积分因子与全微分方程

积分因子与全微分方程1 微分方程的用途镭是一种放射性物质，它的原子不停地向外放射出氦原子和其它的射线．从而自身的原子量减少，这样就变成了其它的物质（如常见的铅）．一定质量的镭随着时间的变化，它的质量就会减少．现在已经发现镭的裂变速度（即单位时间裂变的质量）与它的剩余量成正比，设一块镭在时刻0t t =时，其质量0R R =，请确定这块镭在时刻t 的质量R ．分析：时刻t 时镭的剩余量R 是t 的函数，由于R 将随时间t 的流逝而减少．故镭的裂变速度dRdt应该是负值，于是按照镭的裂变规律可列出方程dRkR dt=-，其中k 为一正的比例常数． 1.1 微分方程 定义1[]()1P 1 联系着自变量、未知函数以及它的导数的方程叫做微分方程．上式是一个关于未知函数R 的微分方程，上述的问题就是要从这个式子中求出未知函数()R R t =来．不仅镭的质量满足这样的规律，其它的放射性物质也都满足这一规律，不同的只是各种放射性物质具有各自不同的系数k ．从这个关系式出发，可以利用放射性物资来测定某种物体的绝对年龄，实际上，火箭的升空，弹道的计算，自动控制，化学反应过程中稳定性的研究等都要用到微分方程．微分方程其实就是联系着自变量，未知函数以及它的导数的关系式，它的本质也是一个方程．像上面这些例子都可以建立成微分方程的的模型．我们了解了什么是微分方程，和微分方程在现实中的应用．那么解这样的方程就是理所应当该首先考虑的问题了．2 全微分方程的定义我们可以将一阶方程(),dyf x y dx=写成微分的形式(),0f x y dx dy -=，写成具有对称形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=．其中(),M x y ，(),N x y 在某矩形域内是x ， y 的连续且具有连续的一阶偏导数． 2.1 全微分方程 定义2[]()139P 如果微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的左边恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即()()(),,,M x y dx N x y dy du x y +≡u u dx dy x y∂∂≡+∂∂ 则称()(),,0M x y dx N x y dy +=为全微分方程．3 全微分方程的求解知道了什么是全微分方程，自然会提出一些问题，①如何来判断方程是全微分方程，②判断了方程为全微分方程，那如何来求全微分方程的通解呢？下面我们来给一些结论：方程()(),,0M x y dx N x y dy +=为全微分方程的冲要条件为：M Ny x∂∂=∂∂． 一般求解全微分方程通解的过程我们用一个例题来演示一下： 例1 求()()222336640x xy dx x y y dy +++=的通解． 解 这里2236M x xy =+，2364N x y y =+， 这时12M xy y ∂=∂，12N xy x∂=∂， 因此方程是全微分方程．现在求u ，使它满足如下两个方程2236ux xy x∂=+∂， 2364ux y y y∂=+∂， 由2236ux xy x∂=+∂，对x 积分，得到 ()3223u x x y y ϕ=++．为了确定()y ϕ，将()3223u x x y y ϕ=++对y 求导数，并且使它满足2364ux y y y∂=+∂，即得到()223664d y ux y x y y y dyϕ∂=+=+∂， 于是()34d y y dyϕ=，积分后得()4y y ϕ=， 将()y ϕ代入()3223u x x y y ϕ=++，得到32243u x x y y =++因此，方程的通解为32243x x y y c ++=，这里c 为任意常数．4 积分因子当方程()(),,0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时，则M Ny x∂∂=∂∂不成立． 4.1 积分因子 定义3[]()241P 如果存在连续可微的函数(),0x y μμ=≠，使得非全微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=两边同时乘以(),x y μ并且使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=变为一个全微分方程，即存在函数(),x y ν使()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子．这时(),x y c ν=是()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡的通解．因而就是()(),,0M x y dx N x y dy +=的通解．全微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非全微分方程化为全微分方程就有很大的意义．积分因子是在考虑将非全微分方程化为全微分方程进行求解这一问题上引进的．对于某些简单的微分方程，可以通过“凑微分”的方法来找到它的积分因子．所以熟悉的掌握一些基本地二元函数的全微分是必要的．例如[]()143P ：()ydx xdy d xy += 2ydx xdyx d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ydx xdy y d x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ln ydx xdy y d xy x -⎛⎫= ⎪⎝⎭22ydx xdy y d arcty x y x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 221ln2ydx xdy x yd x y x y⎛⎫--= ⎪-+⎝⎭例 2 方程0ydx xdy -=不是全微分方程，而21y 是它的积分因子，在方程两边同时乘以21y 后，即得到全微分方程20ydx xdy y -=解它得到：0x d y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即这个方程的通解为xc y =． 