结构力学46影响线的应用
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【青岛理工大学】结构力学第四章影响线.
5d/8
3d/4
结点荷载
MD影响线
结间剪力影响线 FQCE 的影响线
FP=1 A
C
E
F
B
1/2 1
1/4
1
FQCE 的影响线
FP=1
A
F
HE
C KD
B
G
ddddddd
求支座反力、MK、FQK 、MC、 MA、 FLQA 、 FRQA 的影响线
FP=1
1
A
F
HE
C KD
6/5
B
G
FRA影响线
FP=1
C
+
+
-
FQC影响线
-
FQC (max) 荷载位置
FQC (min) 荷载位置
2、移动集中荷载（吊车、汽车、火车等）
（1）移动的单个荷载：
FP置于最大竖标处，产生 Z max 。 FP置于最小竖标处，产生 Z min 。
（2） 移动的一组集中荷载 1> 当把数量大、排列密的荷载
放在影响线竖标较大的部位。
82 82 82 82
右移 左移
1
282 282
9
9
382 282
9
9
结论： 该荷载位置是临界位置
82 82 82 82
1
右移 左移
382 182
9
9
482 0 99
结论： 该荷载位置不是临界位置
本章要求
1.机动法求梁的影响线 2.静力法求刚架、 组合结构影响线 3.结点荷载下的影响线，静力法求桁架影响线 4.用影响线求固定荷载下某量值的大小 5.最不利荷载位置主要用于课程设计
=F x tana= F y
结构力学§4-6_影响线的应用
假设各段荷载稍向右移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 3 270kN
FR2＝90kN 2 37.8kN / m1m 217.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
FRi
tan i＝270
1 8
217.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.2kN
假设各段荷载稍向左移，各段荷载合力为
4
1 2
4
4
132kN
m
截面在“主结构”上 截面在“从结构”上
FQB左 20 1 10 0.5 25kN FQB右 10 0.5 5kN
2. 求荷载的最不利位置
最不利位置：如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大 (绝对)值，则此荷载位置称为最不利位置。
一般原则：应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖距 较大的部位。
设Z的影响线为一三角形。如求Z的极大值，则在临界位置必有一荷载FPcr正好在 影响线的顶点上。以 表示左方荷载的合力；以 表示右方荷载的合力。则有：
将
tan
c a
FL R
FPcr
FR R
a
b
tan
c
b代入
FPcr
FL R
FR R
a
b
上式不等式两边可理解为各边的“平均荷重”。
结论：对与三角形影响线：临界位置和临界荷载的特点： 1. 在三角形影响线上，正好有一个集中荷载FPcr“高踞顶峰”； 2. 这个集中荷载FPcr正好扮演一个“举足轻重”的角色，它左移则左重，右移则右重。
图示为一组集中荷载，荷载运动时其间距和数值保持不变。某量Z的影响线为一
多边形。各边的倾角以α1，α2， α3 表示(其中α1，α2为正， α3 为负)。各
结构力学4-4联合法作影响线
对于需要考虑动力荷载效应的 情况，还需要在静力荷载影响 线的基础上，叠加动力荷载引 起的附加效应。
刚架结构影响线绘制
分析刚架结构特点
刚架结构通常由多个刚架单元组成，具有较大的刚度和稳定性。在绘制影响线时，需要考 虑结构的整体性和各刚架单元之间的相互作用。
确定影响线的控制点和分区
对于刚架结构，需要确定影响线的控制点和分区。控制点通常包括荷载作用点、支座点和 刚架节点等。分区则是根据结构的受力特点和变形情况，将结构划分为若干个区域，每个 区域内的量值变化规律相对独立。
02
联合法作影响线基本原理
联合法概述
联合法是一种通过结合静力法和机动法来求解结构 影响线的方法。
它充分利用了静力法和机动法的优点，同时避免了 各自的缺点，使得影响线的求解更加准确和高效。
联合法适用于各种复杂的结构形式，包括超静定结 构、动力结构等。
影响线绘制方法
静力法
通过计算结构在单位荷载作用下的内力或位移，得 到影响线的形状和大小。
严格遵守实验室规章制度和操作规程，确保实验安全顺利进行；
如遇设备故障或异常情况，应立即停止实验并报告指导教师处理 。
05
数据处理与结果分析
数据采集和处理方法
80%
数据采集
通过实验或数值模拟获取结构在 不同荷载作用下的响应数据，包 括位移、应力、应变等。
100%
数据处理
对采集到的数据进行整理、筛选 和归纳，提取出与结构力学4-4 联合法相关的关键信息。
机动法
通过假设结构发生微小的刚体位移，利用虚功原理 求解影响线。
联合法
结合静力法和机动法，先利用静力法确定影响线的 形状和大小，再利用机动法进行修正和调整。
联合法作影响线步骤
刚架结构影响线绘制
