球壳万有引力场的积分说明
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Spherical shell of the gravitational field of the integral description
Lei Jiazhi1, Geng Biao1, Lei Jiaqiang2
1 School of Informarion and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou (221116)
空间直角坐标下的三重积分来求：
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z )
3 dxdydz
Ω
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
+R
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x
2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+R
2π
R2 −z2
= Gmρ ∫ (r − z)dz ∫ dθ ∫
ρdρ
3
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z) 3 dxdydz + ∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
=
2π Gmρ
⎡ ⎢⎣2r
+
1 6r 2
(
R
−
r )3
−
1 6r 2
2 School of Material Science and Engineering, Shandong Universiry, Jinan (250100)
Abstract Although Newton's law of gravitation gives the general expression, but in fact the law of gravity is difficult to understand, and it itself there are some insurmountable flaws. This departure is based on Newton's law of universal gravitation, using the triple integral tool of space to get some of the conclusions of sphere gravitational field, and then proceed to consider these findings from the spherical shell at any point in space produced by the gravitational field, and draw the appropriate conclusions. Key words: spherical shell;gravitational field;points
体在空间所产生的万有引力场。设有一个半径为 R 的均匀球体，密度为 ρ 球体外有一质量
为 m 的质点 A，它离球心的距离为 r ，F 为球体对质点 A 的万有引力。以球心为坐标原点 O ， JJJK OA 为 z 轴的方向，建立直角坐标系。根据对称性，容易知道 Fx = Fy = 0 ，对于 Fz ，利用
-4-
中国科技论文在线
内径为γ ，外径为 r 的球壳，D2 为内径为γ ，外径为 R 的球壳。那么根据上面的结论，D1 、
JDK 2 在 C 点所产生的万有引力场强度均为零，所以球壳 D 在 C 点所产生的万有引力场强度 g =0。
图 2 空间点 C 位于球壳外的情况
+r −R
(r
−
z)
⋅
⎡ ⎢ ⎣
r
1 −
z
−
R2
+
1 r2
−
2rz
⎤ ⎥ ⎦
dz
∫+r ⎡
= 2π Gmρ ⎢1− −R ⎣
R2
r +
−z r2 −
2rz
⎤ ⎥dz ⎦
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢ ⎣
R
+
r
+
1 6r2
R2 − r2
3 2
−
R2
−
r2
2r 2
R2
−
r2
−
1 6r2
(R
+
r )3
+
R2 − r2 2r 2
−R
0
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
-1-
中国科技论文在线
∫ ∫ ∫ = 1 Gmρ +R (r − z)dz2π dθ
2
−R
0
( ) R2 −z2
d
⎡ ⎣
ρ
2
+
z−r
2⎤ ⎦
3
0
⎡⎣ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ ∫ +R
= π Gmρ (r − z)dz
