1.1.1变化率问题PPT课件
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111变化率教学文档
解 △x＝2－1.9＝0.1
△y＝f(2)－f(1.9)＝0.2
y ? xΒιβλιοθήκη 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
x
x2 x1
x
小结：
y 1.函数的平均变化率 x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
作业：
名师P2:1-7
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
则平均变化率为
y = f(x2 ) - f(x1 )
x
x2 - x1
= f(x1 +
x)- f(x1) x
注意：
1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，
y 但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
是
V(r) = 43π r3
如果将半径 r 表示为体积V的函数，那么
3V r(V)= 3 4π
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思 是：随着气球体积的增大，当气球体积__增__加__量__相___同__时，
相应半径的_增___加__量_越来越小.
从而:“随着气球体积的增大,比值 (即平均膨胀率)越来越小”。
2，若函数f (x)为常函数时， △ y= 0
思考?
3.平均变化率的几何意义
△y＝f(2)－f(1.9)＝0.2
y ? xΒιβλιοθήκη 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
x
x2 x1
x
小结：
y 1.函数的平均变化率 x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率 y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
作业：
名师P2:1-7
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
则平均变化率为
y = f(x2 ) - f(x1 )
x
x2 - x1
= f(x1 +
x)- f(x1) x
注意：
1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，
y 但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
是
V(r) = 43π r3
如果将半径 r 表示为体积V的函数，那么
3V r(V)= 3 4π
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思 是：随着气球体积的增大，当气球体积__增__加__量__相___同__时，
相应半径的_增___加__量_越来越小.
从而:“随着气球体积的增大,比值 (即平均膨胀率)越来越小”。
2，若函数f (x)为常函数时， △ y= 0
思考?
3.平均变化率的几何意义
高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修22072113
第一章 §1.1变化率与导数(dǎo shù)
1.1.1 变化率问题(wèntí) 1.1.2 导数的概念
第一页，Байду номын сангаас32页。
学习目标
1.了解(liǎojiě)导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
问题(wèntí) 导学
题型探究 (tànjiū)
解析(jiě xī)
1 2345
2.物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v＝
s1＋Δt－s1
lim
Δx→0
Δt
＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( C )
A.9.8 m/s是物体(wùtǐ)从0 s到1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
简记(jiǎn jì)为一差，二比，三极限.
特别提醒 ①取极限前，要注意化简 ，Δy保证使Δx→0时分母不为0. Δx
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
第三十二页，共32页。
返回
x4]这几个(jǐ ɡè)区间内，平均变化率最大的一个区
间是________. [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，
x4]上平均变化率分别为
fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fx结x44－ －合(fxj3ixé3h，é)图象可
解 割线PQ的斜率(xiélǜ)即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化ΔΔ率yx . ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2， ∴割线PQ的斜率k＝ Δ＝y 1＋Δx.
1.1.1 变化率问题(wèntí) 1.1.2 导数的概念
第一页，Байду номын сангаас32页。
学习目标
1.了解(liǎojiě)导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
问题(wèntí) 导学
题型探究 (tànjiū)
解析(jiě xī)
1 2345
2.物体自由落体的运动方程为 s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若 v＝
s1＋Δt－s1
lim
Δx→0
Δt
＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( C )
A.9.8 m/s是物体(wùtǐ)从0 s到1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
简记(jiǎn jì)为一差，二比，三极限.
特别提醒 ①取极限前，要注意化简 ，Δy保证使Δx→0时分母不为0. Δx
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
第三十二页，共32页。
返回
x4]这几个(jǐ ɡè)区间内，平均变化率最大的一个区
间是________. [x3，x4]
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，
x4]上平均变化率分别为
fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fx结x44－ －合(fxj3ixé3h，é)图象可
解 割线PQ的斜率(xiélǜ)即为函数f(x)从1到1＋Δx的平均变化ΔΔ率yx . ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2， ∴割线PQ的斜率k＝ Δ＝y 1＋Δx.
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
1.1.1变化率
14
h
问题2
高台跳水
12
在高台跳水运动中,运 动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时 间t（单位：秒）存在函数 关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略地描 述其运动状态?