分析刚架结构特点
刚架结构通常由多个刚架单元组成，具有较大的刚度和稳定性。在绘制影响线时，需要考 虑结构的整体性和各刚架单元之间的相互作用。
确定影响线的控制点和分区
对于刚架结构，需要确定影响线的控制点和分区。控制点通常包括荷载作用点、支座点和 刚架节点等。分区则是根据结构的受力特点和变形情况，将结构划分为若干个区域，每个 区域内的量值变化规律相对独立。
02
联合法作影响线基本原理
联合法概述
联合法是一种通过结合静力法和机动法来求解结构 影响线的方法。
它充分利用了静力法和机动法的优点，同时避免了 各自的缺点，使得影响线的求解更加准确和高效。
联合法适用于各种复杂的结构形式，包括超静定结 构、动力结构等。
影响线绘制方法
静力法
通过计算结构在单位荷载作用下的内力或位移，得 到影响线的形状和大小。
严格遵守实验室规章制度和操作规程，确保实验安全顺利进行；
如遇设备故障或异常情况，应立即停止实验并报告指导教师处理 。
05
数据处理与结果分析
数据采集和处理方法
80%
数据采集
通过实验或数值模拟获取结构在 不同荷载作用下的响应数据，包 括位移、应力、应变等。
100%
数据处理
对采集到的数据进行整理、筛选 和归纳，提取出与结构力学4-4 联合法相关的关键信息。
机动法
通过假设结构发生微小的刚体位移，利用虚功原理 求解影响线。
联合法
结合静力法和机动法，先利用静力法确定影响线的 形状和大小，再利用机动法进行修正和调整。
联合法作影响线步骤
朱明zhubob结构力学4-5_1影响线的应用
同理，使S 成为极小值的临界位置，必须满足：
荷载稍向右移，∑FRitanαi ≥0 荷载稍向左移，∑FRitanαi ≤0
3
x FRi tani 0 i 1
结论：
如果S为极值(极大或极小)，则荷载稍向左或稍向右 移动时， ∑FRi tanαi 必须变号。
因此使S 成为极大值的 临界位置判别条件可分 两种情况：
S值为：
y qdx
设AB段影响线的面积为A ：
则在AB段均布荷载作用下的 S值为：
B
B
S A y qdx qA ydx q A
q
A
B
aC
x dx
b
B
l
b
l
y
a dA
l FQC 影响线
n
S FPi yi i 1
S qA
例4-9 利用影响线求图示伸
臂梁截面C的剪力。
即：
3
x FRi tani 0
i 1
荷载：
S影响线：
y2 y2 3 0
2 0
y3
因此使S 成为极大值的
y1
临界位置判别条件可分 1 0
y1
y3
两种情况：
x
x
x
当Δx＞0时(荷载稍向右移)，∑FRitanαi ≤0
当Δx＜0时(荷载稍向左移)，∑FRitanαi ≥0
1 3 3 28
26kN
n
1 FQC
S FPi yi i 1
S qA
4-5-2 确定最不利荷载位置
使某量S达到最大值时，荷载的位置。 ⑴ 单个移动集中荷载：
⑵ 移动的均布荷载：
FP
荷载稍向右移，∑FRitanαi ≥0 荷载稍向左移，∑FRitanαi ≤0
3
x FRi tani 0 i 1
结论：
如果S为极值(极大或极小)，则荷载稍向左或稍向右 移动时， ∑FRi tanαi 必须变号。
因此使S 成为极大值的 临界位置判别条件可分 两种情况：
S值为：
y qdx
设AB段影响线的面积为A ：
则在AB段均布荷载作用下的 S值为：
B
B
S A y qdx qA ydx q A
q
A
B
aC
x dx
b
B
l
b
l
y
a dA
l FQC 影响线
n
S FPi yi i 1
S qA
例4-9 利用影响线求图示伸
臂梁截面C的剪力。
即：
3
x FRi tani 0
i 1
荷载：
S影响线：
y2 y2 3 0
2 0
y3
因此使S 成为极大值的
y1
临界位置判别条件可分 1 0
y1
y3
两种情况：
x
x
x
当Δx＞0时(荷载稍向右移)，∑FRitanαi ≤0
当Δx＜0时(荷载稍向左移)，∑FRitanαi ≥0
1 3 3 28
26kN
n
1 FQC
S FPi yi i 1
S qA
4-5-2 确定最不利荷载位置
使某量S达到最大值时，荷载的位置。 ⑴ 单个移动集中荷载：
⑵ 移动的均布荷载：
FP
结构力学 影响线及其应用
曲线即得内力包络图。
例：绘制简支梁在两台吊车作用下的弯矩包络图和剪力包络图。
P1
A
3.5m
P2 P3
1.5
3.5m
P4
P1 P2 P3 P4 82kN
B
RA
0 1.2 2.4
215
12m 6.0
RB
12m
弯矩包络图（kN· m）
366
465
559 94.3
65.0
574 41.7
25.3
f
b
4
A C D
E P=1
F
B
l=6a
4a/3 +
(a)
+ (b)
M C .IL
N 5 .IL
a
§8-3 用机动法做影响线
用机动法作静定结构内力（反力）影响线的理论基础是刚体系虚功原理。
机动法作内力（反力）影响线步骤如下：
1、去除与所求量值相应的约束，并代以正向的约束力。 2、使所得体系沿约束力的正方向发生相应的单位位移， 由此得到的P =1作用点的位移图即为该量值的影响线。 3、基线以上的竖标取正号，以下取负号。