如果点 C 位于球壳JKD 的外部，同样可以根据上面的结论，很快的求出球壳 D 在 C 点所 产生的万有引力场强度 g ，如图 2 所示。设球壳 D 是均匀的，密度为 ρ ，质量为 M ，球壳
D 外有一点 C ，它距离球壳中心的距离为 r 。同样，不妨假设球壳 D 的空心出填满了与球
壳 D 同样材料的物质，这样就形成了两个球体，设内部填充的球体的质量为 M1 ，整个球体
(r
−
R )3
+
r2 − R2 2r 2
(
r
−
R)
−
1 6r 2
(
r
+
R )3
−
r2 − R2 2r 2
(r
+
R )⎤⎥
⎦
Gmρ ⋅ 4 π R3
=
3
r2
设M
为球体的质量，则
Fz
=
G
Mm r2
，
JK 在万有引力场中引入万有引力场强度 g
Fz 的方向为 z JK
= F ，其中 m
轴的负方向。 为质点的质量，
(R
+
r )⎤⎥
⎦
同理可得，
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢r ⎣
−
R
−
1 6r 2
R2 − r2
3 2
+
R2
−
r2
2r 2
所以，
R2
−
r2
+
1 6r 2
(R−
r )3
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥
⎦
-3-
中国科技论文在线
的一个理想模型，以它为研究对象来考虑万有引力场会给问题带来方便。对于球壳在空间任
何一点所产生的万有引力场的强度这一问题，需要我们去推究。
2 分析及解答
球壳是从球的模型中引出的一个理想模型，即为一个外径 R ，内径 r 的空心球体。由于
球壳是从球的模型中引出的，所以要想搞清楚球壳所产生的万有引力场，就必须先弄清楚球
1 引言
牛顿从普朗克三定律出发，发现了万有引力定律。牛顿万有引力指出，空间质量为 m1 、
m2
的质点之间的万有引力的
JK F
=
G
m1m r3
2
⋅
K r
，其中
K r
为两质点间的矢量。这也就是说空间
两质点间的万有引力的大小，与各个质点的质量成正比，与质点间连线的距离的平方成反比。
牛顿万有引力定律虽然具有普遍意义，但是应用它确实很复杂的。球壳是从球的模型中引出
Fz = ∫∫∫
3 dxdydz − ∫∫∫
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+r
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x2
+
为 z 轴的负方向。再根据万有引力场强度的概念，很容易求出质量为 M 的均匀球体在球体
内任意一点
A
所产生的万有引力场强度
JK g
=
−G
M′ r3
⋅
K r
，其中
K r
=
JJJK OA
,
O
为球心，
M
′
为以
原点 O 为圆心，OB 的长为半径的球面所包围的球体的质量。结合球体在球面任意一点所产
生的万有引力场的强度，可以知道，内径为 r 、外径为 R 的球壳在位于内球面上任意一点所
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+r
2π
R2 −z2
= Gmρ ∫ (r − z)dz ∫ dθ ∫
ρdρ
3
−R
0
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ ∫ ∫ =
1
Gmρ
+r
(
r
−
2π
z )dz
dθ
2
−R
0
( ) R2 −z2
d
⎡ ⎣
ρ
2
+
z−r
2⎤ ⎦
3
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ =
2π Gmρ
JK g
=
JJK g2
−
JJK g1
=
−G
(M2 −
r3
M1 )
K ⋅r
=
−G
M r3
⋅
K r
。
综上可知，一个质量为 M 的均匀球壳在空间任意一点所产生的万有引力场场强
JK ⎧ 0,质点位于球壳内部 ⎫
g
=
⎪ ⎨⎪⎩−G
M r3
⋅ rK,质点位于球壳外部⎪⎬⎪⎭
K ，其中 r 为球壳中心与质点所形成的向量。
R2 −z2
d
⎡⎣ ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
3
−R
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ =
π
Gmρ
+R −R
(r
−
z)⋅
2
⎡ ⎢ ⎣
r
1 −
z
−
1
⎤
R2
+
r
2
−
2rz
⎥ ⎦
dz
∫+R ⎡
= 2π Gmρ ⎢1− −R ⎣
r−z ⎤
R2
+
r
2
−
2rz
⎥dz ⎦
=
2π Gmρ
⎡ ⎢2R ⎣
+
1 6r 2
(R
+
r )3
+
R2 − r2 2r 2
(R
+
r)
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥⎦
=
2π Gmρ
⎛ ⎜ 2r ⎝
−
R2 r
−
r 3
+
R2 r
−r
⎞ ⎟ ⎠
= 4 πGmρr 3
4 π r3 ⋅ Gmρ =3
r2
=
G
