高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量训练文

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2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31

2024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量312024届高三数学二轮复习专题集训专题3三角函数与平面向量31三角函数与平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学二轮复习中的重点。

学好这一部分知识点，对于提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍2024届高三数学(理)二轮复习专题集训中的专题3三角函数与平面向量的内容，包括三角函数的基本概念、性质和一些重要公式，以及平面向量的基本概念、运算法则和应用等内容。

首先，我们来介绍三角函数的基本概念和性质。

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们代表了角度和直角三角形边之间的关系。

正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。

三角函数的周期都是360度或2π弧度，可以通过函数图像的变化规律和一些基本特点进行分析和运用。

在学习三角函数的过程中，我们要掌握一些基本的三角函数公式，例如，和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，转化为更简单的形式，从而更好地解决问题。

接下来，我们介绍平面向量的基本概念和运算法则。

平面向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

平面向量有加法和乘法（数量乘法和点乘）两种运算法则。

向量加法满足交换律、结合律和有零向量的存在性质，可以通过平行四边形法则和三角法则进行计算。

向量乘法有数量乘法和点乘法。

数量乘法是将向量与一个实数相乘，使向量的长度发生变化，方向与原来一致（或相反）。

点乘法是将两个向量的对应分量相乘再相加，得到的是一个实数，表示了两个向量之间的夹角关系。

最后，我们要了解平面向量的应用。

平面向量在几何、力学等领域中有着广泛的应用。

例如，可以使用向量来表示平面上的几何图形，计算它们的面积、周长等属性。

还可以使用向量进行力的合成、分解和计算，探究力的平衡、作用和应用等。

此外，还可以利用向量的性质解决一些几何问题，例如直线的垂直、平行关系，点和直线的位置关系等。

高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习(2021年整理)

创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（创新设计（浙江专用）2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习一、选择题1。

设a，b是两个非零向量。

( )A。

若|a＋b｜＝｜a｜－|b｜，则a⊥bB.若a⊥b，则｜a＋b|＝|a|－|b|C.若|a＋b｜＝｜a|－|b|，则存在实数λ,使得b＝λaD.若存在实数λ，使得b＝λa，则｜a＋b｜＝|a|－｜b|解析对于A，可得cos<a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B,满足a⊥b时|a＋b|＝｜a｜－|b｜不成立;对于C，可得cos<a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立。

答案C2。

已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4），则向量错误!在错误!方向上的投影为（）A。

错误! B.错误!C。

－错误!D。

－错误!解析错误!＝（2，1)，错误!＝(5，5），|错误!｜＝5错误!，故错误!在错误!方向上的投影为错误!＝错误!＝错误!错误!.答案A3。

已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p：|a＋b|＞1⇔θ∈错误!1p：|a＋b｜＞1⇔θ∈错误!2p：｜a－b|＞1⇔θ∈错误!3p:｜a－b｜＞1⇔θ∈错误!4其中的真命题是（)A。

2017届二轮专题复习全国版数学理科材料专题二三

第3讲平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2016·北京卷)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件. 答案 D2.(2016·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B. 答案 B3.(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9D.6解析 AM →＝AB →＋34AD →， NM→＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM→·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB→2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.答案 C4.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. 答案－2考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP→＝12(OA →＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面向量的有关运算微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE→·AF →＝1，则λ的值为________. 解析 (1)DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.(2)法一如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二建立如图所示平面直角坐标系. 由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0). 由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫－233，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)12 (2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解. 微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6D.8(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.(2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°.答案 (1)D (2)A探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2016·郑州二模)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B.1 C. 2D.2(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF→的最小值为________.解析 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ，1－y )，则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1.又a ＋b －c ＝(1－x ，1－y )，∴|a ＋b －c |＝（1－x ）2＋（1－y ）2＝（x －1）2＋（y －1）2.①法一如图.c ＝(x ，y )对应点在AB ︵上，而①式的几何意义为P 点到AB ︵上点的距离，其最大值为1.法二 |a ＋b －c |＝（x －1）2＋（y －1）2 ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝3＋2（－x －y ）＝3－2（x ＋y ），∵x ＋y ≥1，∴|a ＋b －c |≤3－2＝1，最大值为1.(2)法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC→，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE→＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918， λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE→·AF →的最小值为2918. 答案 (1)B (2)2918探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的模时，一定要把求出的a 2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2015·福建卷)已知AB→⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB→·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2016·青岛二中模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB→·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13，故选A.(2)法一以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(以射线AB 、AD 的方向分别为x 轴、y 轴的正方向)，设F (x ，2)，则AF →＝(x ，2)，又AB→＝(2，0)，∴AB →·AF →＝2x ＝2，∴x ＝1，∴F (1，2)，∴AE →·BF →＝ 2. 法二 ∵AB→·AF →＝|AB →||AF →|cos ∠BAF ＝2，|AB →|＝2，∴|AF →|cos ∠BAF ＝1，即|DF→|＝1，∴|CF →|＝2－1， ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE→·BC →＝2×(2－1)×(－1)＋1×2×1＝ 2. 答案 (1)A (2) 2热点二平面向量与三角的交汇【例2】(2016·江西红色七校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，b 2－a 2－c 2) ，n ＝(2sin A －sin C ，c 2－a 2－b 2)，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ，求T 的取值范围.解 (1)sin C 2sin A －sin C ＝b 2－a 2－c 2c 2－a 2－b 2＝－2ac cos B －2ab cos C ＝c cos B b cos C ＝sin C cos B sin B cos C ，因为sin C ≠0，所以sin B cos C ＝2sin A cos B －sin C cos B ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋ sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)T ＝sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12(1－cos 2A )＋34＋12(1－cos 2C ) ＝74－12(cos 2A ＋cos 2C )＝74－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝74－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A －32sin 2A＝74－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3.因为0＜A ＜2π3，所以0＜2A ＜4π3，故π3＜2A ＋π3＜5π3，因此－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12，所以32＜T ≤94.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.【训练2】(2016·甘肃诊断)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sin B ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q . (1)求B 的大小；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .解 (1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)(1＋sin B )＝0，即sin 2B －cos 2B ＋2sin 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°.(2)由(1)得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3D.5解析由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1. 答案 A2.已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)、D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C.－322D.－3152解析 AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝32 2. 答案 A3.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中的真命题是( ) A.p 1，p 4 B.p 1，p 3 C.p 2，p 3D.p 2，p 4解析 |a |＝|b |＝1，且θ∈0，π]，若|a ＋b |＞1，则(a ＋b )2＞1，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＞1，即a·b ＞－12，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝a ·b ＞－12， ∴θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；若|a －b |＞1，同理求得a ·b ＜12，∴cos θ＝a ·b ＜12，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，故p 1，p 4正确，应选A.答案 A4.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4C.3π4D.5π6解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b ＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案 A5.若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3D.2π3解析法一由已知，得|a ＋b |＝|a －b |，将等式两边分别平方，整理可得a ·b ＝0.①由已知，得|a ＋b |＝2|a |，将等式两边分别平方，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.② 将①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |.而b ·(a ＋b )＝a ·b ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·（a ＋b ）|b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a 23|a |·2|a |＝32.又〈b ，a ＋b 〉∈0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6.故选A. 法二如图，作OA→＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC→＝a ＋b ，BA →＝a －b . 由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，可得|OC→|＝|BA →|＝2|OA →|，所以平行四边形OACB 是矩形， BC→＝OA →＝a . 从而|OC→|＝2|BC →|.由Rt △BOC 中，|OB →|23||,BC =故cos ∠BOC ＝|OB →||OC →|＝32，所以∠BOC ＝π6.从而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO→＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________. 解析由AO→＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°. 答案 90°7.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析 ∵AB→2＝4|a |2＝4，∴|a |＝1，故①正确；∵BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|b |＝2，故②错误；∵b ＝AC →－AB →，∴a·b ＝12AB →·(AC→－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC→＝b ，故④正确；∵(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0， ∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确. 答案 ①④⑤8.如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM→＝2MA →，得⎩⎨⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA→－CB →)＝13CB →2＝3. 答案 3 三、解答题9.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1.①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝12.10.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝ (cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题03三角函数与平面向量(讲)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题三三角函数与平面向量考向一三角恒等变形【高考改编☆回顾基础】1．【同角三角函数、二倍角公式】【2017课标3改编】已知4sin cos3αα-=，则sin2α= .A．B．29-C．29D．79【答案】7 9 -【解析】()2sin cos17 sin22sin cos19ααααα--===--.2.【三角函数的定义、诱导公式】【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sinα=13，则sinβ=_________．【答案】1 3【解析】3.【三角函数的同角公式、两角和差的三角函数】【2017课标1，文15】已知π(0)2a∈，，tan α=2，则πcos()4α-=__________．【解析】【命题预测☆看准方向】三角部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换及解三角形等基本知识.三角函数与解三角形相结合或三角函数与平面向量相结合是考向的主要趋势,试题难度为中低档.三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数进行求值与化简,其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的三角变换思想. （1）预计2018年高考仍将在角的变换、角的范围方面对三角恒等变形进行考查，对两角和与差、二倍角公式将重点考查；（2）对三角恒等变换的考查力度可能会加大，对角的变换的考查，使问题更具有综合性，复习时需加强这方面的训练；（3）通过三角恒等变换，化简三角函数式，进一步研究函数的性质、解三角形等是常考题型.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】设射线OB 与轴正半轴的夹角为，有已知有，所以，且，C 点坐标为.【趁热打铁】已知角α的张终边经过点(,22P m ， 22sin α=且α为第二象限．（1）求m 的值；（2）若tan 2β=，求()()sin cos 3sin sin 2cos cos 3sin sin παβαβπαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值．【答案】（1）1m =-；（22【解析】（1）由三角函数的定义可得22222sin 8m α==+，解得1m =±，又α为第二象限角，所以1m =-。