只有当一个荷载通过影响线 顶点时，S`才有可能变号 令PK通过影响线顶点时，使S`变号，且使S取得极大值。 即：PK位于影响线顶点时；S`=0 左移荷载时：S`>0 右移荷载时：S`<0 用式子表示：
P1 P 2 PK PK 1 PN h 0 a b P1 P 2 PK 1 PK PK 1 PN h 0 a b
同理可以判定P4不是PK
MK max 1610 kN .m
结构力学-第4章影响线
简要介绍某大桥的工程背景，包括桥梁类型、跨度、设计荷载等。
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
影响线和包络图在该桥设计中的应用
详细阐述影响线和包络图在该桥设计中的应用过程，包括影响线和包络图的绘制、最不利位置的确定、最大内力的计 算等。
设计结果分析与评价
对该桥的设计结果进行分析和评价，包括结构安全性、经济性等方面的评估。同时，可以与其他设计方 案进行对比分析，以进一步验证影响线和包络图在工程设计中的有效性和优越性。
通过绘制建筑结构的包络图，可以找到结构在地震作用下的最大变形和位移，为结构的刚 度设计和稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在建筑结构优化设计中的作用
利用影响线和包络图，可以对建筑结构进行优化设计，如调整结构布置、改变构件截面等 ，以提高结构的抗震性能和经济效益。
工程案例分析：某大桥设计过程剖析
工程背景介绍
结构优化设计
根据影响线的形状和分布，对结 构进行优化设计，以改善结构的 受力性能。
80%
工程实例分析
结合具体工程实例，利用影响线 理论进行结构分析和设计，验证 理论的正确性和实用性。
03
超静定结构影响线绘制与应用
超静定梁影响线绘制实例
实例一
实例三
一次超静定梁的影响线绘制。通过选取 基本体系和基本未知量，利用力法方程 求解多余未知力，并绘制影响线。
影响线用于确定桥梁结构在移动荷载作用下的最不利位置
通过绘制桥梁结构的影响线，可以确定移动荷载在桥梁上的最不利位置，从而进行结构分析和设 计。
包络图用于确定桥梁结构的最大内力
通过绘制桥梁结构的包络图，可以找到桥梁在移动荷载作用下的最大内力，为桥梁的强度设计和 稳定性分析提供依据。
影响线和包络图在桥梁优化设计中的作用
影响线在结构优化中的应用
影响线及其应用课件
结构力学
x P 1
B1
C
2
3 A
lllll
ll
解：
M A 4l P在B点
M A
l
P在C点
M
1
l
M1 0
P在B点 P在1C段
Q1 1 P在B1段
Q1 0
P在1C段
MN 22
1 x(2l
x
3l)
Q3 1 M 3 (x l)
2 截面在悬臂梁部分，其影响线是将悬臂梁画上即可，其 余部分无影响；
中南大学
结构力学
四 其它类
型
P=1
AB
C
a
a
RA 1 1
RC
MC
QC左
a 1
Q
右 A
1
QB 1
解：
RA
a
a
x
0 x a
RA 0 P在BC段
RC
1 RA
x a
0 x a
RC 1 RA 1 P在BC段
中南大学
§11-2 静力法做单跨梁的影响线
结构力学
二 悬臂梁
A a
RA
P=1 解
C b
B 1 RA 1
2 M C x P作用在CB段
1
M C 0 P作用在AC段
MC
3 QC 1 P作用在CB段
b QC 0P作用在AC段
QC
1
中南大学
§11-2 静力法做单跨梁的影响线
三 伸臂梁
P=1
A
C BD
aaaa
RA
1
结构力学
结构力学(第四章 影响线)
FYA的影响线如下：
1
+
FYA 0
影响线上的每一个竖标,表示的是:单位力作用于该 位置时,反力 FYA的大小。
§4-2 各种静定结构的影响线
同理求FYB的影响线方程：
MA 0
得：FYB
x L
x FP=1
A
B
… …②
L
式②就是反力FYA的影响线方程，显然它是一个 直线方程。
取两点： x 0 FYB 0 x L FYB 1
FQC
FYA
La L
… …⑥
式⑥为剪力FQA在AC段的影响线方程，取两点：
xa
FQC
b L
x L FQC 0
剪力FQC的影响线： 1
b/L
+
A
C
-
B
a/L 1
应注意的问题
要讨论的物理量是固定的，单位移动荷载位置是 变动的，影响线图形的纵标是荷载作用于此处时 物理量的值。
物理量影响线要注意：外形、数值（单位）和符 号。
a
b
由于ME是基本部分的量值，因此在整个梁上 都有量值。
+ cb/L
ME的影响线：
静力法作梁影响线 实际上就是用静力平衡方程建立要讨论的影响
量的方程，由函数作图的方法。
§4-2 各种静定结构的影响线
2）悬挑梁的影响线
D
AC
B
E
（1）反力影响线
da
b
d
作悬挑梁FYA的影响线，
L
显然单位力在AB段移动时，其影响线与相应简支
梁的影响线相同，因此只需研究DA段和BE段。
DA段：它的影响线一定是直线，因此只需把力作
当力在DC段移动时，FYA的影响线应该是直线，因此
结构力学 第四章影响线
（ 注意有正负面积之分）
4 、用合力求影响量值(相同斜率段) F
FP1 FP2 FPn-1 FPn
合力矩定理
O
a
y1 y2
y
yn-1 yn
Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn =(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα =F x tana= F y
