结构力学46影响线的应用

Zmax分布——是在影响线正号部分布满荷载; Zmin分布——是在影响线负号部分布满荷载。
C
A
B
FYB(max) 的最不利布置 D FYB 的影响线
FYB (min)的最不利布置
C
A
B
MBmax的最不利布置 D MB的影响线
MBmin的最不利布置
[例2] 简支梁受均布荷载作用，荷载可以任意布置， 求FQC的最大正号值和最大负号值。
41kN
M A 20 4 10 2
4
1 2
4
4
132kN
m
截面在“主结构”上 截面在“从结构”上
FQB左 20 1 10 0.5 25kN FQB右 10 0.5 5kN
2.确定移动均布活荷载的最不利布置 移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等， 它不是永久作用在结构上的。
tan
i＝360
1 8
127.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.7kN
FRi tani 变号，故此位置是临界位置。
3) 计算Z值
Z FRi yi qA0
＝90kN
3.5 8
5 8
6.5 8
1
90kN
0.906
37.8kN
/
m
0.81 2
0.75
1m
0.75 2
一般原则：应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖距 较大的部位。
(1) 移动荷载是单个集中力时——最不利位置是这个集中 荷载作用在影响线的竖距最大处；
(2) 移动荷载是一组集中力时——最不利位置是必有一个 大的集中力作用在影响线的顶点；
理由是：
n
Z FPi yi i 1
4. 确定临界位置的原理与方法 (移动荷载是一组集中力) 要确定某量Z的最不利位置，通常分成两步进行：
FPcr
FL R
FR R
a
b
临 界 判
FL R
FPcr
FR R
别 式
a
b
临界位置的特点：FPcr正好在影响线的顶点，将其计入哪一边， 则哪一边荷载的平均集度要大。
[例3] 图a为一组移动荷载，图b为某量的影响线。试求荷载最 不利位置和Z的最大值。已知FP1= FP2= FP3= FP4= FP5=90kN， q=37.8kN/m。
§4-6 影响线的应用
1.求确定荷载下某量值的大小
（1）一组集中力作用 FQC FP1 y1 FP2 y2 FP3 y3
一般式： Z FP1 y1 FP2 y2 FPn yn
n
FPi yi i 1
（2）均布荷载作用
B
B
Z
yqdx
A
q
A ydx qA0
均布荷载引起的Z值等于荷 载集度乘以受载段的影响 线面积（注意正负号）。
FRi
tan i＝270
1 8
217.8
0.25 4
源自文库
226.8
0.75 6
8.2kN
假设各段荷载稍向左移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 4 360kN
FR2＝90kN 37.8kN / m1m 127.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
FRi
6m
455kN
4) 再设想依次将FP5, FP3 , FP2 , FP1放在影响线的最高点，
计算结果是 FRi tani 不变号。
[例7] 图示梁AB，跨度为40m，承受汽车车队荷载。试求 截面C的最大弯矩。 解：
1) 设汽车车队 向左行
将轴重130kN置于C点
70 130 200
15
25
FRi 在顶点左： FRi tani 0 极 大
FRi 在顶点右： FRi tani 0 值
FRi tani 0 极 小 (4)
FRi tani 0 值
归纳起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：
●从荷载中选定一个集中荷载，使它作用于影响线的顶点。
●当此集中荷载在该顶点稍左或稍右时，计算
●FQC的最大正号值 荷载布满CB段时
(AC段空)
FQC max qACB 20kN / m 4 m
3 26.7kN
●FQC的最大负号值
荷载布满AC段时
(CB段空)
FQC min
qAAC
20kN
/ m
1 m 3
6.67kN
3. 求荷载的最不利位置
最不利位置：如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大 (绝对)值，则此荷载位置称为最不利位置。
❖ 求出使Z达到极值的荷载位置，即临界位置; ❖ 从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置，
也就是从极值中选出最值。
分析：
3
原始位置：
Z FR1 y1 FR2 y2 FR3 y3 FRi yi
荷载右移 x(右移为正）：
(2)代入(1)得:
i 1
yi x tani 3
Z x FRi tani
即:
Z
x
3 i1
FRi
tani
i 1
x 的分段 一次函数
(1) (2)
(3)
Z
x
3 i1
FRi
tani
由高等数学知：
Z为分段一次函数时,极值条件是
dZ dx
即
变Zx号 尖点处;
仅当某FRi通过影响线某顶点时,才可能使 FRi 变tan号。i
临界判别式： （若符合判别式，则 FRi 在顶点位置为最不利位置 ）
[例1] 简支梁全跨受均布荷载作用，求FQC的数值。
注意负号
解： FQC qA1 A2
20
1 2
2 3
4
1 2
1 3
2
20kN
[例2] 试作梁的YA 、MA、 FQB的影响线，并利用影 响线计算在图示荷载作用 下的YA 、MA、 FQB值。
解：YA Pi yi qA
201 100.5 4 4 1
解： 1) 设想将FP4放在影响线的最高点
2) 计算 FRi tani
tan
＝
1
1 8
tan
＝
2
0.25 4
tan
3＝
0.75 6
假设各段荷载稍向右移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 3 270kN
FR2＝90kN 2 37.8kN / m1m 217.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
70 130 200
15
25
即所试位置是临界位置，MC值为 MC 70kN 6.88m 130kN 9.38m 50kN 7.5m 100kN 6.00m 50kN 0.38m 2694kN m
FRi tani
变号，则为临界位置；若不变号，则不是临界位置。
●符合临界条件的可能有多个，对每个临界位置可求出Z 的 一个极值，从中选出最值， 其对应的位置即为最不利位置。
▲当影响线为三角形时
将FPcr放在影响线的顶点左右
将 tan c tan c
a
b
代入临界判别式(4) ，
可得 简化式 ：