微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数
合集下载
经济类人大版《微积分》课件 1.1-1.2 集合
注：( x, y)和(y , x)是两个不同的有序元素组.
笛卡尔乘积定义
定义：设有集合A和B，对任意的x A, y B,所有 二元有序数组(x, y)构成的集合，称为集合A和B的 笛卡尔乘积，记为A B，即 A B {(x, y) | x A, y B}.
例4：设A {1，2}，Bห้องสมุดไป่ตู้ {2，3}，则 A B {(1, 2) ，(1, 3) ，(2 , 2) ，(2 , 3)}.
微积分我们学什么？
❖ 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
极限的直观定义与计算
❖ 一元函数微分 导数与微分的概念与计算
微分学应用
❖ 一元函数积分 不定积分
定积分概念与计算
积分学应用
❖ 多元函数
偏导数
重积分的概念与计算
第一章 函数
❖ 集合 ❖ 函数概念 ❖ 函数的几种特性 ❖ 反函数 ❖ 复合函数 ❖ 初等函数
性质： 1.集合具有确定性，即对某一个元素是否属于 某集合是确定的，是或不是二者必居其一； 2.集合具有互异性和无序性。
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素； a是集合M的元素，记作a M（读作a属于M）; a不是集合M的元素，记作a M（读作a不属于M）.
集合的表示法
1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元 素,并用{}括起来。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
3
空心邻域
U (a, ) {x | 0 x a } {x | a x a或a x a } (a , a) (a, a )
笛卡尔乘积定义
定义：设有集合A和B，对任意的x A, y B,所有 二元有序数组(x, y)构成的集合，称为集合A和B的 笛卡尔乘积，记为A B，即 A B {(x, y) | x A, y B}.
例4：设A {1，2}，Bห้องสมุดไป่ตู้ {2，3}，则 A B {(1, 2) ，(1, 3) ，(2 , 2) ，(2 , 3)}.
微积分我们学什么？
❖ 利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质
极限的直观定义与计算
❖ 一元函数微分 导数与微分的概念与计算
微分学应用
❖ 一元函数积分 不定积分
定积分概念与计算
积分学应用
❖ 多元函数
偏导数
重积分的概念与计算
第一章 函数
❖ 集合 ❖ 函数概念 ❖ 函数的几种特性 ❖ 反函数 ❖ 复合函数 ❖ 初等函数
性质： 1.集合具有确定性，即对某一个元素是否属于 某集合是确定的，是或不是二者必居其一； 2.集合具有互异性和无序性。
通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素； a是集合M的元素，记作a M（读作a属于M）; a不是集合M的元素，记作a M（读作a不属于M）.
集合的表示法
1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元 素,并用{}括起来。
x
a- δ
a
a+ δ
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1
δ=1
x
1
2
3
空心邻域
U (a, ) {x | 0 x a } {x | a x a或a x a } (a , a) (a, a )
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第二节 初等函数
y
o
x
例1 求函数的 y 1 e x 1反函数 例2 求函数的 y (1 x 2)sgnx 反函数
二、基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数五
种最简单函数称为基本初等函数:
1. 幂函数 y = x ( R为常数). 2. 指数函数 y = ax (a > 0, a 1).
双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 shx ex ex , 2
双曲正割 sechx 1 , chx
双曲余弦 chx ex ex , 2
双曲余割 cschx 1 . shx
双曲正切 thx shx , chx
双曲余切 cthx chx , shx
y = chx y 1ex
2
y = shx y 1 ex
2
y = cthx y = thx
类似三角函数的一些性质：
sh(x y) shxchy chxshy
ch(x y) chxchy shxshy
ch2x sh 2x 1 1 th2x sec h2x
sh2x 2shxchx ch2x ch2x sh2x
(1) 反双曲正弦函数 y arshx ln x
§1.2 初等函数
一. 反函数 设函数 y = f (x), x Df 的值域为y Rf . 如果由关
系 y = f (x) 可确定 x = (y), y Rf , 则称其为函数 y =
f (x) 的反函数, 而称y = f (x) 为直接函数. y = f (x)的反 函数记为 x = f 1(y) , y Rf .