F
移动FP=1 荷载FP=1的位置 C截面的弯矩值 与内力单位差N
FP=1 C ab l
图 形 表 示
Fa Fa
用静力法求刚架影响线
A
FP=1
FP=1 C a
C
B b l d
b
l
E
l
x
l
a
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
FP=1
b
l
C a
l
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
静力法求影响线的本质是： 求解单位集中力作用在x位置时的 某截面内力或反力的大小 方法是
剪力用合力计算时需分两段计算，为什么？
二、 求荷载的最不利位置
使某量Z达到最大（最小）的荷载位置
简单情况可用观察法。 判断原则：
把数量大，排列密的荷载放在影响线竖 标较大的部位。
1、均布荷载(长度可任意布置) Z=q· o A 求Z max 时，在+Ao内布满q 求Z min 时，在 -Ao内布满q
FP=1
1 3
4m 4m
2
4m
4m
4m
0
2 2 2 4 2 4
上承式
FN1影响线
结构力学专题五(影响线的应用)
2ql q ql
k 荷载作用时影响线的应用
最不利荷载位置:
确定最不利荷载位置
结构中某量达到最大值(或最小值)时的荷载位置。
1. 一个移动集中荷载
2. 可动均布荷载(定位荷载)
3. 移动集中力系 最不利荷载分析步骤：
(1) 由临界力判别式确定哪些力是临界力； (2) 计算荷载位于各临界位置时的量值； (3) 比较得到的量值，得到最大值； (4) 最大值发生时的临界位置即是最不利荷载位置。
已知: 恒载 q0 15kN/ m, 活载 FP 120kN
FP q0
FP
2m
12m
作业： 4—１5 、4—17
6
2
3
4
5
弯矩包络图 （ｋN.ｍ)
510
800 870 800 510
240
310
170 100
+
30
剪力包络图 （ｋＮ）
30
-
100
170 240 310
第四章 影响线
§4-10* 简支梁的绝对最大弯矩
简支梁弯矩包络图中的最大竖标称为绝对最大值， 即梁各截面最大弯矩中的最大值。
作简支梁弯矩包络图一般不能求得绝对最大弯矩， 因为等分截面不可能正好选中绝对最大弯矩的截面。
已知：P1=10kN， P2 =20kN
FQC,max 20kN
1m
P1
P2
FQC,min 6.25kN
C
2m
6m
4*. 作用范围确定的均布荷载作用 例1：求图示均布移动荷载的最不利荷载位置
q a
C
D
A
B
Z变量影响线
例2：确定求MC 最大值时的最不利荷载位置
影响线及其应用
确定受力点和方向
选取适当的比例尺
考虑支座约束和反 力
考虑载荷和分布情 况
确定影响线的类型和边界条件 建立影响线的数学模型 求解影响线的方程 分析影响线的特性如最大值、最小值和转折点
最大值：影响线分析中要考虑的最大值通常表示该因素对结果的最大影响程度。 最小值：影响线分析中要考虑的最小值通常表示该因素对结果的最小影响程度。 平均值：影响线分析中要考虑的平均值通常表示该因素对结果的平均影响程度。 标准差：影响线分析中要考虑的标准差表示该因素对结果的影响程度的不确定性或波动性。
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
影响线是表示 结构上所受各 种作用力随位 移而变化关系
的图形
它是一种虚构 的图形用来研 究结构的反力
和位移
影响线可以帮 助我们了解结 构在不同位置 受到的力的大
小和方向
影响线还可以 用于结构的优 化设计和稳定
性分析
按受力和位移情况分类：固定 影响线和活动影响线
按影响线的性质分类：真实影 响线和虚构影响线
按影响线的用途分类：研究影 响线和实用影响线
按影响线的形状分类：直线影 响线和曲线影响线
建筑结构：用于评估建筑物 在不同载荷下的稳定性
桥梁工程：用于分析桥梁在不 同载荷下的变形和应力分布
船舶工程：用于分析船舶在不 同海况下的运动和载荷分布
机械工程：用于分析机械设备 在不同工况下的动态特性和载
荷分布
确定受力点和 平衡位置
确定影响线的 方向和大小
绘制力矩作用 线
绘制影响线
选择软件：uCD、 SolidWorks等
绘制步骤：根据影 响线的定义和性质 使用软件中的绘图 工具进行绘制
结构力学——影响线及其应用 免费
W 0
P
P
RB
B
RA
0
0,
RB
P
B
x L
（影响线方程）
x P 1
B P
RB
虚位移图
令B 1,RBx Px 同步
设沿P=1作用方向为正位移（基线以下为正）， 将虚位移图反号，即得影响线图
５－４机动法作静定梁的影响线
二 内力M、Q P 1
MC 虚位移图
１．解除与M对应的自由度
２．沿 MC 的E方向给虚位移
tg
Qk Nk Mk VB
VB sin
Mk 0 Mk b VB btg
Qk
HA btg
Mk
５－３间接荷载作用下的影响线
P 1
当P=1经过结点１、２、３、４、 ５时，与直接荷载作用下相同
y2 y3
y4
在两结点之间
x P 1
３
４