高考数学二轮复习第二部分指导三 3三角函数、解三角形、平面向量文

2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：tan
α＝csoins
α α.
(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限
－α
π－α
sin －sin α sin α cos cos α －cos α
π＋α －sin α －cos α
2π－α －sin α cos α
[回扣问题 3] (1)把函数 y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A.x＝－π2 B.x＝－π4 C.x＝π8 D.x＝π4 (2)函数 y＝sin－2x＋π3的递减区间是________. 答案 (1)A (2)kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)
cosπ4＋x＝35，1172π＜x＜74π，则sin
2x＋2sin2 1－tan x
x＝________.
答案 (1)1 (2)－2785
5.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]； α＋π4＝(α＋β)－β－π4，α＝α＋π4－π4. [回扣问题 5] 已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35， sinβ－π4＝1123，则 cosα＋π4＝________. 答案－5665
93
33
A.3
B. 2
C. 2
D.3 3
8.平面向量的基本概念及线性运算 (1)加、减法的平行四边形与三角形法则：A→B＋B→C＝A→C；A→B－ A→C＝C→B. (2)向量满足三角形不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记为 λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|；②λ＞0，λa 与 a 同向；λ＜0，λa 与 a 反向；λ＝ 0，或 a＝0，λa＝0. (4)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa.

高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数与平面向量

第一部分专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量专题强化精练提能理1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.法一：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB → C ．2OA →－OB → D ．－OA →＋2OB →解析：选C.因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C.3．在△ABC 中，D 是AB 的中点，E 是AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12 解析：选C.由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13.4．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.5．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A.13B ．3C.33D. 3解析：选 B.由题设知：cos 〈OC →，OA →〉＝32，所以OC →·OA →|OC →|·|OA →|＝32⇒（mOA →＋nOB →）·OA →（mOA →＋nOB →）2·|OA →|＝32⇒ m |OA →|2＋nOB →·OA→m 2|OA →|2＋2mnOA →·OB →＋n 2|OB →|2·|OA →|＝32. 因为|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，所以mm 2＋3n 2＝32⇒m 2＝9n 2⇒m 2n 2＝9，又因为点C 在∠AOB 内，所以m ＞0，n ＞0，所以mn＝3，故选B.6．(2015·聊城市第一次质量预测)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 B ．[2，4] C ．[3，6] D ．[4，6]解析：选D.记MN 的中点为E ，则有CM →＋CN →＝2CE →，CM →·CN →＝14[(CM →＋CN →)2－(CM →－CN →)2]＝CE →2－14NM →2＝CE →2－12.又|CE →|的最小值等于点C 到AB 的距离，即322，故CM →·CN →的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222－12＝4.当点M 与点A (或B )重合时，|CE →|达到最大，|CE →|的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋（2）2＝132，因此CM →·CN →的取值范围是[4，6]，选D. 7．(2014·高考北京卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.解析：因为λa ＋b ＝0，所以λa ＝－b ，所以|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5，所以|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，所以|λ|＝ 5. 答案： 58．已知圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________．解析：因为AB →＋AC →＝2AO →，所以O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形．在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|，所以∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3. 答案：39. (2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB→＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.答案：2210．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．解析：由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫32e 1－12e 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 1－32e 2＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.答案：π211. 如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC →＝120.(1)求cos ∠BAD ；(2)设AC →＝xAB →＋yAD →，求x ，y 的值．解：(1)设∠CAB ＝α，∠CAD ＝β，cos α＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝120130＝1213，cos β＝35，所以sin α＝513，sin β＝45，所以cos ∠BAD ＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. (2)由AC →＝xAB →＋yAD →得⎩⎪⎨⎪⎧AC →·AB →＝xAB →2＋yAD →·AB →，AC →·AD →＝xAB →·AD →＋yAD →2，所以⎩⎪⎨⎪⎧120＝169x ＋16y ，30＝16x ＋25y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4063，y ＝5063.12．(2015·山师附中质检)已知向量m ＝(cos A ，－sin A )，n ＝(cos B ，sin B )，m ·n＝cos 2C ，其中A ，B ，C 为△ABC 的内角．(1)求角C 的大小；(2)若AB ＝6，且CA →·CB →＝18，求AC ，BC 的长．解：(1)m ·n ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(A ＋B )＝－cos C ＝cos 2C ，即2cos 2C ＋cos C －1＝0，故cos C ＝12或cos C ＝－1.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)因为CA →·CB →＝18，所以CA ·CB ＝36，①由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos π3，及AB ＝6得，AC ＋BC ＝12，②由①②解得AC ＝6，BC ＝6.13．(2015·南平模拟)在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．解：(1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y ＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80. 由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.14．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．(1)若α－β＝π6且λ＝1，求向量OA →与OB →的夹角；(2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．解：(1)当λ＝1时，OA →＝(cos α，sin α)，故|OA →|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OB →|＝（－sin β）2＋cos 2β＝1. OA →·OB →＝cos α(－sin β)＋sin αcos β＝sin(α－β)＝sin π6＝12，故cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝12.又因为〈OA →，OB →〉∈[0，π]，所以〈OA →，OB →〉＝π3.(2)AB →＝OB →－OA →＝(－λcos α－sin β，－λsin α＋cos β)， |AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β都成立，即(－λcos α－sin β)2＋(－λsin α＋cos β)2≥4对任意实数α，β都成立，整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立．因为－1≤sin(β－α)≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ>0，λ2＋1－2λ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧λ<0，λ2＋1＋2λ≥4，解得λ≥3或λ≤－3.所以所求实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．。

【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题三第3讲平面向量(含答案解析)

