理论物理导论习题及解答

答：设质心的速度Vc，第i个质点相对质心的速度Vi’，
则vi vc vi ，代入质点组动量定理可得
d
dt
i
mivi
i
Fie
i
Fii
i
miac
这里用到了质心运动定理 Fie miac 。
i
v
故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质
答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力 提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。 重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡 到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的 位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高 点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重 心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能 不断增大，秋千就可以越荡越高。
1.6 一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为 r及 ，式 中 及 是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为
2r 2 2 ,
r
r
解：质点沿位矢速度： v// r
①
沿垂直于位矢速度： v
又因为 v// r r 即 r r
⑧
r2
r
r
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a //
2r
2 2
r
a





r

1.10 一质点沿着抛物线 y2 2 px 运动其切向加速度的量值为
法向加速度量值的
2k
倍。如此质点从正焦弦的一端
p 2
,
p
以速度u 出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。
点组相对质心的动量守恒 mi vi 常矢量 。当外力改变时，
i
质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不
变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们
解决问题带来不少方便。
2.8 轮船以速度V 行驶。一人在船上将一质量为m的铁球
以速度 v 向船首抛去。有人认为：这时人作的功为
这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转 换而来的。
2.2 如自半径为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一 球形帽，求此球形冒的质心。
z
解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系
把球帽看成垂直于z轴的所切层面的叠加 （图中阴影部分所示）。设均匀球体的密 度为 ,则
ba
O
y
dm dv (a2 z2 )dz
V绝对 V相 V牵
V相 为m相对M的运动速度
u a
故水平方向 vx u cos V
竖直方向 vy u sin
y
m
M
u
②V

③
O
x
题2.7.1图
④
在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒：
mgacos

mgacos

1 2
mv绝2

1 2
MV2
又
dv dv dy y dv dt dy dt dy
把 y2 2px 两边对时间求导得： 又因为 v 2 x 2 y 2 所以
x yy p
y 2

v2
1
y2 p2
所以
y

v2
( 1
y2 p2
)1 2
可化为 对等式两边积分
所以 v uek
2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入 惯性力？
由对称性可知，此球帽的质心一定在z轴上。 代入质心计算公式，即
题2.2.1图
z
zdm
dm
a z(a2 z2 )dz
b
a (a2 z2 )dz

3(a b)2 4(2a b)
b
2.7 质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的 水平面上。有一质量为m的 质点沿此半球面滑下。设质 点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角
③
v r
即
r
④
a dv d ri d rj （取位矢方向 i ，垂直位矢方向j ）
dt dt
dt
所以 d ri dr i r di ri rj
dt
dt
dt
d rj dr j r d j r dj rj rj r2i
1 mV v2 1 mV 2 1 mv2 mvV
2
2
2
你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？
答: 不对. 因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守
恒，球抛出后船和人的速度不再是 V
设船和人的质量为M,球抛出后船和人的速度为v1,则
M mV MV1 mV1 v
为 ，并且起始时此系统是静止的，求此质点滑到它与
球心的连线和竖直向上直线间所成之角为 时 之值。
解 : 当m沿半圆球M下滑时，M将
以V向所示正方向的反向运动。
以M、m组成系统为研究对象， 系统水平方向不受外力，动量 V
y
m
M
u

守恒，即
O
x
MV mvx
题2.7.1图
m相对于地固连的坐标系Oxy的绝对速度 V绝对 V相 V牵
dt
dt
dt
dt
故
a r r2 i r 2r j
即沿位矢方向加速度： a r r2
⑤
垂直位矢方向加速度： a r 2r
⑥
对③求导可得 r r 2r
⑦
对④求导 r
解：
质点切向加速度为：a t

dv dt
法向加速度为：
an

v2
且
dv 2k v2
dt

又因为
1 y

3
1 y2 2
所以
p2
dv 2kv2
y3
ห้องสมุดไป่ตู้
dt
3
1

p2 y2

2
y
p , p
2
O

x
p , p 2
题1.10.1图
m V1 V M m v
球出手时的速度应是 V1 v
人做的功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动 能的改变，故人做的功应为
1 2
MV12

1 2
m(V1

v)2

1 2
(M

m)V
2

1 2
Mm M m
v2
显然与系统原来的速度无关。
2.9 秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从 哪里来的？