天津市和平区2020届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
2019-2020学年天津市和平区高三上学期期末考试数学试卷及答案
∴存 在 m 992 ，使得 Sm 2019 . 20.解：（1） F (x) xex1 ， F (x) (x 1)e x1 ，
当 x , 1 时， Fx 0 ， F x 单调递减；
当 x 1, 时， F x 0 ， F x 单调递增，
故 x 1时， F x 取得最小值 F 1 e2 .
3 4k2
3 4k2
直线
l2
的方程为
y
1 k
x
1 ，即
x
ky
k
0
，
∴| MN | 2
1
1
k
2
k
2
2 .
1 k2
∴ ABN 的面积 S 1 | AB | | MN | 1 4
2
2
6
1 k2 12k2 3 4k2
2 3 1 k2
解得
k
1 2
，即直线
l1
的斜率为
1 2
.
19.解：（1）由 a4 2 是 a3 ， a5 的等差中项，得 a3 a5 2a4 4 ，
果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由.
20.设函数 f x aex ， g x ln x b ，其中 a,b R , e 是自然对数的底数.
（1）设 F x xf x ，当 a e1 时，求 F x 的最小值；
（2）证明：当 a e1 ， b 1时，总存在两条直线与曲线 y f x 与 y g x 都相切；
个动点，且 △PF1F2 面积的最大值为 3 . （1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点
M
0,1 作直线 l1 交椭圆 C
于
A、B
两点，过点
M
作直线 l1 的垂线 l2 交圆 O :
2020-2021学年天津市和平区高三上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津市和平区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1} 2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.0405．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）二、填空图（共6小题）.10．已知i是虚数单位，则＝．11．在的展开式中常数项是．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共9小题）.1．已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1，2}D．{﹣2，﹣1，1}解：∵集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，∴∁U A＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1}．故选：A．2．设x∈R，则“”是“（）x＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由得x＜0或x＞1，由（）x＞1得x＜0，则“”是“（）x＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．函数在[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，排除选项C和D，又f（）＝＝＞0，排除选项B，故选：A．4．已知某校一次数学测验所有学生得分都在[80，150]内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中a的值是（）A．0.015B．0.020C．0.030D．0.040解：由频率分布直方图可得（0.003+0.0070.02+0.012+2a+0.03+0.008）×10＝1，解得a＝0.020．故选：B．5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点都在球O的表面上，若球O的体积为36π，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．B．C．D．解：由题意可知正方体的体对角线的长度，就是外接球的直径，球O的体积为36π，所以外接球的半径为R，可得πR3＝36π，所以R＝3，所以正方体的对角线的长度：6，棱长为a，＝6，解得a＝2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：a3＝24．故选：D．6．设，b＝30.9，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：1＜＝30.8＜b＝30.9，c＝log0.70.8＜log0.70.7＝1，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：D．7．已知抛物线的焦点F与双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点重合，且点F到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．解：抛物线的焦点坐标为（0，5），双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为by+ax＝0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴＝b＝4，即b＝4，∵c＝5，∴a＝3，∴双曲线方程为：．故选：D．8．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）＝2，f（）＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝﹣C．ω＝，φ＝﹣D．ω＝，φ＝解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）＝2，f（）＝0，得，∴T＝3π，则，即．∴f（x）＝2sin（ωx+φ）＝2sin（x+φ），由f（）＝，得sin（φ+）＝1．∴φ+＝，k∈Z．取k＝0，得φ＝＜π．∴，φ＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）解：因为函数f（x）＝，则f（﹣x）＝，所以函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）＝，①当k＝0时，，所以g（x）只有一个零点，不符合题意；②当k≠0时，因为，所以g（﹣x）＝g（x），则g（x）为偶函数，所以g（x）有且仅有四个不同的零点可转化为g（x）＝x2+kx+k（x＞0）有且仅有两个不同的零点，所以g'（x）＝2x﹣k（x＞0），当k＜0时，g'（x）＞0（x＞0）恒成立，此时g（x）（x＞0）最多一个零点，不符合题意，当k＞0时，令g'（x）＝2x﹣k＞0（x＞0），则，令g'（x）＝2x﹣k＜0（x＞0），则，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则有，解得k＜0或k＞4，又k＞0，所以k＞4，综上所述，所以实数k的取值范围是（4，+∞）．故选：B．二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10．已知i是虚数单位，则＝1+4i．解：＝．故答案为：1+4i．11．在的展开式中常数项是60．解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项是•22＝60，故答案为：60．12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆心到直线2x﹣y＝0的距离为，若点在圆C上，则圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．解：由圆C的圆心在x轴的正半轴上，设圆C的圆心为（a，0）（a＞0），半径为r，则圆的方程为（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y+1＝0的距离为，得a2+3＝r2且，解得a＝，．∴圆C的方程为（x﹣）2+y2＝．故答案为：（x﹣）2+y2＝．．13．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为．解：有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数n＝＝10，其中甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数m＝＝9，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为P＝＝．故答案为：．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+2b的最小值为3+6．解：∵a＞0，b＞0，且+＝，∴a+2b＝（a+2）+2（b+2）﹣6＝3[（a+2）+2（b+2）]（）﹣6，＝9+﹣6﹣6＝3+6，当且仅当且+＝，即b＝1+，a＝1+3时取等号，故a+2b的最小值为3+6．故答案为：3+6．15．在菱形ABCD中，，AB＝2，点M，N分别为BC，CD边上的点，且满足，则的最小值为．解：因为且满足＝λ，λ∈[0，1]则有＝λ，＝λ，所以＝+＝+λ＝+λ，＝++＝++λ＝++λ＝（1﹣λ）+，所以•＝（+λ）[（1﹣λ）+]＝（1﹣λ）2+（1+λ﹣λ2）•+λ2＝4（1﹣λ）﹣2（1+λ﹣λ2）+4λ＝2λ2﹣2λ+2当λ＝时，•有最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin A＝4b sin B，．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B+A）的值．解：（1）由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴a2＝4b2，即a＝2b，∵，∴b2+c2﹣a2＝ac＝bc，由余弦定理知，cos A＝＝﹣．（2）由（1）知，cos A＝﹣，∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，由正弦定理知，＝，∵a sin A＝4b sin B，∴sin2A＝4sin2B，∵A，B∈（0，π），∴sin A＝2sin B，即sin B＝sin A＝，又A为钝角，∴B为锐角，∴cos B＝＝，∴sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，故sin（2B+A）＝sin2B cos A+cos2B sin A＝×（﹣）+×＝．17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，点M 是棱PD上一点，且AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．（Ⅰ）若PM：MD＝1：2，求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的正弦值；（Ⅲ）若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，求MD的长．解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵点M是棱PD上一点，PM：MD＝1：2，AB＝BC＝2，AD＝PA＝4．∴P（0，0，4），A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），M（0，，），＝（2，0，﹣4），＝（2，2，0），＝（0，），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），∵＝4﹣4＝0，PB⊄平面ACM，∴PB∥平面ACM．（Ⅱ）D（0，4，0），＝（2，2，﹣4），＝（0，4，﹣4），设平面CDP的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（1，1，1），平面ACD的法向量＝（0，0，1），设二面角A﹣CD﹣P的平面角为θ，则|cosθ|＝＝，∴二面角A﹣CD﹣P的正弦值为＝．（Ⅲ）设M（a，b，c），，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣4）＝（0，4λ，﹣4λ），∴a＝0，b＝4λ，c＝4﹣4λ，∴M（0，4λ，4﹣4λ），＝（0，4λ，4﹣4λ），平面CDP的法向量＝（1，1，1），∵直线AM与平面PCD所成角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝，∴MD＝PD＝＝2．18．（15分）已知椭圆的离心率为，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l经过点A（﹣a，0），且直线l与椭圆C交于点P（P不在x轴上），若点Q在y轴的负半轴上，△APQ是等边三角形，求k的值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a2＝9，b2＝4，c2＝5，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a＝3，所以A（﹣3，0），所以直线AP方程为y＝kx+3k，设P（x1，y1），Q（0，y），联立得（4+9k2）x2+54k2x+81k2﹣36＝0，所以﹣3+x1＝﹣，﹣3x1＝，所以x1＝，y1＝kx1+3k＝k•+3k＝，所以|AP|＝|﹣3﹣x1|＝，|AQ|＝，|PQ|＝＝，因为△APQ是等边三角形，所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，所以＝＝，解得k＝0．19．（15分）已知等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125．（Ⅰ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1＝1，且，（ⅰ）求{b n}的通项公式；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}满足a3﹣a2＝10，a1a2a3＝125，可得a32＝125，即a2＝5，a3＝15，则等比数列{a n}的公比为3，所以a n＝5•3n﹣2，S n＝＝（3n﹣1）；（Ⅱ）（ⅰ）由b1＝1，且，可得b1＝b2﹣1，即b2＝2，当n≥2时，b1++…+＝b n﹣1，又b1++…++＝b n+1﹣1，两式相减可得＝b n+1﹣1﹣（b n﹣1），化为＝＝…＝＝1，所以b n＝n，对n＝1也成立，b n＝n，n∈N*；（ⅱ）M n＝＝a1b1+a2b3+a3b5+…+a n b2n﹣1＝×1+5×3+5×3×5+…+5•3n﹣2•（2n﹣1），3M n＝5+5×32+5×32×5+…+5•3n﹣1•（2n﹣1），上面两式相减可得﹣2M n＝+10（1+3+32+…+3n﹣2）﹣5•3n﹣1•（2n﹣1）＝+10•﹣5•3n﹣1•（2n﹣1），化简可得＝+5（n﹣1）•3n﹣1．20．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣2ax﹣1，g（x）＝2aln（x+1），a∈R．（Ⅰ）若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝e x﹣2ax﹣1，f′（x）＝e x﹣2a，若f（x）在点（0，f（0））的切线倾斜角为，则切线斜率k＝tan＝1＝f′（0）＝1﹣2a＝1，解得：a＝0；（Ⅱ）f′（x）＝e x﹣2a，x∈R，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，故f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增，综上：当a≤0时，f（x）在R递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增；（Ⅲ）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）+g（x）≥x恒成立，即e x﹣2ax﹣1+2aln（x+1）﹣x≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，设h（x）＝e x+2aln（x+1）﹣2ax﹣x﹣1，（x≥0），问题转化为h（x）min≥0，则h′（x）＝e x+﹣（2a+1），下面先证明：e x≥x+1，令p（x）＝e x﹣x﹣1，则p′（x）＝e x﹣1，令p′（x）＞0，解得：x＞0，令p′（x）＜0，解得：x＜0，故p（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故p（x）min＝p（0）＝0，故e x≥x+1，故h′（x）＝e x+﹣（2a+1）≥（x+1）+﹣（2a+1）＝，①a≤时，x﹣2a+1≥0，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）递增，h（x）min＝h（0）＝0，成立，②a＞时，2a﹣1＞0，令h′（x）＞0，解得：x＞2a﹣1，令h′（x）＜0，解得：x ＜2a﹣1，故h（x）在（0，2a﹣1）递减，在（2a﹣1，+∞）递增，故h（x）min＝h（2a﹣1）＝e2a﹣1+2aln2a﹣（2a）2，令2a＝t，则t＞1，则H（t）＝e t﹣1+tlnt﹣t2，H′（t）＝e t﹣1+lnt+1﹣2t，H″（t）＝e t﹣1+﹣2＞t+﹣2＞0，故H′（t）在（1，+∞）递增，而H′（1）＝﹣1＜0，H′（2）＝e﹣3+ln2＞0，故存在t0∈（1，2）使得H′（t0）＝0，故＝2t0﹣lnt0﹣1，故H（t）在（1，t0）递减，在（t0，+∞）递增，故H（t）min＝H（t0）＝+t0lnt0﹣＝2t0﹣lnt0﹣1+t0lnt0﹣＝（t0﹣1）[lnt0﹣（t0﹣1）]，下面证明lnx≤x﹣1，令q（x）＝lnx﹣x+1（x＞1），则q′（x）＝﹣1＜0，故q（x）在（1，+∞）递减，故q（x）＞q（1）＝0，故lnx≤x﹣1，故lnt0﹣（t0﹣1）＜0，而t0﹣1＞0，故h（t0）＜0，故a＞时，存在实数x使得h（x）＜0，原命题不成立，综上：a≤，故a的取值范围是（﹣∞，]．。
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学(理)试题(有答案)
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2]--C ．[3,2)--D ．(,1](3,)-∞+∞2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A．B． C ．8 D．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为 ）AB ．2 CD ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3(0,)4 C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i =+，234z i =-，若12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ．10.91(2x的展开式中的常数项为 ．（用数学作答） 11.几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 2cm ．12.直线3y kx =+(0k ≠)与圆226490x y x y +--+=相交于A 、B 两点，若||AB =，则k 的值是 ．13.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是 ． 14.定义在R 上的奇函数()f x 是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时，()21x f x =-，则2(log 3)f 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-++-． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间． 16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ；（3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分） 已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）． （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.212 11.12.34- 13.4 14.13- 三、解答题15.解：（1）∵1()cos 22(sin cos )(sin cos )22f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 2sin 2cos 222x x x =+-12cos 222x x =- sin(2)6x π=- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增．16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为∴随机变量X 的数学期望()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=，∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-，∴2BD EM =，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ． （3）解：∵AFPD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =， ∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，∵(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =．∴cos ,2AF n <>==， ∴锐二面角D PC E --的余弦值为2．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-． （2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+，∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---，∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞， ∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+，∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-．∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。
天津市部分区2020～2021 学年度第一学期期末练习 高三数学参考答案与评分标准
=
4 5
2
2
5 5
……………………………………14
分
设平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角为 ，因为 0＜＜
所以 sin=
1 cos2
n, AB
5
5
故所求平面 DEF 与平面 DAC 所成的二面角的正弦值为 5 . 5
18.解：（1）由题意，知 3Sn an 1， n N* ， ①
…………15 分
所以 Tn
1 2
1 1
1 3
1 2
1 4
1 3
1 5
1 n 1
1 n 1
1 n
n
1
2
3 4
1 2
1 n 1
n
1
2
.
………………………………………………13 分
因为 n N* ，
所以
1 2
n
1 1
n
1
2
0
，
所以 Tn
3 4
.
……………………………………………………………………15 分
，又
BAC
90
，
以点 A 为坐标原点，分别以 AC, AB, AD 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立
空间直角坐标系 A xyz .
……………………………………………………6 分
则 A0,0,0 ， B0, 2,0 ， C 1,0,0 ， D0,0, 2 .