第 3讲平面向量1． (2016 课·标全国丙改编→1，3→31，则∠ ABC＝ ________. )已知向量 BA＝22， BC＝，22答案30°分析→→∵ |BA|＝ 1， |BC|＝ 1，→ →3BA·BC＝，∴∠ ABC ＝ 30°.cos∠ ABC＝→→2|BA|·|BC|12． (2016 ·东改编山 )已知非零向量m，n 知足 4|m|＝ 3|n|，cos〈 m， n〉＝3.若 n⊥ (tm＋ n)，则实数 t 的值为 ______．答案－ 4分析∵ n⊥ (tm＋ n)，∴ n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n＋ n2＝ 0，∴ t|m||n|cos〈 m， n〉＋ |n|2＝0，由3212已知得 t×|n| ×＋ |n| ＝ 0，解得 t＝－ 4.433． (2016 天·津改编 )已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延伸到点F，使得 DE＝→ →2EF ，则 AF ·BC的值为 ________．答案1 8分析→→→如下图， AF ＝AD ＋DF .又 D， E 分别为 AB， BC 的中点，→1→且 DE＝ 2EF，因此 AD＝2AB，→＝→＋→＝→＋1→DF DE EF DE2DE3→ 3→＝2DE ＝4AC，→1→ 3 →→→ →因此 AF＝2AB＋4AC.又 BC＝ AC－AB，→ →1→3→→ →则 AF·BC＝AB＋AC ·(AC－ AB)241→ →1→ 2 3 →2 3 → →＝AB·AC－AB＋AC － AC·AB 2244→ 2 1→21→→＝ 4AC － 2AB －4AC ·AB.3→ →又 |AB|＝ |AC|＝ 1，∠ BAC ＝ 60°，→ → 3 1 1 1 1故AF ·BC ＝－－ ×1×1× ＝ .4 2 4 2 84． (2016 ·江浙 )已知向量a ，b ， |a|＝ 1，|b|＝ 2.若对随意单位向量 e ，均有 |a ·e|＋ |b ·e| ≤6，则a ·b 的最大值是 ________．答案12分析由已知可得：6≥|a ·e|＋ |b ·e| ≥|a ·e ＋ b ·e|＝ |(a ＋ b) ·e|，因为上式对随意单位向量e 都成立．∴ 6≥|a ＋ b|成立．∴ 6≥(a ＋ b) 2＝ a 2＋ b 2＋ 2a ·b ＝ 12＋ 22＋ 2a ·b.1即 6≥5＋ 2a ·b ，∴ a ·b ≤2.1.考察平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考察，多为填空题，难度中低档 .2.考察平面向量的数目积，以填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、分析几何联合，以解答题形式出现.热门一平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要依据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不可以盲目转变．2．在用三角形加法法例时，要保证 “首尾相接 ”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法例时，要保证 “同起点 ”，结果向量的方向是指向被减向量．例 1π(1) 设 0<θ< ，向量 a ＝ (sin 2θ， cos θ)， b ＝ (cos θ， 1)，若 a ∥ b ，则 tan θ＝ ______.2→ → → →(2) 如图，在 △ ABC 中，已知 BD ＝ 2DC ，以向量 AB ，向量 AC 作为基底，→则向量 AD 可表示为 ____________．答案 (1)1 (2)1 →＋ 2 →2 3AB 3AC 分析(1)因为 a ∥ b ，因此 sin 2θ＝ cos 2θ，即 2sin θcos θ＝cos 2θ.π 因为 0<θ< ，因此 cos θ>0，21得 2sin θ＝ cos θ，tan θ＝ 2.(2) 依据平面向量的运算法例及已知图形可知→2 →AB ＋3AC .→→→→ 2 → → 2 → → 1AD ＝AB ＋ BD ＝ AB ＋ BC ＝AB ＋ (BA ＋ AC)＝333思想升华(1) 关于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形联合，联合图形剖析向量间的关系．追踪操练 1(1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC的一个三平分点，那么以向量 → → →AB 和向量 AD 为基底，向量 EF 可表示为__________ ．→→ →(2) 如图，在正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ ＋ μ的值为 ________．答案(1)1→ － 2 →(2)12AB 3AD2分析→ → → (1)在 △ CEF 中，有 EF ＝ EC ＋CF .→ 1 →因为点 E 为 DC 的中点，因此 EC ＝ DC .2因为点 F 为 BC 的一个三平分点，因此→ 2 →CF ＝CB.3→ 1→ 2→ 1→ 2→ 1→2→因此 EF ＝ 2DC ＋3CB ＝2AB ＋3DA ＝ 2AB － 3AD.(2)→ → → 1 →1 → → 1 → →→ 1 → 因为 E 为 DC 的中点，因此 AC ＝ AB ＋ AD ＝ AB ＋AB ＋ AD ＝AB ＋ AE ，即 AE ＝－AB ＋2222→ AC ，1 1因此 λ＝－， μ＝1，因此 λ＋ μ＝ .22热门二平面向量的数目积1．数目积的定义： a ·b ＝ |a||b|cos θ.2．三个结论(1) 若 a ＝ (x ， y)，则 |a|＝ a ·a ＝ x 2＋ y 2.(2) 若 A(x 1，y 1)， B( x 2， y 2)，则→ 2 2 .|AB|＝ (x 2－ x 1 ) ＋ (y 2－ y 1 )(3)若 a＝ (x1，y1)， b＝ ( x2，y2 )，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b＝x1x2＋ y1y2|a||b|x12＋ y12x22＋ y22.例 2(1)如图，在矩形ABCD 中， AB＝2， BC＝ 2，点 E 为 BC 的中点，点 F在边→ →＝→ →CD 上，若 AB·AF2，则 AE ·BF的值是 ________．(2) 若 b＝cos π， cos5π，|a|＝ 2|b|，且 (3a＋b) ·b＝－ 2，则向量 a，b 的夹角1212为 ________．答案(1) 2 (2)5π6分析(1)以 A 为原点，成立如下图的坐标系，可得 A(0,0)，B(2， 0)， E(2， 1)， F(x,2)，→→∴ AB＝ ( 2，0) ，AF＝ (x,2)，→ →2x＝2，∴ AB·AF＝解得 x＝ 1，∴ F(1,2)．→→∴ AE＝ ( 2，1)，BF＝ (1－ 2， 2)，→ →∴ AE·BF＝ 2×(1－ 2)＋ 1×2＝ 2.22π25π 2 π 2 π(2) b＝ cos＋cos12＝cos＋ sin＝ 1，121212因此 |b|＝ 1，|a|＝ 2.由 (3a＋b) ·b＝－ 2，可得3a·b＋ b2＝－ 2，故 a·b＝－3，故 cos〈 a， b〉＝a·b＝－ 33＝－|a||b|2×1 2.5π又〈 a， b〉∈ [0，π]，因此〈 a， b〉＝6 .思想升华(1) 数目积的计算往常有三种方法：数目积的定义，坐标运算，数目积的几何意义；(2) 能够利用数目积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．追踪操练 2 (1)已知点 A，B，C，D 在边长为 1 的方格点图的地点如下图，→ →则向量 AD在AB方向上的投影为 ________．(2) 如图，在△ ABC 中，AB＝ AC＝ 3，cos∠ BAC＝1→→→ →3，DC＝ 2BD，则 AD·BC的值为 ________．答案(1)－5(2)－ 2 5分析(1)不如以点 A 为坐标原点，成立如下图的平面直角坐标系，易得→→AD ＝ (－ 2,3)，AB→ →→ →－ 25 AD ·AB＝ (4,2) ，因此向量 AD 在 AB方向上的投影为→＝2 5＝－ 5.|AB |→→→→→→2→ →(2) AD·BC＝ (AC＋ CD ) ·BC＝ (AC＋CB) ·BC3→2→→→2→1→→→＝[AC＋3(AB －AC)] BC·＝ ( 3AB ＋3AC) ·(AC－ AB)2 →2 1 → → 1 →2＝－3|AB|＋3AB·AC＋3|AC|＝－6＋ 1＋3＝－ 2.热门三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，拥有代数形式和几何形式的“两重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，经过向量运算作为题目条件．例 3已知函数 f(x)＝ 2cos2x＋ 23sin xcos x(x∈ R)．π(1)当 x∈[0，2)时，求函数 f( x)的单一递加区间；(2)设△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a， b，c，且 c＝3， f( C)＝ 2，若向量 m＝ (1， sin A)与向量 n＝ (2， sin B)共线，求 a， b 的值．解π (1)f(x)＝ 2cos 2x ＋ 3sin 2x ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＝2sin(2 x ＋ ) ＋1，6π π π 令－＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π， k ∈ Z ，26 2π π解得 k π－≤x ≤k π＋， k ∈ Z ，36π因为 x ∈ [0， 2) ，π因此 f( x)的单一递加区间为 [0，6] ．π(2) 由 f(C)＝ 2sin(2C ＋6)＋ 1＝ 2，π 1得 sin(2C ＋ 6)＝ 2，π π 13 π而 C ∈(0 ，π)，因此 2C ＋ 6∈( 6， 6 )， π 5 π因此 2C ＋＝6π，解得 C ＝ 3.6因为向量 m ＝ (1，sin A)与向量 n ＝(2 ，sin B)共线，因此sin A 1sin B＝ .2由正弦定理得 a ＝ 1，①b 2由余弦定理得π c 2＝ a 2＋ b 2－ 2abcos，3即 a 2＋ b 2－ ab ＝9.②联立①②，解得 a ＝ 3，b ＝ 2 3.思想升华在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面能够利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只需依据题目的详细要求，在向量和三角函数之间成立起联系，就能够依据向量或者三角函数的知识解决问题．追踪操练 3已知 △ABC 是锐角三角形，向量m ＝ cos A ＋ π，3π， n ＝ cos B ， sin B ，且 m ⊥ n.sin A ＋3 ( )(1) 求 A －B 的值；3(2) 若 cos B ＝ 5，AC ＝8，求 BC 的长．解(1)因为 m ⊥ n ，π π因此 m ·n ＝ coscos B ＋sin A ＋ 3 sin BA ＋ 3 π＝ cos A ＋3－ B ＝0，π又 A ，B ∈ 0，2 ，因此ππ 5πA ＋－B ∈ －，，3 6 6 因此 π ππA ＋－B ＝，即 A － B ＝ .3 263π4(2) 因为 cos B ＝5， B ∈ 0，2 ，因此 sin B ＝ 5，因此 sin A ＝ sin π ππ ＝ sin Bcos ＋ cos Bsin 6B ＋664 3 3 1 4 3＋ 3＝ · ＋ ·＝，52 5 2104 3＋3由正弦定理，得BC ＝ sin A10 ×8＝ 4 3＋ 3.4sin B·AC ＝5→ 1 →1．如图，在 △ ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交AC 于E ， BC边上的中线AM交DE于，设 → ＝， → ＝，用ABaACb N，表示向量ab→ →AN ，则 AN＝ ____________.押题依照平面向量基本定理是向量表示的基本依照，而向量表示 (用基底或坐标 )是向量应用的基础．1答案6(a ＋ b)分析因为 DE ∥ BC ，因此 DN ∥ BM ，则 △ AND ∽△ AMB ，因此 AM AN ＝ ADAB .→1 →→1 →因为 AD ＝ 3AB ，因此 AN ＝ 3AM . 因为 M 为 BC 的中点，→ 1 → → 1 因此 AM ＝ (AB ＋AC)＝(a ＋ b)，22→ 1 →1因此 AN ＝AM ＝ (a ＋ b)．362．如图，BC 、DE 是半径为 →→ → →1 的圆 O 的两条直径， BF ＝ 2FO ，则 FD ·FE＝ ________.押题依照数目积是平面向量最重要的观点，平面向量数目积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的联合是向量考察的常有形式．答案－89分析→→→1，∵BF ＝2FO ，圆 O 的半径为 1，∴ |FO |＝3→→→→→→→2→→→→→1 2 8 ∴ FD ·FE ＝ (FO ＋ OD) ·(FO ＋ OE)＝ FO ＋ FO ·(OE ＋ OD)＋ OD ·OE ＝ ( ) ＋ 0－ 1＝－ .39→ →120°sin 208 )°，则 △ABC3．在 △ABC 中，AB ＝(cos 32 °，cos 58 °)，BC ＝ (sin 60 sin ° 118 ，°sin 的面积为 ________．