2.3医用高等数学ppt课件

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医药高等数学_第二章

yf(x)f(x0) xxx0
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x 0 处可导, 并称此极限为
yf(x)在点 x 0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x
x0
;
df (x) dx x x0
即
y
xx0
f(x0)
lim y x0 x
lim f(x0x)f(x0)lim f(x0h)f(x0)
2.右导数:
f (x 0 ) x l im x 0 f(x x ) x f0 (x 0 ) lx i m 0 f(x 0 x x ) f(x 0 );
•函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等. •函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 •函数f(x)在闭区间[a b]上可导是指函数f(x)在开区间 (a b)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数
2020/6/15
22
6. 设 f (x) 存在, 且 lim f(1)f(1x)1,求 f (1).
x 0 2x
解: 因为
limf(1)f(1x) limf(1x)f(1)
x0
2x
x 0
2x
1limf(1(x))f(1)
2x 0
(x)
1 f (1) 1 2
所以 f(1)2.
南京中医药大学信息技术学院
2. f(x0)a
f (x0)f (x0)a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
1
(C) 0 ;
(x ) x1 ;
(lnx) x
(sinx)cosx; (coxs)sinx; ( a x ) a x ln a

32.医用高等数学目录

第一章函数与极限
第一节函数
第二节极限
第三节函数的连续性
习题一
第二章导数与微分
第一节导数的概念
第二节函数的求导法则
第三节隐函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
习题二
第三章导数的应用
第一节微分中值定理
第二节洛必达法则
第三节函数的单调性与曲线的凹凸性第四节函数的极值与最值
第五节函数图形的描绘
习题三
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节有理函数积分法
习题四
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元与分部积分法第四节定积分的应用
第五节广义积分
习题五
第六章常微分方程基础
第一节微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节可降阶的微分方程
第四节二阶常系数齐次线性微分方程第五节微分方程在医学上的应用
习题六
第七章多元函数微积分
第一节极限与连续
第二节偏导数与全微分
第三节多元复合函数与隐函数的偏导数第四节多元函数的极值
第五节二重积分
习题七
第八章概率论基础
第一节随机事件与概率
第二节概率基本公式
第三节随机变量及其概率分布
第四节随机变量的数字特征
习题八
第九章线性代数初步
第一节行列式
第二节矩阵
第三节矩阵的初等变换
第四节矩阵的特征值与特征向量
习题九
参考答案
附录
附录1 不定积分表
附录2 泊松分布数值表。

医用高等数学第四章课件

（ k是常数， k0)
例7
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx
1x2
311x2d x2
1 dx
1x2
3arcx t a2a nrcxsiCn
例8
求积分
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
xx(1(1xx2)2)dx
11x2 1xdx11x2dx1xdx
12co1s2
dx1tanxC. x2
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
例 11 已知一曲线 y f ( x)在点( x, f ( x))处的切线斜率为sec2 x sin x，且此曲线与 y 轴的交点为(0,5)，求此曲线的方程.
解 dyse2x csix n, dx
例4
求
x (1 x)3dx.
解
x (1 x)3dx
(x11x)31dx
[(1 1x)2(1 1x)3]d(1x)
1 1xC12(1 1x)2C2
1 1x2(1 1x)2C.
例5 求
a2
1
x2dx.
解
a2
1
x2dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2d
x a
1arctaxnC.
2
解（二） sin2xdx2six ncoxsdx
2six n(dsix)n six n 2C; 解（三） sin2xdx2six ncoxsdx
2coxs(dcx o)sco x2 sC .

31医用高等数学

x
解 lnxxdxlnx1xdxlnx(lnx)dx
lnxdlnx1 2(ln x)2C
例3-14 求
a2
1
x2
dx.
解 a2 1x2dx (ax)1a (x)dx
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a[d(a a x x)d(a a x x)]
1(ln axlnax)C 2a
1 lnax C 2a ax
例3-15 求 secxdx.
解
secxdx

1 cos
dx

cosx cos2 x
dx
1dssiinn2xx
1ln1sinx 2 1sinx
1 (1sinx)2
C

ln 2
1sin2
x
C
(9) 11x2dxarx c C t a a c r n x o c C t
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c Co
1x2
例3-3 求 (2x2 1 1)dx.
2x
解
(2x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
第三章一元函数积分学
第一节不定积分一、不定积分的概念二、不定积分的性质基本积分公式三、换元积分法四、分部积分法五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义3-1 若在某区间上 F(x)f(x),则称 F (x)为 f ( x)
在该区间上的一个原函数．
例 sinx coxs x(,)
7 .f(tx ) a s2 n e xc d f( xtx ) a d tn a xn 8.f(1a xr2x c)d ta xn f(arx c)dt(a an rx c)tan