因为
E
,
F
分别为
AB,
CB
线方程为 x 3 ，
则 P
3,0 , E
3, 3 , F
3,
3
，所以
PE
2024届天津市和平区高三上学期期末质量调查数学试题及答案
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 （选择题共45分）注意事项：1．答题Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．·柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．·如果事件A B 、互斥，则()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =．·任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()P AB P A P B A =．一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知集合{}{}{}23,1,360U x x A B x x x =∈≤==+-=N ，则()U A B = ð（）（A ）{}2,0,2,3-（B ）{}3,2-（C ）{}3,2,4-（D ）{}3,0,2-（2）“x y >”是“11x y<”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）函数()f x 的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（）（第3题）（A ）()2334x x f x x -++=（B ）()334x x f x x-++=（C ）()2334x x f x x -+-=（D ）()334x x f x x-+-=（4）为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70,85,86,88,90,90,92,94,95,100．针对这一组数据，以下说法正确的个数有（ ）①这组数据的中位数为90；②这组数据的平均数为89；③这组数据的众数为90；④这组数据的第75百分位数为93；⑤这组数据的每个数都减5后，这组数据的平均数与方差均无变化．（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个（5）已知数列{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322n n a S =+，则4S 的值为（ ）（A ）9（B ）21（C ）45（D ）93（6）已知函数()sin (0)f x x ωω=>，函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（ ）（A ）()πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）()1πsin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（C ）()πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（D ）()cos2f x x=（7）如图，已知四棱锥A BCDE -的体积为,V CE 是BCD ∠的平分线，34CD CE BC ==，若棱AC 上的点P 满足13AP AC =，则三棱锥A DEP -的体积为（ ）（第7题）（A ）27V（B ）17V（C ）316V （D ）421V （8）已知实数,,a b c ，满足31log 35bca ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则下列关系不可能成立的是（ ）（A ）b c a<<（B ）b a c<<（C ）c b a<<（D ）c a b<<（9）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为点F ，过点F 作双曲线C 的其中一条渐近线l 的垂线，垂足为点A （点A 在第一象限），直线FA 与双曲线C 交于点B ，若点B 为线段AF 的中点，且2FA =，则双曲线C 的方程为（ ）（A ）22144x y -=（B ）22124x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=第Ⅱ卷 （非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）（10）i 为虚数单位，复数z 满足()34i 12i z +=-，则z 的虚部为______．（11）在8的二项展开式中，2x 的系数为______．（12）将3个黑球和2个白球放入一个不透明的盒中，各球除颜色不同外完全相同，现从盒中两次随机抽取球，每次抽取一个球．（ⅰ）若第一次随机抽取一个球之后，将抽取出来的球放回盒中，第二次随机抽取一个球，则两次抽到颜色相同的球的概率是______；（ⅱ）若第一次随机抽取一个球之后，抽取出来的球不放回盒中，第二次从盒中余下的球中随机抽取一个球，则在已知两次抽取的球颜色相同的条件下，第一次抽取的球是白球的概率是______．（13）直线:l y x =与圆()()()222:240C x y rr -+-=>相交于,A B 两点，若点D 为圆C 上一点，且ABD △为等边三角形，则r 的值为______．（14）如图，在ABC △中，3BO OC =，过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ，记,AB a AC b == ，用,a b表示AO = ______；设,AB mAM AC nAN == ，若0,0m n >>，则21m n+的最小值为______．（第14题）（15）若方程222210x ax a x -+++-=在区间(]0,3内有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（16）（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为3,,,sin2sin ,7a b c C C a c ==．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若7c =，（ⅰ）求b 的值；（ⅱ）求()cos A B -的值．（17）（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥，4,26AD DC AB ===，四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为36．（第17题）（Ⅰ）证明：1AB ∥平面11CDD C ；（Ⅱ）求平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1D 到平面1ACB 的距离．（18）（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为点12,F F ，左，右顶点分别为点12,A A ，离心率为23．已知点2A 是抛物线()22:20C y px p =>的焦点，点1F 到抛物线2C 的准线的距离为1．（Ⅰ）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程；（Ⅱ）直线1A M 交椭圆1C 于点M （点M 在第二象限），交y 轴于点2,N A MN △的面积是11A MF △面积的125倍，求直线1A M 的斜率．（19）（本小题满分15分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式以及()2*2nii S n i=∈∑N ；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足11b =，且120n n b b +-=，（ⅰ）求()*112nk k k k k k k a a b b n a a =+⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦∑N ；（ⅱ）若()()1*113521246211,,n n n m m m m nc c n P c c c c Q c c c c b -+-=-∈=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+N ，*N ,m m G ∈是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，则对任意*,,s t s t G G h ∈-≤N ，求h 的最小值．（20）（本小题满分16分）已知函数())()()0,g e ax f x x x a =>=∈R ，（Ⅰ）若1a =-，讨论()()()F x f x g x =⋅在()0,+∞的单调性；（Ⅱ）若0a >，函数()()()4ln G x f x g x ⎡⎤=⋅⎣⎦，不等式()1sin 66x a x G x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当*N ,2n n ∈≥时，求证：221671sin 6nk n n k k n =-+>∑．和平区2023－2024学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（9×5分＝45分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）DBDBCABBA二、填空题（6×5分＝30分）（10）25-．（11）74．（12）131:254．（13）．（14）1344a b + ．（15）1915⎛⎤+ ⎥⎝⎦．三、解答题（共75分）（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为sin22sin cos C C C =，已知sin2sin C C =，所以1cos 2C =且()0,πC ∈，所以π3C =，由正弦定理有sin sin a c A C =，所以3sin sin 7A C ==（Ⅱ）（ⅰ）因为7c =，所以3a =，由余弦定理222cos 2a b c C ab+-=得23400b b --=，解得8b =或5b =-（舍），所以b 的值为8．（ⅱ）因为(),0,πa c A <∈，又因为sin A =13cos 014A ==>，法（一）()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，因为7,3,8c a b ===，所以2221cos 27a cb B ac +-==-，所以sin B =，()13123cos 14798A B ⎛⎫-=⨯-+=⎪⎝⎭．法（二）因为ππ,3A B C C ++==，所以2π3B A =-，则()2222cos cos πcos 2πcos2cos πsin2sin π3333A B A A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦271sin22sin cos 2cos 198A A A A A ===-=，所以()7111177123cos 98219698A B -⎛⎫-=⨯-==⎪⎝⎭．（17）（本小题满分15分）解：因为侧棱1AA ⊥底面,ABCD AD DC ⊥，所以以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD的方向分别为x 轴，y轴，z 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，又因为棱柱体积为36，易知底面ABCD 为直角梯形，其面积为364182S +=⨯=，柱体体积36V Sh ==，有12DD =．所以()()()()()()()()11114,0,0,4,3,0,0,6,0,0,0,0,4,0,2,4,3,2,0,6,2,0,0,2A B C D A B C D ．（第17题）（Ⅰ）证明：因为()10,3,2AB = ，平面11CDD C 的法向量为()11,0,0n =，110AB n ⋅= ，所以11AB n ⊥，又因为1AB ⊂平面11CDD C ，所以1AB ∥平面11CDD C ．（Ⅱ）解：因为()()10,3,2,4,6,0AB AC ==- ，设平面1ACB 的法向量为()2,,n x y z =，则212320,460.n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =，则()23,2,3n =- ，由（Ⅰ）得()11,0,0n =，设平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角为θ，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅则平面11CDD C 与平面1ACB 的夹角θ（Ⅲ）解：因为()114,3,0D B =，所以，点1D 到平面1ACB的距离为1122D B n n ⋅==（18）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设点1F 的坐标为(),0c -．依题意，2,3,2 1.c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得3,2,6.a c p =⎧⎪=⎨⎪=⎩，于是2225b a c =-=．所以，椭圆1C 的方程为22195x y +=，抛物线2C 的方程为212y x =．（Ⅱ）设点M 坐标为()11,x y ，点N 坐标为()20,y ，且由题意1120,00,y x y <>>，（法一）由211125A MN A MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，即2175y y =，则1127x A O =，由1127x A O=，即1237x =，可得167x =，因为点M 在第二象限，则167x =-，将167x =-代入椭圆方程22195x y +=，求得1157y =，所以点M 坐标为615,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()13,0A -，则直线1A M 的斜率为()1571637=---．（法二）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3,0y k x k =+>，因此点()20.3,3N k yk =．()223,1.95y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()2128145395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．由121125A A MN MF S S =△△，可得1211425A A N A MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730595y k k y k ==+，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3,0x my m =->，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．由112125MN A A MF S S =△△，可得1112425A A A N MF S S =△△，即21164221512y y ⨯⨯=⨯⨯，所以2175y y =，则2123730559y m m y m ==+，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（法三）因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为()3y k x =+，则0k >，因此点()20.3,3N k y k =．()223,1.95y k x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2222955481450k x k x k +++-=．由韦达定理得()212845395k x k --⋅=+，所以212152795k x k -=+，代入直线方程123095k y k =+．()2212132122995303339595M A NA A M A N A k k kS S S y y k k k -=-=⨯-=-=++△△△，1112115295A MF kS y k ==+△，112125A F M M A NS S =△，即()322995121595595k k k k k -=⨯++，解得1k =±，因为0k >，则直线1A M 的斜率为1．或者因为点M 在第二象限，则直线1A M 的斜率存在且大于0，设直线1A M 的方程为3x my =-，则0m >，因此点2330,,N y m m⎛⎫= ⎪⎝⎭．223,1.95x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，联立方程组，整理得到()2259300m y my +-=，由韦达定理，得1230059m y m +=+，所以123059my m =+．()()212212212232715330335959A NA A MN A MA m m S S S y y m m m m -=-=⨯-=-=++△△△，1112115259A MF mS y m ==+△，211125A M M A F NS S =△△，即()()22232715121555959m m m m m -=⨯++，解得1m =±，因为0m >，直线1A M 的方程为3x y =-，即3y x =+，则直线1A M 的斜率为1．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112143442,22 1.a d a d a a ⨯⎧+=+⎪⎨⎪=+⎩，即11420,1.a d a d -=⎧⎨-=-⎩，解得()11,,121212.n a a n n d =⎧=+-=-⎨=⎩，()22112n n n S n -+==，则n S n n =，()()222222122232212n ni i i n n S i n n n i ==-+==++⋅⋅⋅+==+-∑∑．所以22221n i i S n n i==+-∑．（Ⅱ）等比数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=，公比为2，所以12n n b -=，（ⅰ）设()1112,n nk k k k k k k k a A a b B b a a ==+⎛⎫-== ⎪⎝⎭∑∑，()1111122n nn k k k k k k k k k k k k k k k a a a b b a b b A B a a a a ===++⎡⎤⎛⎫--+=+==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑∑，()()11,212nk k k k k k A a b a b k -===-∑，()0121123252212n A n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，①()1232123252212n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-．②①式－②式得()231122222212n n A n -⎡⎤-=+⨯+++⋅⋅⋅+--⎣⎦，()()2212212332212nn n n n -=+⨯--=-+--．所以()3232nA n =+-．又112nk k k k k a B b a a =+⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，则()()11122322221212121k k k k k k k a k b a a k k k k --+--==--++-．所以10213212222222221315375212121n n nB n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．则()()223232123222121n n nn A B n n n n +=+-+-=-++++．所以21124422221nn k k k k k k k a n n a b b a a n =+⎡⎤⎛⎫---+=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑．（ⅱ）当1n =时，012112c c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，12111,21.2n n n n n n c c c c ++-+⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相除得212n n c c +=-，121211112221211,11132321122m m m m m m c c P c Q c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦==--==--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21132m m G ⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．当m 为偶数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递增，2m =时m G 有最小值112,,223m G ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当m 为奇数时，21132m m G ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦单调递减，1m =时m G 有最大值21,,13m G ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．则()()max min 11122m m h G G ≥-=-=，所以h 的最小值为12．（20）（本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为()()()1,e x a F x f x g x -=-=⋅=，所以())e e e e xx x x F x ----'==='，所以，函数()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）()()()423ln G x f x g x x ax ax ⎡⎤=⋅=⋅=⎣⎦不等式可化为：311sin 066x x x a -+>，设16t a =，令()31sin 6h x x tx x =-+，则()21cos 2h x x x t +'=-，令()21cos 2m x x x t =+-，则()sin m x x x -'=+，再令()sin s x x x =-+，则()cos 10s x x =+'-≥，所以()s x 在()0,+∞单调递增，则()0s x >，即()0m x '>，所以()m x 在()0,+∞单调递增，又因为()21cos 02y x x x =+>的值域为()1,+∞．①当1t ≤时，即16a ≥时，()21cos 02m x x x t =+->，即()0h x '>，则()h x 在()0,+∞单调递增，所以()0h x >恒成立，符合题意．②当1t >时，即106a <<时，()010m t =-<，若取x >时，()0m x >，所以存在00x >，使()00m x =，则当()00,x x ∈时，()0m x <，函数()h x 在()00,x 上单调递减，此时()0h x <，所以()00,x x ∈时，()0h x <，与原题()0h x >矛盾，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅲ）原式即证1111172sin3sin 4sin sin 23466n n n n +++⋅⋅⋅+>+-．由（Ⅱ）可知，0x >时，31sin 6x x x >-，则2sin 116x x x >-．令1x n =，则()21111111sin 11166161n n n n n n n ⎛⎫>->-=+- ⎪--⎝⎭．取2,3,4,n =⋅⋅⋅，则11111111112sin 3sin 4sin sin 1123462321n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+>-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1766n n =+-．。
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (2)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共9小题）1.记全集U =R ，集合{}2|16A x x =≥，集合{}|22xB x =≥，则()UA B =（ ）A. [)4,+∞B. (]1,4C. [)1,4D. ()1,4【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|4A x x =≤-或4}x ≥，{|1}B x x =≥，求得{|44}UA x x =-<<，再结合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，全集U =R ，集合{}2|16{|4A x x x x =≥=≤-或4}x ≥， 集合{}|22{|1}xB x x x =≥=≥， 所以{|44}UA x x =-<<，所以()[){|14}1,4U AB x x =≤<=.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，再结合集合的补集和交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由12l l ⊥时，得到(2)1(2)0a a a -⨯+-=，解得1a =-或2a =，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，直线1l ：()230a x ay -++=，2l ：()240x a y +-+=，当12l l ⊥时，可得(2)1(2)(2)(1)0a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =， 所以“1a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记两直线的位置关系，结合充分条件和必要条件的关系进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a c b <<B. c a b <<C. a b c <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==， 因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<. 故选：A .【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-，3a =2b =，则ABC ∆的面积为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化简得222b c a bc +-=，再由余弦定理得1cos 2A =，进而得到3sin A =，利用余弦定理，列出方程求得4c =，最后结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在ABC ∆中，()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-， 由正弦定理，可得()22b c a bc -=-，即222b c a bc +-=，又由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得23sin 1cos A A =-=，因为3a =2b =，由余弦定理，可得2222cos a b c bc A =+-，即222(23)22c c =+-， 即2280c c --=，解得4c =， 所以三角形的面积为113sin 2423222S bc A ==⨯⨯⨯=. 故选：B .【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 2211641x y -=C. 2214116y x -=D.221916y x -= 【答案】D 【解析】 分析】 由抛物线2120x y =，求得(0,5)F ，得到5c =，再由焦点(0,5)F 到渐近线的距离为4，求得4b =，进而得到229a c b -=，即可求得双曲线的标准方程，得到答案.