正规子群,商群与同态基本定理

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理

一、正规子群（不变子群）

G

H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为

为则称，

有如果

、定义：设=∈∀≤,,1

·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。

·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H

aHa H

aHa H h G a H aha G H G H =⊆∈∈∀∈⇔

≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法

Eg1.)()(R GL R SL n n

Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈∀==

Eg3.44S A

Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。

二、商群

的商群

关于称为是群

则在上述条件下上定义代数运算：

在、【商群】：设H G H G H

G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/}

|{/,1⋅∈∀=⋅∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群 （当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）

三、群同态基本定理

1、同态的像、同态核

设G G f →:是群同态，

同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：

（1）G f ≤Im

（2）G f ker 2、群同态基本定理

设G G f →:是群同态⇒群同构：f f G Im ker /≅ 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ≅ker /