《医学高等数学》课件第二章导数与微分

[ x n Cn1 x n1x Cn2 x n2 (x) 2 Cnn (x) n ] x n
Cn1 x n1x Cn2 x n2 (x) 2 Cnn (x) n
y
Cn1 x n1 Cn2 x n2x Cnn (x)n1
我们在中学物理中学过，做匀速直线运动的物体的速度可由公式 v
求该物体在时刻 t0 (t0 [0, t ]) 的瞬时速度 v(t0 ) 。
首先考虑物体在时刻 t0 附近很短一段时间内的运动，设物体从 t0 变到 t0 t ，相应的
路程就从 s (t0 ) 变到 s (t0 t ) ，其改变量为 s s(t0 t ) s(t0 ) ，于是物体在这段时间内的平
y
f ( x0 x) f ( x0 )
y'|x x0 lim
lim
x0 x
x0
x
有时也可称作
dy
df ( x)
f ' ( x0 ), |x x0 或
|x x0
dx
dx
否则，就说 f (x) 在 x0 处的导数不存在。
注：在上式中，令 x x x0 ，得 f ' ( x0 ) lim
P0 处的切线。
如何求曲线上某点的切线方程呢？例如求抛物线 y x 2在点 P0 (1,1) 的切线方程，
如图2-2所示，显然求出切线的斜率即可。
切线是割线的极限位置，自然求切线的斜率就要先求出割线的斜率，在点 P0 近旁
取动点 P( x, y ) ，设 x 1 x ，则 y (1 x)2 1 2x (x) 2 ，割线 PP0 的斜率为
均速度为
v
s s(t0 t ) s(t0 )

医学高等数学PPT课件

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。
医学高等数学
9
高等数学1
2、函数连续理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：① f (x) 在 x 0 的一个邻域内有定义； ② f (x) 在 x 0 处存在极限；③极限值等于 f (x) 在 x 0 处的函数值，这三点缺一不可。若函数f (x) 在 x 0 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。
求 y 直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得
两端求导得
lny1lnx (1)1lnx (2)
2
3
y 1 1 y 2(x1) 3(x2)
整理后便可得 y x1 x8 3 x2 6(x2 x2)
⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
医学高等数学
14
高等数学1
第二章：一元函数微分学二、导数的应用
则 f [ ( x ) ( x ] ) d f x [ ( x ) d ( ] x ) F [ ( x ) C ]
______凑微分法
x ( t )
f ( x ) d x f [ ( t ) d ] ( t ) f [ ( t ) ( ] t ) d F [ t( t ) C ]
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
d(uv)dudv

《医用高等数学》(第二版)幻灯片 6-6二重积分

y=y1(x)
Oa
bx
高等数学
06-06-32
f(x,y)dxdy d x2(y) f(x,y)dxdy c x1(y) D
y
dy d
x2(y)
f
( x,
y)dx
c
x1(y)
d
x=x1(y) D
c
x=x2(y)
O
x
高等数学
06-06-33
b d
xy2(x)
f(x,y)dy
dy d
系D 中的面积元素。
高等数学
二
z
重
积
分
的
几
何
意
O
义
x
06-06-19
z=f(x,y)
i
y
D
高等数学
06-06-20
性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号外面，即
k (fx,y)dx dkyf(x,y)dxdy
D
D
高等数学
06-06-21
性质2 两个〔或有限个〕函数代数和的二重积分等于各函数等数学
04-01-11
〔1〕分割：将区域 D 任意分成 n 个小闭区域 1, 2,…, n，这些小薄片的质量分别记为
m1, m2,…, mn。
高等数学
04-01-12
〔2〕近似替代：当这些小闭区域的直径〔指
区域上任意两点间距离的最大值〕很小时，由于 (x,y) 连续，对同一个小闭区域来说，
叫做曲顶柱体，现在来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积。
高等数学
曲
z
顶
柱
体
的
体
积
O
x
06-06-04