【详解】由题意，抛物线2120x y =可化为220x y =，可得焦点坐标为(0,5)F ， 即双曲线22221y x a b-=的焦点坐标为(0,5)F ，即5c =，又由双曲线22221y x a b-=的一条渐近线的方程为a y x b =，即0ax by -=，所以焦点(0,5)F 到0ax by -=22554()b bca b ==+-， 所以4b =，又由2222549a c b =-=-=，所以双曲线的方程为221916y x -=.故选：D .【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ） A. 4天 B. 5天C. 6天D. 7天【答案】B 【解析】 【分析】由蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为318()2n n S -=-，又由莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为21n n T =-，根据4n n T S =，列出方程，即可求解.【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为14a =，公比为112q =的等比数列，其前n 项和为314[1()]128()1212n n n S -⨯-==--， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为14b =，公比为12q =的等比数列，其前n 项和为1[12]2112nn n T ⨯-==--，又因为4n n T S =，即31214[8()]2n n --=⨯-，解得5n =.故选：B .【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()sin 3f x x x ωω=（0>ω，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是（ ） A. 函数()g x 是奇函数 B. ()g x 的图象关于直线6x π=对称C. ()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D. 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数恒等变换的公式和三角函数的图象变换，得到()4sin(2)3g x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 32sin()3f x x x x πωωω==-，因为函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列， 可得22T π=，即T π=，所以2ω=，即()2sin(2)3f x x π=-，把函数()f x 沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，可得函数()4sin[2()]4sin(2)333g x x x πππ=+-=+， 可得函数()4sin(2)3g x x π=+为非奇非偶函数，所以A 不正确；由()4sin(2)23663g πππ=⨯+=6x π=不是函数的对称轴，所以B 不正确；由,312x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,332x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，可得函数()g x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以C 正确； 由,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当203x π+=时，即6x π=-，函数取得最小值，最小值为()06g π-=， 当232x ππ+=时，即12x π=，函数取得最大值，最大值为()412g π=， 所以函数的值域为[]0,4，所以D 不正确. 故选：C .【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数图象与性质的综合应用，其中解答中先根据三角恒等变换的公式和三角函数的图象变换得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8.在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =，2CN NB =，若AM AC AN λμ=+，则11λμ+=（ ）A.1312B.6413 C. 3512-D. 4013-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则，化简得到131124AM AC AN =-，得到131,124λμ==-，即可求解. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：11()66AM AC CM AC AB AC AC CB =+=-=-+ 515151131()666464124AC CB AC CN AC AN AC AC AN =-=-=--=-， 又因为AM AC AN λμ=+，所以131,124λμ==-， 所以11124041313λμ+=-=-. 故选：D .【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟练应用平面向量的基本定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9.已知函数()23323xxf x x -=++-，若函数()()()log 2a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[]1,1-上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. ()2,+∞C. 373,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.373,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()f x 为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数()g x 在区间[]1,1-上有4个不同的零点，转化为()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()23323xxf x x -=++-，[]1,1x ∈-可得()()22332()33323xxxxf x x x f x ---=++--=++-=，所以函数()f x 为[]1,1-上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()ln3ln34ln3()43333xxxxf x x x --'=-=⋅-++，可得()0f x '>，所以函数在[]0,1上单调递增，所以在[]1,0-单调递减， 又由()()701,13f f =-=， 所以函数()y f x =的图象，如图所示，要使得函数()()()log 2a g x f x x =-+在区间[]1,1-上有4个不同的零点， 即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在[]1,1-上有4个不同的交点， 则满足0log 12a <<，解得2a >， 即实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：B .【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（共6小题） 10.已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为______. 【答案】32【解析】 【分析】根据复数的除法运算，化简得1322z i =+，进而求得复数的虚部，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()2121311122i i i z i i i i +++===+--+，所以复数z 的虚部为32. 故答案为：32. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的概念，熟练应用复数的除法运算法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.二项式1022x x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项10521102r rrr TC x-+=⋅，令2r ，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x x ⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()()2rrrr r rr T C x C x x--+==⋅， 令2r，可得223102180T C ==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12.已知圆C ：222260x y x y +---=.直线l 过点()0,3，且与圆C 交于A 、B 两点，AB 4=，则直线l 的方程______.【答案】3y =或4390x y -+= 【解析】 【分析】由圆C 得到圆心(1,1)C ，半径为22R =2d =，再由圆心到直线的距离，列出方程，求得k 的值，即可求得直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆C ：222260x y x y +---=，可化为22(1)(1)8x y ，可得圆心(1,1)C ，半径为22R =设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 又由圆的弦长公式，可得222AB R d =-，即2428d =-2d =， 根据圆心到直线的距离为22132(1)k d k -+==+-，解得0k =或43k =，所以直线l 的方程3y =或4390x y -+=.【点睛】本题主要考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13.底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥.已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】1694π【解析】 【分析】根据正四棱锥的体积，求得棱锥的底面边长，再在SAC ∆中，利用正弦定理和余弦定理，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，正四棱锥S ABCD -，设正方形ABCD 的底面边长a ， 因为四棱锥S ABCD -的体积为12，即221121233a SO a ⨯⨯=⨯⨯=，解得32a =， 再正方形ABCD 中，可得6AC =，在直角SAO ∆中，2,3SO AO ==，可得222313SA +=， 在直角SOC ∆中，2,3SO OC ==，可得222313SC =+=在SAC ∆中，由余弦定理可得222(13)(13)5cos 1321313ASC ∠==-⨯⨯，所以212sin 1cos 13ASC ASC ∠=-∠=，则SAC ∆外接圆的直径为132sin 2AC R ASC ==∠，解得134R =，即四棱锥S ABCD -外接球的半径为134R =，所以外接球的表面积为221316944()44S R πππ==⨯=，故答案为：1694π.【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记正四棱锥的结构特征，结合正弦定理和余弦定理，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.14.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，小赵和小赵智能从事两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解.【详解】根据题意可分2种情况讨论：（1）若小张或小赵入选，则有11322324C C A =种不同的选法；（2）若小张，小赵都入选，则有222312A A =种不同的选法，综上可得，共有241236+=种不同的选法. 故答案为：36.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，根据题意分类讨论，结合排列组合的知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15.已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是______.【答案】23【解析】 【分析】将2222282xy xyx y x y +++化简、变形为43()42()4x y y xx yx y y x y x++++，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.【详解】由题意，33222242242243()2312821016()16()10x y xy xy x y xy y xx y x y x y x x y y y x+++==++++++2443()3()442()2()4x y x yy x y x x y x y x y y x y x y x++==+++++， 设4x y t y x =+，则4424x y x y t y x y x=+≥⋅=，当且仅当4x y y x =，即2x y =取等号，又由2y t t=+在[4,)+∞上单调递增， 所以2y t t =+的最小值为92，即292t t +≥，所以43()324223()4x yy xx yt x y y x t y x+≤=++++， 所以2222242xy xy x y x y +++的最大值是23.故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（共5小题）16.某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[]100,150内，其中语文成绩分组区间是：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150.其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如下表所示：分组区间[)100,110[)110,120[)120130, [)130140, []140,150:x y1:22:13:53:4语文人数x 24 3 数学人数y124（1）求图中a 的值及数学成绩在[)130140,的人数； （2）语文成绩在[]140,150的3名学生均是女生，数学成绩在[]140,150的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[]130,150的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[]140,150的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .【答案】（1）数学成绩在[)130140,的人数为8人（2）3135（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）由根据频率分布直方图的性质，求得0.030a =，再根据频率分布直方图数据，即可求解；（2）由事件M 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生三种情况，即可求解相应的概率；（3）由题意，得到X 可能取值有0,1,2，求得相应的概率，求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）由题意，根据频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0200.0400.005101a ++++⨯=，解得0.030a =.则语文成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别为3,24,18,12,3，则数学成绩在[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150中的人数分别 为6,12,30,8,4，所以数学成绩在[)130140,的人数为8人. （2）从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”， 可分为①2个男生，2个女生；②3个男生1个女生；③4个男生，三种情况：所以事件M 发生的概率()2234434341743135C C C C C P M C ++==. （3）由题意可知X 可能取值有0，1，2.()208421214033C C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()02842123123311C C P X C ====， X 的分布列为 X12P1433 1633 111所以()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟记频率分布直方图的性质，以及准确求解随机变量对应的概率，得到随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S nn N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a+，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）()*21n a n n N =-∈;2n nb=，*n N ∈（2）21nn + 【解析】 【分析】（1）由数列的通项n a 和n S 的关系，求得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列的通项公式，联立方程组，求得数列{}n b 的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项公式，得到答案.（2）由（1）可得()()()12122121nn c n n n =-+-+，利用 “裂项法”和“乘公比错位相减法”，即可求解数列{}n c 的前n 项和，得到答案.【详解】（1）由题意，数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，当1n =时，11a =当2n ≥时∴121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时也满足上式所以数列{}n a 的通项公式为()*21n a n n N=-∈.设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，则22124311418a b b q a b b q +===⎧⎨+===⎩，∴12b =，2q，∴2n n b =，*n N ∈.（2）由（1）可得11n n n n n c a b a a +=+，所以()()()12122121nnc n n n =-+-+设(){}212nn -前n 项和为成n A ，()()12121n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭前n 项和为n B ，()23123252212n n A n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+- ()23412123252212n n A n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯∴()2312222222212nn n A n +-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()11822221212n n n ++-⨯=+---()16322n n -=-+-∴()16232n n A n +=+-⨯，*n N ∈∵()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭∴111111123352121n B n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ ∴()1623221n n nT n n +=+-⨯++ 【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的通项公式的求解，以及“裂项法”和“乘公比错位相减法”求解数列的前n 项和，其中解答中熟记数列的通项n a 和n S 的关系，熟练应用“裂项法”和“乘公比错位相减法”，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（225（3）存在,13CM CA =或523CM CA =.【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，根据CM CA λ=，得到EM 的坐标，结合平面11A B E 的法向量为列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴13BC又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A ，()13,0B -，13,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =()13,2AB =--，1322AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴11111132013202x z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，令13y =11x =，∴()1,3,1n = 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，()110,0,2A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2033202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，∴()1,3,0m =， 2m =，5n =，4m n ⋅=，∴25cos ,25m n m n m n⋅===. 设二面角11A EB A --为α，则25cos cos ,m n α==∴设二面角11A EB A --25. （3）假设存在点M ，设(),,M x y z ，∵CM CA λ=，[]0,1λ∈， ∴()()1,,1,0,2x y z λ-=-，∴()1,0,2M λλ-∴13,22EM λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面11A B E 的一个法向量为()1,3,0m =，∴22132112211132424λλλ--=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=.即()()312350λλ--=，∴13λ=或523λ=，∴13CM CA =或523CM CA =.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-（3）存在，()2,0P【解析】 【分析】（1）由椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程；（3）设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0AP BP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】（1）由题意，椭圆C 的离心率2e =，且椭圆上一动点M 到2F 21， 可得2222221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得211a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意. 设直线AB l ：()1y k x =-，则1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211kk kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-.（3）设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+， ∵11AP y k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BPy x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=， ∴24km k =，2m =，∴()2,0P .【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 20.已知函数()()sin 1ln f x m x x =-+.（1）当1m =时，求函数()f x 在()0,1的单调性； （2）当0m =且1a e ≥-时，()()1g x af x x=-+，求函数()g x 在(]0,e 上的最小值； （3）当0m =时，()()1(2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>. 【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递增（2）()min 1g x a e=-（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）求得函数的导数()()1cos 1f x x x'=--+，结合导数的符号，即可求得函数的单调性； （2）由()1ln g x a x x=-，求得()21ax g x x +'=-，分类讨论求得函数的单调性与极值，进而求得函数的最小值，得到答案.（3）由()1ln 2h x x b x =+-，根据题意，得到111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=， 两式相减，1212122ln x x x x x x -=，令()120,1x t x =∈，得到函数()12ln l t t t t =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()sin 1ln f x x x =-+，则()()1cos 1f x x x'=--+， 又∵()0,1x ∈，∴11x>，()cos 11x -<，∴()0f x '>， ∴()f x 在()0,1上单调递增. （2）由()()11ln g x af x a x x x =-+=-，则()2211a ax g x x x x+'=--=-， （1）当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时图数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，∴函数()g x 在x e =处取得最小值，即()()min 1(g x g e a e==-； （2）当0a <时，令()10g x x a'=⇒=-，当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0g x '<， 此时函数()g x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()g x 在x e =处取得最小值， 即()()min 1g x g e a e==-； 综上所得()()min1g x g e a e==-.（3）证明：根据题意，()()1ln 02h x x b x x=+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点， ∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=. 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=. 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=.又∵()0,1t ∈，∴()0l t '≥恒成立，故()()1l t l <，即12ln 0t t t--<.可得112ln t t t->，∴121x x +>.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．1、在最软入的时候，你会想起谁。
天津市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析) (3)
