用高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布(2013年)
一元二次方程根的分布(讲课) ppt课件
9 k5
16
2
ppt课件
y
1 0 1 2 3 x
1
32
练习4、若x2 3 x k 0在[1，1]上有实根，求k的范围。 2
解：要使方程有根，则
0
(k1 ) 0 b k1 2a
2
k2
或
f(k2 ) 0
b k1 k2
2a
2
ppt课件
f (k1) 0
f
(k2
)
0
30
练习1、若关于x的方程7x2 ( p 13)x p2 p 2 0的
两根、满足0 1 2,求实数p的取值范围。
(m，n)内,求a,b,c满足的条件。
f (x) ax2 bx c (a 0)
0
m
b
n
2a
f (m) 0 f (n) 0
y
1
m0
n
x
ppt课件
25
例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上
有两个根，求m的取值范围。
例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根
大于1，试求实数k 的取值范围。
解：设f (x) 3kx2 2x 4k 2
由图象得： kf (1) 0
y
解得：k 4或k 0
2
1
01
3x
ppt课件
21
类型三：
三、若关于x的方程ax2 +bx + c=0(a>0)的一个根在
4m2 4(m2 1) 0
第12讲 二次方程根的分布
新高一数学第12讲一元二次方程根的分布知识要点方程的根与函数的零点函数零点：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点. 函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标.即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点.若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x ；下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用.一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤.定理101>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围.练习、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围.定理201<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ， 推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 例2若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围.定理3210x x <<⇔0<ac 例3k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤,k 为常数,则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.定理121x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042定理2k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042 定理321x k x <<⇔0)(<k af推论1210x x <<⇔0<ac推论2211x x <<⇔0)(<++c b a a定理4有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f例4、已知方程222230x mx m ++-=有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围.（2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间，求m 的取值范围.（3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间，求实数m 的取值范围零点与根的存在性定理零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点.既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根.注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；题型1：零点存在性定理例1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；例2.证明：函数331y x x =+-在区间()0,1上有零点.思考题：1.如果0x 是二次函数()y f x =的零点，且0m x n <<，那么()()0f m f n ⋅<一定成立吗？2.若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围.。
一元二次方程根分布
一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况 两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论 ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（0<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布情况归纳总结(2013.07.22)
一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k的大小比较）k k k表三：（根在区间上的分布）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m<<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0 若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。
高中数学3.2.4一元二次方程根的分布优秀课件
f(x)的图象
0 x1 x2 x
0
x1 x2
x
0
x
满足 条件1
xx11+x2x=2=ac-
b a
>0
>0
xx11+x2x=2=ac-
b a
<0
>0
c<0.
△=b2-4ac≥0. △=b2-4ac≥0.
满足 条件2
-
b 2a
>0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
-
b 2a
<0
△=b2-4ac≥0
f(0)>0.
0
f
(3) 2
0
或f
(3) 2
0,
1 2
m
7. 2
m
4
3 2
5、 若 二 次 函 数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在 区 间 [-1,1]内 至 少 存 在 一 点 C(c,0),使 f(c)>0, 则 实 数 p的 取 值 范 围 为 __3 ，_32___
正难则反：
2.由“数” “形” “数”
的每一步转化都应是等价的 3.其中由“形〞到“数〞的转化常考 虑根:据图象列不等式(判别式、对称 轴、端点函数值)
【作 业】
1.方程x2-2mx+3=0的两根均大于1，求m 的取值范围. 2.方程x2-mx+2=0的两根一个大于1一个 小于1，求m的取值范围. 3.假设方程3x2－5x+a=0的一根在(-2, 0) 内，另一根在(1, 3)内，求x
-
b 2a
>k
△=b2-4ac≥0
f(k)>0.
高一数学一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<kk k大致图象（>a ）得出的结论 ()()0002f m f n b m n a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩ ()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩ 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
人教A版高中数学必修第一册课件：一元二次方程的根的分布问题
（5） 一个根大于1，一个根小于1
即 两个根都在（m , n）内 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
{m|0<m≤1}
方程两根都小于m（m=0)
结论
1 方程有两个正根 代数方法
b2 4ac 0
x1
x2
b a
0
x1
•
x2
c a
0
0
方程两根都大于m(m=0)
f
0
2 一元二次不等式的应用
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
（5） 一个根大于1，一个根小于1 b 即 两个根都在（m , n）内 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围. 2a 即 两个根都在（m , n）内 解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
k
f (k ) 0
2.3.2 一元二次不等式的应用
例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
（1） 两个正根
解：(方法一：常利用韦达定理和判别式来解)
(m 3)2 4m 0
3 m 0
{m|0<m≤1}
m 0
法二：可借助二次函数图象来研究求解(函数法）
解.设f(x)=x +(m-3)x+m则: 2 例：x2+（m-3)x+m=0 求满足下列条件的m的范围.
解:设f(x)=x2+(m-3)x+m则
Байду номын сангаас
y
(m 3)2 4m 0
0
3
m
2
2
0
2 x f (0) m 0
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
高一数学必修一二次方程根的分布
一元二次方程 在开区间 上有根应分下列情况讨论
或 或 或
一元二次方程 在闭区间 上有根应分下列情况讨论
1）若 ，解出参数
2）若 ，解出参数
3）
4）
二．例题选讲
（1）两个根在实数 的同一侧
例1．已知方程 有两个负根，求 的取值范围．
解：由 即 ，从而得 即为所求的范围。
变式1：已知二次函数 与 轴有两个交点，一个大于 ，一个小于 ，求实数 的取值范围。
解：由 即 即为所求的范围。
变式2：求实数 的范围，使关于 的方程 ．
（1）有两个实根，且一个比 大，一个比 小．
（2）有两个实根 ，且满足 ．
（3）至少有一个正根．
解：设 ．
（1）依题意有 ，即 ，得 ．
（2）依题意有
解得： ．
（3）方程至少有一个正根，则有三种可能：
①有两个正根，此时可得 ，即 ．
②有一个正根，一个负根，此时可得 ，得 ．
③有一个正根，另一根为 ，此时可得 ．
综上所述，得 ．
（3）在区间 有两个实根
例3： 已知关于 的二次方程 .若方程两根均在区间 内，求 的范围.