-20 -15 -10 -5
10
-2 5
平均速度：物体的运动位移与所用时间的比 称为平均速度。
平均变化率定义: 对于函数 y f ( x) 当自变量 x 从 x1 变化到 x2时，函数值就从 y1 变 化到 y2 ，
f ( x2 ) f ( x1 ) 则 x2 x1 称为函数 f ( x) 从x1到x2的平均变化率.
若设 x x2 x1 , y f ( x2 ) f ( x1 ) ,则平均变化率为
作业：预习导数的概 念，体会怎样由函数 的平均变化率过渡到 瞬时变化率（即导数） 的？
小结：
1.函数的平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1) （2）求函数的平均变化率
y f ( x1 x) f ( x1 ) x x
它的几何意义是什么呢？ 观察函数 y f ( x) 图象
y
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的 斜率
f(x1) O
A x2-x1=△x x
x1
x2
变化率与导数
新知应用
1.已知函数 f ( x) x 2，分别计 f ( x) 算 在下列区间上的平均变化 率：
(人教A版)数学【选修2-2】1-1-1《变化率问题》ppt课件
势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间
[0，π]上的平均变化率为0，而在[0，
π 2
]上的平均变化率为
sinπ2π2－ －s0in0＝2π.
在平均变化率的意义中，f(x2)－f(x1)的值可正、可负，也 可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 求函数的平均变化率
(3)平均变化率的几何意义是函数 y＝f(x)图象上两点 P1(x1， f(x1))，P2(x2，f(x2))所在直线的斜率；
(4)平均变化率的物理意义是把位移 s 看成时间 t 的函数 s ＝s(t)，在时间段[t1，t2]上的平均速度，即 v ＝st2t2－－ts1t1.
随堂训练
1.一物体的运动方程是 s＝2t2，则从 2 s 到 3 s 这段时间内路
误区警示 本题1不要认为 t＝0 时，S＝0.所以初速度是零.
二 平均变化率的快慢比较
【例 2】 求正弦函数 y＝sinx 在 0 到6π之间及π3到2π之间的 平均变化率．并比较大小．
【分析】 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变 化率，再比较大小．
【解】 设 y＝sinx 在 0 到6π之间的变化率为 k1，则
2．求平均变化率的步骤 求函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)计算自变量的增量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1.
3．对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋
【例1】 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S ＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度．
1.1.1变化率问题.ppt1
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
t
h(0.5) h(0) 在0 t 0.5这段时间里， v 4.05(m / s) 0.5 0 h(2) h(1) 在1 t 2这段时间里， v 8.2(m / s) 2 1
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
小结：
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略
1.1变化率与导数
冷水江一中 孙祝梧
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数 增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解： 1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但的 △x值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
2 1
随着气球体积逐渐 变大,它的平均膨胀率逐 渐变小
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
t
h(0.5) h(0) 在0 t 0.5这段时间里， v 4.05(m / s) 0.5 0 h(2) h(1) 在1 t 2这段时间里， v 8.2(m / s) 2 1
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
小结：
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
3.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一种粗略
1.1变化率与导数
冷水江一中 孙祝梧
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数 增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
理解： 1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但的 △x值不能为0， △ f 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ f =0 3, 变式
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
2 1
随着气球体积逐渐 变大,它的平均膨胀率逐 渐变小
1.1.1变化率问题 (共23张PPT)
解: ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx， ∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔxy＝Δx3＋3ΔΔxx2＋3Δx ＝(Δx)2＋3Δx＋3. 设 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1，则 k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
[方法规律总结] 函数平均变化率的几何意义和物理意义
平均变化率的几何意义是：函数y＝f(x)图象上割线P1P2的
斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
；物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在
时间段[t1，t2]上的平均速度，即－v ＝st2t2－－st1t1.
思考 观察函数 f x
y
y fx 的图象, 平均变化率
fx2
B
fx1
A
x2 x1
y fx2 fx1
f
x
x2 f x1 x2 x1
O
x1
x2
x表示什么?