高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共9小题）1.设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2S =，{}2,3T =，则()US T 等于（ ）A. {}2B. {}3C. {}4D. {}2,3,4【答案】B 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合()US T .【详解】由题意可得{}3,4US =，因此，(){}3U S T =.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A. 0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B. 0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C. (0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D. (0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-考点：全称命题与特称命题3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.4.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“3542S S S +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据前n 项和n S 与通项之间的关系化简判断即可. 【详解】等差数列{}n a 的公差为d ,3542S S S +>,345344S S a S a S ∴++>++,540a a d ∴-=>则“0d >”是“3542S S S +>”的充要条件, 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和n S 的关系与充分必要条件的判断,属于基础题型.5.设0.231012143a b og c lg =-==，，，则a ，b ，c 的大小关系是 （） A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】判断每个数的大致范围再分析即可. 【详解】0.20221,0a >=∴<,331031,13log log b >=∴>, 1410,01lg lg lg c <<∴<<,a cb ∴<<,故选：A ．【点睛】本题主要考查了函数值大小的关系,属于基础题型.6.过点A （-1，0），斜率为k 的直线，被圆（x-1）2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）A. 3±B.3 C. 3± D. 3【答案】A 【解析】试题分析：设直线为,根据弦长公式,可得：,,解得：,故选A.考点：直线与圆的位置关系 7.函数ππ30966x xy sin cos x =≤≤（）的最大值与最小值之和为 （）A. 13--B. 1-C. 0D. 23-【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式合一变形,再分析 【详解】函数1332662626xxx xy sincossin cos ππππ==-（）263x sin ππ=-（）,由09x ≤≤,得73636x ππππ-≤-≤,所以163x sin ππ≤-≤（）, 所以y的最大值为2,最小值为所以y 的最大值与最小值之和为2-． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了辅助角公式应用以及三角函数范围的问题,属于中等题型.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ） A. 2 B. 1:2C. 1:D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0），∴直线FA 为：x +2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FP FN∴==， :FM MN =9.四边形ABCD 中，129090BC AC ABC ADC ∠∠====，，，，则AC BD ⋅的取值范围是（ ）A. []13-，B. 31--（，）C. ()31-， D.33⎡⎤-⎣⎦， 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分析数量积的取值范围即可.【详解】画出图象,因为90,90ABC ADC ∠∠=︒=︒,故,,,A B C D 四点共圆.又1,2BC AC ==,易得3,60,30AB ACB CAB =∠=︒∠=︒.AC BD ⋅()32332AC BA AD AC BA AC AD AC AD AC AD ⎛⎫=⋅+=⋅+⋅=⨯⨯-+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.易得当D 在A 时3AC AD -+⋅取最小值3-,当D 在C 时3AC AD -+⋅取最大值2321-+=.故AC BD ⋅的取值范围是()31-，.故选：C【点睛】本题主要考查了向量数量积的综合运用,需要数形结合分析D 的轨迹再分析数量积的取值范围,属于中等题型. 二、填空题（本大题共6小题） 10.复数212ii+-的共轭复数是 ___________ 【答案】i -. 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i +++===--+ ，故该复数的共轭复数为i - .11.曲线21xy x =-在点（1，1）处的切线方程为 . 【答案】20x y +-= 【解析】()()2221212121x x y x x --⋅-=--'=，故切线方程的斜率()211211k -==-⨯-又()111211f ==⨯- ，故曲线21x y x =-在点处的切线方程为()111y x -=--整理得20x y +-= 即答案为20x y +-=12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，2AB =，则此球的表面积等于______． 【答案】17π 【解析】 【分析】根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可. 【详解】因为四边形ABCD 是正方形,且PA ⊥平面ABCD , 所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积212433V h h =⨯⨯=⇒=. 则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3, 它们的外接球是同一个,设外接球直径为D ,所以222222317D =++=,所以表面积为22417S R D πππ===． 故答案为：17π【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.13.设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 . 【答案】；【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.14.已知正数x ，y 满足23x y xy+=，则当x ______时，x y +的最小值是______． 【答案】 (1). 12(2). 1 【解析】 【分析】将x y +化简成只关于y 的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.【详解】正数x ,y 满足23x y xy +=, 2031y x y ∴=>-,可得13y >,2243131y y y x y y y y -∴+=+=--,令31t y =-则13ty +=且0t >, 22114451111133455241999t t t t x y t t t t t t++⎛⎫- ⎪++⎝⎭+===++≥+⋅=（）（）, 当且仅当14t t =即12t =,此时12x y ==取最小值1,故答案为：1(1)2(2)1【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型. 15.对于实数a和b，定义运算“*”：33*a ab a ba bb b a a b⎧-≤=⎨->⎩（），（），，设21*1f x x x=--（）（）（），若函数2g x f x mx m R=-∈（）（）（）恰有三个零点123x x x，，，则m的取值范围是______；123x x x的取值范围是______．【答案】 (1).14（，） (2).13-（，）【解析】【分析】分析21x-与1x-的大小关系,再化简2f x mx-（）画图分析求解即可.【详解】当211x x-≤-时,即30,21x f x x x≤=-（）（）,当211x x->-时,即30,1x f x x x>=--（）（）,所以3321,01,0x x xf xx x x⎧-≤=⎨-->⎩（）（）（）,因为g x（）有三个零点,所以f x（）与2y mx=的图象有三个交点,即21,010x x xk xx x x-≤⎧=⎨-->⎩（）（）（）与函数y m=有三个交点,作出k x（）的图象,如图,其中0x>时，函数()k x最大值为111(1)224--⨯=.所以14m<<,不妨设123x x x<<,易知2x>,且231x x+=,所以22323124x xx x+<<=（）由12140x x x ⎧-=⎪⎨⎪<⎩（）解得x =,所以1104x <<1230x x x <<． 且当m 无限接近14时123x x x当m 无限接近0时123x x x 趋近于0. 故答案为：10,4（）；.） 【点睛】本题主要考查了函数新定义的理解以及数形结合求解零点取值范围的问题等.需要根据题意分析123x x x 随m 的变化情况,属于中等题型. 三、解答题（本大题共5小题）16.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且113b c cosA ABC -==，，的面积为（Ⅰ）求a 及sinC 的值； （Ⅱ）求π26cos A -（）的值． 【答案】（Ⅰ）3a =， 9sinC =（Ⅱ 【解析】 【分析】(1)根据余弦定理与面积公式化简求解即可.(2)先利用二倍角公式求解2sin A 与2cos A ,再根据余弦的差角公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且11,,33b c cosA sinA -==∴==ABC的面积为16,3,22233bc bc sinA bc b c ⋅=⋅===∴==, 3a ∴===．再根据正弦定理可得a c sinA sinC=,即242,9223sinCsinC=∴=．（Ⅱ22142222,339sin A sinAcosA∴==⨯⨯=）272219cos A cos A=-=-,故734214273 222666992cos A cos Acos sin Asinπππ--=+=-⋅+⋅=（）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式的运用,同时也考查了二倍角公式与和差角公式的运用,属于中等题型.17.如图，已知直三棱柱111ABC A B C-的底面是直角三角形，1190223ACB AA AB BC DC CD∠=︒====，，．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1A BD；（Ⅱ）求二面角1A BD A--的余弦值；（Ⅲ）求点1B到平面1A BD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ6）（Ⅲ2）【解析】【分析】(Ⅰ)根据直三棱柱中90ACB∠=︒可以C为坐标原点建立空间直角坐标系,求解平面1A BD 的法向量m并证明1//AB m即可.(Ⅱ)分别求解ABD的一个法向量与平面1A BD的一个法向量,利用二面角的向量公式求解即可.(Ⅲ)根据线面垂直的关系可得点1B 到平面1A BD 的距离为112AB ,再求解即可. 【详解】依题意,以C 为原点,CB 为x 轴,1CC 为y 轴,CA 为z 轴,建立空间直角坐标系,则1110,0,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,3,3C B C B A A （）（）（）（）（）（）, 13DC CD =，10,,02D∴（）, （Ⅰ）证明：1111,2,3,1,2,3,1,,02AB A B BD =-=--=-（）（）（）, 设平面1A BD 的一个法向量为,,m x y z =（）,则123012m A B x y z m BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3z =则1,3m =--（）, 1AB m ∴=-,即1//AB m ,1AB ∴⊥平面1A BD ；（Ⅱ11,0,3,1,,02AB BD =-=-）（）（）, 设平面ABD 的一个法向量为,,n a b c =（）,则3012n AB a c n BD a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 令3c =,则3,6,3n =（）, 又平面1A BD 的一个法向量为1,3m =--（）,,14m n cos m n m n ⋅∴<>==+⋅,即二面角1A BD A --的余弦值为4（Ⅲ）设点1B 到平面1A BD 的距离为d ,则易知112B d A =,而11AB =+=∴点1B 到平面1A BD ．【点睛】本题主要考查了利用空间向量证明空间中的垂直问题以及二面角的计算方法等.需要根据题意找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再利用对应的公式求解即可.属于中等题型.18.已知椭圆C 的一个顶点为01A -（，），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ．i （）当00k m >≠，时，射线OE 交直线3x =-于点3D n O -（，）（为坐标原点），求22k n +的最小值；ii （）当0k ≠，且AM AN =时，求m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2213x y +=；（Ⅱ）（i ）2；（ii ）()0,2.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用点到线的距离公式与222a b c =+求解即可.（Ⅱ）i （）联立直线与椭圆的方程,求出关于两点M ,N 的二次方程与韦达定理,继而得出点E 的坐标,再化简求得22n k +的解析式,利用,n k 的关系换元求最值即可.ii （）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,再表达出斜率的关系式化简利用,n k 的关系求m 的取值范围即可.【详解】（Ⅰ）,设椭圆的右焦点,0,0c c >（）,由题意得：2221,3b a b c ===+,解得：223,1a b ==,所以椭圆的方程：2213x y +=；（Ⅱ）（i ）设()11,M x y ,()22,N x y ,将直线与椭圆联立整理得：2222222136330,36413330k x kmx m k m k m +++-==-+->（）（）（）,即2213m k <+,且122631km x x k +=-+，()121222231my y k x x m k ∴+=++=+, 所以MN 的中点223,1313km m E k k -++（）, 所以射线OE ：13y x k =-,与直线3x =-的交点13,k -（）,所以1n k =, 所以222212n k k k+=+≥,当且仅当21,0k k =>,所以1k =时22n k +有最小值2．（ii ）当0k ≠,且AM AN =时,则AE MN ⊥,所以1AE MNk k =-,即22221113,213,2313mk m k m m km kk++=-∴=+∴>-+,解得02m <<, 所以m 取值范围,2（0）．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,需要联立方程求韦达定理,进而表达出对应的关系式化简求解即可.属于难题.19.已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，且122538433a b a b a b a ===+=，，，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令23nn a c log =，证明：233411111*2n n n N n c c c c c c +++⋯+<∈≥（，）；（Ⅲ）求1*ni n N =∈）． 【答案】（Ⅰ132n n a -=⋅）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ323223nn +-⋅） 【解析】 【分析】(Ⅰ) 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,再利用基本量法根据题意求解对应的公比公差即可.(Ⅱ)先求得n c ,再利用裂项相消求和证明即可. (Ⅲ)代入n b ,再利用错位相减求解即可.【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列,数列{}n b 是公差为d 的等差数列,由12253843,,3,a b a b a b a ===+=,可得231113,433,73b d q b d q b d q +=+=++=,解得12,3,3q d b ===,则132,3313n n n a b n n -=⋅=+-=（）； （Ⅱ）证明：122213n nn a c log log n -===-, 23341111111111111111122312231n n c c c c c c n n n n n+++⋯+=++⋯+=-+-+⋯+-=-<⨯⨯--； （Ⅲ）23n n==,可设1246239273nn n i nT ===+++⋯+, 1124623927813n n nT +=+++⋯+, 相减可得12222223392733n n n n T +=+++⋯+-11111223332113313n n n n n ++-+=⋅-=--（）,化简可得1323223nn i n =+=-⋅．【点睛】本题主要考查了等比、等差数列的综合运用,需要根据题意列式求解对应的基本量,同时也考查了裂项相消以及错位相减等求和方法.属于中等题型.20.已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，）恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（）（）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ[1∞-+），）（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后讨论a 的取值范围进行分析即可 （Ⅱ）参变量分离后有lnxa x x≥-恒成立,再设函数求导分析最大值即可. （Ⅲ）先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可. 【详解】（Ⅰ）函数的定义域为{}10,'x x f x a x=-（）, ①当0a ≤时,'0f x >（）,函数f x （）在0,∞（+）上单调递增； ②当0a >时,令'0f x >（）解得10x a <<,令'0f x <（）解得1x a>,故此时函数f x （）在10,a （）上单调递增,在1,a∞+（）上单调递减；（Ⅱ2f x x ≤）（）对0,x ∈+∞（）恒成立,即为对任意的0,x ∈+∞（）,都有lnxa x x≥-, 设0lnx F x x x x =->（）（）,则22211'1lnx lnx x F x x x ---=-=（）,令210G x lnx x x =-->（）（）,则1'20G x x x =--<（）, G x ∴（）在0,∞（+）上单调递减,且10G =（）,∴当0,1x ∈（）时,0,'0,G x F x F x >>（）（）（）单调递增；当1,,0,'0,x G x F x F x ∞∈+<<（）（）（）（）单调递减,11max F x F∴==-（）（）, ∴实数a 的取值范围为[1,-+∞）．（Ⅲ）证明：当1a =时,111,'100lnx x x lnx x x g x xe x xe x e x g x e x ---=--=--=--=->>（）（）（）（）,不妨设120x x <<,下先证：存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 构造函数211121g x g x Hx g x g x x x x x -=----（）（）（）（）（）（）,显然12H x H x =（）（）,且2121''g x g x H x g x x x -=--（）（）（）（）,则由导数的几何意义可知,存在12,x x ξ∈（）,使得2121''0g x g x H g x x ξξ-=-=-（）（）（）（）,即存在12,x x ξ∈（）,使得2121'g x g x g x x ξ-=-（）（）（）（）, 又'1xg x e =-（）为增函数, 2121121''g x g x g x x g x x x ξ∴-=->-（）（）（）（）（）（）,即21121'g x g x g x x x >+-（）（）（）（）,设31122121x x x λλλλ=++=（）,则1311222322111,1x x x x x x x x λλλλ-=---=--（）（）, []133********''1g x g x g x x x g x g x x x λλ∴>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）①, []23323332211''1g x g x g x x x g x g x x x λλ>+-=+--（）（）（）（）（）（）（）②,由12λλ⨯+⨯①②得,112231122g x g x g x g x x λλλλ+>=+（）（）（）（）, 即11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（）（）（） 【点睛】本题主要考查了导数单调性的分情况讨论以及利用导数分析最值与恒成立的问题等,需要构造函数,代入所给的自变量进行分析证明,属于难题.。
天津市部分区2020-2021学年高三上学期期末数学试题附答案
天津市部分区2020~2021学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．圆锥的侧面积公式S rl π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，l 表示圆锥的母线长． 圆锥的体积公式213V r h π=，其中r 表示圆锥底面圆的半径，h 表示圆锥的高． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{1,2,3,4}U =，且{4}UA =，则集合A 的子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个2．设i 是虚数单位，若复数z 满足(2)z i i -=，则z =（ ）A ．1B ．1+C ．13i -D ．13i +3．已知sin()4πα-=，则cos 2α=（ ） A ．78 B ．78-C ．34D ．34-4．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3421S a =+，2321S a =+，则1a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．随着人口红利的消失和智能制造趋势的演进，工业机器人逐渐成为企业提高产品质量、向智能化转型升级的核心力量．经过多年的发展，我国的工业机器人产业已经达到了定的规模，不仅在焊接、装配、搬运、冲压、喷涂等专业领域涌现出大量的机器人产品，同时机器人关键零部件方面也已经接近或达到了世界领先水平．下图是“中投产业研究院”发布的《2020-2024年中国机器人产业投资分析及前景预测报告》中关于2019年全国工业机器人产量数据的统计图数据来源：国家统计局|，根据统计图分析，以下结论不正确．．．的是（ ）A ．2019年3~12月，全国工业机器人本月同比增长最低的是8月份，最高的是12月份B ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长均在0%以下C ．2019年2~12月，全国工业机器人本月累计同比增长最低值是4月份D ．2019年3~12月，全国工业机器人在12月份同比增长超过15% 6．“22log log a b >”是“11a b<”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0x >，0y >，且21x y +=，则12y x y y++（ ）A ．有最大值为73B 12C ．有最小值为2D ．无最小值8．已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足1122MF F F =，若125cos 16MF F ∠=-，则该双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D ．929．已知函数2e ()||x f x x =（e 为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20f x af x a -+-=()a R ∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2e ,2e 1⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭D ．24e 2,4e 1⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．在52x ⎛ ⎝的展开式中，x 的系数是________．（用数字作答）11．已知直线50x y ++=与圆22420x y x y m ++-+=相交于A ，B 两点，若||2AB =，则实数m =________．12．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为________．13．将函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则()f x =________．14．在平行四边形A BCD 中，1AD =，3BAD π∠=，点EF 在CD 上且满足13DE DC =，23DF DC =，若M 为AB 的中点，且1AF ME ⋅=，则AB 的长为________．15．如图，在圆锥SO中，SO =，ABC 是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P为SO 上一点，且90APC ∠=︒，则圆锥SO 的体积为________，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为________．三、解答题：本大题共5小题共75分解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC 中，已知2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求角B 的大小；（2）若4AB =，ABCsin 2A 的值． 17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥D-ABC 中，已知2AB AD ==，1AC =，CD =BD =，90BAC ∠=︒，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点．（1）求证：AD BC ⊥；（2）求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值； （3）求平面DEF 与平面DAC 所成二面角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*31n n S a n =-∈N ．（1）求{}n a 的通项公式； （2）对任意的正整数n ，设221log n n b n a +=-，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点且离心率为3．设P 为圆223x y +=上任意一点，过点P 作该圆的切线交椭圆于E ，F 两点．（1）求椭圆的方程；（2）试判断PE PF ⋅是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()ln esin xf x a x a x -=⋅+，e 是自然对数的底数，若0a >，且0x =恰为()f x 的极值点.