解：据抛物线 与 轴交点落在区间 内，列不等式组 ,
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0
大致图象（ ）
得出的结论
得出的结论
表二：（两根与 的大小比较）
分布情况
两根都小于 即
两根都大于 即
一个根小于 ，一个大于 即
高一数学《二次方程根的分布情况》归纳(完整版)
1 若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ，可
以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m, n内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0 有
且 一 根 在 区 间 3, 0 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： ① 由 f 3 f 0 0 即 14m 15m 3 0 得 出
a
）
0
b 2a
0
f 0 0
0
b 0 2a
a f 0 0
f 0 0 a f 0 0
1
表二：（两根与 k 的大小比较）
分
两根都小于 k 即
布
情
况
x1 k, x2 k
大 致 图 象 （
k
）
a 0
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
f f
x max
x min
f f
3 2
3a b 2 5
2b 2
a 1 b 0 ；
（2）当 a
0 时，函数
f
x
在区间
2,
3
上是减函数，故
f f
x max
x min
f f
2 3
b2 3a b 2
5
2
a 1
【优】高一数学一元二次方程根的分布问题PPT资料
f ( 2 ) 0 另一个大于1，则实数 的取值范围是______________________。
四、两实根由四个量来控制
一根大于m，另一根小于m 高一数学一元二次方程根的分布问题
一根大于m，另一根小于m 的图象与 轴的两个交点在－2与3之间。
x 1 x 的图象与 轴的两个交点在－2与3之间。
若不等式
对于任意实数 均成立，求实数 的取值范围。
k 0 BA 已知函数
函数
的定义域为A， 的定义域为B，当B A求实数
且函数 f(x)k2 x4xk3
高一数学一元二次方程根的分布问题
x 高一的数学图一元象二次与方程根的轴分布的问题两个交点在－2与3之间。
若不等式
对于任意实数 均成立，求实数 的取值范围。
0
0
b 2a
m
x1 x 2m
两根均小于m
f
(m )
0
0
b 2a
m
二、两实根由二个量来控制
x1 x2
mn
x1,x2 (m,n)
f (m ) 0
f (n) 0
0
m
b
n
2a
mn
x1
x2
一根小于m， 另一根大于n
f (m) 0
f
(n)
0
x1 x2
m n 四、两实根由四个量来控制
例4.若不等式 8x48(a2)x2a50对于任意实数 x均成
a 立，求实数 的取值范围。
令 t x2 ,则问题变为 f(t)8 t28 (a2 )ta5在 [0,)
上恒为正值。其充要条件为：
O
O
f( a
0) 0 2 0 2
或
a 2 0 2 0
必修1-第三章 函数与方程-二次函数与一元二次方程根的分布
(1)原点的两侧各有一个，则x1 x2 = < 0得m < 0 m ∆ = (m − 3)2 − 4m ≥ 0 3−m (2)都在原点右侧，则 x1 + x2 = >0 m 1 x1 x2 = m > 0 ∈解得0 <m ≤1 综上可得 m∈(-∞,1]
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6.方程 f(x)=0 的两ac≥0
b - 2a >k f(k)>0.
b m< - 2a <n △=b2-4ac≥0 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 ⇔ f(m)>0 方程 的两实根都在区间 内 f(n)>0. 8.方程 f(x)=0 的两实根中 有且只有一个在区间 方程 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. 内 f(n)=0 f(m)=0 ⇔ f(m)f(n)<0, 或 m< b < m+n , 或 m+n < - b < n. - 2a 2a 2 2 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于 上时等价于? 思考 方程的两根有且只有一个在区间 上时等价于
（1） 两个正根；
（2）有两个负根；
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二次函数与一元二次方程根的分布
二次函数与一元二次方程根的分布一、内容1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论．2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想．3．能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想．二、要点大揭秘1．二次函数及图象设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．观察图象不难知道．图像为观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观察图象不难知道．a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R．2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：（1）应用求根公式；（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n 为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑三、好题解给你(1)(1)预习题1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y＝2(x-2)2-7∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边，∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此y max=f(4)＝1．y min＝f(3)＝-5．2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值．解：经配方有y＝2(x-a)2+3．对称轴为x=a．当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y 的值也变大．当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y 的值反而变小．根据上述分析，可知．当a≤3时，y max=f(4)=2a2-16a+35．y min=f(3)＝2a2-12a+21．当3＜a＜4时，y min＝f(a)＝3．其中，a≤3.5时，y max＝f(4)＝2a2-16a+35．a≥3.5时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．当a≥4时，y max＝f(3)＝2a2-12a+21．y min＝f(4)＝2a2-16a+35．(2)(2)基础题例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：(1)m为何值时，有一正根、一负根．(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1．(3)m为何值时，有两正根．(4)m为何值时，有两负根．