1.1.1变化率问题PPT课件
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2-1
显然
0.62>0.16
.
10
l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
.
11
问题2 高台跳水
想想运 动员跳水的 过程？
.
12
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?
y f (x2)- f (x1) f(x1 x)- f (x1)
x
x2 - x1
x
我 们 可 以 用 y表 示 f.(x )的 平 均 变 化 率18 x
注意！
1．Δx是自变量x的改变量，它可以为正， 也可以为负，但不能等于零，而Δy是相
应函数值的改变量，它可以为正，可以 为负，也可以等于零，特别是当函数为
x2 - x1
.
17
1.平均变化率的定义
l 上述问题中的变化率可用式子
f
(x2 )
f
(
x1
)
表示
x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
.
3
解决以上问题,就需要我 们来学习一种新的函数来解释 这种现象！
.
4
§1.1 导数概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的
变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度 ，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些 在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计 算问题。
但是，如果我们将该市2016年3月18日最高气温 3.5 ℃ 与4月18日最高气温18.6 ℃ 进行比较,我们发现 两者温差为15.1 ℃ ,甚至超过了14.8 ℃ .而人们却不会 发出上述感叹.
你能解释为什么吗?
考虑事物的变化需. 要针对2个量进行比较! 2
观察
为什么跳
水运动员的速 度越来越快呢？
问题1 气球膨胀率
.
7
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过 程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?
.
8
l 气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 之间的函数关系是 V(r) = 4 πr3 3
l如果将半径r表示为体积V的函数,那么
平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
.
15
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
l当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
v h(t2) h(t1) t2 t1
.
16
总结
以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为 f (x 2 ) - f (x 1 )
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
(2)解：
△y=f (x0 +△x)- f (x0) =2△x ·x0 +(△x )2
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) - f(x1 )
x2 - x1
百度文库
y f(x2)
Y=f(x) X2-x1
B
f(x2)-f(x1)
割线AB 的斜率
f(x1) O
A x
x1 x2
.
21
例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在X0附近的平均变化率。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一
步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化
的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变
量有微小变化时，函数大.体上变化多少。
5
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题，开始变化率与导 数的学习吧！
.
6
请计算
0 t 0 . 5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 :
.
13
在 0 t 0 . 5 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(0.5)-h(0)=4.0（ 5m/s) 0.5-0
在 1 t 2 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(2)-h(1)=-8.（ 2m/s) 2-1
常数函数时，Δy＝0.
2. x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘.
.
19
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)
及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( c )
A. 3
B. 4
C. 1
D. -1
.
20
2.平均变化率的几何意义
• 观察函数f(x)的图象A点到B点的
思考
合作探究1
学生讨论以下问题,并发表见解 : (1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元， 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ (2 )在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用 5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？
.
1
合作探究2
某市2016年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的 两天,4月19日和4月18日最高气温分别为24.4 ℃ 和 18.6 ℃ ,短短两天时间,气温“陡增”14.8 ℃ ,闷热中 的人们无不感叹:“天气热得太快了！”
3V r(V) = 3
4π
.
9
r(V) = 3 3V 4π
l当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1)-r(0)0.62(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm/L)
1-0
l当V从1增加到2时,气球半径增加 r(2)-r(1)0.16(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm/L)
.
14
高台跳水问题中, h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算在 0t 65这段时间里的平,均速度
49
h
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
思 考 下 面 问 题 ；
1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？o
t
2 ） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？
显然
0.62>0.16
.
10
l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
.
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问题2 高台跳水
想想运 动员跳水的 过程？
.
12
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位： 秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态?
y f (x2)- f (x1) f(x1 x)- f (x1)
x
x2 - x1
x
我 们 可 以 用 y表 示 f.(x )的 平 均 变 化 率18 x
注意！
1．Δx是自变量x的改变量，它可以为正， 也可以为负，但不能等于零，而Δy是相
应函数值的改变量，它可以为正，可以 为负，也可以等于零，特别是当函数为
x2 - x1
.
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1.平均变化率的定义
l 上述问题中的变化率可用式子
f
(x2 )
f
(
x1
)
表示
x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
.
3
解决以上问题,就需要我 们来学习一种新的函数来解释 这种现象！
.
4
§1.1 导数概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的
变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度 ，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些 在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。
本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再 介绍它们的计算方法，从而解决有关变化率的计 算问题。
但是，如果我们将该市2016年3月18日最高气温 3.5 ℃ 与4月18日最高气温18.6 ℃ 进行比较,我们发现 两者温差为15.1 ℃ ,甚至超过了14.8 ℃ .而人们却不会 发出上述感叹.
你能解释为什么吗?
考虑事物的变化需. 要针对2个量进行比较! 2
观察
为什么跳
水运动员的速 度越来越快呢？
问题1 气球膨胀率
.
7
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过 程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角 度,如何描述这种现象呢?
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8
l 气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 之间的函数关系是 V(r) = 4 πr3 3
l如果将半径r表示为体积V的函数,那么
平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
.
15
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
l当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
v h(t2) h(t1) t2 t1
.
16
总结
以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表
示. 那么变化率为 f (x 2 ) - f (x 1 )
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
y 4 2 x 2
(2)解：
△y=f (x0 +△x)- f (x0) =2△x ·x0 +(△x )2
平均变化率 表示什么?
f(x2 ) - f(x1 )
x2 - x1
百度文库
y f(x2)
Y=f(x) X2-x1
B
f(x2)-f(x1)
割线AB 的斜率
f(x1) O
A x
x1 x2
.
21
例2 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1在X0附近的平均变化率。
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一
步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化
的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变
量有微小变化时，函数大.体上变化多少。
5
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
丰富多彩的变化率问题 随处可见. 让我们从其中的 两个问题，开始变化率与导 数的学习吧！
.
6
请计算
0 t 0 . 5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 :
.
13
在 0 t 0 . 5 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(0.5)-h(0)=4.0（ 5m/s) 0.5-0
在 1 t 2 这 段 时 间 里 的 平 均 速 度 :
v=h(2)-h(1)=-8.（ 2m/s) 2-1
常数函数时，Δy＝0.
2. x 是一个整体符号，而不是 与 x 相乘.
.
19
例题1
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)
及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( c )
A. 3
B. 4
C. 1
D. -1
.
20
2.平均变化率的几何意义
• 观察函数f(x)的图象A点到B点的
思考
合作探究1
学生讨论以下问题,并发表见解 : (1)在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元， 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ (2 )在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用 5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人 的经营成果？
.
1
合作探究2
某市2016年4月20日最高气温为33.4℃,而此前的 两天,4月19日和4月18日最高气温分别为24.4 ℃ 和 18.6 ℃ ,短短两天时间,气温“陡增”14.8 ℃ ,闷热中 的人们无不感叹:“天气热得太快了！”
3V r(V) = 3
4π
.
9
r(V) = 3 3V 4π
l当V从0增加到1时,气球半径增加 r(1)-r(0)0.62(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm/L)
1-0
l当V从1增加到2时,气球半径增加 r(2)-r(1)0.16(d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm/L)
.
14
高台跳水问题中, h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
计算在 0t 65这段时间里的平,均速度
49
h
h(65) h(0) 10 49
v h 0 t
思 考 下 面 问 题 ；
1） 运 动 员 在 这 段 时 间 里 是 静 止 的 吗 ？o
t
2 ） 你 认 为 用 平 均 速 度 描 述 运 动 员 的 状 态 有 什 么 问 题 吗 ？