押题依照平面向量作为数学解题工具，经过向量的运算给出条件解决三角函数问题已成为近几年高考的热门．答案38分析→ 2 2°|AB|＝ cos 32 °＋ cos 58＝ cos 232°＋ sin 232°＝1，→33，BC ＝2 cos 28 ，°－ 2 sin 28°→323 23 因此 |BC|＝＋－2 sin 28 ＝2.2 cos 28 °°→ →33 °则 AB ·BC ＝ cos 32 °×2cos 28－°sin 32 ×° sin 2823＝2 (cos 32 cos ° 28 －°sin 32 sin ° 28 ) °＝333，2 cos(32 ＋°28°)＝ 2cos 60 ＝° 4→ →3 → →4 1AB ·BC ＝ . 故 cos 〈 AB ， BC 〉＝ →→ ＝ 3 2 |AB| ×|BC| 1×2→ → °， 180°]，因此〈 → →又〈 AB ， BC 〉∈ [0 AB ， BC 〉＝ 60°，→ →故 B ＝ 180°－〈 AB ， BC 〉＝ 180°－ 60°＝ 120°.故 △ ABC 的面积为1 →S ＝ 2×|AB|→×|BC|sin B1 3 ＝ ×1××sin221203 ＝° .84．如图，在半径为1 的扇形 AOB中，∠ AOB ＝60°，C为弧上的动点， AB 与OC交于点P ，→ →则 OP ·BP 的最小值是 _______________________________________ ．押题依照此题将向量与平面几何、最值问题等有机联合，表现了高考在知识交汇点命题的方向，此题解法灵巧，难度适中．答案－116分析→ → →→→→→→→→→2 ＝ 60 °，因为 OP ＝ OB ＋ BP ，因此 OP ·BP ＝ (OB ＋ BP) ·BP ＝OB ·BP ＋ BP .又因为∠ AOB OA ＝ OB ，因此∠ OBA ＝ 60°， OB ＝ → → →1 → →→1→→21.因此 OB ·BP ＝ |BP |cos 120＝°－|BP|，因此 OP ·BP ＝－ |BP|＋ |BP|22→1 2 11→1 → →1＝ (|BP|－ )－≥－，当且仅当 |BP|＝时， OP ·BP 获得最小值－.4 16 16416A 组专题通关1．在 △ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若→ →→ 1 →→AD ＝ 2DB， CD ＝ CA ＋ λCB ，则 λ＝ ________.3答案23分析在 △ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，→→ →1→→→→→→ 2 → → 2 → → 1 → 2 → ∵ AD ＝ 2DB ，CD ＝ CA ＋ λCB ，∴ CD ＝ CA ＋ AD ＝ CA ＋ AB ＝ CA ＋3 (CB － CA)＝ CA ＋ CB ，3333∴ λ＝ 2.32． △ ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量→ →a ，b 知足 AB ＝ 2a ， AC ＝ 2a ＋ b ，则以下结论正确的选项是 ________．① |b|＝ 1; ② a ⊥ b ；→③ a ·b ＝ 1; ④ (4a ＋ b)⊥BC.答案 ④分析→ → →在 △ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝ 2a ＋ b － 2a ＝ b ，得 |b|＝ 2.又 |a|＝ 1，因此 a ·b ＝ |a||b|cos 120 ＝°－ 1，→ 2因此 (4a ＋ b) ·BC ＝ (4a ＋ b) ·b ＝ 4a ·b ＋ |b|＝ 4×(－ 1)＋ 4＝ 0，→因此 (4a ＋ b)⊥ BC.→ → → → → →3．在等腰 △ ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝ AC ＝ 2，BC ＝ 2BD ，AC ＝ 3AE ，则 AD ·BE ＝ ________.答案－43分析由已知获得→ → 1→→→1 →1 →2 1 → → 1 → → 1 → 2，AD ·BE ＝(AB ＋ AC) ·(BA ＋ AC) ＝－2AB ＋ AB ·AC ＋2 AC ·BA ＋ AC2366→ → 1212△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＝ AC ＝2，因此 AD ·BE ＝－ 2×2 ＋ 0＋0＋ 6×24＝－ 3.4． (2016 ·津蓟县期中天 )已知向量 a ， b 知足 (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1， |b|＝ 2，则 a与 b 的夹角为 ________．答案π 3分析设 a 与 b 的夹角为θ，∵ (a ＋ 2b) ·(a － b)＝－ 6，且 |a|＝ 1，|b|＝ 2，∴ 1＋a ·b － 8＝－ 6，∴ a ·b ＝ 1＝|a||b |cos θ，∴ cos θ＝ 1，2π又∵ θ∈ [0，π]，∴ θ＝3.5． (2016 安·徽江淮十校第二次联考 )已知平面向量 a 、b(a ≠0， a ≠b)知足 |a|＝ 3，且 b 与 b － a 的夹角为 30°，则 |b|的最大值为 ________．答案 6分析→ → → → →令OA ＝ a ， OB ＝ b ，则 b － a ＝ OB －OA ＝AB ，如图，∵ b 与 b － a 的夹角为 30°，∴∠ OBA ＝30°，→→→→，∴由正弦定理|OA| ＝ |OB|得， ∵ |a| ＝ |OA |＝ 3 sin ∠ OBA sin ∠ OAB |b|＝ | OB | ＝6·sin ∠ OAB ≤ 6.6．已知向量 a ＝ (2,1)，b ＝ (－ 1， 2)，若 a ， b 在向量 c 方向上的投影相等，且 (c － a) ·(c － b) ＝－ 5，则向量 c 的坐标为 ________．21 3答案 (2，2)分析设 c ＝ (x ， y)，依据题意有x 2＋ y 2－ x － 3y ＝－ 5，22x ＋ y ＝－ x ＋ 2y ，1，x ＝ 2解得3y ＝ 2.→→ → 7．设向量 OA ＝ (5＋ cos θ，4＋ sin θ)， OB ＝ (2,0) ，则 |AB|的取值范围是 ________．答案[4,6]分析→ → →＝ (－ 3－ cos θ，－ 4－ sin θ)，∵AB ＝OB －OA → 2 2 2 ∴ |AB| ＝ (－ 3－cos θ) ＋( －4－ sin θ)＝ 6cos θ＋ 8sin θ＋26＝ 10sin(θ＋ φ)＋ 26，此中 tan φ＝ 3，4→ 2 →∴ 16≤|AB | ≤ 36，∴ 4≤|AB| ≤ 6.8．设向量 a ＝ (a 1， a 2)， b ＝ (b 1， b 2)，定义一种向量积 a?b ＝ (a 1b 1， a 2b 2)，已知向量 m ＝(2 ， 1 π →2)，n ＝ (，0)，点 P(x ，y)在 y ＝ sin x 的图象上运动， Q 是函数 y ＝ f(x)图象上的点，且知足 OQ3→为坐标原点 )，则函数 y ＝ f( x)的值域是 ________．＝ m?OP ＋ n(此中 O1 1 答案 [－ 2， 2]分析令 Q(c ，d)，由新的运算可得→ →1 π π 1sin x)， OQ ＝ m?OP ＋ n ＝(2x ，sin x)＋ ( ， 0)＝ (2x ＋，233 2π， 11∴c ＝2x ＋ 3π1消去 x 得 d ＝sin( c － )，22 6d ＝ 2sin x ，1 1π1 1] ．∴ y ＝ f( x)＝ sin(x －)，易知 y ＝ f(x)的值域是 [－，2262 2π9．设向量 a ＝ ( 3sin x ， sin x)， b ＝(cos x ，sin x)， x ∈ [0， 2]．(1) 若 |a|＝ |b|，求 x 的值；(2) 设函数 f(x)＝ a ·b ，求 f(x)的最大值．解(1)由 |a|2＝ ( 3sin x)2＋ (sin x)2＝ 4sin 2x ，222＝ 1，|b| ＝(cos x) ＋ (sin x) 及 |a|＝ |b|，得 4sin 2x ＝ 1.π1π又 x ∈ [0， ]，进而 sin x ＝，因此 x ＝ .22 62(2) f(x)＝ a ·b ＝ 3sin x ·cos x ＋ sin x＝3 1 1π 1，2sin 2x － cos 2x ＋＝ sin(2x － )＋ 2262π π π1，当 x ＝ ∈ [0， ] 时， sin(2 x －)取最大值326因此 f( x)的最大值为32.10．已知向量 a ＝ (cos α， sin α)，b ＝ (cos x ， sin x)， c ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)，此中 0<α<x<π.π(1) 若 α＝4，求函数 f(x)＝ b ·c 的最小值及相应 x 的值；π (2) 若 a 与 b 的夹角为，且 a ⊥ c ，求 tan 2α的值．3解 (1)∵ b ＝ (cos x ， sin x)，πc ＝ (sin x ＋ 2sin α， cos x ＋ 2cos α)， α＝ 4，∴ f(x)＝ b ·c＝ cos xsin x ＋ 2cos xsin α＋sin xcos x ＋2sin xcos α＝ 2sin xcos x ＋ 2(sin x ＋ cos x)．π令 t ＝ sin x ＋cos x 4<x<π ，则 2sin xcos x ＝ t 2 －1，且－ 1<t< 2.则 y ＝ t 2＋ 2t － 1＝ t ＋2 2－3，－ 1<t< 2，2 2∴ t ＝－ 2时， y min ＝－3，此时 sin x ＋ cos x ＝－ 2， 2 2 2 即 2sin x ＋ π＝－ 2，42π π π 5π，∵ <x<π，∴ <x ＋ <424 4 π 7 11π∴ x ＋＝ π，∴ x ＝12 .46∴函数 f(x)的最小值为－ 3，相应 x 的值为 11π2 12.π(2) ∵ a 与 b 的夹角为，3π a ·b∴ cos＝＝ cos αcos x ＋ sin αsin x3 |a| ·|b|＝ cos(x － α)．π∵ 0< α<x<π，∴ 0<x － α<π，∴ x － α＝3.∵ a ⊥ c ，∴ cos α(sin x ＋ 2sin α)＋ sin α(cos x ＋ 2cos α)＝ 0，π∴ sin(x ＋ α)＋ 2sin 2α＝ 0，即 sin 2α＋3 ＋ 2sin 2α＝ 0.5 sin 2α＋ 3 3. ∴ 2cos 2α＝0，∴ tan 2α＝－52B 组能力提升11．已知非零单位向量a 与非零向量b 知足 |a ＋b|＝ |a － b|，则向量 b － a 在向量 a 上的投影为 ________．答案－1分析因为 |a ＋ b|＝ |a － b|，因此 (a ＋ b)2＝ (a － b)2，2解得 a ·b ＝ 0，因此向量 b － a 在向量 a 上的投影为 |b － a|cos 〈 a ， b － a 〉＝a ·(b －a)＝0－|a||a||a|＝－ |a|＝－ 1.→ → →AB AC12．已知点 P 为 △ ABC 所在平面内一点，且知足 AP ＝ λ( → ＋ →)(λ∈ R)，则直线 |AB|cos B |AC|cos CAP 必经过 △ ABC 的 ________心．答案垂→ → →AB AC分析 ∵BC ·( → ＋ → )|AB|cos B |AC|cos C→ →＝－ |BC|＋ |BC|＝ 0，→ → →AB AC∴ BC 与 λ( → ＋ →)垂直，|AB|cos B |AC|cos C→ →AP 经过 △ABC 的垂心．∴ AP ⊥ BC ，∴点 P 在 BC 的高线上，即直线13．若 a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，若〈 a ，b 〉为钝角，则实数 λ的取值范围是 ______________．答案3 (－ ∞，－ 3)∪( －3，－ )2分析3 ∵ a ＝ (2＋ λ，1)，b ＝ (3，λ)，∴ a ·b ＝ 3(2＋ λ)＋ λ<0，得 λ<－ .若 a ，b 共线，则 λ(2＋ λ)2－ 3＝ 0，解得λ＝－ 3 或λ＝1.即当λ＝－ 3 时， a， b 方向相反，3又〈 a， b〉为钝角，则λ<－且λ≠－ 3.14．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)， B(2,3)， C(3,2) ，点 P(x， y)在△ABC 三边围成的地区 (含界限 )上．→→→→(1) 若 PA＋PB ＋ PC＝ 0，求 |OP|；→→→(2) 设 OP＝mAB＋ nAC(m， n∈ R)，用 x， y 表示 m－n，并求 m－n 的最大值．解 (1)方法一→ →→∵ PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→又 PA＋ PB＋ PC＝ (1－ x,1－ y)＋ (2－x,3－ y)＋ (3－ x,2－ y)＝(6 －3x,6－ 3y)，6－ 3x＝ 0，x＝2，∴解得6－ 3y＝ 0，y＝2，→→即 OP＝ (2,2)，故 |OP|＝ 2 2.方法二→→→∵PA＋ PB＋ PC＝ 0，→→→→→→则 (OA－ OP)＋(OB －OP) ＋(OC－OP) ＝0，→1→→→→2.∴ OP＝3(OA＋ OB＋ OC)＝(2,2)，∴ |OP|＝ 2→→→(2) ∵ OP＝mAB＋ nAC，x＝ m＋2n，∴ (x， y)＝ (m＋ 2n， 2m＋ n)，∴y＝ 2m＋ n，两式相减得， m－ n＝ y－ x.令 y－x＝ t，由图知，当直线y＝ x＋t 过点B(2,3) 时， t 获得最大值 1，故 m－ n 的最大值为1.。

