2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷

2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）

一、选择题 1．（3分）不等式

1

0x x

->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >

B ．1x <

-或01x << C ．1x >-

D ．10x -<<或1x >

2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6

DAB π

∠=，4

BAC π

∠=

，三棱锥的外接

球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )

A ．

3

B ．

3 C ．

3 D ．

3 3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则

122019

111

(a a a ++⋯⋯+= ) A ．

2018

2019

B ．

2019

2020

C ．

4036

2019

D ．

2019

1010

4．（3分）已知抛物线2

2(0)y px p =>与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>有相同的焦点F ，点

A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的

倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6

π

B ．(,)64

ππ

C ．(,)43

ππ

D ．(,)32

ππ

5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u r

g

的取值范围是( )

A ．[1，1]

B ．[7-，7]

C ．[1-，7]

D ．[7-，1]

二、填空题

6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C =

，则222

a b c ac +-的取值范围为 ．

7．（3分）若0a >，0b >，且

11

121

a b b +=++，则2a b +的最小值为 ． 8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰

有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题

9．已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，

EFA ∆的面积为2

2b ．

()I 求椭圆的离心率；

()II 设点Q 在线段AE 上，3

||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．

10．已知函数3

()sin ()2

f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．

2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）

参考答案与试题解析

一、选择题 1．（3分）不等式1

0x x

->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >

B ．1x <-或01x <<

C ．1x >-

D ．10x -<<或1x >

【解答】解：不等式1

0x x

-

>，解得1x >或0x < 11x x >⇒>或0x <，符合题意，故正确；

1x <-或011x x <<⇒>或0x <是假命题，故不正确； 11x x >-⇒>或0x <是假命题，故不正确；

10x -<<或11x x >⇒>或0x <是假命题，故不正确；

故选：A ．

2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6

DAB π

∠=，4

BAC π

∠=

，三棱锥的外接

球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )

A 3

B 3

C 3

D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，

90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD ，1BD =，

2AC BC ==

当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， ∴1

113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯g 故选：B ．

3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则

122019

111

(a a a ++⋯⋯+= ) A ．

2018

2019

B ．

2019

2020

C ．

4036

2019

D ．

2019

1010

【解答】解：由题意，可知11n n a a n +=++， 即11n n a a n +-=+． 212a a ∴-=， 323a a -=，

g g g

1n n a a n --=．

各项相加，可得 123n a a n -=++⋯+，

1(1)

231232

n n n a a n n +∴=+++⋯+=+++⋯+=，*n N ∈， 12112()(1)1

n a n n n n ==-++， 则

122019

111

a a a ++⋯+

111112(1)2()2()22320192020=-+-+⋯+-

111112(1)22320192020=-+-+⋯+- 1

2(1)2020

=- 2019

1010

=

， 故选：D ．