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二、微分与导数的关系
函数 f (x)在点x0可微的充要条件是函数 f (x)在点x0处可导, 且 A f (x0 ).
即:
可导可微. A f (x0 ).
证明 (1) 必要性 f (x)在点x0可微
y A x o(x) y A o(x)
x
x
则 lim y A lim o(x) A
dx
函数和、差、积、商的微分法则
d (u v) du dv d (uv) vdu udv
d (Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2-30 设 y ln(x ex2 ), 求dy.
解
y
1 2xex2 x ex2
1 2xex2 dy x ex2 dx
例2-31 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d (e13x ) e13x d (cos x)
dy x2 3x2x x2 0.24
x0.02
x0.02
三、微分的基本公式与法则
基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cosx) sin xdx
d (tan x) sec2 xdx d (cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(cscx) cscx cot xdx
S x2
x (x)2
x
xx x
(1) : x的线性函数,且为S的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
2. 自由落体运动路程的改变量
自由落体路程 s与时间 t 的关系是
s 1 gt2 2
当时间由 t0变到时t0 t ,路程 s 有相应的改变量
s
1 2
g(t0
t ) 2
1 2
dy xx0 A x
函数 y f (x)在任意点 x 处的微分,称为函数的微分,
记为 dy 或 df (x)
dy A x
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0). dy A x
第三节微分
一、微分的概念二、微分与导数的关系三、微分的Байду номын сангаас本公式与法则四、一阶微分形式不变性
一、微分的概念
1．面积改变量的大小
一块正方形金属薄片受温度变化的影响时,其边长由
x0变化到 x0 x ,问此薄片的面积改变了多少?
x
S ( x x)2 x2
xx
2x x (x)2
(1)
(2)
函数y f (x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
x0 x
x0 x
即函数 f (x)在点 x0可导, 且A f (x0 ).
(2) 充分性函数f ( x)在点x0可导
lim y x0 x
f ( x0 )
即
y x
f ( x0 )
从而 y f (x0 ) x (x), 0 (x 0)
f (x0 ) x o(x)
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
(4) A是与x无关的常数, 但与f (x)和x0有关;
(5) 当x 很小时, y dy (线性主部).
微分的几何意义
当y是曲线的纵坐标增量时, dy就是切线纵坐标对应的增量.
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
）
o
x0 x0 x
x
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段MN .
d (a x ) a x ln adx
d (loga
x)
1 x ln
a
dx
d (arcsinx) 1 dx 1 x2
d (ex ) exdx d (ln x) 1 dx
x d (arccosx) 1 dx
1 x2
d (arc tanx)
1 1 x2
dx
d (arc
cot
x)
1
1 x2
dy Ax f (x)x
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分, 记作 dx,
即dx x.
dy f (x)dx
dy f (x) dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该函数
的导数. 导数也叫"微商".
例2-29 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy (x3)x 3x2x
x (t), 则
dy f (x)(t)dt
(t)dt dx dy f (x)dx.
结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f (x)的微分形式总是 dy f ( x)dx
微分形式的不变性
例2-32 设 y eaxbx2 , 求dy.
解 y eu u ax bx2
dy (eu )du eud (ax bx2 )
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
y Ax
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义2-2 设函数y f (x)在某区间内有定义,x0 及
x0 x在这区间内,如果函数的增量可表示为
y Ax o(x)
其 A是不依赖于x的常数,而 o(x)是比 x高阶的无穷小, 那么称函数 y f (x)在点 x0是可微的, Ax叫做函数 y f (x) 在点 x0 相应于自变量增量 x 的微分,记作 dy xx0 ,即
e(axbx2 ) (a 2bx)dx
例2-33 设 y ln( x2 x 2), 求dy.
解
dy
x2
1 x
d(x2 2
x
2)
2x 1 x2 x 2 dx
主要内容
微分的定义微分的几何意义: 切线纵坐标的改变量可导与可微的关系: 可导可微微分公式
一阶微分形式不变性无论 x是自变量还是中间变量,
gt02
gt0t
(1)
1 2
g (t ) 2
(2)
(1) : t的线性函数,且为s的主要部分;
(2) : t的高阶无穷小,当t 很小时可忽略.
面积改变量 S 2xx
路程改变量 s gt0t
既容易计算又是较好的
近似值
共性函数改变量y Ax o(x)
(1)
(2)
(1) : x的线性函数,且为y的主要部分;
(e13x ) 3e13x (cos x) sin x dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx
四、一阶微分形式不变性
设函数 y f (x)有导数 f (x)
(1) 若x是自变量时, dy f (x)dx; (2) 若x是中间变量时, 即另一变量t的可微函数