高等代数(第三版)10-习题课

1 高等代数 课程教案

授课类型

理论课 授课题目（教学章节或主题）： 第十章 双线性函数与辛空间(习题课)

授课时间 教学目标或要求：

教学内容:

第十章 双线性函数与辛空间(小结)

一、基本概念

线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.

二、主要结论

1. 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21"是V 的一组基，是中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数使

n a a a ,,,21"P f n i a f i i ,,2,1,)("==ε.

2. 设n εεε,,,21"及n ηηη,,,21"是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别

为及.如果由n f f f ,,,21"n g g g ,,,21"n εεε,,,21"到n ηηη,,,21"的过渡矩阵为A ，

那么由到的过渡矩阵为.

n f f f ,,,21"n g g g ,,,21"1)(−′A 3. 的维数等于V 的维数，而且是的一组基.

),(P V L n f f f ,,,21"),(P V L 4. 是一个线性空间，是V 的对偶空间的对偶空间. 到的映射

V ∗∗V V ∗∗V ∗∗→x x

是一个同构映射.

5. 在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体级矩阵之间的一个双射.

n 6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.

7. 设V 是数域上n 维线性空间，P ),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V

的一组基n εεε,,,21"，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.

8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.

9. 是辛空间，W 是V 的子空间，则 ),(f V W V W dim dim dim −=⊥

教学手段与方法：

采用启发式教学，利用多媒体与板书相结合的教学手段，以板书教学为主 思考题、讨论题、作业：