(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．∴ m＜-2．反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0．依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1＜0．(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件依韦达定理有(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0．∴(7m+1)(9m+10)＜0．例2. 当m为何值时，方程有两个负数根？解：负数根首先是实数根，∴，由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正．由以上分析，有即∴当时，原方程有两个负数根．(3)(3)应用题例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2．例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x 轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：＜1，β＞2．例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．(4)(4)提高题例1．已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围．解：（1）当，则所给函数为二次函数，图象满足：，即解得：（2）当时，若，则的图象不可能都在x轴上方，∴若，则y=3的图象都在x轴上方由（1）（2）得：反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．如图，0＜α＜1＜β的条件是解得例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的解得-12＜a＜0．四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ）A．B．C．D．2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）A．0＜m＜2 B．-3＜m＜1 C．-2＜m＜0 D．-1＜m＜13.已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ C ）A．B．C．D．4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是学科：数学教学内容：二次函数与一元二次方程Ⅰ．背景材料坐标系的由来传说中有这么一个故事：有一天，笛卡尔（1598～1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩．他就拼命琢磨通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗．他想，可以把蜘蛛看作一个点，他在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、2、1，也可以用空间中的一个点P来表示它们（如图2-8-1①）．同样，用一组数（a、b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示（如图2-8-1②）．于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系．无论这个传说的可靠性如何，有一点是可以肯定的，就是笛卡尔是个勤于思考的人．这个有趣的传说，就像瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样，说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中，很可能是受到周围一些事物的启发，触发了灵感．直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将先进的代数方法应用于几何学的研究．笛卡尔在创建直角坐标系的基础上，创造了用代数方法来研究几何图形的数学分支——解析几何．他的设想是：只要把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某处共同特性的点组成的．比如，我们把圆看成是一个动点对定点O作等距离运动的轨迹，也就可以把圆看作是由无数到定点O的距离相等的点组成的．我们把点看作是组成图形的基本元素，把数看成是组成方程的基本元素，只要把点和数挂上钩，也就可以把几何和代数挂上钩．把图形看成点的运动轨迹，这个想法很重要！它从指导思想上，改变了传统的几何方法．笛卡尔根据自己的这个想法，在《几何学》中，最早为运动着的点建立坐标，开创了几何和代数挂钩的解析几何．在解析几何中，运点的坐标就成了变数，这是数学第一次引进变数．恩格期高度评价笛卡尔的工作，他说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学．”坐标方法在日常生活中用得很多．例如象棋、国际象棋中棋子的定位，电影院、剧院、体育馆的看台，火车车厢的座位及高层建筑的房间编号等都用到坐标的概念．随着同学们知识的不断增加，坐标方程的应用会更加广泛．悟与问：勤于思考，才会有所发现，灵感肯定不会自己从天上落下来，那么我们在学习中，怎样才会有许多灵感呢？Ⅱ．课前准备一、课标要求体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．二、预习提示1．关键概念和原理提示（1）抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的交点的横坐标即方程ax2＋bx＋c=0的根．（2）抛物线与x轴交点与方程ax2＋bx＋c=0根的情况相同，有三种．（3）判别抛物线与x轴交点的情况可用方程判别式△=b2－4ac．2．预习方法提示：由实际问题引出，抛物线y= ax2＋bx＋c与x轴交点即y=0，即为ax2＋bx＋c=0，转化为方程；回忆一元二次方程相关内容，从而得出其关系．三、预习效果反馈1．抛物线y=x2－6x＋5，与x轴有个交点，分别是．2．抛物线y= x 2－x ＋5，与x 轴 交点，且图象都位于x 轴的 ．3．利用图象求抛物线y=（x ＋1）2－9与x 轴的交点的坐标为 ．Ⅲ．课堂跟讲一、背记知识随堂笔记1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，决定其图象与x 轴交点的个数，当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有 个交点；当b 2－4ac 0时，抛物线与x 轴有一个交点，当b 2－4ac 0时，抛物线与x 轴交点． 2．若x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c=0的根，那么二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，也可以记为y=a （x －x 1）（x －x 2），称为式．其中 也就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标． 3．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）若与x 轴有交点，则其交点由含a 、b 、c 的代数式表示为． 4．抛物线y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴两交点的距离为． 5．我们可以利用 来求一元二次方程的近似根．6．