（1）证明：112a <<； （2）求()f x 在区间(,)π-∞上零点的个数．天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高三数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共9个小题，每小题5分，共45分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）10．10 11．4- 12．710 13．2sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 14．94 15．3；92π 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分） 16．解：（1）在ABC 中，2sin sin sin 6B C A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin sin cos sin()B C B C B C +=+．sin sin cos sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，sin cos sin B C B C =．又sin 0C ≠，所以tan B =，又0B π<<，所以6B π=．（2）设BC t =．由题意及（1）得，14sin 26ABCSt π=⨯=解得t =BC =． 在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅⋅2242476π=+-⨯=所以AC =．由正弦定理，得sin sin AC BCB A=，所以1sin sin 6214BC A AC π=⋅==．因为AC BC =>=，所以B A ∠>∠，所以06A π<∠<．所以cos 14A ===，所以sin 22sin cos 2A A A ===．17．（1）证明：在ABD 中，2AB AD ==，BD =，所以222BD AB AD =+，所以AD AB⊥．在ACD 中，因为1AC =，2AD =，CD = 所以222CD AC AD =+，所以.AD AC ⊥ 因为AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，且AB AC A =，所以AD ⊥平面ABC ．又因为BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥．（2）解：由（1）知，AD AB ⊥，AD AC ⊥，又90BAC ∠=︒，以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -．则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C ，(0,0,2)D ，因为E ，F 分别为AB ，CB 的中点，所以(0,1,0)E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 所以(0,1,2)DE =-，1,1,22DF ⎛⎫=-⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-， 设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则有00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即201202y z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1z =，得2y =，0x =，所以(0,2,1)n =． 设直线BD 与平面DEF 所成角为θ．因为0422DB n ⋅=+-=，||22DB =||5n =，所以2sin ||||22BD n BD n θ⋅===⋅⨯．因为02πθ<<，所以cos 10θ==． 即所求直线BD 与平面DEF 所成角的余弦值为10． （3）解：由（1）知，AB ⊥平面DAC ，所以平面DAC 的一个法向量为(0,2,0)AB =． 因为4n AB ⋅=，||2AB =，所以cos ,||||5n AB n AB n AB ⋅〈〉===⋅设平面DEF 与平面DAC 所成的二面角为φ，因为0φπ<<．所以5sin 5φ==故所求平面DEF 与平面DAC 所成的二面角的正弦值为5． 18．解：（1）由题意，知31n n S a =-，*N n ∈，①令1n =得，1131S a =-， 因为11S a =，所以112a =-． 当2n ≥时，1131n n S a --=-，②所以-①②，得()()113311n n n n S S a a ---=---， 即13n n n a a a -=-，所以11(2)2n n a n a -=-≥． 所以数列{}n a 是首项为12-，以12-为公比的等比数列， 所以12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2211111log (2)22n n b n a n n n n +⎛⎫=-==- ⎪++⎝⎭．所以111111111112132435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． 因为*N n ∈，所以1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以34n T <． 19．解：（1）由题可得222223621c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=+⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 所以椭圆的方程为221124x y +=． （2）①当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率不存在时，由对称性，不妨设切线方程为x =则P，E，F ，所以3PE PF ⋅=-． ②当过点P 且与圆223x y +=相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为y kx m =+， 设点()11,E x y ，()22,F x y ，()00,P x y ． 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得()2221230kxkmx m +++-=，由直线与圆相切易得()2231m k =+，021kmxk =-+， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得()2221363120kxkmx m +++-=，则()()2222364133120k m km∆=-+->，所以21212226312,1313km m x x x x k k -+=-=++．所以()()10102020,,PE PF x x y y x x y y ⋅=--⋅--()()()()10201020x x x x y y y y =--+--()()()210201k x x x x =+--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()222222263121113131km km m km k k kk k ⎡⎤⎛⎫⋅- ⎪⎢⎥-+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+++ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2293313k k--==-+． 综上可知，PE PF ⋅为定值3-．20．解:（1）由题意，得()ln (1)ecos xf x a x a x -'=⋅-+．因为0x =为函数()f x 的极值点， 所以(0)ln 0f a a '=+=．令()ln (0)g x x x x =+>，显然a 是()g x 的零点．则1()10g x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(1)0g >，111ln 0222g ⎛⎫=+=<⎪⎝⎭， 所以()ln (0)g x x x x =+>在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点a ， 所以112a <<． （2）由（1）知，()ln ,()sin exa a f x a x x -=-=-，()cos (1)e xf x a x x -⎡⎤=--⎣'⎦． ①当(,0)x ∈-∞时，由0a >，1cos 1x -≤≤，11x ->，e 1x->得，()0f x '<，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，()(0)0f x f >=，所以()f x 在区间(,0)-∞上不存在零点．②当(0,)x π∈时，设()cos (1)e x h x x x -=--，则()(2)e sin x h x x x --'=-， （ⅰ）若0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)esin x m x x x -=--， 则()(3)ecos 0x m x x x -=-'-<， 所以()m x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． 因为(0)20m =>，22e 1022m πππ-⎛⎫⎛⎫=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 所以存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0m α=． 当(0,)x α∈时，()()0m x h x '=>，()h x 在(0,)α上单调递增； 当,2x πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()0m x h x '=<，()h x 在,2πα⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅱ）若,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，令()(2)e x x x ϕ-=-，,22x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则()(3)e0x x x ϕ-=-<'， 所以()x ϕ在区间,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以21()2e 22e x πππϕϕ-⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 又因为1sin sin 2sin(2)sin 62x ππ≥=->=， 所以()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在,22π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减． （ⅲ）若(2,)x π∈，则()(2)e sin 0x h x x x -=-'-<，()h x 在(2,)π上单调递减．由（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）得，()h x 在(0,)α上单调递增，()h x 在(2,)π单调递减．因为()(0)0h h α>=，()(1)e10h πππ-=--<，所以存在(,)βαπ∈使得()0h β=， 所以，当(0,)x β∈时，()()0f x h x '=>，()f x 在(0,)β上单调递增， 所以()(0)0f x f >=；当(,)x βπ∈时，()()0f x h x '=<，()f x 在(,)βπ上单调递减， 因为()(0)0f f β>=，()0f π<，所以()f x 在区间(,)βπ上有且只有一个零点，综上，()f x 在区间(,)π-∞上的零点个数为2．。
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学(理)试题(有答案)-名校密卷
天津市和平区高三上学期期末质量调查数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|60A x x x =-->，{}|31B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A ．(2,1]- B ．(3,2]-- C ．[3,2)-- D ．(,1](3,)-∞+∞U2.设变量x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．11C ．12D ．143.如图，在ABC ∆中，若5AB =，7AC =，60B ∠=︒，则BC 等于（ ）A ．53B ．62C ．8D ．524.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的T 的值为（ ）A ．57B ．120C ．183D ．2475.已知log 2a ，log 2b R ∈，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐进线与抛物线28y x =-的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为43，则双曲线的离心率为（ ）A ．72B ．2C ．13D ．47.如图，在平行四边形ABCD 中，3BAD π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM NC BC DCλ==，其中[]0,1λ∈，则AM AN ⋅u u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]1,4C ．[]2,5D ．[]1,78.已知函数22,0,()2,0,x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程1()2f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ）A．3 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．3(0,)4C．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．9(0,)16第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知13z a i=+，234z i=-，若12zz为纯虚数，则实数a的值为．10.91()2xx-的展开式中的常数项为．（用数学作答）11.几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为2cm．12.直线3y kx=+(0k≠)与圆226490x y x y+--+=相交于A、B两点，若||23AB=，则k的值是．13.设0a b>>，则21()ab a b+-的最小值是．14.定义在R上的奇函数()f x是周期为2的周期函数，当[0,1)x∈时，()21xf x=-，则2(log3)f的值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分13分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x xπππ=-++-．（1）求()f x的最小正周期；（2）求()f x在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间．16. （本小题满分13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲、乙每次击中目标的概率分别为12和23． （1）求甲至多击中目标2次的概率；（2）记乙击中目标的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（1）求证：AF PC ⊥；（2）求证：//BD 平面PEC ； （3）求锐角三角形D PC E --的余弦值．18. （本小题满分13分）设数列{}n a 满足条件11a =，1132n n n a a -+=+⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nb n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点(2,3)A ，离心率12e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，C 为椭圆E 上的一点，当ABC ∆的面积最大时，求C 点的坐标．20. （本小题满分14分）已知函数3221()233f x x ax a x =-+-(a R ∈且0a ≠）．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在(2,(2))f --处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间和极值；（3）当[]2,22x a a ∈+时，不等式|'()|3f x a ≤恒成立，求a 的取值范围．和平区第一学期高三年级数学（理）期末质量调查试卷答案一、选择题1-5CBCBA 6-8BCD二、填空题9.4 10.212 11.12.34-13.4 14.13-三、解答题15.解：（1）∵1()cos 2sin 2(sin cos )(sin cos )22f x x x x x x x =+++-221cos 22sin cos 2x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+-31sin 2cos 22x x =- sin(2)6x π=- ∴()f x 的最小正周期22T ππ==．则63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增． 16.解：（1）∵甲3次均击中目标的概率为311()28=， ∴甲至多击中目标目标2次的概率为17188-=． （2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．03321(0)(1)327P X C ==-=，123222(1)(1)339P X C ==⨯⨯-=，223224(2)(1)339P X C ==⨯⨯-=()， 33328(3)()327P X C ===． ∴随机变量X 的分布列为 X0 1 2 3 P 127 29 49 827∴随机变量X 的数学期望1248()01232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17.（1）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ，如图，以A 为原点，分别以AD u u u r 、AB uuu r 、AP uuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ． ∵(2,0,2)AF =u u u r ，(4,4,4)PC =-u u u r ，∴80(8)0AF PC ⋅=++-=u u u r u u u r ，∴AF PC ⊥.（2）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．∵(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-u u u u r ，(4,4,0)BD =-u u u r ，∴2BD EM =u u u r u u u u r ，∴//BD EM ．∵EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴//BD 平面PEC ．（3）解：∵AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =I ，∴AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =u u u r 为平面PCD 的一个法向量．设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵(4,4,4)PC =-u u u r ，(0,4,2)PE =-u u u r ，∴0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =，得1x =，2z =，故(1,1,2)n =r ．∴cos ,2AF n <>==u u u r r ， ∴锐二面角D PC E --的余弦值为2．18.解：（1）∵11a =，1132n n n a a -+-=⋅，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-…0121323232n -=+⨯+⨯++⨯…101211(12)13(222)1332212n n n ---⨯-=++++=+⨯=⨯--…（2n ≥）， ∵当1n =时，113221-⨯-=式子也成立，∴数列{}n a 的通项公式1322n n a -=⨯-． （2）解：∵1322n n n b na n n -==⋅-，即：013122b =⨯⨯-，123224b =⨯⨯-，233326b =⨯⨯-，…∴123n n S b b b b =++++…01213(1222322)(2462)n n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-++++……．设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅…，① 则2212 1222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅…，② ①②，得0121(2222)2(21)2n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅…，∴(1)21n n T n =-⋅+， ∴3(1)232(123)nn S n n =-⋅+-++++…3(1)2(1)3n n n n =-⋅-++． 19.解：（1）由椭圆E 经过点(2,3)A ，离心率12e =， 可得22222491,1,4a b a b a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 解得2216,12,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的方程为2211612x y +=． （2）由（1）可知1(2,0)F -，2(2,0)F ，则直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=， 直线2AF 的方程为2x =，由点A 在椭圆E 上的位置易知直线l 的斜率为正数．设(,)P x y 为直线l 上任意一点，|2|x =-，解得210x y --=或280x y +-=（斜率为负数，舍去）．∴直线l 的方程为210x y --=．设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=， 由221,161220x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，整理得2219164(12)0x mx m ++-=，由22(16)4194(12)0m m ∆=-⨯⨯-=，解得276m =，因为m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m >，故m =∴C点的坐标为(1919-）． 20.解：（1）∵当1a =-时，321()233f x x x x =---，2'()43f x x x =---， ∴82(2)8633f -=-+=，'(2)4831f -=-+-=． ∴[]2(2)3y x =--+，即所求切线方程为3380x y -+=． （2）∵22'()43()(3)f x x ax a x a x a =-+-=---．当0a >时，由'()0f x >，得3a x a <<；由'()0f x <，得x a <或3x a >． ∴函数()y f x =的单调递增区间为(,3)a a ，单调递减区间为(,)a -∞和(3,)a +∞，∵(3)0f a =，34()3f a a =-， ∴当0a >时，函数()y f x =的极大值为0，极小值为343a -． （3）2222'()43(2)f x x ax a x a a =-+-=--+， ∵'()f x 在区间[]2,22a a +上单调递减， ∴当2x a =时，2max '()f x a =，当22x a =+时，2min '()4f x a =-． ∵不等式|'()|3f x a ≤恒成立， ∴220,3,43,a a a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩解得13a ≤≤，故a 的取值范围是[]1,3．。
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题(解析版)(20200612185555)