直线AB的斜率
例1 过曲线 f(x)＝x3 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作
曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系 如图，试比较两人的平均速度哪个大？
解：由图象可知
s1(t0 ) s2 (t0 ), s1(0) s2 (0) 甲的平均速度为：s1(t0 ) s1(0) 乙的平均速度为：s2 (t0 )t0 s2 (0)
s1(t0 )
f (1) f (3) [2 (1) 1] [2 (3) 1] 2
1 (3)
[方法规律总结] 函数平均变化率的几何意义和物理意义
平均变化率的几何意义是：函数y＝f(x)图象上割线P1P2的
斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝
fx2－fx1 x2－x1
＝
fx1＋Δx－fx1 Δx
；物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在
时间段[t1，t2]上的平均速度，即－v ＝st2t2－－st1t1.
思考 观察函数 f x
y
y fx 的图象, 平均变化率
fx2
B
fx1
A
x2 x1
y fx2 fx1
f
x
x2 f x1 x2 x1
O
x1
x2
x表示什么?
直线AB的斜率
例1 过曲线 f(x)＝x3 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作
曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系 如图，试比较两人的平均速度哪个大？
解：由图象可知
s1(t0 ) s2 (t0 ), s1(0) s2 (0) 甲的平均速度为：s1(t0 ) s1(0) 乙的平均速度为：s2 (t0 )t0 s2 (0)
s1(t0 )
f (1) f (3) [2 (1) 1] [2 (3) 1] 2
1 (3)
课件6：1.1.1 变化率问题
∆
的值可正、可负，但 中
∆
的值不能为0， △ y 的值可以为0
2、若函数f (x)为常数时， △y =0
3、变式:
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 )
x2 x1
x
△x
2.求函数平均变化率的步骤
求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率：
1.1.1 变化率问题
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数
学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微
积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意
时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) y
x2 x1
x
x是 一 个 整 体 符 号
, 而 不 是与x相 乘.
理解
y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
1、式子中△x 、△ y
[分析] 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，点P(x0，
y0)是曲线C上的定点，点Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线C上与点P
邻近的点，则有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，割线PQ的斜率k
Δy fx0＋Δx－fx0
＝Δx＝
.
Δx
【解析】∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋
（1）确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
课件8：1.1.1 变化率问题~1.1.2 导数的概念
刻画函数在 某一点处变化的快慢
点睛 “Δx无限趋近于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定 的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
li m
Δx→0
ΔΔyx＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法 实质
f′(x0) 或 y′|x＝x0 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x) 在 x＝x0 处的 瞬时变化率
均速度为( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
【答案】A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
()
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
【答案】C
4．在 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为 ( )
题型二 求瞬时速度 典例 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系 是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解：(1)当 t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段 [0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－Δt(Δt)2＝3－Δt，Δlxi→m0 ΔΔst＝Δlxi→m0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
点睛 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的 任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可 以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
点睛 “Δx无限趋近于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定 的任意小的正数，且始终Δx≠0.
3．导数的概念
定义式
li m
Δx→0
ΔΔyx＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
记法 实质
f′(x0) 或 y′|x＝x0 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x) 在 x＝x0 处的 瞬时变化率
均速度为( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
【答案】A
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为
()
A．4
B．4x
C．4.2
D．4.02
【答案】C
4．在 f′(x0)＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 不可能为 ( )
题型二 求瞬时速度 典例 一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系 是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．
解：(1)当 t＝0 时的速度为初速度．在 0 时刻取一时间段 [0,0＋Δt]，即[0，Δt]， ∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02) ＝3Δt－(Δt)2， ΔΔst＝3Δt－Δt(Δt)2＝3－Δt，Δlxi→m0 ΔΔst＝Δlxi→m0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为 3.
点睛 Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的 任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可 以为负．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
高中数学 1.1.1-1.1.2变化率问题 导数的概念课件 新人教A版选修2-2
一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是
Δ������ Δ������ →0 Δ������
������������������
= ������������������
������(x0 +Δ������)-������(x0 ) ,称它为函数 Δ������ Δ������ →0
y=f(x)在 x=x0 处的导数.