若二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的函数值恒为正，则需满足，若二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的函数值恒为负，则需满足． 二、教材中“？”解答1．问题（P 65） 解答：（1）h=－5t 2＋40t ．（2）8s ．可以利用图象，也可以解方程－5t 2＋40t=0．2．议一议（P 66） 解答：（1）2个，1个，0个．（2）2个根，1个根（或2个相等的根），无实数根．（3）二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．3．想一想（P 67） 解答：2s 和6s ．可以利用图象，也可以解方程－5t 2＋40t=60．4．问题（P 68） 解答：可以，但我们估计的根往往是近似值．5．做一做（P 70） 解答：x 1≈2．7，x 2≈－4．7．三、重点难点易错点讲解重点：本节重点把握二次函数图象与x 轴（或y=h ）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点，即y=0，即ax 2＋bx ＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x 轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．难点：应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．易错点：应用求根公式讨论二次函数及其图象时，易发生符号混淆与用错公式．【例1】 已知二次函数y=kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为．错解：由△=（－7）2－4×k ×（－7）=49＋28k ＞0，得k ＞－49． 正确解法：此函数为二次函数，∴k ≠0，又与x 轴有交点，∴△=（－7）2－4×k ×（－7）=49＋28k ＞0，得k ＞－49，即k ≥－49且k ≠0．错解分析：①因为是二次函数，因而k ≠0；②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以考虑应为△≥0．这也是同学们易错的地方．【例2】 抛物线y=ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－3，0），对称轴为x=－1，顶点C 到x 轴的距离为2，求此抛物线表达式．错解：∵点A （－3，0）在抛物线上，∴9a －3b ＋c=0．①∵抛物线的对称轴为x=－1，∴－a b=－1．②又顶点C 到x 轴距离为2，∴a b ac 442-=2．③解方程组（1），得a=－21，b=－1，c=23．∴y=－21x 2－x ＋23．解方程组（2），得a=21，b=1，c=－23．∴y=21x 2＋x －23．∴抛物线表达式为y=－21x 2－x ＋23或y=21x 2＋x －23．错解分析：其解题过程有两处错误，一是顶点横坐标误认为－a b，二是认为顶点的纵坐标a b ac 442-=2．实际上顶点C 到x 轴的距离为2，表明它的纵坐标的绝对值等于2，即a b ac 442-=±2．四、经典例题精讲（一）一题多解【例1】 抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式．思维入门指导：此二次函数题中所给3点较特殊，有两点在x 轴上，另一点在对称轴上，用待定系数法求表达式的3种形式皆适宜．∴所求抛物线为y=－121x 2＋x ．解法二：∵点（0，0），（12，0）在x 轴上，关于对称轴对称，∴对称轴为x=6，顶点是（6，3）．设所求表达式为y=a （x －6）2＋3．将点（0，0）代入表达式，得0=a （0－6）2＋3．∴a=－121．∴所求表达式为y=－121（x －6）2＋3，y=－121x 2＋x ．解法三：∵抛物线与x 轴交于两点（0，0），（12，0），∴设所求表达式为y=a （x －6）·（x －12），顶点坐标为（6，3），代入表达式，得a=－121．∴y=－121x （x －12）．故所求表达式为y=－121x 2＋x ．点拨：根据所给的点恰当选择二次函数表达式的形式．（二）教材变型题【例2】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式h=－4．9t 2＋19．6t 来表示．其中t （s ）表示足球被踢出后经过的时间．（1）t 为何值时，h 最大？（2）经过多长时间球落地？思维入门指导：（2）中多长时间球落地，即其纵坐标为0．解：（1）∵h=－4．9t 2＋19．6t ．当t=2时，h 最大．（2）h=－4．9t 2＋19．6t ．球落地即－4．9t 2＋19．6t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=4．即足球被踢出后经过4s 球落地．（三）中考题【例3】 （2003，贵阳，12分）已知二次函数的图象过A （－3，0），B （1，0）两点．（1）当这个二次函数图象又过点C （0，3）时，求其表达式；（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为P ，求S △APC ：S △ABC 的值；（3）如果二次函数图象的顶点M 在对称轴上移动，并与y 轴交于点D ，S △AMD ：S △ABD 的值确定吗？为什么？思维入门指导：A 、B 两点为x 轴上的点，由两根式确定表达式．解：（1）设二次函数的表达式为y=a （x －x 1）（x －x 2）．∵二次函数的图象过A （－3，0），B （1，0）两点，∴y=a （x ＋3）（x －1）．∵二次函数图象过点C （0，3），∴3=a （0＋3）（0－1）．∴a=－1．∴所求函数的表达式为y=－x 2－2x ＋3．（2）∵y=－x 2－2x ＋3，∴P 的坐标为（－1，4），过点P 作二次函数的对称轴交x 轴于N ，如图2-8-2．∵S △APC =S 梯形PNOC ＋S △APN －S △AOC=21（OC ＋PN ）·ON ＋21AN ·PN －21OA ·OC=21（3＋4）×1＋21×2×4－21×3×3=3，S △ABC =21AB ·OC=21×4×3=6，∴S △APC ：S △ABC =3：6=1：2．（3）设此二次函数的表达式为y=a （x ＋3）（x －1），即y=ax 2＋2ax －3a ．∴D （0，－3a ）．∵点M 在对称轴x=－1上，且在函数图象上，∴M （－1，－4a ）．当a=0时，即顶点在对称轴与x 轴交点处，函数图象不存在，S △AMD ：S △ABD 的值不存在．当a ≠0时，S △AMD =S 梯形ODMN ＋S △AMN －S △AOD=21（OD ＋MN ）·ON ＋21AN ·MN －21OA ·OD=21（a a 43-+-）×1＋21×2×a 4-－21×3×a 3-=23a 4-－a 3-，S △ABD =21AB ·OD=21×4×a 3-=2a 3-，∴ABDAMD S S △△=a a a 323423----； 当a ＜0时，如图2-8-3，ABD AMDS S △△=a a a 323423----=a a 63--=21；当a ＞0时，如图2-8-4，ABD AMDS S △△=a a a 323423----=a a 63=21．当a ≠0时S △AMD ：S △ABD 的值是确定的．点拨：第三问题中，考虑两种情况．（四）学科内综合题【例4】 已知△ABC 中AC=BC=32，∠C=90°，AB 上有一动点P ，过P 作PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．（1）设CF=x ，用含x 的代数式把Rt △AEP 、Rt △PFB 及矩形ECFP 的面积表示出来；（2）是否存在这样的P 点，使Rt △AEP 、Rt △PFB 及矩形ECFP 的面积都小于4？