2019年数学二真题及答案解析【原版】

2019年数学二真题及答案解析

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一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，若x −tan x 与x k

是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.

【答案】C

【解析】33311

tan (())~,33x x x x x o x x -=-+

+-故 3.k =（2）设函数3sin 2cos 2

2y x x x x π

π⎛⎫=+-

<< ⎪⎝⎭的拐点坐标为

（A ）,22ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭（B ）()0,2.

（C ）(),2π-（D ）33,22ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭【答案】C

【解析】'sin cos 2sin cos sin y x x x x x x x

=+-=-''cos sin cos sin y x x x x x x

=--=-令''00y x x π

===得或当''0;''0x y x y πππ>><<时当时，，故(,-2)为拐点（3）下列反常积分发散的是（）

（A ）

x

xe dx +∞

-⎰

（B ）2

x xe dx +∞

-⎰（C ）2

arctan 1x dx x +∞

+⎰

（D ）201x

dx x +∞+⎰【答案】（D ）【解析】（A ）

1,.x

x x

x xe dx xde xe

e dx +∞

+∞

+∞

----+∞

=-=-+=⎰

⎰

⎰收敛.

（B ）

2

220

011

,.

22

x x xe dx e dx +∞

+∞--==⎰⎰收敛（C ）

[]222

0arctan 1arctan 128

x dx x x π+∞

+∞

==+⎰

，收敛.（D ）

220

01ln(1).12

x dx x x +∞

+∞=+=+∞+⎰

发散综上，故选（D ）

（4）已知微分方程x

y ay by ce '''++=的通解为12(),x

x y C C x e

e -=++则,,a b c 依次为

（）

（A ）1,0,1

（B ）1,0,2

（C ）2,1,3

（D ）2,1,4

【答案】D 【解析】

()2

21012,1;

2, 4.

x x r ar b r a b e y y y ce c -++=+=='''++==由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解代入方程得（5）【答案】【解析】

（6）已知(),()f x g x 二阶可导且在x a =处连续，则(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等是

2

()()

lim

0()

x a

f x

g x x a →-=-的（）

（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件

（C ）必要非充分条件（D ）既非充分也非必要条件

【答案】（C ）【解析】因2

()()

lim

0()x a

f x

g x x a →-=-，则

[][]22

1

[()()]()()()()()()2lim

0()x a

f a

g a f a g a x a f a g a x a x a →''''''-+--+

--=-，故

()()0

()()0()()0f a g a f a g a f a g a -=⎧⎪

''-=⎨⎪''''-=⎩

由此可得(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等。反之，由(),()f x g x 在a 点相切且曲率相等可得()()0()()0()=()f a g a f a g a f a g a ''''''-=-=，，，但无法肯定2

()()

lim

0()

x a

f x

g x x a →-=-.综上，选（C ）.

（7）设A 是四阶矩阵，*

A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有2个

向量，则*

A 的秩是（）

（A ）0（B ）1

（C ）2

（D ）3

【答案】（A ）

【解析】由于0AX =的基础解系有只有两个解向量，则4()2()23R A R A -==<由可得，

*()0.

R A =故（8）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，

若2

2A A E +=,且||4A =,则二次型T

x Ax 的规范形为

（A ）222

123

y y y ++.（B ）222123y y y +-.（C ）222123y y y --.（D ）222

123

y y y ---【答案】C

【解析】2

2A A E += ,设A 的特征值为λ

22λλ∴+=,(2)(1)0λλ+-=,21

λ∴=-或4A = ,A ∴的特征值为1232,12,1q p λλλ==-=∴==T X Ax ∴的规范形为222

123y y y --二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.