M r
′m
2
其中 M ′ 为以原点 O 为圆心， OB 的长为半径的球面所包围的球体的质量， Fz 的方向
中国科技论文在线
球壳万有引力场的积分说明
雷加智 1，耿标 1，雷家强 2
1 中国矿业大学信息与电气工程学院，江苏 徐州 (221116) 2 山东大学材料科学与工程学院，济南 (250100)
E-mail:leijiazhi@
摘 要：牛顿虽然给出了万有引力定律的一般表达式，但是事实上万有引力定律是很难理解 的，而且它本身也存在着一些不可克服的缺陷。本文从牛顿万有引力定律出发，利用空间上 的三重积分工具，得到球体万有引力场的一些结论，再从这些结论出发来考虑球壳在空间任 何一点所产生的万有引力场，并得出相应的结论。 关键词：球壳；万有引力场；积分。 中图分类号：O302
JK F
为所研究物体
m
对该质点的万有引力。根据万有引力场强度的概念，很容易求出质量为 M 的均匀球体在空
间外任意一点
A
JK 所产生的万有引力场强度 g
=
−G
M r3
K ⋅r
K ，其中 r
JJJK = OA , O 为球心。这也就
是说，一个均匀球体对空间任意一点的万有引力场强度的大小和球的质量成正比，和球心与
r
。以球心为坐标原点
JK
O
，
OB
为
z
轴的方
向，建立空间直角坐标系，来求球体对质点 B 的万有引力 F 。
根据对称性容易知道， Fx = Fy = 0 。对于 Fz ，仍然利用空间直角坐标下的三重积分来
求：
-2-
中国科技论文在线
Gmρ (r − z )
Gmρ ( z − r )
3 总结
本文通过空间坐标系下的三重积分来考虑球壳在空间任何一点所产生的万有引力场，并 且从球体出发，根据球体万有引力场的结论来解决球壳的万有引力场这一问题，从而得出球 壳的万有引力场的一般结论。
-5-
中国科技论文在线
参考文献
［1］同济大学应用数学系.高等数学[M]．5 版.北京：高等教育出版社，2001. ［2］程守洙，江之永.普通物理学[M]．6 版.北京：高等教育出版社，2001. ［3］高增禹.对万有引力场的讨论［J］.鞍山师专学报，1993，03：95～99. ［4］唐淑红.高斯定理在万有引力场中的应用［J］. 湘潭师范学院学报，2008，03：14～16. ［5］吴永汉.万有引力场是虚数场［J］.云南大学学报 ，2004 , 26 ( 4) : 335～337 ［6］李兴赘. 高斯定理在力学中的推广及应用［J］. 湖北民族学院学报，1998 ，16 (6) :83～85.
Lei Jiazhi1, Geng Biao1, Lei Jiaqiang2
1 School of Informarion and Electrical Engineering, China University of Mining and Technology, Jiangsu Xuzhou (221116)
空间直角坐标下的三重积分来求：
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z )
3 dxdydz
Ω
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
+R
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x
2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+R
2π
R2 −z2
= Gmρ ∫ (r − z)dz ∫ dθ ∫
ρdρ
3
Fz = ∫∫∫
Gmρ (r − z) 3 dxdydz + ∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
=
2π Gmρ
⎡ ⎢⎣2r
+
1 6r 2
(
R
−
r )3
−
1 6r 2
2 School of Material Science and Engineering, Shandong Universiry, Jinan (250100)
Abstract Although Newton's law of gravitation gives the general expression, but in fact the law of gravity is difficult to understand, and it itself there are some insurmountable flaws. This departure is based on Newton's law of universal gravitation, using the triple integral tool of space to get some of the conclusions of sphere gravitational field, and then proceed to consider these findings from the spherical shell at any point in space produced by the gravitational field, and draw the appropriate conclusions. Key words: spherical shell;gravitational field;points