Δ������→0 ������x Δ������→0
,在 x=-2
������ ������
=
������(2 )-������(-2 ) 2 -(-2 )
=0.
lim
������y
= ������������������
������(-2 +������)-������(-2 ) ������
������
������
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
解 :(1)∵f(x)=3x2+2,∴ 2 2 f(x0)=3������0 +2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3������0 +6x0·Δx+3(Δx)2+2. ∴Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=6x0·Δx+3(Δx)2.
-5 Δ������ =-5. Δ������ ������y ∴f'(2)= lim = ������������������ (-5)=-5. Δ������→0 ������x ������ x →0 Δ������ Δ������
1.1.1变化率问题课件人教新课标
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
x
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式
f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
思考:
❖ 视察函数f(x)的图象
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想
如何量化直线的倾斜程度。
（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段峻峭程度，为什么？
在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
平均变化率 f(x2 ) f ( x1) y
x x 2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
表示什么?
直线AB的斜率
f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
x
x1
x2
做两个题吧!
❖ 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则
Δy/Δx=( )D
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运
动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v h(0.5) h(0) 4.05(m/s);
0.5 0
在1≤ t ≤2这段时间里, v h(2) h(1) 8.2(m/s);
2 1
探 究:
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2-1
显然
0.62>0.16
.
10
l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
.
11
问题2 高台跳水
想想运 动员跳水的 过程？
.
12
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?
常数函数时，Δy＝0.
2. x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘.
.
19
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)
及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( c )
A. 3
B. 4
C. 1
D. -1
.
20
2.平均变化率的几何意义
• 观察函数f(x)的图象A点到B点的
思考
.
14
高台跳水问题中, h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算在 0t 65这段时间里的平,均速度
49
h
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
思 考 下 面 问 题 ；
1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？o
t
2 ） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
.
15
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
l当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
v h(t2) h(t1) t2 t1
.
16
总结
以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为 f (x 2 ) - f (x 1 )
合作探究1
学生讨论以下问题,并发表见解 : (1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元， 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ (2 )在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用 5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？
.
1
合作探究2
某市2016年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的 两天,4月19日和4月18日最高气温分别为24.4 ℃ 和 18.6 ℃ ,短短两天时间,气温“陡增”14.8 ℃ ,闷热中 的人们无不感叹:“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市2016年3月18日最高气温 3.5 ℃ 与4月18日最高气温18.6 ℃ 进行比较,我们发现 两者温差为15.1 ℃ ,甚至超过了14.8 ℃ .而人们却不会 发出上述感叹.
你能解释为什么吗?
考虑事物的变化需. 要针对2个量进行比较! 2
观察
为什么跳
水运动员的速 度越来越快呢？
问题1 气球膨胀率
.
7
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过 程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?
.
8
l 气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 之间的函数关系是 V(r) = 4 πr3 3
l如果将半径r表示为体积V的函数,那么
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
(2)解：
△y=f (x0 +△x)- f (x0) =2△x ·x0 +(△x )2
请计算
0 t 0 . 5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 :
.
13
在 0 t 0 . 5 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(0.5)-h(0)=4.0（ 5m/s) 0.5-0
在 1 t 2 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(2)-h(1)=-8.（ 2m/s) 2-1
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) - f(x1 )
x2 - x1
y f(x2)
Y=f(x) X2-x1
B
f(x2)-f(x1)
割线AB 的斜率
f(x1) O
A x
x1 x2
.
21
例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在X0附近的平均变化率。
y f (x2)- f (x1) f(x1 x)- f (x1)
x
x2 - x1
x
我 们 可 以 用 y表 示 f.(x )的 平 均 变 化 率18 x
注意！
1．Δx是自变量x的改变量，它可以为正， 也可以为负，但不能等于零，而Δy是相
应函数值的改变量，它可以为正，可以 为负，也可以等于零，特别是当函数为
.
3
解决以上问题,就需要我 们来学习一种新的函数来解释 这种现象！
.