y =(f ·g) (x) = f ( g(x)) xDg (或x D~ g )
称y =(f ·g) (x) = f ( g(x)) 为函数y = f (u) 与u = g(x) 复合而 成的复合函数. 其中, u 称为中间变量.
o
x
例1 求函数的 y 1 e x 1反函数 例2 求函数的 y (1 x 2)sgnx 反函数
二、基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数五
种最简单函数称为基本初等函数:
1. 幂函数 y = x ( R为常数). 2. 指数函数 y = ax (a > 0, a 1).
双曲函数与反双曲函数
双曲正弦 shx ex ex , 2
双曲正割 sechx 1 , chx
双曲余弦 chx ex ex , 2
双曲余割 cschx 1 . shx
双曲正切 thx shx , chx
双曲余切 cthx chx , shx
y = chx y 1ex
2
y = shx y 1 ex
2
y = cthx y = thx
类似三角函数的一些性质：
sh(x y) shxchy chxshy
ch(x y) chxchy shxshy
ch2x sh 2x 1 1 th2x sec h2x
sh2x 2shxchx ch2x ch2x sh2x
(1) 反双曲正弦函数 y arshx ln x
§1.2 初等函数
一. 反函数 设函数 y = f (x), x Df 的值域为y Rf . 如果由关
系 y = f (x) 可确定 x = (y), y Rf , 则称其为函数 y =
f (x) 的反函数, 而称y = f (x) 为直接函数. y = f (x)的反 函数记为 x = f 1(y) , y Rf .
y =(f ·g) (x) = f ( g(x)) xDg (或x D~ g )
称y =(f ·g) (x) = f ( g(x)) 为函数y = f (u) 与u = g(x) 复合而 成的复合函数. 其中, u 称为中间变量.
微积分演示(本科上)01(§01)
JINSW 本科 １
立信会计学院
数统系 数统系
Jinsw Jinsw
1
JINSW 本科 １
微 积 分
序
2
自我介绍：
姓名： 金士伟 办公室： 一号楼四楼 Email：
JINSW 本科 １
jinswjinsw@ 答疑： 周三(4023)
3
要求：
JINSW 本科 １
一．每人至少准备一本参考书； 二．作业用纸张形式，首 、尾 均写上班级、姓名、学号； 三．按章节整理内容，做好公式、图 形的备忘录； 四．作业每周交一次； 五. 预习！！！
解： f (2) = 2 + 3 = 7
2 2
y |x=2 = 2 + 3 = 7
2
f [ g ( x)] = sin x + 3 g[ g ( x)] = sin(sin x)
22
＊有关概念 （１）记号
JINSW 本科 １
y = f ( x) ―――――― y 是 x 的函数 x ――自变量， y ――函数， f ――对应法则。
§１
函数
9
§１．１集合 一．绝对值 ▲定义： 一个实数 x 的绝对值记为 x 。且
JINSW 本科 １
⎧ x x>0 ⎪ x =⎨ 0 x=0 ⎪− x x < 0 ⎩ x 表示数轴上点 x（不论 x 在原点的左边还
是右边）与原点之间的距离。
| | |
o
1
x
10
＊性质： （１） x ≥ 0 仅当 x = 0 时等号成立。 x = （２） − x ≤ x ≤ x ， − x = x 。 （３） x ≤ a ( a > 0) ⇔ − a ≤ x ≤ a 。
立信会计学院
数统系 数统系
Jinsw Jinsw
1
JINSW 本科 １
微 积 分
序
2
自我介绍：
姓名： 金士伟 办公室： 一号楼四楼 Email：
JINSW 本科 １
jinswjinsw@ 答疑： 周三(4023)
3
要求：
JINSW 本科 １
一．每人至少准备一本参考书； 二．作业用纸张形式，首 、尾 均写上班级、姓名、学号； 三．按章节整理内容，做好公式、图 形的备忘录； 四．作业每周交一次； 五. 预习！！！
解： f (2) = 2 + 3 = 7
2 2
y |x=2 = 2 + 3 = 7
2
f [ g ( x)] = sin x + 3 g[ g ( x)] = sin(sin x)
22
＊有关概念 （１）记号
JINSW 本科 １
y = f ( x) ―――――― y 是 x 的函数 x ――自变量， y ――函数， f ――对应法则。
§１
函数
9
§１．１集合 一．绝对值 ▲定义： 一个实数 x 的绝对值记为 x 。且
JINSW 本科 １
⎧ x x>0 ⎪ x =⎨ 0 x=0 ⎪− x x < 0 ⎩ x 表示数轴上点 x（不论 x 在原点的左边还