大V小3 变，1方xa向 位置V4不 变xa
由影响线定义和叠加原理得：
QB左 RB
QC
RB 求右直线取左隔离体
RA
QB左 RA
QB左
５－２ 静力法作影响线
例５－2 作斜梁的 VB, HA ,Qk , Mk 影响线
k
求 Qk 的影响线 作下直线取上隔离体
P 1
x HA
VB
作上直线仍取上隔VB
５－２ 静力法作影响线
求 M k 的影响线
５－５平面桁架的内力影响线
一、截面法（①力矩法②投影法） 二、结点法（投影法） 例５－５ 作图示桁架上、下弦、腹杆及竖杆的影响线（分上承、下承）
P 1
上承
Ⅰ
Ⅱ
h
下承
VA
P
P
RB
B
RA
0
0,
RB
P
B
x L
（影响线方程）
x P 1
B P
RB
虚位移图
令B 1,RBx Px 同步
设沿P=1作用方向为正位移（基线以下为正）， 将虚位移图反号，即得影响线图
５－４机动法作静定梁的影响线
二 内力M、Q P 1
MC 虚位移图
１．解除与M对应的自由度
２．沿 MC 的E方向给虚位移
tg
Qk Nk Mk VB
VB sin
Mk 0 Mk b VB btg
Qk
HA btg
Mk
５－３间接荷载作用下的影响线
P 1
当P=1经过结点１、２、３、４、 ５时，与直接荷载作用下相同
y2 y3
y4
在两结点之间
x P 1
３
４
大V小3 变，1方xa向 位置V4不 变xa
由影响线定义和叠加原理得：
QB左 RB
QC
RB 求右直线取左隔离体
RA
QB左 RA
QB左
５－２ 静力法作影响线
例５－2 作斜梁的 VB, HA ,Qk , Mk 影响线
k
求 Qk 的影响线 作下直线取上隔离体
P 1
x HA
VB
作上直线仍取上隔VB
５－２ 静力法作影响线
求 M k 的影响线
５－５平面桁架的内力影响线
一、截面法（①力矩法②投影法） 二、结点法（投影法） 例５－５ 作图示桁架上、下弦、腹杆及竖杆的影响线（分上承、下承）
P 1
上承
Ⅰ
Ⅱ
h
下承
VA
结构力学教案第10章影响线及其应用
结构⼒学教案第10章影响线及其应⽤第⼗章影响线及其应⽤10．1 影响线的概念⼀、移动荷载对结构的作⽤1、移动荷载对结构的动⼒作⽤:启动、刹车、机械振动等.2、由于荷载位置变化，⽽引起的结构各处的反⼒、内⼒、位移等各量值的变化及产⽣最⼤量值时的荷载位置。
⼆、解决移动荷载作⽤的途径1、利⽤以前的⽅法解决移动荷载对结构的作⽤时，难度较⼤。
例如吊车在吊车梁上移动时，R B 、M C2、影响线是研究移动荷载作⽤问题的⼯具。
根据叠加原理，⾸先研究⼀系列荷载中的⼀个，⽽且该荷载取为⽅向不变的单位荷载。
10.2 ⽤静⼒法绘制静定结构的影响线⼀、静⼒法把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以x 表⽰该荷载⾄所选坐标原点的距离，由静⼒平衡⽅程求出所研究的量值与x 之间的关系（影响线⽅程）。
根据该关系作出影响线。
⼆、简⽀梁的影响线1、⽀座反⼒的影响线∑M B =0：∑M A =0：2、弯矩影响线1M C影响线弯矩图（1）当P=1作⽤在AC段时，研究CB：∑M C=0：（2）当P=1作⽤在CB段时，研究CB：∑M C=0：3、剪⼒影响线（1）当P=1作⽤在AC段时，研究CB：（2）当P=1作⽤在CB段时，研究CB：三、影响线与量布图的关系1、影响线：表⽰当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截⾯某⼀量值的变化情况（分析左图）。
2、量布图（内⼒图或位移图）：表⽰当荷载位置固定时，某量值在结构所有截⾯的分布情况（分析右图）。
四、伸臂梁的影响线例10?1 试作图10?4（a）所⽰外伸梁的反⼒R A、R B的影响线，C、D截⾯弯矩和剪⼒的影响线以及⽀座B截⾯的剪⼒影响线。
10.3 ⽤机动法作影响线⼀、基本原理机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的⼏何问题。
⼆、优点不需要计算就能绘出影响线的轮廓。
以X 代替A ⽀座作⽤，结构仍能维持平衡。
使其发⽣虚位移，依虚位移原理： X ·δX +P · δP =0 X=－P δP /δX =－δP /δX 令δX =1，则 X=－δP 结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量X 代替；)⽽后令所得的机构沿X的正⽅向发⽣单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。
第六章-影响线及其应用
第六章 影响线及其应用（Influence lines） §6-3 间接荷载作用下的影响线
dx x P 1作用： y x y D d y E
——在DE间呈直线变化。
当
x0
y yD y yE
当 xd
第六章 影响线及其应用（Influence lines） §6-3 间接荷载作用下的影响线 间接荷载作用下主梁影响线作法： 1. 先作直接荷载作用下所求量值的影响线。
的影响线
影响线：在单位集中力移动荷载作用下，结构 内某一量值（反力、内力、位移）随单位力作 用位置变化的图形，称为该量值的影响线。