4
§1.1 导数概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的
变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度 ，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些 在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计 算问题。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一
步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化
的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变
量有微小变化时，函数大.体上变化多少。
5
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题，开始变化率与导 数的学习吧！
.
6
x2 - x1
.
17
1.平均变化率的定义
l 上述问题中的变化率可用式子
f
(x2 )
f
(
x1
)
表示
x2 x1
Байду номын сангаас
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
3V r(V) = 3
4π
.
9
r(V) = 3 3V 4π
l当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1)-r(0)0.62(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm/L)
1-0
l当V从1增加到2时,气球半径增加 r(2)-r(1)0.16(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm/L)
显然
0.62>0.16
.
10
l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
.
11
问题2 高台跳水
想想运 动员跳水的 过程？
.
12
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?
常数函数时，Δy＝0.
2. x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘.
.
19
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)
及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( c )
A. 3
B. 4
C. 1
D. -1
.
20
2.平均变化率的几何意义
• 观察函数f(x)的图象A点到B点的
思考
.
14
高台跳水问题中, h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算在 0t 65这段时间里的平,均速度
49
h
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
思 考 下 面 问 题 ；
1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？o
t
2 ） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
.
15
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
l当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
v h(t2) h(t1) t2 t1
.
16
总结
以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为 f (x 2 ) - f (x 1 )
合作探究1
学生讨论以下问题,并发表见解 : (1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元， 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ (2 )在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用 5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？
.
1
合作探究2
某市2016年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的 两天,4月19日和4月18日最高气温分别为24.4 ℃ 和 18.6 ℃ ,短短两天时间,气温“陡增”14.8 ℃ ,闷热中 的人们无不感叹:“天气热得太快了！”
但是，如果我们将该市2016年3月18日最高气温 3.5 ℃ 与4月18日最高气温18.6 ℃ 进行比较,我们发现 两者温差为15.1 ℃ ,甚至超过了14.8 ℃ .而人们却不会 发出上述感叹.
你能解释为什么吗?
考虑事物的变化需. 要针对2个量进行比较! 2
观察
为什么跳
水运动员的速 度越来越快呢？
问题1 气球膨胀率
.
7
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过 程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?
.
8
l 气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 之间的函数关系是 V(r) = 4 πr3 3
l如果将半径r表示为体积V的函数,那么
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
(2)解：
△y=f (x0 +△x)- f (x0) =2△x ·x0 +(△x )2
请计算
0 t 0 . 5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 :
.
13
在 0 t 0 . 5 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(0.5)-h(0)=4.0（ 5m/s) 0.5-0
在 1 t 2 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(2)-h(1)=-8.（ 2m/s) 2-1
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) - f(x1 )
x2 - x1
y f(x2)
Y=f(x) X2-x1
B
f(x2)-f(x1)
割线AB 的斜率
f(x1) O
A x
x1 x2
.
21
例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在X0附近的平均变化率。
y f (x2)- f (x1) f(x1 x)- f (x1)
x
x2 - x1
x
我 们 可 以 用 y表 示 f.(x )的 平 均 变 化 率18 x
注意！
1．Δx是自变量x的改变量，它可以为正， 也可以为负，但不能等于零，而Δy是相
应函数值的改变量，它可以为正，可以 为负，也可以等于零，特别是当函数为
.
3
解决以上问题,就需要我 们来学习一种新的函数来解释 这种现象！
.
4
§1.1 导数概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的
变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度 ，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些 在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计 算问题。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一
步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化
的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变
量有微小变化时，函数大.体上变化多少。
5
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题，开始变化率与导 数的学习吧！
.
6
x2 - x1
.
17
1.平均变化率的定义
l 上述问题中的变化率可用式子
f
(x2 )
f
(
x1
)
表示
x2 x1
Байду номын сангаас
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
3V r(V) = 3
4π
.
9
r(V) = 3 3V 4π
l当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1)-r(0)0.62(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm/L)
1-0
l当V从1增加到2时,气球半径增加 r(2)-r(1)0.16(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm/L)