是右边）与原点之间的距离。
| | |
o
1
x
10
＊性质： （１） x ≥ 0 仅当 x = 0 时等号成立。 x = （２） − x ≤ x ≤ x ， − x = x 。 （３） x ≤ a ( a > 0) ⇔ − a ≤ x ≤ a 。
高等数学第一章第三节教案-吴赣昌
ห้องสมุดไป่ตู้
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
微积分初步ppt课件
设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx
2019高等数学课件第1章 微积分-函数.ppt
a
2
(2) a a a
(3)K 0 : a ()K K ()a () K a () K a () K 或a () K
(1) a b a b
4)运算性质：
(三角不等式)
(2) a b a b a b
即a b ab a b
x 无界
y=f(x)
o -M o
x0
X
定义2：设函数f ( x )在集合D内有定义，若A（或B )，使x D， 都有 f ( x ) A(或f ( x ) B )成立，则称f ( x )在D内有上界
-M
（或有下界），也称f ( x )是D内的有上界(或下界)的函数。
有界函数 有上界和下界的函数
实数集：全体实数组成的集合，记 R 数轴：具有原点、正方向和单位长度的直线
数轴上的全体点( 数 全体实数
一一 对应
微积分--函数
a 3
点
a 3
)
7
2.实数的性质
1)连续性(充满数轴，无空隙) 2)稠密性(任两不等实数间既有有理数,又有无理数) 3)有序性(有大小顺序) 4)对四则运算封闭
(3) a b a b
a a (4) (b 0) b b
微积分--函数 9
1.2 常用实数集
N Z Q R.
1. 自然数集N; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R 2.区间: a, b R, 且a b. : 任意给定( Arbitrary) { x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
微积分 经济类高等数学 线性代数 概率论与数理统计
微积分： 极限论 一元积分学
一元微分学 多元微分学 级数论
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
吴赣昌编_概率论和数理统计_第1章课件
2020/11/6
四、事件之间的关系 （熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
例1.2
2020/11/6
2.和事件(p4)（[4]） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作 A∪B
2020/11/6
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 频率与概率 • 古典概型和几何概型 • 条件概率 • 事件的独立性
2020/11/6
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出
一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个
3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点， 但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。
4)股市的变化。
2020/11/6
说明：随机现象是广泛存在的。
• 一个射手在一次射击中可能击中目标，也可 能未击中目标，但在一个短时间内，每天的 命中率却是稳定的。
• 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹 其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个 椭圆---落点分布。
n n
fn A fn(Ai) i1 i1
2020/11/6
事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越 大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生 的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰 和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图 证明出现正反面的机会均等。
实验者
思考：何时A-B=?