思维入门指导：（2）题中因为Rt △ACB 的面积为9，若所分三小块面积不能趋近相等的话，那么是否存在P 使三小块面积都小于4，是一时不易判断的，也不易说清的，我们把0＜x ＜32范围分成三小段分别讨论，问题就能清楚了．解：（1）如图2-8-5，△AEP 的面积S 1=21x 2，△PFB 的面积S 2=21（32－x ）2，矩形ECFO 的面积S 3=x（32－x ）．（2）当0＜0≤2时，△PFB 的面积较大．S 2=21（32－x ）2≥21（32－2）2=4，即x 在0＜x ≤2范围时，△PFB 的面积不可能小于4．当2＜x ≤22，矩形EOFD 的面积．S 3=x （32－x ）=－（x －223）2＋29≥－（22－223）2＋29=－21＋29=4，即x 在这个范围变化时，矩形面积不可能小于4．当22＜x ＜32范围中，△AEP 面积较大，S 1=21x 2≥21（22）2=4．综合上所述，在0＜x ＜32范围中，S 1、S 2、S 3至少有一个值不小于4，所以这样的P 点在AB 上不存在．点拨：分段讨论的方法，实质上就是分析的方法，即通过分析解决具体问题的方法，通过分类讨论解决代数综合题，分几类，从何处分，则需视具体问题而定．（五）开放题【例5】 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．思维入门指导：此题为半开放题型，可应用顶点式，进行试解，与判断．解：y=51x 2－58x ＋3或y=－51x 2＋58x －3或y=71x 2－78x ＋1或y=－71x 2＋78x －1．点拨：此题的解答需要应用方程有关知识．（六）应用题【例6】 改革开放后，不少农村用上了自动喷泉设备，如图2-8-6所示，设水管AB 高出地面1．5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平地面成45°角，水流的最高点C 比喷头B 高出2m ，在所建立的直角坐标系中，求水流的落地点D 到A 点的距离．思维入门指导：将实际条件转化为二次函数的相关条件．解：由C 点作CF ⊥AD 于点F ，由B 点作BE ⊥CF 于点E ，连接BC ．∵AB=1．5m ，∴B （0，23）．又∵EC=2m ，∴CF=3．5m ．∴C （2，27）．设此函数表达式为y=a （x －2）2＋27．把B （0，23）代入，得a=－21．∴y=－21（x －2）2＋27，即y=－21x 2＋2x ＋23．当y=－21x 2＋2x ＋23=0，x 1=2＋7，x 2=2－7（舍去）．∴AD 之间的距离为（2＋7）m ．点拨：应用二次函数的顶点式，要根据给的条件确定．Ⅳ．当堂练习（5分钟）1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？【同步达纲练习】Ⅴ．课后巩固练习（120分 120分钟）一、基础题（14、15题每题6分，其余每题2分，共38分）1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为．2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为．3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是．5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．6．已知二次函数y=x2＋（a－b）x＋b的图象如图2-8-7所示，那么化简ab baba++-222的结果是．7．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．8．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点．9．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围．10．抛物线y=x2－2a x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是．11．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．无12．如图2-8-8所示，函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a +++++的值是（ ）A ．－3B ．3C ．21D ．－2113．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-8-9所示，则下列关系正确的是（ ）A ．0＜－a b 2＜1B ．0＜－a b 2＜2C ．1＜－a b 2＜2D ．－a b2=114．已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．15．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？二、学科内综合题（每题8分，共16分）16．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m ≠0）与x 轴有两个不同的交点．（1）求m 的取值范围；（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P三点，画出抛物线草图．17．已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？（2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ，求当PQ 最短时△MPQ 的面积．三、应用题（6分）18．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？四、创新题（35分）（一）一题多解（9分）19．已知二次函数图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，求该函数的表达式．（二）开放题（每题3分，共6分）20．对于反比例函数y=－x 2与二次函数y=－x 2＋3，请说出它们的两个相同点：①；② ；③ ．再说出它们的两个不同点：①；② ；③． 21．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-8-11所示，则由抛物线的特征可以得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为 ．（只需写出一个你认为正确的即可）（三）探究题（10分）22．已知抛物线y=x 2－（k ＋1）x ＋k ．（1）试求k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个公共点；（2）如图2-8-12，若抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的负半轴交于点C ，试问：是否存在实数k ，使△AOC 与△COB 相似？若存在，求出相应的k 值；若不存在，请说明理由．（四）阅读理解题（10分）23．已知抛物线y=x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10与x 轴交于A 、B 两点，C 是抛物线的顶点．（1）用配方法求顶点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若AB 的长为22，求抛物线的表达式．解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法．解：由（1）知，对称轴与x 轴交于点D （ ，0）．∵抛物线的对称性及AB=22，∴AD=DB=D A x x -=2．∵点A （x A ，0）在抛物线y=（x －h ）2＋k 上，∴0=（x A －h ）2＋k ．