1 x2 + x + 2 −12 = ___________
（浙江省中考题）
解题思路：把(x2 + x)看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．
【例 2】观察下列因式分解的过程： （ ） ； 1 x2 − xy + 4x − 4y