2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)

2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．12i 2i

+=-+（ ）

A ．4

1i 5

-+

B ．4i 5

-+

C ．i -

D ．i

2.221a b +=是sin cos 1a b θθ+≤恒成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log a

b 的大小关系为（ ）

A. 1log log b a b a

a b a b >>> B. 1log log a b b a

b a b a >>>

C. 1log log b a b a

a a

b b >>> D. 1log log a b b a

a b a b

>>>

4.圆2

2

28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-

（B ）3

4

- （C ）3 （D ）2 5．已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的一条渐近线与直线053=+-y x 垂直，

则双曲线C 的离心率等于（ ）

A ．2

B ．

3

10

C ．10

D ． 22 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）

A ．

310π B ． 320π C ． 3110π- D ． 3120

π

- 7．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成

角的余弦值为（ ）

A ．1414

B ．8314

C ．13

13 D ．13

8．下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入

的值分别为8，10，0，则输出和i 的值分别为（ ）

A ． 2，4

B ． 2，5

C ． 0，4

D ． 0，5

9.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

283

π

,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π

10．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，

则当cos B 取最小值时，a

c

=（ ）

A ．2

B ．3

C ．33

D ．2

2

11．已知为抛物线x y C 4:2

=的焦点，C B A ,,为抛物线C 上三点，当

0=++FC FB FA 时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）

A ． 0个

B ． 1个

C ． 3个

D ． 无数个

12．已知定义在R 上的偶函数()y f x =的导函数为()f x '，函数()f x 满足：当0x >时，

()x f x '⋅()1f x +>，且()12018f =．则不等式()2017

1f x x

<+的解集是（ ）

A ．()1,1-

B ．(),1-∞

C ．()()1,00,1-

D ．()(),11,-∞-+∞

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 若()

2015

12x -=2015

012015a a x a x ++⋯+（x R ∈），则

201512

22015

222

a a a ++⋯+的值

为 ．

14． 如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩

上，点Q 在曲线22

(2)1x y ++=上，那么

PQ 的最小值为 ．

15．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）.

16．直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，侧棱长等于底面三角形的斜边长，若

其外接球的体积为32π

3

，则该三棱柱体积的最大值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分12分） 已知函数()()21cos 3sin cos 06662f x x x x ωωωωπππ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫=-+---> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，满足

()1f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为4

π

．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）求函数()f x 在02π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

,上的单调区间和最大值、最小值．

18．（本题满分12分）

由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：

（1）指出这组数据的众数和中位数；

（2）若视力测试结果不低于5.0则称为“好视力”，求校医从这16人中选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；

（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望．

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=，

2PA AB BC ===，90ABC ∠=，1AD =，M 是棱PB 中点且2AM =