第六章 影响线及其应用（Influence lines） §6-2 用静力法作单跨静定梁的影响线
静力法 作影响线的方法 机动法
静力法——将单位集中力的任意位置用x 表示， 用静力平衡条件求出某一量值与x之间的函数 关系式，即影响线方程，再依方程作图。
ⅠⅡ §6-6 静定平面桁架的影响线——单跨简支桁架 (2) 求上弦杆 S 45 的影响线。
Ⅰ Ⅱ
α
当P 1在A1段，取I I右侧
由 M1 0 S 45
6d RB b
α β
ⅠⅡ
当P 1在2 B段，取I I左侧
由 M1 0 S 45
2d RA b
影响线
当P 1在12段，连以直线。
5d M5 S12 RB ( ) h h
α β
ⅠⅡ
b 、P 1 在2B段 (a x l ) 取左侧平衡：由 M 5 0
S12
c 、当在12段时，运用间 接荷载影响线性质
3d M5 R A ( ) h h
影响线
结构力学-影响线概念及应用
1
FQ2
A
1
2 B 3C
MB影响线 FQ3影响线
2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m
1
（
MB
2
1
1
4D 1m 1m
FQ3
A
1
2 B 3C
2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m
VC影响线 FQ4影响线
1
VC
4D 1m 1m
1
FQ4
A
1
2 B 3C
2m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 2m
q(x) dx y(x)
D
E
qD y(x) d x
qA
x
q( A1 A2 )
例：求FQC。
FP=20kN q=10kN/m
A
B
CD
1.2 1.2 1.2 1.2 1.2
0.6
0.4 0.2
0.2 0.4
FQC 14kN
例：求C点左侧、右侧截面的剪力。
FP1
FP2
A
B
C
a b/2 b/2
（2） Influence Lines for Cantilever Beams
练习：作VA , MA , MC , FQC 的影响线。
MA
FP=1
A
B
C
a
b
A
VA a
MC
FP=1 B
C b
xa FP=1
FQC
MA
l
FP=1
A
B
RA
1
C
a
b
MC
b
FQC
1
（3） Influence Lines for Overhanging Beams
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一般原则：应当把数量大、排列密的荷载放在影响线竖距 较大的部位。
(1) 移动荷载是单个集中力时——最不利位置是这个集中 荷载作用在影响线的竖距最大处；
(2) 移动荷载是一组集中力时——最不利位置是必有一个 大的集中力作用在影响线的顶点；
理由是：
n
Z FPi yi i 1
4. 确定临界位置的原理与方法 (移动荷载是一组集中力) 要确定某量Z的最不利位置，通常分成两步进行：
FRi
tan i＝270
1 8
217.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.2kN
假设各段荷载稍向左移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 4 360kN
FR2＝90kN 37.8kN / m1m 127.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
FRi
即:
Z
x
3 i1
FRi
tani
i 1
x 的分段 一次函数
(1) (2)
(3)
Z
x
3 i1
FRi
tani
由高等数学知：
Z为分段一次函数时,极值条件是
dZ dx
即
变Zx号 尖点处;
仅当某FRi通过影响线某顶点时,才可能使 FRi 变tan号。i
临界判别式： （若符合判别式，则 FRi 在顶点位置为最不利位置 ）
§4-6 影响线的应用
1.求确定荷载下某量值的大小
（1）一组集中力作用 FQC FP1 y1 FP2 y2 FP3 y3
一般式： Z FP1 y1 FP2 y2 FPn yn
n
FPi yi i 1
（2）均布荷载作用
B
B
Z
yqdx
A
q
A ydx qA0
均布荷载引起的Z值等于荷 载集度乘以受载段的影响 线面积（注意正负号）。
FRi 在顶点左： FRi tani 0 极 大
FRi 在顶点右： FRi tani 0 值
FRi tani 0 极 小 (4)
FRi tani 0 值
归纳起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：
●从荷载中选定一个集中荷载，使它作用于影响线的顶点。
●当此集中荷载在该顶点稍左或稍右时，计算
[例1] 简支梁全跨受均布荷载作用，求FQC的数值。
注意负号
解： FQC qA1 A2
20
1 2
2 3
4
1 2
1 3
2
20kN
[例2] 试作梁的YA 、MA、 FQB的影响线，并利用影 响线计算在图示荷载作用 下的YA 、MA、 FQB值。
解：YA Pi yi qA
201 100.5 4 4 1