何时A-B=A？
5.互斥的事件(p4) ：AB=Φ ,指事件A与B不能同时发生 。又称A与B互不相容。
四、事件之间的关系 （熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
例1.2
2020/11/6
2.和事件(p4)（[4]） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作 A∪B
2020/11/6
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 频率与概率 • 古典概型和几何概型 • 条件概率 • 事件的独立性
2020/11/6
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出
一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个
3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点， 但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。
4)股市的变化。
2020/11/6
说明：随机现象是广泛存在的。
• 一个射手在一次射击中可能击中目标，也可 能未击中目标，但在一个短时间内，每天的 命中率却是稳定的。
• 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹 其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个 椭圆---落点分布。
n n
fn A fn(Ai) i1 i1
2020/11/6
事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越 大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生 的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰 和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图 证明出现正反面的机会均等。
实验者
思考：何时A-B=?
何时A-B=A？
5.互斥的事件(p4) ：AB=Φ ,指事件A与B不能同时发生 。又称A与B互不相容。
微积分基础知识ppt课件
M{xP(x)} P（x)表示元素具有性质
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数
C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函 数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固 定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求 该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额 按一定比例计算出来的。 主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据， 且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票 据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票 据金额
R1
1 Rn n (1 r )
大学微积分课件幻灯片版
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。
数学基础-微积分基础 PPT课件
x
x
2020/2/25
3
补充知识 微积分#39;( x) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
其他表示： dy , df , d f ( x) dx dx dx
二阶导的表示：
y''
f ''(x)
5.1.2 变力做功
设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如
图，求物体从 sa到sb处力对其所做的功。
将sb san等 分 ， 间 隔 为s, 在 每 个 小 F(s)
间 隔中 视F (si )为 恒量 ， 在 每个 小 间
隔 内力 做 功 为: A F (si ) s.
力从sa到sb之间所做功为：
v(
x)
du u( x) dx [v( x)]2
dv dx
定理四 d u[(v( x)] du dv
dx
dv dx
2020/2/25
8
补充知识 微积分初步 例题
1、求y x2 a2(a为常数）的导数
2、求y ln x (a为常数）的导数。 a
3、求y ax2(a为常数）的导数。
4.1 自变量的微分—自变量的无限小增量
x dx
4.2 函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分
dy f '( x)dx f '( x) dy
dx
2020/2/25
11
补充知识 5、积分
微积分初步
v(t)
5.1 两个例子
5.1.1 变速直线运动的路程计算
ta tb 质点走的路程
f '(x) 1 x
(完整word版)微积分课件完整版
微积分课件完整版微积分课件完整版微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation)、积分（Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论.它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
词目释义从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展,以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决,数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。
整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。
（1）运动中速度与距离的互求问题求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式,求速度和距离.这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。
比如，计算物体在某时刻的瞬时速度,就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间,物体移动的距离和所用的时间是是无意义的。
但是，根据物理,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。
已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难.因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度,来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。
由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向.(3）求长度、面积、体积、与重心问题等这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积,曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星)作用于另一物体上的引力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
x
2. 单调性
设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义, x1, x2I
一个偶函数与一个奇函数的积是一个奇函数.
在关于坐标原点对称的区间 I 内有定义的任何一个函数 f (x), 均可表示为区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和的形式.
2 则f (x ) g (x ) h (x )
令g (x )
f ( x ) f ( x )
, h (x )
f (x ) f ( x )
例1. 函数
x, x 0 y x (a R ). x x 0 定义域为（-，+),值域为[0.+).
例2.符号函数
o
y
○ ● ○
y
y x
x
1, x 0 y sgn x 0, x 0 1, x 0
该函数称为符号函数.
y = sgn x
例8 某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每 批生产准备费用为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即 生产下一批，即平均库存量为批量的一半。高每年每台库存费为c元。 显然，生产批量大则库存费用高；生产批量少则批数增多，因而生产 费用高。为了选择最优批量，谋求出一年中库存费与生产准备费的和 与批量的函数关系。 解：设批量为x，库存费与生产准备费的和为f(x)，则
若x2 > x1 f (x2) > f (x1), 则称在区间 I 上单调增加, 记为 f (x) I;
若x2 > x1 f (x2) < f (x1), 则称在区间 I 上单调减少, 记为 f (x) I;
若x2 > x1 f (x2) f (x1), 则称在区间 I 是不减少的; 若x2 > x1 f (x2) f (x1), 则称在区间 I 是不增加的; 函数的单调性是一个局部性的性质, 它与区间 I 有关.