5 求积分因子一般情况下用方程来求解积分因子比求这个微分方程本身都困难，但是有一些特殊的微分方程还是比较适合求得它的积分因子的．5.1 积分因子不唯一定理 定理1[]()36P 如果方程()(),,0M x y dx N x y dy +=存在解，则该方程必有积分因子存在，且不唯一．5.2 只与x 或y 有关的积分因子对于方程()(),,0M x y dx N x y dy +=如果存在只与x 有关的积分因子的()x μμ=，则0y μ∂=∂．这时方程M N N M x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭变成了d M N N dx y x μμ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭，即M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂=．由此可知，方程()(),,0M x y dx N x y dy +=有只与x 有关的积分因子的充要条件是()M N y x x N ψ∂∂-∂∂=，这里()x ψ仅是x 的函数．假如条件()M Ny xx Nψ∂∂-∂∂=成立，则根据方程M Nd y xdx Nμμ∂∂-∂∂=可以求得方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子()x dxe ψμ⎰=同样，假如()(),,0M x y dx N x y dy +=有只于y 有关的积分因子的充要条件是()M Ny xy Mϕ∂∂-∂∂=-，这里()y ϕ仅是关于y 的函数．从而求得方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的一个积分因子．例3 求解方程()4430x y dx xy dy +-= 解 因为M= 44x y +，N= 3xy -，所以34M y y ∂=∂，3Ny x∂=-∂，显然M N y x ∂∂≠∂∂，从而原方程不是全微分方程．考虑到33345y y xy x+=--，从而方程有只与x 有关的积分因子551dx x ex μ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰==． 原方程两边乘以积分因子μ，变为435410y y dx dx dy x x x+-=，整理得()44ln 04y d x d x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以原方程的通解为44ln 4y x c x -=，（这里c 为任意的常数）． 例4 求解方程()0ydx y x dy +-= 解 因为M y =，N y x =-，所以1M y ∂=∂，1Nx∂=-∂也容易看出原方程不是全微分方程，所以方程有只与y 有关的积分因子221dy y eyμ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰==． 原方程两边都乘以积分因子μ，变成了2110xdx dy dy y y y+-=，整理得()ln 0x d y d y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以通解为ln xy c y +=（这里c 为任意常数）．另外，此方程还有0y =一个解．5.3 用分项组合的方法求积分因子下面我们再介绍一种用分项的方法求积分因子的方法． 当方程()(),,0M x y dx N x y dy +=不是全微分方程时，则M Ny x∂∂=∂∂不成立．但如果存在不恒为零的连续可微函数(),x y μμ=使方程()(),,0M x y dx N x y dy μμ+=成为全微分方程的积分因子．5.3.1 积分因子扩展定理 定理2[]()43132P - 如果(),x y μ是微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，即存在可微函数(),x y μμ=使得()(),,M x y dx N x y dy du μμ+=那么(),x y μ也是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()(),x y u μμφ=，这里()u φ是u 的可微函数．证明 充分性．()()()()()()u Mdx Ndy u Mdx Ndy u du d u μφφμμφ+=+==Φ，这里()u Φ是()u φ的一个原函数，这就说明了()()0u Mdx Ndy μφ+=是全微分方程，其通解就是()u c Φ=（c 任意的常数）．必要性．因为(),x y μ是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，所以存在可微函数(),u u x y =，使得Mdx Ndy du μμ+=，两边都乘以μ，得()Mdx Ndy du du μμμμμ+==，所以()du u du μμμ==Φ，这里令()duu duΦ=为可微函数，得证． 