础题•3 .设 x R ，则 “x 2 2x 0 ”是“ x 2 ”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题、单选题8}，则 A (C u B)(【答案】B【解析】先求出C u B 再与A 取交集，即可得到答案 【详解】因为 C u B {235,6} , A {2, 3, 4, 6}, 所以 A (C u B) {2,3,6 }. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题【答案】【详解】抛物线y 2 4X 的准线方程为X 即X 1，故选A . 【点睛】【答案】A1 .设全集 U { 1,2 , 3,4, 5, 6, 7, 8}，集合 A {2, 3,4, 6}， B { 1，4, 7,A . {4}B. {2, 3, 6}C. { 2, 3, 7}D. { 2, 3, 4, 7}2 .抛物线y 2 4x 的准线方程为（A . XB . y 1C. X 1D.【解析】利用 2 px 的准线方程为2，能求出抛物线4x 的准线方程•2Q y 4x, 2p4, p 2 ,本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质, 意在考查对基础知识的掌握与应用， 是基【解析】分别解两个不等式得到集合A, B，再利用集合间的关系，即可得到答案【详解】解不等式x22x 0得；A {x| 0x2},解不等式x 1 2 得：B {x| 1x3},因为A是B的真子集，所以“ x22x 0 ”是“|x 1 2 ”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了•4•直线x y 1 0与圆x2(y 1)24相交于A、B，则弦AB的长度为( ) A. . 2 B. 2\ 2 C. 2 D. 4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d，再利用弦长公式，即可求得答案.【详解】圆心到直线的距离d |0 1 11、、2 ,V2所以|AB| 2.r2 d22、、厂2 2 2.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5.已知数列｛a n｝中，a1 1 , 2a n 1 a.(n N*)，记｛a.｝的前n项和为S n ,则( )A. S n 2a n 1B. S n 1 2a nC. S n a n 2D. S n 2务【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列｛a n｝的通项公式，再求出前n项和为S n，化简可得S n 2 a n .【详解】故选：D. 【点睛】简找到S n 与a n 的关系.根据题意得f(x)在区间(1,)上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得C ,从而利用函数的单调性可得答案【详解】 因为偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,1 c log 1 -25故选：A.【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、 函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和f (a), f(b), f (c)的大小关系为( )f(a) f(b) f (c) B . f(b)f (c) f(a) f(c)f (b)f (a)D. f (a)f (c)f(b)则 A .C.A Q 2a n 1 a n (n N ),an 11云2，数列｛a n ｝是以1为首项, a n G )n 12S n1 —为公比的等比数列,21更1丄22“ 12 an .本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算,求解时要注意通过化已知偶函数f(x)在区间(，1)上单调递增,In3，b log ?1 ,c 砸订，325【答案】所以 f (x)在区间(1, )上单调递减.因为 Iog 3e log 3 2 log 3 elog 3 2ln3 log 2 3，即 1 a b 2 ,【解析】因为 所以所以 f (a) f(b)f (c).逻辑推理能力7•将函数f（x） sin2x的图象向右平移—个单位长度后得到函数g（x）的图象，则下6列说法正确的是（）1A. g（—） 2 B・g（x）的最小正周期是45c. g（x）在区间［0 ,］上单调递增 D. g（x）在区间［—,—］上单调递减3 3 6【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出g（x）的解析式，再一一对照选项验证是否成立【详解】函数f （x） sin2x的图象向右平移个单位长度得:6g(x) S^x 3).对A，g(—) sin(2 -）3，故A错误;3 2对B,最小正周期为，故B错误;对C,当0 x -3正确；3 2x 3 3，因为（甌）是（?，2）的子区间，故C对D,当x —3 6 误；4 4 33 2x 3 IT，（SE）不是口三）的子区间，故D错故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质,能力•考查数形结合思想和运算求解2 28.已知双曲线C : - J2 ,2a b1（a 0 , b 0）的右焦点为F（、6 , 0），点P在C的一条渐近线上，若PO PF（O是原点），且POF的面积为铉，则C的方程是4( )2 222O 22A. X y1B.x' 1C. x_ y_ 1D. — y214 224 3 35【解析】根据三角形的面积及PO PF，求出点p的坐标，再利用点P的坐标求渐【答案】A近线的斜率，从而得到 b的值，再观察选项，即可得到答案a【详解】因为 POF 的面积为 L2，设点P 在第一象限,4所以 1；6y p 342 y 今， 2 42所以b -I -1 -1，只有选项A 符合.a 222故选：A.【点睛】 本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求K解能力，求解时只要得到 一的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量aln(x 2) 2x3 9.已知函数f(x)2,若关于x 的方程f(x) kx 恰有三个x 2 15x 36 x 3互不相同的实数解，则实数 k 的取值范围是() A . [3 , 12] B. (3, 12)C. (0,12)D. (0 , 3)【答案】D【解析】 画出函数f(x)的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题,【详解】因为|P0PF ，所以点P 的横坐标等于西，2求出直线与抛 物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围.15x 236 得：x (k 15)x 36函数f(x)的图象如图所示:2当直线y kx与抛物线相切时，(k 15) 144 0 k 3或k 27,由于方程f(x) kx恰有三个互不相同的实数解，所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以0 k 3.故选：D.【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解二、填空题10. i是虚数单位，若复数z满足(1 3i)z 4i，则z ______________ .【答案】6 2i5 56 2【解析】利用复数的除法运算，求得z i .5 5【详解】4i 4i(1 3i) 12 4i 6 2.z i.1 3i (1 3i)(1 3i) 10 5 5故答案为：6 2i .5 5【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题1 6 311 • (2x —)的展开式中含x3项的系数是____________ (用数字作答)•x【答案】192【解析】根据二项展开式得T r 1C6(2x)6 r( 2)r(r 0,1 L ,6)，进而得到r 1时x会出现x3项，再计算其系数•【详解】T r1 C6r (2x)6 r ( W)r C6 26 r ( 1)r x63r(r 0,1,L ,6),x当6 3r 3时，即r 1 ,所以T2 C；25( 1)x3192x3.故答案为：192.【点睛】 本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题 4 3a 0,b 0，且a 3b 1，则的最小值是a b【详解】等号成立当且仅当 故答案为：25. 【点睛】二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件13 .已知半径为2的球的球面上有 A 、B 、C 、D 不同的四点,等边三角形，且 DO 平面ABC （O 为球心，D 与0在平面ABC 的同一侧），则三棱 锥D ABC 的体积为 _________ . 9 3 4作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到如图所示，点E 为ABC 的中心，则BE — AC 2 乙,2 30B 2，所以 OE OB 2 BE 2/T~3 1，11 12 39.3所以 V S ABC DE（一3 ） 3 .33 22 4故答案为：1J.412 .已知【答案】 25【解析】利用1的代换，将求式子 3的最小值等价于求（上3）（a 3b ）的最小值,ba b再利用基本不等式, 即可求得最小值3b ）（a 3b ）12b 3a 13 2 12b 3a a b25 ,本题考查1的代换和基本不等式求最值,考查转化与化归思想的运用, 求解时注意一正、ABC 是边长为3的【答案】 【解析】 答案•本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力, 确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键14 •设｛a n ｝是等差数列，若a 5 9 , a 2 a ? 16，则a .【解析】利用等差数列通项公式求得 a 1,d ，进而求得a n ；求出b n【详解】运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写、.2o15 .设点M 、N 、P 、Q 为圆x y【点睛】 因为b n(2n 1)(2n 1) 12n 1 2n 11，所以b1 11, b 21 1 1 , L ,b n1 33 52n 112n 2 3n 所以Sn1n2n 12n 1故答案为:2n 1;2n 23n2n 1缶1,2b na n a n 11(n N )，则数列｛b n ｝的前n 项和S n 【答案】2n2n 2 3n 2n 1;若再利用分组求和法及裂项相消法求 S n . 12n 1由题意得:a 1 4d 9, 2a 7d 16,2, 1,a n2n 1.本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和, 考查方程思想的2r (r 0)上四个互不相同的点，若【答案】、、2 uuu得|PQ |的值.【详解】弦定理证得2b a c ，从而证明结论成立; （2）利用余弦定理 a 2 b 2+ab 49,再由（1） auuir uuuruu u rMP PN 0，且(PM LUU T PN )uu u uuurPQ 2，则 PQ … ,uuur 【解析】根据MP UUUT PN0得到 MN 过圆的圆心0 , 再利用向量的加法法则得uuuu uuur uuuPM PN 2P0 ，由向量数量积的几何意义得到等式 uuu | PO | cos1 uuu 2|PQ|，最后求 因为 uuur uuurMP PN 0，所以uuir MP uuur PN，所以 MN 过圆的圆心0,所以 uuuu uuur uuur 因为 uuur (PM PN) PQ 2P0 UU U PQuur 2| P0 | uuur | PQ | cos 2，uuu uuu ,PO 在PQ 向量方向上的投影为: unr | PO | cos1 unr 2|PQ|，代入上式得: uuu2 |PQ |2 1 2uuu PQ2.故答案为: 【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、 数量积的几何意义等知识，考 查方程思想的运用， 求解时注意向量几何意义的灵活运用， 考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16.在 ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2（si n AcosC cos Asi nC ） si nA sinC .⑴求证：a 、b 、c 成等差数列；2⑵若c7, C ，求b 和sin 2B 的值.3【答案】（1）证明见解析（2） b 5 , sin2B55 3 98【解析】（1 ）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sinB sin A sinC ，再利用正2b 7，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得 sin 2B 的值. 【详解】（1）因为 2 sin AcosC cosAsinC sin A sinC , 所以 2si n A Csi nA sinC .所以 2sin B sin A sinC .由正弦定理芒 - —，得2b a c .sin A sin B sinC 所以a,b,c 成等差数列.(2)在 ABC 中，c 7,C即 a 2 b 2+ab 49.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形, 解能力，求cosB 的值时，注意角 B 0,— 这一条件的应用.217 •每年的12月4日为我国“法制宣传日’.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果， 现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全由于在 ABC 中，A+C =B ，所以 sin A Csin B ，由余弦定理，得72a 2b 22abcos —3，由（1）知 a 2b 7，所以2b 227b 2+ 2b7 b 49，解得 b 5.由正弦定理，得sinBbsi n 2-3 c5、3 . 142在ABC 中，因为于C=—，所以B3,2，所以cosB,1 sin 2B15勺 1411 14所以sin2B2sin BcosB 55L 398考查方程思想的运用和运算求部答对的学生将在全校给予表彰 ⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望•【答案】（1）高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3人.（2）3—（3 ）详见解析10【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；3（2）利用计算原理求得基本事件的总数为 C w ，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式;（3）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算 P X k（k 1.2.3.4 ），最后求得期望值• 【详解】（1） 由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3 人. （2） 由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有 4人、3人、3人， 所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为c 4 Q c 33 3・C 1010（3） 由题意知，随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4，X1 2 3 41311P ————3010 2 6所以，随机变量X 的数学期望为且X 服从超几何分布,k 4 k C 7C3Cw(k 1,2,3,4 )k 4 C7 C3k1 丄2 —3 14 1 30 10 26【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考 查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型 18 •如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，P 、O 分别为AC 、AG 的中点,PA PC 1 2y[2 , AB 1 B 1C 1 PB 1 2/3 , AG 4. 线段PH 的长度.【详解】（1）在三角形PA|G 中，P AI P C 1且O 为AG 的中点,145⑴求证： PO 平面⑵求二面角B 1 PA 1 C 1的正弦值；uuuu ⑶已知H 为棱BiG 上的点，若B 1H【答案】（1）证明见解析（2）二5 1 uuuuB 1C 1，求线段PH 的长度. 3（3） 2 2【解析】（1）证明PO AG , PO OB 1，再根据AG I OB 1 O ，从而得到线面垂直的证明;（2）以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, 0岁的方向为x, y,z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值;（3）结合（2）中G 2,0,0 ，求得点H 2 442 uuur -, ------- ,0 ，再求PH 的值，从而求得 3 35)0在 Rt PAO 中，AO 2 A 1C i 2, PA 2.2 , PO 、 —2.连接 OB !，在 ABQ 中，A 1B 1=BC 1 2 3 , OB A® 所以 OBA iB l 2 AO 2 2伍.又 PB 1 2、、3，所以 PB ； PO 2 OB i 2，所以 PO OB i .② 又因为AiC 1 I OB 1 O ,③由①②③，得PO 平面A 1B 1C 1._ 一 一 uuu uuu unu(2)以点O 为坐标原点，分别以 OA 1,OB 1, OP 的方向为x, y,z 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 O xyz ，则 O 0,0,0，A 2,0,0,B 1 0,2&,0 ,P 0,0,2，UUULT UULT 所以 AB 1二 2,2 .2,0 ,AP 二 2,0,2 T 设n x, y,z 为平面PAE 的法向量, v uuuv nAB 0, 则有 v uuu/ 即 n AP 0.2x 2&y 0, 2x 2z 0. 令x=1,得y 冬所以n z 1. 101, 2 ,1UULT 「易得，OB^ 0,2、、2,0且为平面PAG 的法向量, T UULT 所以ngOB 1Hi UUUT2 , n OB 1 2=5 ,tT uuuq 所以 cos ：；.n,OB1]TUULT ngOB t r U UU 1n OB 1故所求二面角B1PA C i的正弦值为2*5 ~5(3)由(2)知G 2,0,0 .设点Huuuu凶』1忆，则B1H X1, V1 2、2, Z1uuuu r uuuur 1 uujurB1G ,3又B1C12, 2、一2,0 ,B1H所以X1—1,V1 2、2,Z1 3 2,2,2,0，从而23,2、20.2.2~T即点所以uuirPH2 4^2 22 .3 3所以unrPH4.2【点睛】2, 2 -本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度,考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性19 •设椭圆X2V22 21（a b 0）的左、右焦点分别为F1（a bc，0）、F2（C, O），点P在椭圆上,⑴若PO C，F2OP 3，求椭圆的离心率;⑵若椭圆的右顶点为A，短轴长为2,1 且满足率）.①求椭圆的方程;②设直线I : y kx 2与椭圆相交于【答案】（1）.3 1OF2P、Q两点，若.72OA 3|F料心为椭圆的离心POQ的面积为1，求实数k的【解析】（1）由题意得PF i PF ?，利用勾股定理得PF i J3c ,再利用椭圆的定义②设点P x i ,y i ,Q X 2,y 2，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求 得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积S POQ 4胡丫 3，从4k 2 1而求得k 的值. 【详解】所以 POF 2是等边三角形，所以 PF 2 c, PF 2O又 OP OF 2 OF 1，所以 PF 1 PF 2,所以 PF 1整理，得c 2 3b 2.y kx 2,联立方程组x 22T y 1.消去y ，并整理得 4k 2 1 x 2 16kx 12 0. 则256k 2 48 4k 2 116 4k 2 30，（）得到a,c 的关系，从而求得离心率；1(2)①由OFkJr 21 e得 2OA 3|F 2A |，得c3b 2，求出a,b,c 后，即可得到椭圆的方程;(1)连接PF i .因为OP OF ?c, F 2OP是，有2a PF PF 2.3 1 c ，所以e3 a 43 11，即所求椭圆的离心率为（2）①由e 3F 2A1，得—c又因为2b 2，所以b 1，c 2 3,a 2 b 2 c 2 4.2故所求椭圆的方程为 —4y 2 1.②依题意，设点 P 捲，％,Q X 2,y 2 .经验证k工满足2故所求实数【点睛】椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合 运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力1 220 •已知函数f(x) ln(ex) ax (a 1)x(e 为自然对数的底数).⑴当a 1时， 求曲线y f (X)在点(1 , f(1))处的切线方程；⑵讨论 f (X )的单调性；⑶当a 0时,证明f (X)3 1.2a【答案】 (1) 8X 2y 10 (2) 见解析 (3)证明见解析【解析】(1) 当a 1时，f X1X 2，利用导数的几何意义求得切线方程;Xax 1X 1(2)对函数进行求导得 f '(x)，对a 分a 0和a 0两种情况进行分X类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；数进行证明 【详解】且X X ?16k 12 所以 PQ 又点 所以 因为 .rvX 1 X 2O 到直线l 的距离为d S POQ S POQ4k 2 1，.1 k 2 ■ x 1X 22厂k 2，4%X 24 1 k 2 . 4k 2 324k 12PQ d 4、1 k 24k 2 34k 2 12 1 k 24 “4k 2 3 4k 2 11，解得k本题考查椭圆的离心率、 (3)证明不等式f X32a1成立等价于证明 3X max1成立，再构造函2aa 12 a 2In 1丄a 2a—1等价于f :x —1，即 In - 131， 2a max2a a2a2a1 1即 In1 0.(探)a a1令 t —,则 t 0.不妨设 g tInt t 1( t 0)，a(1)当 a 1 时，f x In ex -x 2 2x .2所以f x 1 x 2,x所以 k f 111 2 4 又 fl 71 ' 2'所以曲线在点hf 1处的切线方程为y 7 4 x 1 ,即 8x 2y 10.(2)易得1 ax a 1 x 1ax a 1 -xx ax 1 x 1 x①当 a 0时, f :x 0，此时f X 在 0,上单调递增；②当 a 0时， 令f x10，得 x —.a则当 0 x1 时，fx 0，此时fx 在 1 0,上单调递增;aa1当x 时,a1x 0，此时f x 在 ,a上单调递减综上所述，当a 0时，函数f x 在区间0,上单调递增;当a 0时，函数f x 在区间0, 1上单调递增，在区间a上单调递减(3)由(2)知，当a 0时,1处取得最大值,amaxIn所以g t 1 1 (t 0)t从而，当t 0,1时，g t 0 ；当t 1, 时，g t 0,所以函数g t在区间0,1上单调递增；在区间1, 上单调递减•故当t 1时g t max g 10.所以当t 0时，总有g t g t max 0.即当a 0时，不等式（探）总成立，3故当a 0时，f x 1成立.2a【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末联考数学理科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设i 是虚数单位，复数z 满足()()12z i i i +-=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2、七位裁判各自对一名跳水运动员打分后，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，关于剩余分数的说法一定正确的是（ ）A ．众数不变B ．方差不变C ．平均值不变D ．中位数不变 3、函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()1f =（ ） A ．32-B ．12-C ．12D ．32 4、已知x 、y 满足约束条件230230x ax y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，且2z x y =+的最大值为11，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程为35x ty t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为()4cos sin ρθθ=+，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为（ ） A ．22B ．32 C ．42D ．526、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π7、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108、“1a =”是“直线y x =与函数()ln y x a =+的图象有且仅有一个交点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9、若函数()f x 满足()21f =且()()32f x f x +=，则()2015f =（ ）A ．6702B ．6712C ．6722D ．673210、将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、6x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是．12、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2462532a a a ++=，则9S =．13、过焦点为F 的抛物线24y x =上一点P 向其准线作垂线，垂足为Q ，若Q F 120∠P =，则F P =．14、已知a 、b 是单位向量，其夹角为120，若实数x 、y 满足6xa yb +=，则22x y +的取值范围是．15、在三棱柱111C C AB -A B 中，C ∆AB 为正三角形，1AA ⊥底面C AB ，E 是AB的中点，F 是1C B 的中点．下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）． ①F//E 平面11CC A A ； ②平面C F E ⊥平面11ABB A ；③平面C F E 截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11:1； ④若该三棱柱有内切球，则13AB =BB ；⑤若1BB 上有唯一点G ，使得1G CG A ⊥，则12BB =AB ．三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且()sinC 2sin =A-B ．()I 证明：tan 3tan A =B ； ()II 若2c b =，求角A 的值．17、（本小题满分12分）如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． ()I 估计日销售量的平均值；()II 求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率；()III 记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值（数学期望）．18、（本小题满分12分）如图，在四棱台1111CD C D AB -A B 中，1DD ⊥底面CD AB ，四边形CD AB 为正方形，1DD D 2=A =，111A B =，1C //E 平面11DD A A ．()I 证明：E 为AB 的中点；()II 求二面角1C D A -E -的余弦值．19、（本小题满分13分）设函数()()1x f x a x e =--（e 为自然对数的底数）．()I 当1a =时，求()f x 的最大值；()II 当()(),00,x ∈-∞+∞时，()1f x x<恒成立，证明：1a =．20、（本小题满分13分）已知椭圆C:22221x y a b +=（ ）0a b >>的离心率为12，． ()I 求椭圆C 的方程；()II 设动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ．请问：在x 轴上是否存在定点M ，使得Q MP ⋅M 为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21、（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，且()224n n S n n T =-+，n *∈N ．()I 证明：数列{}1n a +为等比数列； ()II 设11n n n b a +=+，证明：123n b b b ++⋅⋅⋅+<． 参考答案一、选择题：本题有10小题，每小题5分，共50分。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学理试题分类汇编22
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷上学期期末考试数学理试题分类汇编创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校选修4-1和4-4一、选修4—1：几何证明选讲1、（潮州市高三上期末）如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AC 是弦，AD ⊥CE ，垂足为D ，AC 平分∠BAD 。
（I ）求证：直线CE 是圆O 的切线；（II ）求证：AC 2＝AB •AD 。
2、（东莞市高三上期末）如图，已知圆O 的内接四边形BCED ，BC 为圆O 的直径，BC ＝2，延长CB 、ED 交于A 点，使得∠DOB ＝∠ECA ，过A 作圆O 的切线，切点为P 。
（I ）求证：BD ＝DE ；（II ）若∠ECA ＝45°，求AP 2的值。
3、（佛山市高三教学质量检测（一））如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA 、CD 的延长线交于点P ，且AD AB =，BC BP 2=． （1）求证：AB PD 2=；（2）当2=BC ，5=PC 时，求AB 的长． 4、（广州市高三1月模拟考试）如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ．（Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=,NF 与O 相交于点F ，求NF 的最大值．5、（惠州市高三第三次调研考试）如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（Ⅰ）求证：AE EB =； （Ⅱ）求EF FC ⋅的值。
作6、（揭阳市高三上期末）如图4，四边形ABCD 内接于O ，过点AO 的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知025PAB ∠=。
（Ⅰ）若BC 是O 的直径，求D ∠的大小；（Ⅱ）若025DAE ∠=,求证：2DA DC BP =⋅FCDAB EO NFCCMBEDFAFC7、（茂名市高三第一次高考模拟考试）如图，A 、B 是圆O 上的两点,且AB 的长度小于圆O 的直径，直线l 与AB 垂于点D 且与圆O 相切于点C .若1,2==DB AB （1）求证：CB 为ACD ∠的角平分线; （2）求圆O 的直径的长度。