70 130 200
15
25
即所试位置是临界位置，MC值为 MC 70kN 6.88m 130kN 9.38m 50kN 7.5m 100kN 6.00m 50kN 0.38m 2694kN m
tan
i＝360
1 8
127.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.7kN
FRi tani 变号，故此位置是临界位置。
3) 计算Z值
Z FRi yi qA0
＝90kN
3.5 8
5 8
6.5 8
1
90kN
0.906
37.8kN
/
m
0.81 2
0.75
1m
0.75 2
6m
455kN
4) 再设想依次将FP5, FP3 , FP2 , FP1放在影响线的最高点，
计算结果是 FRi tani 不变号。
[例7] 图示梁AB，跨度为40m，承受汽车车队荷载。试求 截面C的最大弯矩。 解：
1) 设汽车车队 向左行
将轴重130kN置于C点
70 130 200
15
25
FPcr
FL R
FR R
a
b
临 界 判FL RFPcrFR R别 式
a
b
临界位置的特点：FPcr正好在影响线的顶点，将其计入哪一边， 则哪一边荷载的平均集度要大。
[例3] 图a为一组移动荷载，图b为某量的影响线。试求荷载最 不利位置和Z的最大值。已知FP1= FP2= FP3= FP4= FP5=90kN， q=37.8kN/m。
❖ 求出使Z达到极值的荷载位置，即临界位置; ❖ 从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置，
也就是从极值中选出最值。
分析：
3
原始位置：
Z FR1 y1 FR2 y2 FR3 y3 FRi yi
荷载右移 x(右移为正）：
(2)代入(1)得:
i 1
yi x tani 3
Z x FRi tani
解： 1) 设想将FP4放在影响线的最高点
2) 计算 FRi tani
tan
＝
1
1 8
tan
＝
2
0.25 4
tan
3＝
0.75 6
假设各段荷载稍向右移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 3 270kN
FR2＝90kN 2 37.8kN / m1m 217.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
Zmax分布——是在影响线正号部分布满荷载; Zmin分布——是在影响线负号部分布满荷载。
C
A
B
FYB(max) 的最不利布置 D FYB 的影响线
FYB (min)的最不利布置
C
A
B
MBmax的最不利布置 D MB的影响线
MBmin的最不利布置
[例2] 简支梁受均布荷载作用，荷载可以任意布置， 求FQC的最大正号值和最大负号值。
●FQC的最大正号值 荷载布满CB段时
(AC段空)
FQC max qACB 20kN / m 4 m
3 26.7kN
●FQC的最大负号值
荷载布满AC段时
(CB段空)
FQC min
qAAC
20kN
/ m
1 m 3
6.67kN
3. 求荷载的最不利位置
最不利位置：如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大 (绝对)值，则此荷载位置称为最不利位置。
41kN
M A 20 4 10 2
4
1 2
4
4
132kN
m
截面在“主结构”上 截面在“从结构”上
FQB左 20 1 10 0.5 25kN FQB右 10 0.5 5kN
2.确定移动均布活荷载的最不利布置 移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等， 它不是永久作用在结构上的。
FRi tani
变号，则为临界位置；若不变号，则不是临界位置。
●符合临界条件的可能有多个，对每个临界位置可求出Z 的 一个极值，从中选出最值， 其对应的位置即为最不利位置。
▲当影响线为三角形时
将FPcr放在影响线的顶点左右
将 tan c tan c
a
b
代入临界判别式(4) ，
可得 简化式 ：
(1) 移动荷载是单个集中力时——最不利位置是这个集中 荷载作用在影响线的竖距最大处；
(2) 移动荷载是一组集中力时——最不利位置是必有一个 大的集中力作用在影响线的顶点；
理由是：
n
Z FPi yi i 1
4. 确定临界位置的原理与方法 (移动荷载是一组集中力) 要确定某量Z的最不利位置，通常分成两步进行：
FRi
tan i＝270
1 8
217.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.2kN
假设各段荷载稍向左移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 4 360kN
FR2＝90kN 37.8kN / m1m 127.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
FRi
即:
Z
x
3 i1
FRi
tani
i 1
x 的分段 一次函数
(1) (2)
(3)
Z
x
3 i1