5.3.2 分组求积分因子 定理3[]540P 如果μ是微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，即Mdx Ndy du μμ+=，那么()u μϕ也是方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子，这里()u ϕ是u 的任何连续函数．证明 ()()()()()()u Mdx Ndy u Mdx Ndy u du d u μϕϕμϕ+=+==Φ，这里()u Φ是()u ϕ的一个原函数．对于比较复杂的微分方程，可以通过观察进行“分项组合”而求得积分因子．例如在分项组合的情况下，有()()11220M dx N dy M dx N dy +++=．然后，分别找出两组的积分因子1μ以及2μ，也就是说，存在函数()11,x y μμ=和()22,x y μμ=，使得11111M dx N dy du μμ+=，22222M dx N dy du μμ+=，再借助1μ以及2μ来求微分方程()()11220M dx N dy M dx N dy +++=的积分因子．这样，对于上述“分项组合”的情形，如果能够选取适当的函数()1u ϕ以及()2u ϕ，使得()()1122u u μμϕμϕ==，那么，μ即使第一组的积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程()()11220M dx N dy M dx N dy +++=的积分因子．例5 求微分方程()20xy y dx xdy ++=的通解．解 把它的左边“分项组合”成()20xy dx ydx xdy ++=．现在21μ=，2u xy =，于是(),x y φ是第二组的积分因子，只要适当选取(),x y φ，使(),x y φ也是第一组的积分因子即可．为此，取()221,x y x y φ=．在所给方程的两边乘以221x y得到()220d xy dx x x y +=， 积分得所给方程的通解为1ln x C xy-=，（这里C 为常数）． 5.4 积分因子是含x ，y 的关系式 连续可微函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=式的积分因子即当()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=时，存在函数(),x y ν，使()()()(),,,,x y M x y dx x y N x y dy d μμν+≡函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂ 即：M N NM x y y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 若方程()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形式(),x y μμ=Φ⎡⎤⎣⎦的积分因子，应有()(){}()(){},,,,x y M x y x y N x y y xμμ∂Φ∂Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∂∂ 即M Nd y xd N M x yμμ∂∂-∂∂=Φ∂Φ∂Φ-∂∂， 从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形式(),x y μμ=Φ的积分因子的充要条件为(),M Ny xf x y N M x y∂∂-∂∂=Φ⎡⎤⎣⎦∂Φ∂Φ-∂∂， 此时()f d e μΦΦ⎰=．例如（１）：当(),x y x y Φ=+时1x∂Φ=∂，1y ∂Φ=∂，从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如()x y μ+的积分因子的充要条件为()M Ny xf x y N M∂∂-∂∂=+-，()f d e μΦΦ⎰=其中(),x y x y Φ=Φ=+，例如（２）：当(),x y xy Φ=时，y x∂Φ=∂，x y ∂Φ=∂，从而()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如()xy μμ=的积分因子的充要条件是()M N y xf xy yN xM∂∂-∂∂=-， ()f d e μΦΦ⎰=，其中 (),x y xy Φ=Φ=．利用(),M Ny x f x y N M x y∂∂-∂∂=Φ⎡⎤⎣⎦∂Φ∂Φ-∂∂和()f d e μΦΦ⎰=两个式子还可以求出方程()(),,0M x y dx N x y dy +=还具有以下特殊形式：()x μ，()y μ，()x y μ-，()22x y μ-，()22x y μ+等好多的积分因子，相关证明请读者根据上述例题自己完成．参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2000[2] 东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2004[3] 滕文凯．积分因子的分组求法[J]．承德民族师专学报，2004.5，2期[4] 龚雅玲．求解微分方程的积分因子法[J]．南昌教育学院学报，2007，1期[5] 李振东，张永珍．求积分因子的新方法[J]．唐山学院报，2003，6期[6] (美)Dennis G．Zill，(美)Michael R．Cullen编．陈启宏，张凡，郭凯旋译．微分方程与边界值问题[M]．北京：机械工业出版社，2005[7] 徐安农，段复建．全微分方程与积分因子法[J]．桂林电子工业学院学报，2002.4，2期[8] Walter W. 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