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届天津市和平区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合{|13}A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，则集合()R A B =I ð（ ） A ．{}1,0- B ．()1,1(2,3]-⋃C ．(0,1)(1,2)(2,3]⋃⋃D ．{}0,3【答案】D【解析】根据集合{|13}A x Z x =∈-<≤，写出集合中的元素，然后根据交并补的定义计算即可.解：{}{|13}=0,1,2,3A x Z x =∈-<≤，集合{}1,2B =，{}|12R B=x x x ≠≠且ð，则()R A B =I ð{}0,3. 故选：D.本题考查集合交并补的定义和运算，考查列举法表示集合，属于基础题. 2．设x ∈R ，则“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】分别求解|2|1x ->和2430x x -+>，观察解集的关系即可得出结果. 解：|2|1x ->等价于2121x x ->-<-或，即31x x ><或；2430x x -+>的解为31x x ><或，解集相等，所以“|2|1x ->”是“2430x x -+>”的充分必要条件. 故选：C.本题考查充分必要条件的判断，涉及绝对值不等式和一元二次不等式求解集，属于基础题.3．奇函数()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，则()()63f f +-的值为（ ） A ．-10 B ．15C ．10D ．9【答案】D【解析】根据条件分析，可知()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，进而可以求出()()63f f +-的值.解：()f x 在区间[]3,6上是增函数，在区间[]3,6上的最大值为8，最小值为-1，即()()68,31f f ==-，又()f x 为奇函数，所以()31f -=，所以()()639f f +-=.故选：D.本题考查函数奇偶性和单调性的应用，属于基础题.4．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为( ) A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程．由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ．求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度．5．设0.22a =，3log 0.9b =，0.11log 4c =+，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据对数的运算可以化简0.14og .l 0c =，所以可得01c <<.同理可知12a <<，10b -<<，由此可以比较,,a b c 的大小关系.解：0.22a =，则12a <<，333log 0.9log 9log 10b ==-，10b -<<，0.10.11log 4.log 04c =+=，所以01c <<，所以a c b >>.故选：A.本题考查指对函数大小的比较，考查中间值法的应用，涉及对数函数的运算性质，属于基础题.6．将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ） A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．54π【答案】B【解析】先根据题意化简sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到()1sin 22y x ϕ=+，再沿x轴向左平移8π，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据得到的函数为偶函数，所以可知,42k k Z ππϕπ+=+∈，由此解出,4k k Z πϕπ=+∈，逐一判断选项即可得出结果.解：()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，沿x 轴向左平移8π个单位后，得到1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，解得：,4k k Z πϕπ=+∈，所以ϕ的取值不可能是4π-. 故选：B.本题考查正弦函数的二倍角公式、考查三角函数平移以及三角函数的奇偶性，熟悉三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.7．抛物线28y x =的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，()(),0A m n n >为抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】C【解析】由直线AF 与双曲线有且只有一个交点可知，直线AF 与双曲线的渐近线平行.又抛物线与双曲线共焦点，||8AF =，所以利用抛物线的定义，可求出A 点坐标，从而求出直线AF 的斜率，从而求出双曲线渐近线的斜率ba=率.解：()(),0A m n n >，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，所以直线AF 与双曲线的渐近线平行. ||8AF =，F 为抛物线的焦点，所以6m =，代入28n m =，则n =即(6,A ，AF k ==b a =2e ==.故选：C.本题考查求双曲线的离心率，涉及到直线与双曲线的位置关系，以及抛物线定义的转化，属于中档题.8．某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A ．136B ．112C ．16D ．13【答案】C【解析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可.解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题.9．已知函数21)110()20x x f x x x x x ++-<≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩.若方程()1f x kx =+有两个实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(1,]ln 2C ．(1,2]D ．12,2ln 2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】逐段分析函数()f x的单调性和最值，)x ∈+∞时，22()x x f x x++=，以1y x =+为渐近线，所以1k >时，与22()x x f x x++=，)x ∈+∞有一个交点.当1y kx =+与()1)1f x x =++相切时，即2ln 2k <时，1y kx =+与()1)1f x x =++有一个交点，由此，可求出k 的取值范围.解：当10x -<≤时，()1)1f x x =++，在(]1,0-上单调递增，在0x =处有最大值1．当0x >时，22()x x f x x++=，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，在x处取得最小值1．以1y x =+为渐近线，直线1y kx =+与()1)1f x x =++必有一个交点，若方程()1f x kx =+有两个实根，则令一根在)+∞上，所以斜率1k >，且不能与()1)1f x x =++相交，'()f x ='2(0)ln 2f ==.所以斜率k 的取值范围是2(1,]ln 2. 本题考查直线与曲线的交点问题，分析函数的单调性以及切线是常用的方法，属于中档题.二、填空题10．设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a ＝3．故答案为3本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知a ＞0，62(?)a x x的二项展开式中，常数项等于60，则(x –)6的展开式中各项系数和为 （用数字作答）． 【答案】1【解析】试题分析：62(?)a x x 展开式通项为6631662()()r r r r r rr a T C x a C x x--+=-=-，由630,2r r -==得常数项2226()60,()1560,2(0)a C a a a -=-⨯==>，所以，令1x =得622(?)x x 的展开式中各项系数和为1 【考点】二项式定理.12．设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望EX =__________．X1 2 3 4P13m14 16【答案】94【解析】利用分布列中概率和为1可求出14m =，然后通过求期望的公式即可求出期望值.解：1111346m +++=，所以14m =.所以11119123434464EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：94.本题考查求分布列的期望，解题的关键是熟记期望的公式，属于基础题.13．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，2AB =，1AC =，60BAC ∠=o ，则此球的表面积等于______． 【答案】8π【解析】【详解】试题分析：由已知条件得：01121sin 6032AA ⨯⨯⨯⨯=，∴12AA =，∵22202cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴3BC =， 设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R =，∴外接球的半径为112+=，∴球的表面积等于24(2)8ππ=. 【考点】1.棱柱的体积公式；2.余弦定理；3.球的表面积.14．如图，在ABC V 中，3AB =,4AC =,45BAC ∠=︒,2CM MB =u u u u r u u u r，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若AP mAB =u u u r u u u r ，AQ nAC =u u ur u u u r ，则当32m =时，n =___________,AP AQ ⋅=u u u r u u u r __________．【答案】35272 【解析】(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，根据平行线等分线段成比例，求出13BN AQ =u u u r u u u r ，12NB CQ =u u u r u u u r ，进而得出1123CQ QA =u u ur u u u r ，从而推导出,AQ AC u u u r u u u r 之间的关系. (2).根据第(1)问求出的比例关系，计算出||AP uuu r ，||AQ u u u r的长，又45BAC ∠=︒，由向量的数量积公式即可计算结果.解：(1). 过点B 做BN 平行AC 交PQ 于N 点，32AP AB =u u u r u u u r ，则13BN AQ =u u u r u u u r.又2CM MB =u u u u r u u u r ，则12NB CQ =u u u r u u u r ，∴ 1123CQ QA =u u ur u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r .(2). 32AP AB =u u u r u u u r ，所以39||322AP =⨯=u u u r ，35AQ AC =u u u r u u u r ，312||455AQ =⨯=u u u r ，AP AQ ⋅=u u u r u u u r 9122272||||cos 452525AP AQ ⋅=⨯⨯=o u u u r u u u r . 故答案为：35，2725.本题考查平行线等分线段成比例，考查平面向量数量积的应用，熟悉数量积公式是解题的关键，属于基础题.15．已知正实数,x y 满足22412x y xy +=+，则当x =__________时，121x y xy++的最小值是__________． 【答案】126 【解析】利用基本不等式可知12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号.而121x y xy ++运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在122y x ==时取得最小值，由此得解. 解：由题意可知：2222412244x y xy x y xy +=+≥=⋅，即12xy ≤，当且仅当“122y x ==”时取等号，21211211222221x y xy x y xy xy xy xy ++≥⋅=+=-∴22226≥-=，当且仅当“122y x ==”时取等号. 故答案为：12，6. 本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.三、解答题16．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、.已知2224cos c a b bc C =+-，且2A C π-=.（1）求cos C 的值； （2）求cos 3B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）cos 5C =（2【解析】（1）2224cos c a b bc C =+-，由余弦定理可得2a c =，再由正弦定理可得sin 2sin A C =,将2A C π-=，代入化简可得2sin cos C C =，从而求出cos C 的值.（2）由条件2A C π-=，可知5cos cos 236B C ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又cos 5C =，进而可求出sin C ，sin 2C ，以及cos 2C 的值，利用两角差的余弦即可求出结果. 解：（1）∵2224cos c a b bc C =+-,由余弦定理可得2a c =， ∴由正弦定理得sin 2sin A C =, 又∵2A C π-=,∴sin sin cos 2A C C π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, ∴2sin cos C C =，又∵22sin cos 1C C +=,解得cos 5C =.（2）由（1）知sin C =, ∴4sin 22sin cos 5C C C ==,23cos 22cos 15C C =-=, ∴5cos cos cos 2336B A C C ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭55coscos 2sin sin 266C C ππ=+314525=+⋅=本题考查利用正余弦定理转化解三角形，考查两角和与差的余弦以及二倍角公式，属于中档题.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且1 2.AB AC A B ===（1）证明：平面1A AC ⊥平面1AB B ； （2）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）若点P 为11B C 的中点，并求出二面角1P AB A --的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3π；（325．【解析】试题分析：（1）因为顶点在1A 在底面ABC 上的的射影恰好为B 得到1A B AC ⊥，又AB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得平面1A AC ⊥平面1AB B ；（2）建立空间直角坐标系，求出()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，利用向量的数量积公式求出棱1AA 与BC 所成的角的大小；（3）求出平面PAB 的法向量1n u r ，而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r，利用向量的数列积公式求解二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：1A B ABC ⊥Q 面，1A B AC ∴⊥，又AB AC ⊥，1AB A B B ⋂=，1AC AB B ∴⊥面，1AC A AC ⊂Q 面，11A AC AB B ∴⊥平面平面．（2）以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2C B A ，()10,4,2B ，()12,2,2C ，()10,2,2AA =u u u r ，()112,2,0BC B C ==-u u u r u u u u r，1111cos ,288AA BC AA BC AA BC⋅〈〉===-⋅u u u r u u u r u u u u u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故1AA 与棱BC 所成的角是3π． （3）因为P 为棱11B C 的中点，故易求得()1,3,2P ．设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =u r，则110,{0n AP n AB ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r ，由()()1,3,2{0,2,0AP AB ==u u u r u u u r ，得320{20x y z y ++==，令1z =，则()12,0,1n =-u r ， 而平面1ABA 的法向量()21,0,0n =u u r ．则12121225cos ,5n n n n n n ⋅〈〉==-=-⋅u r u u r u r u u r u r u u r ． 由图可知二面角1P AB A --为锐角，故二面角1P AB A --的平面角的余弦值是25．【考点】利用空间向量求解平面间的夹角；异面直线及其所成角；直线与平面垂直的判定．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()0,1M 作直线1l 交椭圆C 于A 、B 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O :2224a x y +=于另一点N .若ABN V 的面积为3，求直线1l 的斜率. 【答案】（1）22143x y +=（2）12± 【解析】（1）由题意可知：当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △面积取最大值，又离心率为12，则可以列出方程222121232c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，解出,,a b c 的值即可求出椭圆的方程.（2）首先讨论两条直线中斜率为0和斜率不存在的情况，判断三角形的面积是否为3；然后讨论一般情况，设直线1l 的方程为1y kx =+，直线2l 的方程为11y x k=-+，分别与椭圆和圆联立，用K 表示出线段AB 的长和点N 到直线1l 的距离，表示出ABN V 的面积，即可求出斜率的值.解：（1）∵椭圆C 的离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时， 12PF F △.∴22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为：22143x y +=. （2）若1l 的斜率为0，则||AB =||2MN =， ∴ABN V，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0. 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()2234880k x kx ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122834k x x k -+=+，122834x x k -=+，∴||AB ==直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，∴||MN ==∴ABN V的面积11||||322S AB MN =⋅==， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±. 本题考查根据基本量求椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的表示，同时考查了学生的计算能力和分析问题的能力，属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528++=a a a ，42a +是3a 、5a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较()()11211nk k k k a a a =++--∑与12的大小，并说明理由； （3）若数列{}n b 满足()*21log n n b a n N +=∈，在每两个k b 与1k b +之间都插入()1*2k k N -∈个2，使得数列{}n b 变成了一个新的数列{}p c ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p c 的前m 项和2019=m S ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）12n n a -=（2）111112212n +⎛⎫-< ⎪-⎝⎭,详见解析（3）存在992m =，使得2019=m S【解析】（1）根据条件列出方程组，解基本量即可.（2）由（1）可知通项为：()()1211k k k a a a ++⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭，对通项裂项可得：()()1112111221212121k k k k k -++⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，从而可求出前n 项和，即可比较出大小关系.（3）由（2）可知：212log log 2n n n b a n +===数列{}p c 中含有12,,,n b b b L 含有个2，所以数列{}p c 中，k b 的前所有项之和为()0122(123)22222k S k -=+++++++++L L ，求出S ，代入k 的具体值，可知当10k =时，1077S =，当11k =时，2112S =，所以在10k =的基础之上加上471个2可得2019S =，把前面所有项的个数加起来即可得到m 的值.解：（1）由42a +是3a ，5a 的等差中项，得35424a a a +=+，∴34543428a a a a ++=+=,解得48a =.∴3520a a +=，从而1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵1q >，∴解得2q =.∴11a =，从而12n n a -=.（2）由（1）知()()()()11112211111221212121k k k k k k k k a a a -++++⎛⎫==- ⎪------⎝⎭.∴()()11211nk k k k a a a =++--∑12231111111111221212212122121n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 111112212n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭ （3）212log log 2n n n b a n +===. 根据题意，数列{}p c 中，k b （含k b 项）前的所有项的和为： ()0122(1)(123)22222222k k k k S k -+=+++++++++=+-L L . 当10k =时，10552210772019S =+-=<，当11k =时，11662221122019S =+-=>，又∵201910779424712-==⨯,∴()28101222471992m =++++++=L 时，2019=m S ，∴存在992m =，使得2019=m S .本题考查用基本量求数列的通项，考查裂项相消求和，考查根据数列的和求数列的项数，属于数列新定义题型，同时考查了学生的计算能力以及学生分析问题的能力，属于难题.20．设函数()xf x ae =，()lng x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数. （1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值；（2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切；（3）当22a e≥时，证明：()[()]f x x g x b >-. 【答案】（1）最小值2e --（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）求出()F x 的解析式，求导求单调性，然后则可求出最小值.（2）总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切，及()y f x =与()y g x =永远都存在两条公切线，分别设出切点求出切线方程，根据切线方程为同一条，列出方程组求解，证明等式恒成立即可. （3）即证明当22a e ≥时，ln 0xae x x->.令()ln (0)xae G x x x x=->，求导求令()G x 的最小值大于0即可. 解：（1）1()x F x xe -=，1()(1)x F x x e '-=+，当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，故1x =-时，()F x 取得最小值()21F e --=-. （2）∵()1x f x e-'=， ∴()1x f x e-=在点()1,m m e -处的切线方程为11(1)m m y e x m e --=+-； ∵()1g x x'=， ∴()ln g x x b =+在点(),ln n n b +处的切线方程为1ln 1y x n b n =++-. 由题意得111(1)ln 1m m e nm e n b --⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，则1(1)e 0m m m b ---+=. 令1()(1)n h m m e m b -=--+，则1()1m h m me '-=-，由（1）得1m <-时，()h m '单调递增，又()10h '=，1m <时，()0h m ¢<， ∴当1m <时，()0h m ¢<，()h m 单调递减； 当1m >时，()0h m ¢>，()h m 单调递增. 由（1）得21(1)(2)110b h b b e e--=-+-+>…， 又2233(3)(2)23(2)(3)23024b h b b e b b b b b -⎛⎫-=-+->--+-=-+> ⎪⎝⎭， ()110h b =-<，所以函数()h m 在()1,1b -和()1,3b -内各有一个零点， 故当1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切.（3）()[()]ln 0xae f x x g x b x x>-⇔->. 令()ln (0)xae G x x x x=->，以下证明当22a e ≥时，()G x 的最小值大于0.求导得22(1)1(1)()x x a x e a x e x G x x x x '---=-=. ①当01x <≤时，()0G x '<，()(1)0G x G ae =>…； ②当1x >时，2(1)()(1)x a x x G x e x a x '⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦， 令()(1)x x H x e a x =--，21()0(1)x H x e a x '=+>-， 又2222(2)0ae H e a a -=-=…，取()1,2t ∈且使2(1)t e a t >-，即2211ae t ae <<-， 则22()0(1)t t H t e e e a t =-<-=-， ∵()()20H t H <,故()H x 存在唯一零点()01,2x ∈，即()G x 有唯一的极值点且为极小值点()01,2x ∈，又()0000ln x ae G x x x =-， 且()()000001x x H x e a x =-=-，即()0001x x e a x =-，故()0001ln 1G x x x =--， ∵()()02001101G x x x '=-<-，故()0G x 是()1,2上的减函数. ∴()0(2)1ln 20G x G >=->,所以()0G x >. 综上，当22a e≥时，()[()]f x x g x b >-. 本题考查利用导数求函数的最小值，考查利用导数求曲线的切线，设计到了公切线问题和导数的零点代换问题，考查了学生的计算能力和转化问题的能力，属于难题.。
