几种常用排列组合问题的解题方法

《几类排列组合问题的处理方法》发表在《学习报》2010-2011第21期总第1130期 第2版 2010年11月19日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79

几类排列组合问题的处理方法

特级教师 王新敞

解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： ⒈特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.

例如“用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个”的问题中，数字0就是就是特殊元素，由于0是否在个位直接影响百位数字的安排，

因此需要分成两类：①当0在个位时，十位和百位可以随意安排两个数字，有2412A =个；

②当0不在个位时，个位可以安排2或4 、百位有三个数字可以安排、十位有三个数字可以安排，有23318⨯⨯=个．综上共有30个偶数． ⒉插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如“7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______”的问题，先将除甲乙之外五人排列，再将甲乙插入到包括两端位置的六个“间隙”中的两个位置上，

有52563600A A ⨯=种排法． ⒊捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如“6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种”的问题，先将甲乙“捆绑”成一个元素，再将五个元素排列，

有2525240A A ⨯=种不同的坐法． ⒋排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例如“四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种.”的问题，直接计

数很困难,用间接法,从10个点中取4个有410C 种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种

数为46460C =;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱

中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有1413660410

=---C 种. ⒌剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有1

1--m n C 种方法.例如 “某校准备参加2010年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.”的问题，等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题．将10个小球串成一

串，截为8段有7936C =种截断法，对应放到8个盒子里．因此，不同的分配方案共有36

种．再比如“把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.”的问题，先给编号为2、3的两个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有2510C =种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里．因此，不同的放球方法有1×10＝10种．

⒍错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.（特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44）．例如“编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.”的问题，选取编

号相同的两组球和盒子的方法有2615C =种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所

求方法有135915=⨯种.

⒎容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法. 例如“将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A 不排在始端,元件B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .”的问题，不考虑限制条件共有66A 种排法,元件A 排在始端和B 排在末端各有55A 种排法,把它们都剔除,则A 排在始端同时B 排在末端的总数多减了一次,需补上44A 种.故组

成不同的电路6546542504A A A -+=种.

⒏分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分．

例如：将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？

⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；

⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；

⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；

⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；

⑸分成3堆，每堆2 本．

⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；

⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本．

分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的．②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题．

解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为321

631C C C ；

⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为33112336P C C C ⨯； ⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为222

642C C C ；

⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为321

631C C C ；

⑸是分堆的均匀问题：方法数为33222426P C C C ÷； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为223

3111246P P C C C ⨯；

⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为2211

1246P C C C ．