2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷

2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）
一、选择题 1．（3分）不等式
1
0x x
->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >
B ．1x <
-或01x << C ．1x >-
D ．10x -<<或1x >
2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6
DAB π
∠=，4
BAC π
∠=
，三棱锥的外接
球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )
A ．
3
B ．
3 C ．
3 D ．
3 3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则
122019
111
(a a a ++⋯⋯+= ) A ．
2018
2019
B ．
2019
2020
C ．
4036
2019
D ．
2019
1010
4．（3分）已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点
A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的
倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6
π
B ．(,)64
ππ
C ．(,)43
ππ
D ．(,)32
ππ
5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u r
g
的取值范围是( )
A ．[1，1]
B ．[7-，7]
C ．[1-，7]
D ．[7-，1]
二、填空题
6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C =
，则222
a b c ac +-的取值范围为 ．
7．（3分）若0a >，0b >，且
11
121
a b b +=++，则2a b +的最小值为 ． 8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰
有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题
9．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，
EFA ∆的面积为2
2b ．
()I 求椭圆的离心率；
()II 设点Q 在线段AE 上，3
||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．
10．已知函数3
()sin ()2
f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题 1．（3分）不等式1
0x x
->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >
B ．1x <-或01x <<
C ．1x >-
D ．10x -<<或1x >
【解答】解：不等式1
0x x
-
>，解得1x >或0x < 11x x >⇒>或0x <，符合题意，故正确；
1x <-或011x x <<⇒>或0x <是假命题，故不正确； 11x x >-⇒>或0x <是假命题，故不正确；
10x -<<或11x x >⇒>或0x <是假命题，故不正确；
故选：A ．
2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6
DAB π
∠=，4
BAC π
∠=
，三棱锥的外接
球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )
A 3
B 3
C 3
D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，
90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD ，1BD =，
2AC BC ==
当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， ∴1
113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯g 故选：B ．
3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则
122019
111
(a a a ++⋯⋯+= ) A ．
2018
2019
B ．
2019
2020
C ．
4036
2019
D ．
2019
1010
【解答】解：由题意，可知11n n a a n +=++， 即11n n a a n +-=+． 212a a ∴-=， 323a a -=，
g g g
1n n a a n --=．
各项相加，可得 123n a a n -=++⋯+，
1(1)
231232
n n n a a n n +∴=+++⋯+=+++⋯+=，*n N ∈， 12112()(1)1
n a n n n n ==-++， 则
122019
111
a a a ++⋯+
111112(1)2()2()22320192020=-+-+⋯+-
111112(1)22320192020=-+-+⋯+- 1
2(1)2020
=- 2019
1010
=
， 故选：D ．
4．（3分）已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点
A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的
倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6
π
B ．(,)64
ππ
C ．(,)43
ππ
D ．(,)32
ππ
【解答】解：Q 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， 2p c ∴=
A Q 是它们的一个公共点，且AF 垂直x 轴，
设A 点的纵坐标大于0， ||AF p ∴=，
(
2
p
A ∴，)p ， Q 点A 在双曲线上，
∴22
2214p p a b -=， 2p c =Q ，222b c a =-，
∴22222
41c c a c a
-=-， 化简得：422460c c a a -+=， 42610e e ∴-+=， 21e >Q ，
23e ∴=+
21()3b
a ∴+=+
2()23b
a
∴=+ l ∴的倾斜角所在的区间可能是(3π，)2
π
，
故选：D ．
5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u r
g
的取值范围是( )
A ．[1，1]
B ．[7-，7]
C ．[1-，7]
D ．[7-，1]
【解答】解：以O 为坐标原点，与直线BC 平行的直线为x 轴， 与直线AC 平行的直线为y 轴，建立直角坐标系， 设ABC ∆的内切圆的半径为r ，
运用面积相等可得，11
34(345)22r ⨯⨯=++，
解得1r =，
则(3,1)B --，(1,1)C -， 即有圆22:1O x y +=，
当直线PQ 的斜率不存在时，即有(0,1)P ，(0,1)Q -， (3,3)BP =u u u r ，(1,0)CQ =-u u u r ，即有3BP CQ =-u u u r u u u r
g ．
当直线PQ 的斜率存在时，设直线:l y kx =，(0)k <， 代入圆的方程可得2
(1P k
+，2
1k +，(Q
2
1k
+2
)1k
+，
即有2
(31BP k
=+u u u r
，2
11k
+，(
CQ =2
11k -+2
1)1k
++，
则有22222
(3)(1)(1)(1)311111BP CQ k k k k k =+-+=-+++++u u u r u u u r g 由211k +…可得2
041k +，
则有2
3311k
-<-++．
同理当0k >时，求得P (21k +21k +，2(1Q k +，2
1k
+，
则有2
31BP CQ k =-+u u u r u u u r g 则有2