①∵h=x C =x D ，将D A x x -=2代入上式得到关于m 的方程0=（2）2＋（ ）．②（3）将（2）中的条件“AB 的长为22”改“△ABC 为等边三角形”用类似的方法求出此抛物线的表达式．五、中考题（25分）24．（2003，杭州，3分）设x1，x2是关于x的方程x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是关于x的方程x2＋qx＋p=0的两根，则p、q的值分别等于（）A．1，－3 B．1，3 C．－1，－3 D．－1，3 25．（2003，海南，12分）已知抛物线y=ax2＋bx＋c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，－3）两点．（1）若抛物线的对称轴为直线x=－1，求此抛物线的表达式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．26．（2003，青海，10分）如图2-8-13，已知抛物线y=－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0），且x1＋x2=4，21xx=31．（1）求此抛物线的表达式；（2）设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的表达式；（3）求△ABC的面积．加试题：竞赛趣味题（每题10分，共20分）1．德国数学家高斯在写日记时有一个习惯，即把生活中发生的重大事件的日子写成密码，就是写由自己生日到这个日子间的相应天数，例如1799年7月16日，高斯通过了博士学位论文的答辩，于是他把这一天记作8113．在高斯的日记中第一次被这样记下的日子是他15岁时解决了质数分布问题的那一天，他把这一天记作5343，那么聪明的读者，你知道这一天是哪年哪月哪日吗？2．（2003，河北）已知实数a、b、c满足a＋b＋c=2，abc=4．（1）求a、b、c中的最大者的最小值；（2）求cba++的最小值．参考答案Ⅱ．三、1．两；（5，0）、（1，0） 2．没有；上方3．图象略，其交点坐标为（2，0），（－4，0），数据大体接近即可．Ⅲ．一、1．b 2－4ac ；两个；=；＜；没有 2．两根；（x 1，0）、（x 2，0）3．（a ac b b 242-+-，0）（a acb b 242---， 0）4．a acb 42- 5．二次函数图象 6．a ＞0、△＜0；a ＜0、△＜0Ⅳ．（1）图象如答图2-8-1所示．x 2－2x=0，x （x －2）=0，x 1=0，x 2=2．（2）图象如答图2-8-2所示．x 2－2x －3=0，x 2－2x ＋1=4，（x －1）2=4，x 1=3，x 2=－1．2．解：当b 2－4ac ＞0时，有两个交点；当b 2－4ac=0时，有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，与x 轴没有交点．Ⅴ．一、1．（2，0）、（－5，0）2．y=2x 2＋4x －6 点拨：∵对称轴x=－1，与x 轴交点间距离等于4，∴由对称性知，与x 轴交点坐标是（－3，0）（1，1）．设函数表达式为y=a （x ＋3）（x －1）．把x=0，y=－6代入得a=2．∴y=2（x ＋3）（x －1）=2x 2＋4x －6．3．一、二、三 点拨：∵a ＞0，∴开口向上．∵b ＞0，∴对称轴x=－a b2＜0．∴对称轴在y 轴左侧．∵c ＞0，∴截距为正．∵△＞0，∴抛物线与x 轴有两个交点．∴图象经过一、二、三象限．4．（1，2）5．1 点拨：对称轴是x=1，∴－a b2=1．∴m ＋3=4．∴m=1．6．－1 点拨：∵对称轴在y 轴右侧，∴－2ba -＞0，即a －b ＜0，抛物线在y 轴上的交点在y 轴的负半轴上，∴b ＜0，则a bb ab a ++-222=a b b a +-=－1．7．8 点拨：∵此函数图象与x 轴只有一个交点，∴△=0．∴b 2－4ac=0，则m=8．8．（－1，0） 点拨：∵a －b ＋c=0，即x=－1时，y=0，∴过（－1，0）这个点．9．k ＞－169且k ≠0 点拨：∵b 2－4ac ＞0，∴9－4·k （－4）＞0．∴k ＞－169且k ≠0．10．2 点拨：∵顶点在y=2上，∴a b ac 442-=2，即a 2－a －2=0．∴a 1=2，a 2=－1（舍去）．11．B 点拨：∵b 2－4ac=25－4×3×0=25＞0，∴有与x 轴有两个交点，其中（0，0）也是与y 轴的唯一交点．故实际只有两个．12．A 13．C14．证明：∵△=m 2－4（m －2）=m 2－4m ＋8=（m －2）2＋4＞0，∴抛物线总与x 轴有两个交点．15．解：（1）k 2＋k －2=0⇒k=1或k=－2．（2）要顶点在第四象限，必须有⎩⎨⎧-．＜，＞020k k ∴0＜k ＜2．二、16．解：（1）∵△＞0，即b 2－4ac=（3－2m ）2－4·m （m －2）＞0，得m ＜49且m ≠0．（2）P （1，1）代入（1），得m ＋（3－2m ）＋m －2=1，符合函数，∴P 在抛物线上．（3）∵m=1，∴y=x 2＋x －1=（x ＋21）2－45．∴Q （－21，－45）．根据对称性x 2＋x －1=1，x 1=－2，x 2=2，∴P ′（－2，1），如答图2-8-3．17．解：（1）抛物线与x 轴两交点的横坐标的差的绝对值是当m=1时，PQ 最小=8=22，此时二次函数为y=x 2＋2x －1=（x ＋1）2－2，顶点坐标为M （－1，－2），故S △MPQ =21PQ ·MN =21×2×22=22．三、18．解：（1）∵y=－51x 2＋10x ，∴－a b2=25，a b ac 442 =125．当25s 后，炮弹达到最高点125m ．（2）－51x 2＋10x=0，x 1=50，x 2=0（舍去）．∴50s 后，炮弹在地上爆炸．四、（1）19．解法一：设y=ax 2＋bx ＋c ，则解法二：设y=a （x －1）（x －2），则∵当x=0时，y=2．∴2=a （0－1）（0－2），∴a=1．∴y=（x －1）（x －2）=x 2－3x ＋2．解法三：设y=a （x －h ）2＋k ，则点拨：由点的特殊性可以适用于三种形式的表达式．（二）20．相同点：①图象都是曲线；②都经过（－1，2）；③在第二象限，函数值都随着自变量的增大而增大等．不同点：①图象的形状不同；②自变量的取值范围不同；③一个有最大值，一个没有最大值等．点拨：二次函数图象性质的考查．21．abc ＞0或a ＋b ＋c ＜0或a －b ＋c ＞0（三）22．解：（1）由已知得△=（k ＋1）2－4k=（k －1）2．当抛物线与x 轴只有一个公共点时，△=0，即（k －1）2=0，∴k=1．即当k=1时，抛物线与x 轴只有一个公共点．（2）由抛物线与y 轴负半轴交于点C ，令x=0，得y=k ，即C 点坐标（0，k ）（k ＜0）．又令y=0，得一元二次方程x 2－（k ＋1）x ＋k=0．解得x 1=k ，x 2=1．∵k ＜0，∴A 点坐标（k ，0），B 点坐标（1，0）．∵∠AOC 和∠BOC 都是直角，欲使△AOC ∽△BOC 或△AOC ∽△COB ，只要OC AO =OC BO 或CO AO =BO CO．由OC AO =OC BO 得AO=BO ，即k=－1．由OC AO =BO OC得OC 2=AO ·BO ，即k 2=（－k ）·1，k=－1．∴使△AOC ∽△BOC 的k 值存在，且k=－1．点拨：在探讨使△AOC ∽△BOC 的条件时，我们分两种情况进行了讨论，虽然最终结果相同，但为保持逻辑表达的严密、完整，分类讨论是必要的．（四）23．解：（1）∵y=x 2－（2m ＋4）x ＋m 2－10=()[]14422--+-m m x ， ∴顶点C 的坐标为（m ＋2，－4m －14）．（2）D （m ＋2，0），－4m －14，解得m=－3．当m=－3时，抛物线y=x 2＋2x －1与x 轴有交点，且AB=22，符合题意，所求抛物线的表达式为y=x 2＋2x －1．