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题及答案
2020届天津市部分区高三上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．1y =- C ．1x = D ．1y =【答案】A【解析】利用22y px =的准线方程为2p x =-，能求出抛物线24y x =的准线方程. 【详解】24,24,2y x p p =∴==Q ， ∴抛物线24y x =的准线方程为2p x =-， 即1x =-，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.3．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.4．直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为（ ）A ．B ．C ．2D ．4【答案】B【解析】先求圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆心到直线的距离d ==，所以||AB ===故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.5．已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【答案】D【解析】根据递推关系求得等比数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和为n S ，化简可得2n n S a =-. 【详解】*12()n n a a n N +=∈Q ，112n n a a +∴=， ∴数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列， ∴11()2n n a -=，∴11112221212nn n n S a --==-=--. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到n S 与n a 的关系.6．已知偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增，若ln3a =，21log 3b =，121log 5c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ） A ．()()()f a f b f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f c f b f a >> D ．()()()f a f c f b >>【答案】A【解析】根据题意得()f x 在区间(1,)+∞上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得a b c <<，从而利用函数的单调性可得答案.【详解】因为偶函数()f x 在区间(-∞，1)-上单调递增， 所以()f x 在区间(1,)+∞上单调递减. 因为3323311log log 20ln 3log 3log log 2e e >>⇒<⇒<，即12a b <<<， 因为112211log log 254c =>=， 所以a b c <<，所以()()()f a f b f c >>. 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.7．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C【解析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-.对A ，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误； 对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C正确； 对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.8．已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的右焦点为F 0)，点P 在C 的一条渐近线上，若(PO PF O =是原点），且∆POF 的面积为4，则C 的方程是（ ）A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133y x -=D ．2215x y -=【答案】A【解析】根据三角形的面积及PO PF =，求出点P 的坐标，再利用点P 的坐标求渐近线的斜率，从而得到ba的值，再观察选项，即可得到答案. 【详解】因为PO PF =，所以点P 的横坐标等于62， 因为∆POF 的面积为324，设点P 在第一象限， 所以1323624p p y y ⋅⋅=⇒=， 所以362b a =÷=，只有选项A 符合. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到ba的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量. 9．已知函数2ln(2)23()15363x x f x x x x ⎧-<≤=⎨-+->⎩，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3，12] B ．(3，12)C ．(0，12)D ．(0，3)【答案】D【解析】画出函数()f x 的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到k 的取值范围. 【详解】函数()f x 的图象如图所示：将直线y kx =代入2()1536f x x x =-+-得：215)360(x k x -++=，当直线y kx =与抛物线相切时，215)1440(3k k --=⇒==∆或27k =， 由于方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解， 所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以03k <<. 故选：D. 【点睛】本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.二、填空题10．i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z =________.【答案】6255+i 【解析】利用复数的除法运算，求得z =6255+i . 【详解】44(13)1246213(13)(13)1055i i i i z i i i i -+====+++-. 故答案为：6255+i . 【点睛】本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 11．621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是________（用数字作答）. 【答案】192-【解析】根据二项展开式得61621(2)()(0,1,,6)rrrr T C x r x-+=-=L ，进而得到1r =时会出现3x 项，再计算其系数. 【详解】666316621(2)()2(1)(0,1,,6)rr r r r r rr T C x C x r x---+=-=⋅⋅-⋅=L ， 当633r -=时，即1r =，所以1533262(1)192T C x x =-=-.故答案为：192-. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题. 12．已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是_______. 【答案】25【解析】利用1的代换，将求式子43a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=， 等号成立当且仅当21,55a b ==. 故答案为：25. 【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.13．已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为______.【解析】作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案. 【详解】如图所示，点E 为ABC ∆的中心，则223BE AC =⋅⋅=，2OB =，所以1OE ===，所以2111(33332ABC V S DE ∆=⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.14．设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a =_______；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S =________. 【答案】21n -22321n nn ++ 【解析】利用等差数列通项公式求得1,a d ，进而求得n a ；求出1112121n b n n =-+-+再利用分组求和法及裂项相消法求n S . 【详解】 由题意得：11149,2,212716,1,n a d d a n a d a +==⎧⎧⇒⇒=-⎨⎨+==⎩⎩.因为21111(21)(21)2121n b n n n n =+=-+-+-+，所以111113b =-+，211135b =-+，11,12121n b n n =-+-+L ， 所以212312121n n nS n n n +=-+=++. 故答案为：21n -；22321n nn ++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写. 15．设点M 、N 、P 、Q 为圆222(0)x y r r +=>上四个互不相同的点，若0MP PN ⋅=u u u r u u u r，且(PM +uuu u r )2PN PQ ⋅=u u u r u u u r ，则PQ =u u u r _______.【解析】根据0MP PN ⋅=u u u r u u u r得到MN 过圆的圆心O ，再利用向量的加法法则得2PM PN PO +=u u u u r u u u r u u u r ，由向量数量积的几何意义得到等式1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，最后求得||PQ uuu r的值.【详解】因为0MP PN ⋅=u u u r u u u r，所以MP PN ⊥u u u r u u u r ，所以MN 过圆的圆心O ，所以()22||||cos 2PM PN PQ PO PQ PO PQ θ+⋅=⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因为PO uuu r 在PQ uuu r 向量方向上的投影为：1||cos ||2PO PQ θ=u u u r u u ur ，代入上式得：2||12PQ PQ =⇒=u u u r u u u r【点睛】本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2(sin cos cos sin )sin A C A C A +=sin C +.⑴求证：a 、b 、c 成等差数列； ⑵若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值.【答案】（1）证明见解析（2）5b =，sin 2B =【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到2sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理证得2b a c =+，从而证明结论成立；（2）利用余弦定理22+49+=a b ab ，再由（1）27=-a b ，联立求得b 的值；由正弦定理求得sin B ，再利用倍角公式求得sin 2B 的值. 【详解】（1）因为()2sin cos cos sin sin sin +=+A C A C A C ， 所以()2sin sin sin A C A C +=+.由于在ABC ∆中，+=A C B π-，所以()sin sin A C B +=， 所以2sin sin sin B A C =+. 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得2b a c =+. 所以,,a b c 成等差数列. （2）在ABC ∆中，27,3c C π==， 由余弦定理，得222272cos 3a b ab π=+-, 即22+49+=a b ab .由（1）知27=-a b ，所以()()2227+2749-+-=b b b b ，解得5b =.由正弦定理，得2sin3sin b B c π==. 在ABC ∆中，因为于2=3C π，所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以11cos 14B ===.所以sin 22sin cos 98B B B ==. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求cos B 的值时，注意角0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这一条件的应用. 17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.⑴求各个年级应选取的学生人数；⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（1）高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）310（3）详见解析【解析】（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；（2）利用计算原理求得基本事件的总数为310C，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；（3）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，利用超几何分计算()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=），最后求得期望值.【详解】（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4:3:3，由于采用分层抽样方法从中选取10人，因此，高一年级应选取4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为111433310310 C C CC⋅⋅=.（3）由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布，()4 73410k k C CP X kC -==（1,2,3,4k=）. 所以，随机变量X的分布列为所以，随机变量X的数学期望为()13111412343010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查统计中的分层抽样、古典概型、超几何分布，考查统计与概率思想的应用，考查数据处理能力，求解的关键是确定随机变量的概率模型.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，1122PA PC ==，1111A B B C =123PB ==，114A C =.⑴求证：PO ⊥平面111A B C ； ⑵求二面角111B PA C --的正弦值；⑶已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =u u u u r u u u u r，求线段PH 的长度.【答案】（1）证明见解析（225（3）2【解析】（1）证明11PO A C ⊥，1PO OB ⊥，再根据111A C OB O =I ，从而得到线面垂直的证明；（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u r OP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；（3）结合（2）中()12,0,0C -，求得点2423⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H ，再求PH u u u r 的值，从而求得线段PH 的长度. 【详解】（1）在三角形11PA C 中，11PA PC =且O 为11A C 的中点， 所以11PO A C ⊥.①在1Rt PAO ∆中，11112,2AO AC ==122PA =,22112PO PA AO =-=. 连接1OB ，在111A B C ∆中，1111=23A B BC =111OB AC ⊥ 所以22111122OB A B AO =-=又123PB =22211PB PO OB =+，所以1PO OB ⊥.②又因为111A C OB O =I ，③ 由①②③，得PO ⊥平面111A B C .（2）以点O 为坐标原点，分别以11,,OA OB u u u r u u u r OP uuu r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()()()112,0,0,0,22,0,0,0,2A B P ， 所以()()111=2,22,0,=2,0,2A B A P --u u u u r u u u r.设(),,n x y z =r为平面11PA B 的法向量，则有111·0,·0.n A B n A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u v v u u u v v 即2220,220.x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令=1x ，得21.y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以21,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r .易得，()1=0,22,0OB u u u r且为平面11PA C 的法向量，所以12n OB =r u u u rg ，125n OB =r u u u r ，所以1115cos ,5n OB n OB n OB ==r u u u rr u u u r g r u u u r .故所求二面角111B PA C --=（3）由（2）知()12,0,0C -.设点()111,,H x y z =，则()1111,B H x y z =-u u u u r.又()112,B C =--u u u u r ，11113B H BC =u u u u r u u u u r ，所以()()1111,2,3x y z -=--，从而1112,30.x y z ⎧=-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩即点23⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭H .所以2,233PH ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .所以PH ==u u u r 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、向量法求空间角及空间中线段的长度，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系建立的适当性.19．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(F c -，0)、2(F c ，0)，点P在椭圆上，O 为原点. ⑴若PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；⑵若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(3ee OF OA F A+=为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程；②设直线l ：2y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值.【答案】（11（2）①2214x y +=②2k =±【解析】（1）由题意得12PF PF ⊥，利用勾股定理得1PF =，再利用椭圆的定义得到,a c 的关系，从而求得离心率；（2）①由22113eOF OA F A+=，得223c b =，求出,,a b c 后，即可得到椭圆的方程； ②设点()()1122,,,P x y Q x y ，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求得PQ 关于k 的解析式，再由点到直线的距离公式，得到面积POQ S ∆=从而求得k 的值. 【详解】（1）连接1PF .因为22,3OP OF c F OP π==∠=， 所以2POF ∆是等边三角形，所以22,3PF c PF O π=∠=. 又21OP OF OF ==，所以12PF PF ⊥,所以1PF =.于是，有)1221a PF PF c =+=，所以1c e a ==-1. （2）①由22113e OF OA F A +=，得()113cc a a a c +=-， 整理，得223c b =.又因为22b =，所以1b =，22223,4c a b c ==+=.故所求椭圆的方程为2214x y +=.②依题意，设点()()1122,,,P x y Q x y .联立方程组222,1.4y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，并整理得()224116120k x kx +-+=.则()()222256484116430k k k ∆=-+=->，（）且1212221612,4141k x x x x k k +==++，所以12241PQ x k =-==+.又点O 到直线l 的距离为d =，所以1122POQS PQ d ∆=⋅==因为1POQS ∆=1=，解得2k =±.经验证2k =±满足（）式，故所求实数k =【点睛】本题考查椭圆的离心率、椭圆方程的求解、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等的综合运用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 20．已知函数21()ln()(1)(2f x ex ax a x e =+++为自然对数的底数）. ⑴当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，(1))f 处的切线方程； ⑵讨论()f x 的单调性； ⑶当0a <时，证明3()12f x a≤--. 【答案】（1）8210x y --=（2）见解析（3）证明见解析 【解析】（1）当1a =时，()12f x x x'=++，利用导数的几何意义求得切线方程； （2）对函数进行求导得()()'11()ax x f x x++=，对a 分0a ≥和0a <两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间； （3）证明不等式()312f x a ≤--成立等价于证明()max 312f x a≤--成立，再构造函数进行证明. 【详解】（1）当1a =时，()()21ln 22f x ex x x =++. 所以()12f x x x '=++， 所以()111241k f '==++=，又()712f =. 所以曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()7412y x -=-， 即8210x y --=.（2）易得()()21111ax a x f x ax a x x+++'=+++=()()11ax x x ++=（0x >）. ①当0a ≥时，()0f x '>，此时()f x 在()0,∞+上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-. 则当10x a <<-时，()0f x '>，此时()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当1x a >-时，()0f x '<，此时()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （3）由（2）知，当0a <时，()f x 在1x a=-处取得最大值， 即()()2max111ln 12e a f x f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+⨯++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11ln 2a a⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()312f x a ≤--等价于()max 312f x a ≤--，即113ln 122a aa ⎛⎫--≤-- ⎪⎝⎭， 即11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭.（※） 令1t a=-，则0t >.不妨设()lnt 1g t t =-+（0t >），所以()111tg t t t-'=-=（0t >）. 从而，当()0,1t ∈时，()0g t '>；当()1,t ∈+∞时，()0g t '<， 所以函数()g t 在区间()0,1上单调递增；在区间()1,+∞上单调递减. 故当1t =时()()max 10g t g ==.所以当0t >时，总有()()max 0g t g t ≤=. 即当0a <时，不等式（※）总成立， 故当0a <时，()312f x a≤--成立. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.。
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天津市和平区2018届高三上学期期末考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
） A
C
2．
）
A
．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3
）
A ．9
B ．5
C ．1
D ．-5
4
该直线斜率的取值范围是（ ）
A
5 ）
A ．72
B ．90
C ．101
D ．110
6）
A
C
72
）
A
8．
）
A
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9
10的系数为．（用数字作答）
11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．
a>，则的最小值为．
12．已知0
13的值为．
14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15
.
16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次
4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响.
（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；
.
17
.
18．已知{}n a是等差数列，
{}{
19
.
.
20.
.
和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科
期末质量调查试卷参考答案
一、选择题
1-4:CABD 5-8:BDAC
二、填空题
9．60 11
12．-1 13．4 14．480
三、解答题
15．解：
16．解：
0,1,2,3.
17．
以A 为原点，分别以,,CB AC AP uu r uu u r uu u r .。