7331k --<-+…，
综上可得，BP CQ u u u r u u u r
g
的取值范围是[7-，1]． 故答案为：[7-，1]． 故选：D ．
二、填空题
6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 233a b c
-=
，则222
a b c ac +-的取值范围为 (0，23] ．
【解答】233a b c
-=
， 由正弦定理可得，2sin cos 3sin cos 3sin cos A C B C C B =， 即2sin cos 3cos 3cos 3)3A C B C C B B C A =+，
所以3cos C =
6C π=， 所以506B π
<<，
所以sin (0B ∈，1]，
则2222cos 33sin 23sin (0,23]2a b c ab C b B B ac ac +-===∈．
故答案为：(0，3] 7．（3分）若0a >，0b >，且
11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 1
32 ． 【解答】解：0a >Q ，0b >，且
11
121
a b b +=++， (2)3(1)323(1)113123(1)33123(1)1
2()()23
222221222(1)2(2)2222(1)2(2)2
a b b a b b a b b a b b a b a b b b a b b a b +++++++++∴+=
-=++-=+++-+++++++g …， 当且仅当
23(1)2(1)2(2)a b b b a b ++=++，0a >，0b >，且11
121
a b b +=++，
即3b =，132a =+取等号，
∴则2a b +的最小值为
1
32
故答案为：
1
32
+
8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰
有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 1(9，1
)(35⋃，7) ．
【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x -=+， ()f x ∴的周期为4，
作函数()f x 与log (1)a y x =+在(1-，9]上的图象如下，
，
当1a >时，(21)2
(61)2a a
log log +<⎧⎨+>⎩，
37a <<；
当01a <<时，(41)1
(81)1a a
log log +>-⎧⎨+<-⎩，
解得，11
95
a <<；
故答案为：1(9，1
)(35⋃7)．
三、解答题
9．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，
EFA ∆的面积为2
2b ．
()I 求椭圆的离心率；
()II 设点Q 在线段AE 上，3
||2
FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，
//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得2
1()22
b c a c +=．又由222b a c =-，
可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得1
2e =．
所以，椭圆的离心率为
12
； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m
． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x y
c c
+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22
m c c
m m -++．
由已知3||2c FQ =
，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43
m =，即直线FP 的斜率为
3
4
． ()ii 解：由2a c =
，可得b =，故椭圆方程可以表示为22
22143x y c c
+=．
由()i 得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22
2
23430143x y c x y c
c -+=⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y ， 整理得2276130x cx c +-=，解得137
c
x =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,
)2
c P c
，进而可得5||2c
FP ==
， 所以53||||||22
c c
PQ FP FQ c =-=-=．
由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．
因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248
c c
QN FQ QFN =∠=
⨯=
g ， 所以FQN ∆的面积为2
127||||232c FQ QN =，
同理FPM ∆的面积等于2
7532
c ，
由四边形PQNM 的面积为3c ，得22
752733232
c c c -=，
整理得22c c =，又由0c >，得2c =．
所以，椭圆的方程为22
11612
x y +=．
10．已知函数3
()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．
【解答】解：()I 由已知得()(sin cos )f x a x x x '=+，
对于任意的(0,)2
x π
∈，有sin cos 0x x x +>，当0a =时，3
()2
f x =-，不合题意；
当0a <时，(0,)2
x π∈，()0f x '<，从而()f x 在(0,)2π
单调递减，
又函数3
()sin ()2
f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值
为3
(0)2
f =-，不合题意；
当0a >时，(0,)2
x π∈，()0f x '>，从而()f x 在(0,)2π
单调递增，
又函数3
()sin ()2
f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值
为33
()2222
f a πππ-=-=，解得1a =，
综上所述，得3
()sin 2
f x x x =-
()II 函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．证明如下：
由()I 知，3()sin 2f x x x =-
，从而有3(0)02f =-<，3()022
f ππ-=>， 又函数在[0,]2π上图象是连续不断的，所以函数()f x 在(0,)2π
内至少存在一个零点，
又由()I 知()f x 在(0,)2π单调递增，故函数()f x 在(0,)2π
内仅有一个零点．
当[
2x π
∈，]π时，令()()sin cos g x f x x x x ='=+，由()102
g π
=>，()0g ππ=-<，且()
g x 在[2π，]π上的图象是连续不断的，故存在(2
m π
∈，)π，使得()0g m =． 由()2cos sin g x x x x '=-，知(2x π∈，)π时，有()0g x '<，从而()g x 在[2π
，]π上单调递减．
当(2x π∈，)m ，()()0g x g m >=，即()0f x '>，从而()f x 在(2π
，)m 内单调递增
故当(2x π∈，)m 时，3
()()02
2
f x f ππ->=>，从而()x 在(2
π
，)m 内无零点；
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当(,)x m π∈时，有()()0g x g m <=，即()0f x '<，从而()f x 在(2π
，)m 内单调递减． 又()0f m >，()0f π<且()f x 在[m ，]π上的图象是连续不断的，从而()f x 在[m ，]π内有
且仅有一个零点．
综上所述，函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．。