体在空间所产生的万有引力场。设有一个半径为 R 的均匀球体，密度为 ρ 球体外有一质量
为 m 的质点 A，它离球心的距离为 r ，F 为球体对质点 A 的万有引力。以球心为坐标原点 O ， JJJK OA 为 z 轴的方向，建立直角坐标系。根据对称性，容易知道 Fx = Fy = 0 ，对于 Fz ，利用
-4-
中国科技论文在线
内径为γ ，外径为 r 的球壳，D2 为内径为γ ，外径为 R 的球壳。那么根据上面的结论，D1 、
JDK 2 在 C 点所产生的万有引力场强度均为零，所以球壳 D 在 C 点所产生的万有引力场强度 g =0。
图 2 空间点 C 位于球壳外的情况
+r −R
(r
−
z)
⋅
⎡ ⎢ ⎣
r
1 −
z
−
R2
+
1 r2
−
2rz
⎤ ⎥ ⎦
dz
∫+r ⎡
= 2π Gmρ ⎢1− −R ⎣
R2
r +
−z r2 −
2rz
⎤ ⎥dz ⎦
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢ ⎣
R
+
r
+
1 6r2
R2 − r2
3 2
−
R2
−
r2
2r 2
R2
−
r2
−
1 6r2
(R
+
r )3
+
R2 − r2 2r 2
−R
0
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r )2
⎤ ⎦
2
-1-
中国科技论文在线
∫ ∫ ∫ = 1 Gmρ +R (r − z)dz2π dθ
2
−R
0
( ) R2 −z2
d
⎡ ⎣
ρ
2
+
z−r
2⎤ ⎦
3
0
⎡⎣ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ ∫ +R
= π Gmρ (r − z)dz
如果点 C 位于球壳JKD 的外部，同样可以根据上面的结论，很快的求出球壳 D 在 C 点所 产生的万有引力场强度 g ，如图 2 所示。设球壳 D 是均匀的，密度为 ρ ，质量为 M ，球壳
D 外有一点 C ，它距离球壳中心的距离为 r 。同样，不妨假设球壳 D 的空心出填满了与球
壳 D 同样材料的物质，这样就形成了两个球体，设内部填充的球体的质量为 M1 ，整个球体
(r
−
R )3
+
r2 − R2 2r 2
(
r
−
R)
−
1 6r 2
(
r
+
R )3
−
r2 − R2 2r 2
(r
+
R )⎤⎥
⎦
Gmρ ⋅ 4 π R3
=
3
r2
设M
为球体的质量，则
Fz
=
G
Mm r2
，
JK 在万有引力场中引入万有引力场强度 g
Fz 的方向为 z JK
= F ，其中 m
轴的负方向。 为质点的质量，
(R
+
r )⎤⎥
⎦
同理可得，
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω2
⎡ ⎣
x2
+
y
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
( ) =
2π
Gmρ
⎡ ⎢r ⎣
−
R
−
1 6r 2
R2 − r2
3 2
+
R2
−
r2
2r 2
所以，
R2
−
r2
+
1 6r 2
(R−
r )3
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥
⎦
-3-
中国科技论文在线
的一个理想模型，以它为研究对象来考虑万有引力场会给问题带来方便。对于球壳在空间任
何一点所产生的万有引力场的强度这一问题，需要我们去推究。
2 分析及解答
球壳是从球的模型中引出的一个理想模型，即为一个外径 R ，内径 r 的空心球体。由于
球壳是从球的模型中引出的，所以要想搞清楚球壳所产生的万有引力场，就必须先弄清楚球
1 引言
牛顿从普朗克三定律出发，发现了万有引力定律。牛顿万有引力指出，空间质量为 m1 、
m2
的质点之间的万有引力的
JK F
=
G
m1m r3
2
⋅
K r
，其中
K r
为两质点间的矢量。这也就是说空间
两质点间的万有引力的大小，与各个质点的质量成正比，与质点间连线的距离的平方成反比。
牛顿万有引力定律虽然具有普遍意义，但是应用它确实很复杂的。球壳是从球的模型中引出
Fz = ∫∫∫
3 dxdydz − ∫∫∫
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
Ω2
⎡ ⎣
x
2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫∫∫
Gmρ (r − z)
3 dxdydz
Ω1
⎡ ⎣
x2
+
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+r