a x ab cx f (x ) b c x 2 x 2
*2.依据经验数据建立近似函数关系
R : (, )
二、邻域
点a的 邻域: U(a, ) = { x | |x a|< , x R, > 0} 中心
= (a , a+)
( ) a a+ x a
x U(a, ) |x a|<
半径
点a的去心 邻域: Û (a, ) = { x | 0 < |x a|< , x R, > 0} = (a , a) ∪ (a, a+) x Û (a, ) 0 < |x a|<
第一章 函数、极限与连续
1.函数 2.极限的概念 3.极限的性质 4.收敛准则及应用 5.函数的连续性
§1.1 函数
一、实数与区间
有理数 的稠密性：任意两个有理数之间都包含着无数多个有理数
有序性：在数轴上有理点是从左到右按大小次序排列的 无理数：无限不循环小数 实数：有理数与无理数统称为实数
N Z Q R
四、函数特性 1. 函数的有界性 设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义. 若存在两 个数 A, B, 对一切 x I 恒有 A f (x) B, 则称函 数 y = f (x) 在区间 I 上有界, 否则, 称函数 y = f (x) 在区间I上无界. 函数 y = f (x) 在区间 I 上有界 M > 0, 使 | f (x) | M. y B y = f (x) y O B A x
O
A
x
y = f (x)
设函数 y = f (x) 在区间 I 上有定义. 若存在实数M (可正可负), 对一切 x I 恒有 f (x) M 成立, 则称函数
y = f (x) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界;若存 在实数m (可正可负),对一切 x I 恒有 f (x) m 成立,则 称函数 y = f (x) 在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界.
2
,
例6 判断函数y ln(x 1 x )的奇偶性。
2
4. 周期性
设函数 y = f (x) , x (, ), 若存在 T 0 , 对一切 x
(, ) 恒有y = f (x T) = f (x) , 则称 f (x) 为周期函
数, T为函数 f (x) 的一个周期. 如果一个周期函数有最小正周期存在, 记为 T, 则称 T 为周期函数的周期.
称(a , a) 为a的左邻域，简记为U-(a) 称(a, a+)为a的右邻域，简记为U+(a)
三、函数的概念
定义1.3.2 设D是非空数集, 若f:D→R为定义在D上 的映射,则称映射f为定义在D上的函数(Function),通 常记为 y=f(x),x∈D，或者y=f(x), (x∈D), 其中称x为自变量，y称为因变量， D称为函数的定义 域(Domain)，记作Df，即Df =D，集合{ f(x) : x ∈D} 称 为函数 f 的值域 (Range) ，记作 Rf 或 f(D). 两个要素 三种常用表示方法：图形法、表格法、解析法（公式法） 显函数：y=f(x) 分段函数： 隐函数：F(x,y)=0
0
1
x
例3.取整函数
xR, y = [x] = n, n x < n+1, nZ , 它是一
个分段函数. 表示不超过x的最大整数。 y 2 1 0 1 2 3 1 分段函数 2
x
分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不 同的对应关系的函数, 即在定义域的一些不相重叠 的真子集上, 用不同的表达式表示的函数.
某商店为了促销某种商品，作出了这样的安排，购买该 商品的重量若在4kg以下，则销售价格为1.5元/kg；若 在4kg 或4kg 以上，则销售价格为1.2元/kg，那么，顾 客购买该商品的费用（元）与重量（kg）的函数关系可 以表示为
1.5 x, 0 x 4 y 1.2 x, x 4