高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量(练)文

专题1.3 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】2.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A. 3.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 所以选A.4. 【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】5. 【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.【答案】(Ⅰ)55- ；(Ⅱ)255- .【解析】4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.6. 【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-从而()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以31()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--33sin cos 22x x ωω=- 133(sin cos )22x x ωω=-3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.2.练模拟1.【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( ) 55 C. 255355【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a 5 a •（b +a ）=2，可得a •b +2a =2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·355a b a =-。

高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、

第三讲平面向量
考点一平面向量的概念及线性运算
试题解析
考点一考点二考点三
1．(2015·高考全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝
3C→D，则( A )
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
设O→A＝a，O→B＝b，由题意得D→C＝O→C－O→D＝O→A＋A→C－23O→B＝
O→A＋B→A－23O→B＝2a－53b.因为O→E＝λO→A＝λa，设D→E＝μD→C＝2μa
－
53 μb ，
又 O→E ＝ O→D ＋
→ DEBiblioteka ，所以λa ＝ 23 b ＋ 2μa － 53 μb ＝ 2μa ＋
考点二
试题解析
考点一考点二考点三
4．(2016·高考天津卷)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，
E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE＝
2EF，则A→F·B→C的值为( B )
A．－58
1 B.8
1
11
C.4
D. 8
考点二
考点一考点二考点三
考点一
试题通解优解
考点一考点二考点三
2．已知平面向量 a＝(2,1)，c＝(1，－1)．若向量 b 满足(a－b)∥c，
(a＋c)⊥b，则 b＝( D )
A．(2,1)
考点三
考点一考点二考点三
根据上面所做题目，请填写诊断评价
错因(在相应错因中画√)
考点错题题号
诊
知识性方法性运算性审题性