= Gmρ ∫ (r − z)dz∫∫
dxdy
3
−R
D
⎡ ⎣
x2
+
为 z 轴的负方向。再根据万有引力场强度的概念，很容易求出质量为 M 的均匀球体在球体
内任意一点
A
所产生的万有引力场强度
JK g
=
−G
M′ r3
⋅
K r
，其中
K r
=
JJJK OA
,
O
为球心，
M
′
为以
原点 O 为圆心，OB 的长为半径的球面所包围的球体的质量。结合球体在球面任意一点所产
生的万有引力场的强度，可以知道，内径为 r 、外径为 R 的球壳在位于内球面上任意一点所
y2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
+r
2π
R2 −z2
= Gmρ ∫ (r − z)dz ∫ dθ ∫
ρdρ
3
−R
0
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ ∫ ∫ =
1
Gmρ
+r
(
r
−
2π
z )dz
dθ
2
−R
0
( ) R2 −z2
d
⎡ ⎣
ρ
2
+
z−r
2⎤ ⎦
3
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ =
2π Gmρ
JK g
=
JJK g2
−
JJK g1
=
−G
(M2 −
r3
M1 )
K ⋅r
=
−G
M r3
⋅
K r
。
综上可知，一个质量为 M 的均匀球壳在空间任意一点所产生的万有引力场场强
JK ⎧ 0,质点位于球壳内部 ⎫
g
=
⎪ ⎨⎪⎩−G
M r3
⋅ rK,质点位于球壳外部⎪⎬⎪⎭
K ，其中 r 为球壳中心与质点所形成的向量。
R2 −z2
d
⎡⎣ ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
3
−R
0
⎡ ⎣
ρ
2
+
(
z
−
r
)2
⎤ ⎦
2
∫ =
π
Gmρ
+R −R
(r
−
z)⋅
2
⎡ ⎢ ⎣
r
1 −
z
−
1
⎤
R2
+
r
2
−
2rz
⎥ ⎦
dz
∫+R ⎡
= 2π Gmρ ⎢1− −R ⎣
r−z ⎤
R2
+
r
2
−
2rz
⎥dz ⎦
=
2π Gmρ
⎡ ⎢2R ⎣
+
1 6r 2
(R
+
r )3
+
R2 − r2 2r 2
(R
+
r)
−
R2 − r2 2r 2
(R
−
r )⎤⎥⎦
=
2π Gmρ
⎛ ⎜ 2r ⎝
−
R2 r
−
r 3
+
R2 r
−r
⎞ ⎟ ⎠
= 4 πGmρr 3
4 π r3 ⋅ Gmρ =3
r2
=
G
M r
′m
2
其中 M ′ 为以原点 O 为圆心， OB 的长为半径的球面所包围的球体的质量， Fz 的方向
中国科技论文在线
球壳万有引力场的积分说明
雷加智 1，耿标 1，雷家强 2
1 中国矿业大学信息与电气工程学院，江苏 徐州 (221116) 2 山东大学材料科学与工程学院，济南 (250100)
E-mail:leijiazhi@
摘 要：牛顿虽然给出了万有引力定律的一般表达式，但是事实上万有引力定律是很难理解 的，而且它本身也存在着一些不可克服的缺陷。本文从牛顿万有引力定律出发，利用空间上 的三重积分工具，得到球体万有引力场的一些结论，再从这些结论出发来考虑球壳在空间任 何一点所产生的万有引力场，并得出相应的结论。 关键词：球壳；万有引力场；积分。 中图分类号：O302
JK F
为所研究物体
m
对该质点的万有引力。根据万有引力场强度的概念，很容易求出质量为 M 的均匀球体在空
间外任意一点
A
JK 所产生的万有引力场强度 g
=
−G
M r3
K ⋅r
K ，其中 r
JJJK = OA , O 为球心。这也就
是说，一个均匀球体对空间任意一点的万有引力场强度的大小和球的质量成正比，和球心与
r
。以球心为坐标原点
JK
O
，
OB
为
z
轴的方
向，建立空间直角坐标系，来求球体对质点 B 的万有引力 F 。
根据对称性容易知道， Fx = Fy = 0 。对于 Fz ，仍然利用空间直角坐标下的三重积分来
求：
-2-
中国科技论文在线
Gmρ (r − z )
Gmρ ( z − r )
3 总结
本文通过空间坐标系下的三重积分来考虑球壳在空间任何一点所产生的万有引力场，并 且从球体出发，根据球体万有引力场的结论来解决球壳的万有引力场这一问题，从而得出球 壳的万有引力场的一般结论。
-5-
中国科技论文在线
参考文献
［1］同济大学应用数学系.高等数学[M]．5 版.北京：高等教育出版社，2001. ［2］程守洙，江之永.普通物理学[M]．6 版.北京：高等教育出版社，2001. ［3］高增禹.对万有引力场的讨论［J］.鞍山师专学报，1993，03：95～99. ［4］唐淑红.高斯定理在万有引力场中的应用［J］. 湘潭师范学院学报，2008，03：14～16. ［5］吴永汉.万有引力场是虚数场［J］.云南大学学报 ，2004 , 26 ( 4) : 335～337 ［6］李兴赘. 高斯定理在力学中的推广及应用［J］. 湖北民族学院学报，1998 ，16 (6) :83～85.