步骤①的解题依据：抛物线上一点的坐标满足此函数表达式，步骤②的解题方法：代入法．（3）∵△ABC 是等边三角形，∴由（1）知CD=144--m =4m ＋14（－4m －14＜0），AD=DB=31CD=31（4m ＋14）=D A x x -．∵点A （x A ，0）在抛物线上，∴0=（x A －h ）2＋k ．∵h=x C =x D ，将D A x x -=31（4m ＋14）代入上式，得0=31（4m ＋14）2－4m －14．∵－4m －14＜0，∴31（4m ＋14）－1=0．解得m=－411． 当m=－411时，抛物线y=x 2＋23x －1639与x 轴有交点且符合题意，∴抛物线表达式y= x 2＋23x －1639．五、24．C25．解：（1）因为抛物线y=ax 2＋bx ＋c 经过A （0，1）和M （2，－3）两点，且对称轴为直线x=－1，∴b=－2a －2＜0．∴a ＞－1．∴－1＜a ＜0．（3）由抛物线开口向下，且经过点A （0，1）知，它与x 轴的两个交点B 、C 分别在原点两旁，此时B 、C 两点的横坐标异号，OA=c=1．又∵∠BAC=90°，∴点A 必须在以BC 为直径的圆上．又∵OA ⊥BC 于O ，∴OA 2=OB ·OC ．又∵b=－2a －2，c=1，∴抛物线方程变为y=ax 2－2（a ＋1）x ＋1．设此抛物线与x 轴的两个交点分别为B （x 1，0），C （x 2，0），则x 1，x 2是方程ax 2－2（a ＋1）x ＋1=0的两个根，∴x 1·x 2=a 1．∴OB ·OC=1x ·2x =21x x =－x 1·x 2（∵x 1·x 2＜0）．∴OB ·OC=－a 1．又∵OA 2=OB ·OC ，OA=1，∴1=－a 1．∴a=－1．当a=－1时，所确定的抛物线符合题意，故a=－1．∴y=－x 2＋4x －3．∴直线BC 的表达式为y=x －3．（3）∵点A 坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，－3），如答图2-8-4．。
新教材人教版高中数学必修第一册 4-5-1一元二次方程根的分布(第二课时) 教学课件
0
4m2 4(m 2) 0
(3)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
x1
x2
( x1
x2
)
1
0
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
4(m 1)(m 2) 0 m 1或m 2
m 1
m 1
2m 2 0
m 1
无解,
综上可知, m的取值范围是空集.
由题意
0 3 f (3) f (1)
b 2a 0 0
1
4(m 1)(m 3 m 1 5m 11 0 3m 3 0
2)
0
m 1或m
1 m 3
m
11 5
m 1
2
2 m 11, 5
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
第二十二页，共二十五页。
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (5)若方程一根小于 3,一根大于 1,求m的取值范围.
（2）当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根
（3）当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
第三页，共二十五页。
2、当x在某个范围内的实根分布
★一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
实根分布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
新教材人教版高中数学必修第一册 4.5.1一元二次方程根的分布（第二课 时） 教学课件
科 目：数学
适用版本：新教材人教版
适用范围：【教师教学】
4.5.1 一元二次方程根 的分布
第一页，共二十五页。
函数的零点定义：
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零
用高中必修一二次函数与一元二次方程根的分布(2013年)
m 1 m 1
m m 9
y
判别式
根的分布的三要素：
对称轴
端点函数值
1x
问题4：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（4） 两个根都大于0.5
解：方程 x2＋(m－3)x＋m=0的两根都大于0.5，即两根分布在 (0.5,+∞)上，由图象知只需满足以下条件：
b 3m 0 2a 2
f (0) m 0
m3
m 0
m 0 m 1
根的分布的三要素：
根的分布法
判别式
O
对称轴
端点函数值
比 较 两 种 方
韦 达 定 理 法
( m 3 )2 4m 0
x1
x2
3
m
0
x1
x2
m
0
m2 10m 9 0
m3
m0
m 0 m1
小于 0，另一根大于 1，求 m 的取值范围。 -1<m<0
练习
m为何实数值时，关于x的方程 x2 mx (3 m) 0 ，
（1）有实根； （2）有两正根； （3）一正一负。
解： (1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0
得：m 6或m 2.
0
f
(m b 2a
( 0.5 )
3 )2 4m 3 m 0.5
2 6m 5 0
4
0
＝m2
m 2
m
5
6
10m 9 0
y
m
5 6
m
1
判别式
根的分布的三要素：
对称轴
O 0.5
x
端点函数值
问题5：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （5） 两个根都在（0 ,2）内
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( m 3 )2 4m 0 ＝m2 10m 9 0 3 m 1 m 4 2 0 2 m m 1 2 m 0 3 f(0) m 0 y 2 m f ( 2 ) 3 m 2 0 3
我们研究一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 二次项系数为正的情况， 当二次项系数为负时，开口向下，利用相同的方法研究即可。
问题1:关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,求m的范围。
用以前学过的解法： 解：设方程的两实根分别为x1、x2，则 2 ( m 3 )2 4m 0 m 10m 9 0
函数y=f(x)有零点
判别式与一元二次方程根的关系
★一元二次方程
2
ax bx c 0(a 0)
2
(1)当 b 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
2
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
f ( 0 )<0
m0
判别式 对称轴 端点函数值
m m 0
y x
根的分布的三要素：
问题7：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（7） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 解法一：韦达定理法
设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3 ) 4m 0 x1 x2 3 m 0 x x m 0 1 2
f (2) 3m 2 0 f (4) 5m 4 0
2
m m 0
与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！
问题6：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （6） 一个正根，一个负根
