数学文化与高考数学

高考数学文化专题

一、数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题；

6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下

问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”

其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），

米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各

为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出

堆放的米约有（）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题；

13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

三、数学名著中的算法题，例如：2015年全国2卷文8理8题；

（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=

A.0

B.2

C.4

D.14

四、数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题

2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

A．134石B．169石C．338石D．1365石

五、杨辉三角，例如：2004年上海春季卷11题；

11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第

_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.六、祖暅原理，例如：2013年上海卷理13题；

13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22

(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭

图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几

何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为

2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长

方体，得出Ω的体积值为__________

七、形数，例如：2009年湖北卷文10理10题；

10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

八、斐波那契数列，例如：2009年福建卷理15题

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同

学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

第0行1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

14641第5行1

5101051………………

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为

九、阿波罗尼斯圆，例如：2014年湖北卷文17题；

17．（5分）（2014•湖北）已知圆O ：x2+y2=1和点A （﹣2，0），若定点B （b ，0）（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|=λ|MA|，则：

（Ⅰ）b=；

（Ⅱ）λ=．

十、伯努力不等式，例如：2012年湖北卷理22题；

22.(本小题满分14分)

（1）已知函数()()()=-+1->0r

f x rx x r x ，其中r 为有理数，且0<<1r .求()f x 的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：

设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若12+=1b b ，则12121122+b b a a a b a b ≤；

（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当α为正有理数时，有求导公式()

-1'=x x ααα

十一、回文数，例如：2012年湖北卷文13题；

13．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则

(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为______；

(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为______．

十二、数字黑洞，例如：2014年湖北卷理13题；

13．(2014湖北，理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.

十三、角谷猜想，例如：2009年湖北卷理15题

15．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n n n n n a a a a a +=+⎧⎪⎨⎪⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

十四、四色定理，例如：2003年全国卷理15题；

15．如图，一个地区分为5

个行政区域，

现给地图着色，要求相邻区域不得

使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）