高考数学二轮复习专题2三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量文

高考数学二轮复习专题 2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第三讲平面向量文经过近三年高考真题统计，平面向量都有独自小题，所以仔细掌握好平面向量很重要，展望 2016 年平面向量仍为考察的要点，向量的观点、坐标运算为主要内容.向量的观点与运算 1. 向量的加法运算切合平行四边形法例和三角形法例；向量的减法运算切合三角形法则.2. 用下列图中有向线段表示：→ → →a ＋b ＝OC ， a － b ＝ BA ， b － a ＝ AB Ｗ .3. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，关于随意愿量 a ， b 以及随意实数λ， μ1， μ2，恒有 λ （μ1a ± μ2b ）＝ λμ 1a ±λμ 2b Ｗ .平面向量基本定理与向量的数目积1. 假如 e 1， e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的随意愿量a ，有且只有一对实数 λ1， λ2，使 a ＝ λ1e 1＋ λ 2e 2，此中不共线向量e 1， e 2 叫做基底Ｗ .2. 平面向量数目积的定义 .已知两非零向量 a ，b ，则 a 与 b 的数目积（或内积）为 | a ||b |cos θ，记作 a · b ＝ | || |cosθ，此中 θ ＝〈，〉， | |cos θ叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影 .a ba b b3. 两非零向量平行、垂直的充要条件.若 a ＝（ x 1， y 1）， b ＝（ x 2， y 2），则（ 1） a ∥ b ? a ＝λb （ λ≠0） ? x 1 y 2－ x 2y 1＝ 0Ｗ .（ 2） a ⊥ b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋y 1y 2＝ 0Ｗ .4. 若 a ＝（ x 1，y 1），b ＝（ x 2，y 2），a ，b 的夹角为θ，则 cosＷ .a · bx x ＋ y y 2θ ＝1 21| a || b | ＝ 2 2 2 2x 1＋ y 1·x 2 ＋ y 2判断下边结论能否正确（请在括号中打“√”或“×”） .（ 1）向量与有向线段是同样的，所以能够用有向线段来表示向量. （ ×）（ 2） |a| 与 |b| 能否相等与 a ， b 的方向没关 . （ √ ）（ 3）已知两向量 a ， b ，若 | a | ＝ 1，| b | ＝ 1，则 | a ＋ b | ＝2. （ × ）→ 1 → →（ 4）△ ABC 中， D 是 BC 中点，则 AD ＝（ AC ＋ AB ） . （ √）2→→A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 . （× ）（ 5）向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则（ 6）当两个非零向量a ，b 共线时，必定有 b ＝ λa ，反之建立 . （ √ ）1. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点， → →→BC ＋ BA ＝ 2BP ，则（ B ） → → → →A. PA ＋PB ＝ 0 B .PC ＋ PA ＝ 0→ →→ → →.PB ＋PC ＝ 0.PA ＋ PB ＋ PC ＝ 0C D→ → →B .分析：由于 BC ＋BA ＝ 2BP ，所以点 P 为线段 AC 的中点，所以应当选 2. （2014·新课标Ⅱ卷）设向量 a ，b 知足 | a ＋ b | ＝ 10，| a － b | ＝ 6，则 a · b ＝（ A ）A.1B.2C.3D.4分析：由已知得， a 2＋ 2a ·b ＋ b 2＝ 10，a 2－ 2a ·b ＋b 2＝ 6，两式相减得， 4a · b ＝ 4，故a ·b ＝ 1.3. （2015·北京卷）设， b 是非零向量， “ · ＝| ||b |”是“ ∥ ”的（ A ）aa baa bA. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足也不用要条件分析：由于 a ·b ＝ | a || b |cos 〈 a ，b 〉，所以当 a · b ＝ | a || b | 时，有 cos 〈 a ， b 〉＝ 1，即〈 a ，b 〉＝ 0°，此时 a ，b 同向，所以 a ∥ b . 反过来，当 a ∥ b 时，若 a ， b 反向，则〈 a ，〉＝ 180°， a · ＝－| a || b | ；若，同向，则〈，〉＝ 0°， a· ＝ | a|| | ，故“ a ·bbba b a bbb＝| a || b | ”是“ a ∥ b ”的充足而不用要条件 .4. （ 2015·广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形是平行四边形， → ＝ABCDAB（1，－→→ → 2）， AD ＝（ 2，1），则 AD · AC ＝（ D ）A.2B.3C.4D.5分析：由于四边形是平行四边形，所以 → ＝→ ＋ →＝（ 1，－ 2）＋（ 2，1）＝（ 3，ABCDAC AB AD→→－1）所以AD·AC＝2×3＋ 1×（－ 1）＝ 5，应选 D.。

数学高考二轮专题2三角函数、解三角形与平面向量第3讲平面向量

第一部分专题2 第3讲题型对应题号 1.向量的概念及线性运算 3,6,11 2.平面向量基本定理 2,7,103.向量的数量积及应用 1,4,5,8,9,12,13,14,15,16基础热身(建议用时：40分钟)1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A 项．2．(2019·辽宁东北育才学校模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．(2019·江西七校联考)已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310D 解析向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．(2019·湖南师大附中月考)如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33.答案339．(2019·四川攀枝花统考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.解析因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案－210．(2019·山东两校诊断)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D处，即AD⊥BC时，f(m)取得最小值32，因此|AD→|＝32，容易得到∠ACB＝120°.因为CO→＝xCA→＋yCB→，且x＋y＝1，所以O在边AB上，所以当CO⊥AB时，|CO→|最小，|CO→|min＝12.答案1212．(2019·江西上饶模拟)平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，AB→·AD→＝4，点P在边CD上，则P A→·PC→的取值范围是________.解析设|PD→|＝x，x∈[0,4]，则P A→·PC→＝(PD→＋DA→)·PC→＝⎝⎛⎭⎫－x4AB→－AD→·4－x4AB→＝－x4×4－x4 AB→2－4－x4AD→·AB→＝－x4×4－x4×16－4－x4×4＝x2－3x－4＝⎝⎛⎭⎫x－322－254，所以当x＝32时，取最小值－254，当x＝4时，取最大值0，即P A→·PC→的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0.答案⎣⎡⎦⎤－254，0能力提升(建议用时：25分钟)13．设平面向量a＝(－2,1)，b＝(1，λ)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是！！！____________###.解析因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，且a与b不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2.答案⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，214．(2019·湖南湘潭质检)已知A B→与A C→的夹角为90°，|A B→|＝2，|A C→|＝1，AM→＝λA B→＋μA C→(λ，μ∈R)，且AM→·B C→＝0，则λμ的值为________．解析根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC→＝(1,0)，BC→＝(1，－2)．设M(x，y)，则AM→＝(x，y)，所以AM→·BC→＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又AM→＝λAB→＋μAC→，即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以λμ＝12yx＝14.答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________.解析取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP →＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13. 因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影； (2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b|b |＝cos(α－β)＝0.(2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6. A 卷1．已知向量a ＝(2,6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．13D ．－13【答案】B2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0 【答案】D3．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A ．5 B ．25 C ．5 D ．10 【答案】C4．(2019年山东模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( )A ．1B ．2C ．12D ．22 【答案】D【解析】由a ⊥(a －b )，可得a·(a －b )＝a 2－a·b ＝0，所以a·b ＝a 2＝1.所以向量a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝12＝22.故选D ．5．(2019年湖南怀化模拟)在△ABC 中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD →＝λDC →，CE →＝13AB →＋μAC →，则λ＋μ＝( )A ．13B ．－13C ．76D ．－76【答案】B【解析】如图所示，由BD →＝λDC →，可得AD →－AB →＝λ(AC →－AD →)，则AD →＝11＋λAB →＋λ1＋λAC →.又E 是AD 的中点，所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋12AD →＝12(1＋λ)AB →＋－λ－22(1＋λ)AC →.又CE →＝13AB →＋μAC →，AB ，AC 不共线，所以12(1＋λ)＝13，－λ－22(1＋λ)＝μ，解得λ＝12，μ＝－56，则λ＋μ＝－13.故选B ．6．(2017年新课标Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝________. 【答案】2 3【解析】|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a ＋2b |＝12＝2 3.7．(2019年新课标Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.【答案】23【解析】a·c ＝a·(2a －5b )＝2a 2－5a·b ＝2，c 2＝(2a －5b )2＝4a 2－45a·b ＋5b 2＝9，则 |c|＝3.所以cos 〈a ，c 〉＝a·c |a||c|＝23.8．(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2AC ＝2，满足|BA →－tBC →|≤3|AC →|的实数t 的取值范围是________．【答案】⎣⎡⎦⎤0，32 【解析】由题意，得AC ＝1，cos 〈BA →，BC →〉＝BA 2＋BC 2－AC 22BA ·BC ＝3＋4－123×2＝32.由|BA →－tBC →|≤3|AC →|，得BA →2－2t |BA →||BC →|cos 〈BA →，BC →〉＋t 2BC →2≤3AC →2，即3－2t ×23×32＋4t 2≤3，解得0≤t ≤32.9．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求|a ＋b|的值；(2)当(a ＋2b )⊥(k a －b )时，求k 的值．【解析】(1)由已知，得a·b ＝4×8×⎝⎛⎭⎫－12＝－16， ∵|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b|＝4 3.(2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )，∴(a ＋2b )·(k a －b )＝0. ∴k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.10．已知向量a ＝(cos x,2cos x )，b ＝(2cos x ，sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(2)当a ≠0，a 与b 共线时，求f (x )的值．【解析】(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＋1. 由－π2＋2k π≤2x －π12≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π24＋k π≤x ≤7π24＋k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π，7π24＋k π，k ∈Z . (2)∵a ≠0，a 与b 共线，∴cos x ≠0.∴sin x cos x －4cos 2x ＝0.∴sin x ＝4cos x ，tan x ＝4. 则f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝2cos 2x ＋2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2tan x tan 2x ＋1＝1017.B 卷11．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【答案】B【解析】如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线DA 所在直线为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)．设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32≥－32，当x ＝0，y ＝32，即P ⎝⎛⎭⎫0，32时，P A →·(PB →＋PC →)有最小值－32.12．(2018年四川成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．23C ．－23D ．－3【答案】A【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．∴OC →＝53OA →－23OB →＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2.由|AB →|＝2，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝4.① 又A ，B 在圆O 上，∴x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.② 联立①②得x 1x 2＋y 1y 2＝2，∴OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，化简得56(x 21＋y 21)－13(x 22＋y 22)＋12(x 1x 2＋y 1y 2)＝56×4－13×4＋12×2＝3. 13．(2019年浙江)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．【答案】0 2 5【解析】由正方形ABCD 的边长为1，可得AB →＋AD →＝AC →，BD →＝AD →－AB →，AB →·AD →＝0， ∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|＝|λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5AB →＋λ5AD →＋λ6AD →－λ6AB →|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →|.要使|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此时只需取λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此时所求最小值为0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·AD →|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)2＋2(λ25＋λ26)＝12＋42(λ25＋λ26)＋2|λ25－λ26|＝20，当且仅当λ1－λ3，λ5－λ6均非负或均非正，并且λ2－λ4，λ5＋λ6均非负或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，则所求最大值为20＝2 5.14．(2019年四川眉山模拟)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】(1)证明：因为m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B .结合正弦定理，可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．(2)因为m ＝(a ，b )，p ＝(b －2，a －2)，m ⊥p ，所以m·p ＝a (b －2)＋b (a －2)＝0，则a ＋b ＝ab .由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，其中c ＝2，C ＝π3，所以a 2＋b 2－ab ＝4，则(a ＋b )2－3ab －4＝0. 所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4(ab ＝－1舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.。