FRi
tani
由高等数学知：
Z为分段一次函数时,极值条件是
dZ dx
即
变Zx号 尖点处;
仅当某FRi通过影响线某顶点时,才可能使 FRi 变tan号。i
临界判别式： （若符合判别式，则 FRi 在顶点位置为最不利位置 ）
§4-6 影响线的应用
1.求确定荷载下某量值的大小
（1）一组集中力作用 FQC FP1 y1 FP2 y2 FP3 y3
一般式： Z FP1 y1 FP2 y2 FPn yn
n
FPi yi i 1
（2）均布荷载作用
B
B
Z
yqdx
A
q
A ydx qA0
均布荷载引起的Z值等于荷 载集度乘以受载段的影响 线面积（注意正负号）。
FRi 在顶点左： FRi tani 0 极 大
FRi 在顶点右： FRi tani 0 值
FRi tani 0 极 小 (4)
FRi tani 0 值
归纳起来，确定荷载最不利位置的步骤如下：
●从荷载中选定一个集中荷载，使它作用于影响线的顶点。
●当此集中荷载在该顶点稍左或稍右时，计算
[例1] 简支梁全跨受均布荷载作用，求FQC的数值。
注意负号
解： FQC qA1 A2
20
1 2
2 3
4
1 2
1 3
2
20kN
[例2] 试作梁的YA 、MA、 FQB的影响线，并利用影 响线计算在图示荷载作用 下的YA 、MA、 FQB值。
解：YA Pi yi qA
201 100.5 4 4 1
70 130 200
15
25
即所试位置是临界位置，MC值为 MC 70kN 6.88m 130kN 9.38m 50kN 7.5m 100kN 6.00m 50kN 0.38m 2694kN m
tan
i＝360
1 8
127.8
0.25 4
226.8
0.75 6
8.7kN
FRi tani 变号，故此位置是临界位置。
3) 计算Z值
Z FRi yi qA0
＝90kN
3.5 8
5 8
6.5 8
1
90kN
0.906
37.8kN
/
m
0.81 2
0.75
1m
0.75 2
6m
455kN
4) 再设想依次将FP5, FP3 , FP2 , FP1放在影响线的最高点，
计算结果是 FRi tani 不变号。
[例7] 图示梁AB，跨度为40m，承受汽车车队荷载。试求 截面C的最大弯矩。 解：
1) 设汽车车队 向左行
将轴重130kN置于C点
70 130 200
15
25
FPcr
FL R
FR R
a
b
临 界 判FL RFPcrFR R别 式
a
b
临界位置的特点：FPcr正好在影响线的顶点，将其计入哪一边， 则哪一边荷载的平均集度要大。
[例3] 图a为一组移动荷载，图b为某量的影响线。试求荷载最 不利位置和Z的最大值。已知FP1= FP2= FP3= FP4= FP5=90kN， q=37.8kN/m。
❖ 求出使Z达到极值的荷载位置，即临界位置; ❖ 从荷载的临界位置中选出荷载的最不利位置，
也就是从极值中选出最值。
分析：
3
原始位置：
Z FR1 y1 FR2 y2 FR3 y3 FRi yi
荷载右移 x(右移为正）：
(2)代入(1)得:
i 1
yi x tani 3
Z x FRi tani
解： 1) 设想将FP4放在影响线的最高点
2) 计算 FRi tani
tan
＝
1
1 8
tan
＝
2
0.25 4
tan
3＝
0.75 6
假设各段荷载稍向右移，各段荷载合力为
FR1＝90kN 3 270kN
FR2＝90kN 2 37.8kN / m1m 217.8kN
FR3＝37.8kN / m 6m 226.8kN
Zmax分布——是在影响线正号部分布满荷载; Zmin分布——是在影响线负号部分布满荷载。
C
A
B
FYB(max) 的最不利布置 D FYB 的影响线
FYB (min)的最不利布置
C
A
B
MBmax的最不利布置 D MB的影响线
MBmin的最不利布置
[例2] 简支梁受均布荷载作用，荷载可以任意布置， 求FQC的最大正号值和最大负号值。
●FQC的最大正号值 荷载布满CB段时
(AC段空)
FQC max qACB 20kN / m 4 m
3 26.7kN
●FQC的最大负号值
荷载布满AC段时
(CB段空)
FQC min
qAAC
20kN
/ m
1 m 3
6.67kN
3. 求荷载的最不利位置
最不利位置：如果荷载移动到某个位置，使某量Z达到最大 (绝对)值，则此荷载位置称为最不利位置。
41kN
M A 20 4 10 2
4
1 2
4
4
132kN
m
截面在“主结构”上 截面在“从结构”上
FQB左 20 1 10 0.5 25kN FQB右 10 0.5 5kN
2.确定移动均布活荷载的最不利布置 移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷载等， 它不是永久作用在结构上的。
FRi tani
变号，则为临界位置；若不变号，则不是临界位置。
●符合临界条件的可能有多个，对每个临界位置可求出Z 的 一个极值，从中选出最值， 其对应的位置即为最不利位置。
▲当影响线为三角形时
将FPcr放在影响线的顶点左右
将 tan c tan c
a
b
代入临界判别式(4) ，
可得 简化式 ：