解法二：根的分布法 方程 x2＋(m－3)x＋m=0有一个正根，一个负根，即两根分布在(∞,0)和(0,+∞) 上，由图象知只需满足：
2 ＝ ( 3 m ) 4 m 0 m 10m 9 0 b 3 m m 3 m 0 m 1 0 2 a 2 m0 f (0) m 0 根的分布的三要素： 根的分布法
2
f (2) m 10 0 f (0) m 0 f (1) 2m 2 0 f (3) 4m 0
根的分布的三要素：
m 10 m 0 m 1 m 0
Ø
y
判别式
对称轴 端点函数值
3 m b 0 2 2a f(0) m 0
根的分布的三要素：
m 3 m 0
m m 0
y x
判别式 对称轴 端点函数值
问题8：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（8） 一个根大于1，一个根小于1 解：方程x2＋(m－3)x＋m=0一根大于1,一根小于1,即一根在(-∞,1)上, 另一根在(1,+∞)上, 由图象知只需满足：
函数的零点的定义 • 一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x就做函数 y=f(x)的零点. • 如f(x)=x2-3x+2,当f(x)=0时,x=1或x=2,则1和2就是函数f(x)=0 的两个零点； • 注意：函数的零点是个数，而不是点。
由此得出以下三个结论等价：
方程f(x)=0有实根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
y O 2 x
2 m 0 m 3
y O 2
根的分布的三要素：
判别式 对称轴 端点函数值
x
问题10：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（10） 一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（1 ,3）内 解：方程f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m=0的一个根在（-2 ,0）内，另一个根 在（1 ,3）内，由图象知只需满足以下条件：
根的分布的三要素：
判别式
对称轴 端点函数值
-2
O
4
x
问题12：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（12）一个根小于2，一个根大于4 解：x2＋(m－3)x＋m=0一个根小于2，一个根大于4，即 一根在 (-∞,2)上,另一根在(4,+∞)上,由图象知只需满足以下条件：
2
m 2 10m 9 0 m＜3 m m 0 m 0
与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！
问题7：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（7） 一个正根，一个负根，且正根绝对值较大 解法二：根的分布法
方程x2＋(m－3)x＋m=0一个正根,一个负根且正根绝对值较大,即一根在(-∞,0)上, 另一根在(0,+∞)上,并且对称轴在原点的右侧，由图象知只需满足：
m m 9
与原点有关的根的分布问题用韦达定理法求解更简单一些！
问题2：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （2）有两个负根 解法二：根的分布法
x2＋(m－3)x＋m=0有两个负根,,即两根分布在(-∞,0)上,由图象知 只需满足以下条件：
＝ ( m 3 )2 4m 0 b m3 0 2 2a f(0) m 0
判别式 对称轴 端点函数值
O
比 较 两 种 ( m 3 )2 4m 0 x1 x2 3 m 0 x x m 0 1 2
2 ＝ ( 3 m ) 4m 0 2 根 m 10m 9 0 的 b 3 m 0 分 m 3 m 0 m 1 2 a 2 布 法 f(0) m 0 m0 1.两种方法：形式不同，本质一样；
x1 x2 3 m 0 x1 x2 m 0
m3 m0
m 0 m 1
韦达定理法
你还有其他思路吗？ 能从二次函数入手思考该问题吗？
问题1:关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,求m的范围。
解：方程x2＋(m－3)x＋m=0有两个正根,即两根分布在（0,+∞)上， 由图象知只需满足以下条件：
一元二次方程根的分布
★已知一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 在某个区间上有 实根，求其中字母系数的问题称为根的分布问题。
2
实根分布问题一般考虑三个方面，即：
（1）判别式 b 4ac
2
b （2）对称轴 x 2a
（3）区间端点函数值的符号。
2
根的分布的三要素
-2
O
1
3
x
问题11：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（11）一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（0 ,4）内
解：x2＋(m－3)x＋m=0一个根在（-2 ,0）内，另一个根在（0 ,4） 内，由图象知只需满足以下条件： m 10 f (2) m 10 0 4 m 0 m m 0 f ( 0) m 0 5 f ( 4) 5 m 4 0 4 y m 5
根的分布的三要素：
5 m m 1 6
判别式 对称轴 端点函数值
O 0.5
x
问题5：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （5） 两个根都在（0 ,2）内
解：方程 x2＋(m－3)x＋m=0的两根在(0,2)内,由图象知只需满足以下条件：
＝m 10m 9 0 m 3 m 0
2
m m 9
y
判别式 对称轴 端点函数值
根的分布的三要素：
o
x
问题3：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （3） 两个根都小于1 解:方程 x2＋(m－3)x＋m=0的两根都小于1,即两根分布在(-∞,1)上， 由图象知只需满足以下条件：
(m 3) 2 4m 0 3 m b 1 2 2a f (1) 2m 2 0
＝m2 10m 9 0 m 1 m 1
m m 9
y x
判别式 对称轴 端点函数值
f(1) <0
2m-2 <0
m m 1
y
1
根的分布的三要素：
判别式 对称轴 端点函数值
x
问题9：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。 （9） 两个根有且仅有一个在（0 ,2）内
解：x2＋(m－3)x＋m=0两个根有且仅有一个在（0 ,2）内，由图象知 只需满足以下条件： f(0)f(2) <0 m(3m-2) <0
m 10m 9 0
2
m3 m0
m 0 m 1
2.用韦达定理法更简单一些； 判别式 3.根的分布的三要素： 对称轴 端点函数值
继 续 探 究 ：
问题:方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0, 求m的范围。 （1）两正实根(已解决) （2）两负实根； (1)-(5)都是两根 这么多问题 （3）两实根均小于1； 在同一区间内。 如何在最短 （4）两实根均大于0.5； 时间内解决? （5）两实根均在(0,2)； （6）一正一负两实根； 难还是简单？ （7）一个正根，一个负根且正根绝对值较大 思维清晰 （8）两实根中，一根大于1，一根小于1； 还是有点乱？ （9）两实根中有且只有一根在(0,2)； （10）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(1,3)； (6)-(12)都是两根 在不同的区间内。 （11）两实根中，一根在(－2,0)，一根在(0,4)； （12）一个根小于2，一个根大于4。