旋转和翻折专题练习

图形的运动

题型一：翻折问题； 性质： 翻折前后两个图形全等：边相等，角相等

折痕垂直平分对应点的连线

学会找等腰

画图： 已知折痕：过对应点做折痕的垂线并延长

已知对应点：做对应点连线的垂直平分线

1如图，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，BC AB ⊥,1=AD ,3=BC ,点P 是边AB 上一点，如果把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合，那么ADP ∠sin 为 。

【答案】3

2 【解析】

∵把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合

∴3==BC CD

在直角梯形中，作BC DH ⊥,则1==AD BH ,2=CH

作DCP ∠的角平分线交AB 于点P ，联结PD ，过点C 作CB 的

垂线交AD 的延长线于点G 。

由翻折可知，

90=∠=∠PBC PDC ,由作图易得△PAD ∽△DGC ，GCD ADP ∠=∠

在DGC Rt △中，由勾股定理易得

,

3

232sin sin ==∠=∠GCD ADP

2如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.

【解析】

设AC 的中点为H ，则DH AC ⊥,DH=3，AH=CH=4.

如图2，当'A E AC ⊥时，因为DE 平分∠AEA’,得到△DEH 是等腰直角三角形.

∴'437AE A E ==+=，CE=1，所以'761A E BC -=-=.

此时A’,B 之间的水平距离，竖直距离都是1，所以'2A B =

.

如图3，'431AE A E ==-=,CE=7，

此时A’,B 之间的水平距离，竖直距离都是7，所以'72A B =.

3．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是．

3．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=

．则四边形ABFE′的面积是．

【解答】解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，

∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，

根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，

∴DE=DE′，AE=AE′，

∴AD垂直平分EE′，

∴EN=NE′，

∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，

∴AM=EM=EN=AN=1，

∵ED 平分∠ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ，

∴EN=EO=1，AO=

+1， ∴AB=AO=2+，

∴S △AEB =S △AED =S △ADE′=×1×（2+

）=1+，S △BDE =S △ADB ﹣2S △AEB =1+， ∵DF=EF ，

∴S △EFB =，

∴S △DEE′=2S △ADE ﹣S △AEE′=+1，S △DFE′=S △DEE′=

， ∴S 四边形AEFE′=2S △ADE ﹣S △DFE′=，

∴S 四边形ABFE′=S 四边形AEFE′+S △AEB +S △EFB =

． 故答案为．

4如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边AD、AB上且AE=BF=1，连接BE、CF交于点G，在线段EG上取一点H使HG=BG，连接DH，把△EDH沿AD 边翻折得到△EDH’，则点H到边DH’的距离是．

【解答】解：连接HH'，交AD于P，则AD垂直平分HH'，

∴DH=DH'，即△DHH'是等腰三角形，

∵正方形ABCD的边长为3，AE=BF=1，∠A=∠FBC=90°，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠ABE=∠BCF，CF=BE，

又∵∠ABE+∠GBC=90°，

∴∠BCG+∠GBC=90°，

∴BG⊥CF，

∵BF=1，BC=3，

∴Rt△BCF中，CF=，BG=，

∴HG=BG=，

又∵CF=BE=，

∴HE=，

∴EH：HB=2：3，

∵PH∥AB，

∴==，即==，

∴PE=，PH=，PD=，

∴Rt△PDH中，DH===DH'，HH'=2×=，

设点H到边DH'的距离是h，则

×HH'×PD=×DH'×h，

∴×=×h，

∴h=，

∴点H到边DH'的距离是．

故答案为：．

5．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是．

【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，

∵DC∥AB，

∴PQ⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°，

∴△PEC是等腰直角三角形，

∴PE=PC，

设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴PD=EQ，

∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，

∴△DPE≌△EQF，

∴DE=EF，

∵DE⊥EF，

∴△DEF是等腰直角三角形，

易证明△DEC≌△BEC，

∴DE=BE，

∴EF=BE，

∵EQ⊥FB，

∴FQ=BQ=BF，

∵AB=4，F是AB的中点，

∴BF=2，

∴FQ=BQ=PE=1，

∴CE=，PD=4﹣1=3，

Rt△DAF中，DF==2，

DE=EF=，

如图2，∵DC∥AB，

∴△DGC∽△FGA，

∴==2，

∴CG=2AG，DG=2FG，

∴FG=×=，

∵AC==4，