2022年高考数学(文科)二轮复习名师导学案：专题二第3讲平面向量 Word版含答案

第3讲平面对量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭.真题感悟1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考点整合1.平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面对量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面对量的有关运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC → ＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ 1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高对于平面对量的线性运算，首先要选择一组基底，同时留意共线向量定理的机敏运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2021·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →，因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC → ＝AB → ＋AD →，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二平面对量的数量积命题角度1 平面对量数量积的运算【例2－1】 (1)(2021·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，依据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA →＝|OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|，而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.由于DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次留意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面对量数量积的性质【例2－2】 (1)(2022·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2021·哈尔滨模拟)平面对量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要留意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2021·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2021·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ，则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三平面对量与三角的交汇综合【例3】 (2021·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面对量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、帮助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式消灭的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的学问将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关学问进行求解. 【训练3】 (2021·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解由于AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又由于S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.1.平面对量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.答案 A2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件.答案 A3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD → ＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，由于x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。

高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量课件文28(1).ppt

因为 f(x)的最小正周期为 π，所以 T＝ 2π ＝π. 2|ω|
因为 ω＞0，所以 ω＝1. (2)设△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别是 a，b， c.
因为 f(B)＝－2，所以 2sin2B＋π6＝－2，则 sin2B＋π6＝－1，解得 B＝23π(B∈(0，π))．因为 BC＝ 3，所以 a＝ 3，因为 sin B＝ 3sin A，所以 b＝ 3a，所以 b＝3.
解析：(1)A→B·A→C＝3×2×cos 60°＝3，A→D＝13A→B＋23 A→C，
则A→D·A→E＝13A→B＋23A→C·(λA→C－A→B)＝λ－3 2A→B·A→C－ 13A→B2＋23λA→C2＝λ－3 2×3－13×32＋23λ×22＝131λ－5.
因此131λ－5＝－4，解得 λ＝131.
(2)f(x)＝a·b＝3cos x－ 3sin x＝－2 3·sinx－π3. 因为 x∈[0，π]，所以 x－π3∈－π3，23π，
所以－ 23≤sinx－π3≤1，所以－2 3≤f(x)≤3，当 x－π3＝－π3，即 x＝0 时，f(x)取得最大值 3；当 x－π3＝π2，即 x＝56π时，f(x)取得最小值－2 3.
命题视角 2 平面向量数量积的性质
[例 2－2] (1)(2016·山东卷)已知非零向量 m，n 满足
4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13，若 n⊥(tm＋n)，则实数 t
的值为( )
A．4
B．－4
C.94
D．－94
(2)(2017·佛山质检)平面向量 a，b 满足|a|＝4，|b|＝2， a＋b 在 a 上的投影为 5，则|a－2b|的模为( )
A．2 B．4 C．8 D．16 解析：(1)因为 n⊥(tm＋n)，所以 n·(tm＋n)＝0，即 t·m·n ＋n2＝0，所以 t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得 t×34|n|2×13＋|n|2＝0，解得 t＝－4.

2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题二三角函数与平面向量(3)平面向量 Word版含答案

(2)|a＋b|cos〈(a＋b)，a〉＝|a＋b|·
＝
|a＋b||a|
|a|
16＋a·b ＝ 4 ＝5；
所以 a·b＝4.
又(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16.
所以|a－2b|＝4. 答案：(1)B (2)B
第二十一页，编辑于星期日：一点五分。
[规律方法] 1．两向量的夹角 cos θ＝|aa|··b|b|，要注意 θ∈[0，π]． 2．两向量垂直的应用，两非零向量垂直的充要条件是 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 3．利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
B．－12
C．1
D．－1
第七页，编辑于星期日：一点五分。
解析：(1)因为 a∥b，所以 2λ＋6＝0，解得 λ＝－3，当 λ＝－3 时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，所以 a∥b 成立． (2)因为 E 为 BC 的中点，所以A→C＝A→B＋A→D＝12A→B＋12A→B＋A→D＝12A→B＋A→E，即A→E＝－12A→B＋A→C，
第二十三页，编辑于星期日：一点五分。
解析：(1)向量 a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－ 1)，
所以 2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得 1＋8－x＝0，解得 x＝9. 则|b|＝（－3）2＋92＝3 10.
第二十四页，编辑于星期日：一点五分。
(2)设单位向量 a，b 的夹角为 θ，则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. 因为(2a＋b)·(a－2b)＝－3 2 3，所以 2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cos θ＝－323，所以 cos θ＝ 23，
sin A，求B→A·B→C的值．

精选高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文

专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文一、填空题1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________.解析由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，②由①－②得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1.答案 12.(2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16. 答案 12 －163.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 解析由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案 90°4.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心.答案重心5.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________. 解析因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案π66.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.解析由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.∴AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22. 答案 227.△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →；⑤(4a ＋b )⊥BC →.解析 ∵AB →2＝4|a |2＝4，∴|a |＝1，故①正确；∵BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，又△ABC 为等边三角形，∴|BC →|＝|b |＝2，故②错误；∵b ＝AC →－AB →，∴a·b ＝12AB →·(AC →－AB →)＝12×2×2×cos 60°－12×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC →＝b ，故④正确；∵(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AC →2－AB →2＝4－4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故⑤正确.答案 ①④⑤8.(2016·淮安月考)如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A (3，0)，B (0，3)，设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2，1)，所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →) ＝13CB →2＝3. 答案 3二、解答题9.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值. 解 (1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ≥0，所以|a ＋b |＝2cos x .(2)由(1)，可得f (x )＝a ·b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以0≤cos x ≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12； ③当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝12. 10.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 11.(2016·南师附中调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行.(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

2020版高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文

第3讲平面向量1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________．[解析］由题意知a＋λb＝k[－(b－3a）]，所以错误!解得错误!［答案] －错误!2．（2019·江苏名校高三入学摸底）已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则｜a－2b＋3c|＝________．［解析] 设a＝（1，0），b＝（0，1)，c＝(x,y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1,所以c＝(－1，－1），所以a－2b＋3c＝（－2，－5)，所以｜a－2b＋3c|＝错误!＝错误!．[答案］错误!3．(2019·南京、盐城高三模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC ＝3，cos∠BAC＝错误!,错误!＝2错误!，则错误!·错误!的值为________．[解析] 由错误!＝2错误!，得错误!＝错误!(错误!＋2错误!）,又错误!＝错误!－错误!,AB＝AC＝3，cos∠BAC＝错误!，所以错误!·错误!＝错误!（错误!＋2错误!)·（错误!－错误!)＝错误!(－9＋3）＝－2．[答案］－24．已知|a｜＝1，|b｜＝6，a·（b－a）＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．［解析］因为a·(b－a）＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cos θ＝错误!＝错误!＝错误!．所以向量a与b的夹角为错误!．［答案］π35．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α,β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°,则α的模的取值范围为________．[解析] 法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量错误!＝α,错误!＝β－α，则错误!＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理错误!＝错误!，得OA＝错误!sin∠ABO∈错误!，即0〈｜α|≤错误!．法二：设|α｜＝u，｜β－α｜＝v，由|β｜2＝|α＋（β－α）|2＝α2＋2α·（β－α)＋(β－α）2，得v2－uv＋u2－1＝0,再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4（u2－1）≥0,又u>0，故0<u≤错误!，即0<|α｜≤错误!．[答案] 错误!6．(2019·高三第一次调研测试）在平面四边形ABCD中,AB＝1,DA＝DB，则错误!·错误!＝3，错误!·错误!＝2，则｜错误!＋2错误!｜的最小值为______．[解析］以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A错误!，B错误!．设D（0，b），C(m，n），则错误!·错误!＝（1,0）·错误!＝m＋错误!＝3，解得m＝错误!，错误!·错误!＝(3,n)·错误!＝错误!＋nb＝2，得nb＝错误!．易得错误!＋2错误!＝(4，n＋2b）,则｜错误!＋2错误!｜＝错误!≥错误!＝2错误!，当且仅当n＝2b时取等号，故｜错误!＋2错误!｜的最小值为2错误!．[答案] 257．(2019·南通市高三模拟）如图,在同一平面内,点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3．点B,C分别在m，n上，｜AB，→＋错误!|＝5，则错误!·错误!的最大值是________．［解析] 以直线n为x轴,过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A（0，3)，设C（c，0),B(b，2），则错误!＝（b,－1)，错误!＝（c，－3），从而（b＋c）2＋（－4)2＝52，即（b＋c)2＝9,又错误!·错误!＝bc＋3≤错误!＋3＝错误!，当且仅当b＝c时取等号．[答案] 错误!8．(2019·南京高三模拟）在凸四边形ABCD中，BD＝2，且错误!·错误!＝0，（错误!＋错误!)·(错误!＋错误!）＝5，则四边形ABCD的面积为________．［解析] (错误!＋错误!)·(错误!＋错误!)＝(错误!－错误!＋错误!)·（错误!－错误!＋错误!）＝(错误!＋错误!）·(错误!－错误!)＝错误!－错误!＝5，即AC2－BD2＝5．因为BD＝2,所以AC＝3,所以四边形ABCD的面积为错误!AC×BD＝错误!×2×3＝3．[答案] 39．（2019·江苏省高考名校联考信息卷（一）)如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点,AB＝8，AC＝6，错误!＝x错误!＋y错误!（x，y是实数）,则错误!的值是______．［解析］连结BC,根据题意，可知AB2＋AC2＝102，又圆O的半径为5,则直径是10，所以BC恰好是圆O的直径,所以AB⊥AC．CE→＝错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!－错误!错误!，此时x＝错误!，y＝－错误!，x－y＝错误!－（－错误!）＝1．又错误!＝错误!（错误!＋错误!），错误!·错误!＝(错误!错误!－错误!错误!）·错误!（错误!＋错误!）＝错误!(错误!错误!2－错误!错误!2）＝－错误!，故错误!＝－错误!．[答案] －错误!10．(2019·苏锡常镇四市高三调研）在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0）,B(0，1），C(a，b）,D（c，d)，若不等式错误!2≥(m－2)错误!·错误!＋m(错误!·错误!）·（错误!·错误!)对任意实数a，b，c，d都成立,则实数m的最大值是________．[解析] 原不等式可化为（a－c）2＋(b－d）2≥（m－2)·（ac＋bd）＋mbc,即a2＋b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成关于实数a 的不等式为a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，从而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc）≤0,再整理成关于实数d的不等式为d2－mbd＋b2＋c2－mbc－错误!m2c2≥0，从而Δ2＝m2b2－4错误!≤0，再整理成关于实数b的不等式为(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，从而错误!,解得1－错误!≤m≤－1＋错误!，所以m的最大值是错误!－1．［答案］错误!－111．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m＝(cos A,cos B)，n＝（b＋2c，a)，且m⊥n．（1）求角A的大小；（2)若a＝4错误!,b＋c＝8,求AC边上的高h的值．[解] （1）因为m⊥n，所以m·n＝0，所以（b＋2c）cos A＋a cos B＝0，由正弦定理得cos A sin B＋2cos A sin C＋cos B sin A＝0，即sin（A＋B）＋2cos A sin C＝0，因为A＋B＝π－C,所以sin(A＋B)＝sin C，所以sin C＋2cos A sin C ＝0．又C∈(0，π)，所以sin C＞0,所以cos A＝－错误!．因为A∈（0，π）,所以A＝错误!．(2）由错误!解得b＝c＝4．又S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!h·AC,所以h＝2错误!．12．(2019·苏州期末检测）已知向量a＝(sin θ，2），b＝(cos θ,1)，且a，b共线，其中θ∈错误!．(1)求tan错误!的值；（2）若5cos （θ－φ）＝3错误!cos φ，0＜φ＜错误!，求φ的值．[解] (1)因为a∥b，所以sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2．所以tan 错误!＝错误!＝错误!＝－3．(2）由（1）知tan θ＝2，又θ∈错误!,所以sin θ＝错误!，cos θ＝错误!，因为5cos(θ－φ)＝3错误!cos φ，所以5（cos θcos φ＋sin θsin φ）＝35cos φ,即错误!cos φ＋2错误!sin φ＝3错误!cos φ，所以cos φ＝sin φ，即tan φ＝1，又0＜φ＜错误!，所以φ＝错误!．13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝（cos x，sin x)，c＝（sin x ＋2sin α，cos x＋2cos α），其中0<α<x<π．(1）若α＝错误!，求函数f(x）＝b·c的最小值及相应x的值；（2）若a与b的夹角为错误!，且a⊥c,求tan 2α的值．[解］(1)因为b＝(cos x，sin x)，c＝（sin x＋2sin α，cos x＋2cos α），α＝错误!,所以f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sin α＋sin x cos x＋2sin x cos α＝2sin x cos x＋错误!（sin x＋cos x）．令t＝sin x＋cos x错误!，则2sin x cos x＝t2－1，且－1〈t〈错误!．则y＝t2＋2t－1＝错误!错误!－错误!，－1<t〈错误!，所以当t＝－错误!时，y min＝－错误!，此时sin x＋cos x＝－错误!，即错误!sin错误!＝－错误!，因为错误!〈x〈π，所以错误!〈x＋错误!〈错误!π，所以x＋错误!＝错误!π,所以x＝错误!．所以函数f（x)的最小值为－错误!,相应x的值为错误!．(2)因为a与b的夹角为错误!，所以cos 错误!＝错误!＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α）．因为0<α<x〈π，所以0〈x－α〈π，所以x－α＝π3．因为a⊥c，所以cos α（sin x＋2sin α)＋sin α（cos x＋2cos α）＝0,所以sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin错误!＋2sin 2α＝0．所以错误!sin 2α＋错误!cos 2α＝0,所以tan 2α＝－错误!．14．(2019·镇江期末）已知△ABC的面积为S，且错误!·错误!＝错误! S．(1)求sin A；(2)若|错误!|＝3,|错误!－错误!｜＝2错误!，求sin B．［解］（1）因为△ABC的面积为S，且错误!·错误!＝错误!S，所以bc cos A＝错误!×错误!bc sin A，所以sin A＝错误!cos A，所以A为锐角,且sin2A＋cos2A＝sin2A＋错误!sin2A＝错误!sin2A＝1,所以sin A＝错误!．（2）设△ABC中角A,B,C的对边分别为a，b，c，因为｜错误!｜＝c＝3，｜错误!－错误!｜＝|错误!｜＝a＝2错误!,由正弦定理得错误!＝错误!,即错误!＝错误!,所以sin C＝错误!,又因为c＜a,则C为锐角,所以C＝错误!，所以sin B＝sin错误!＝sin A cos 错误!＋cos A sin 错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．。

高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量训练 文