集合的基数

基数的大小比较
1)若A ~ B, 则称 A = B；
2)若A ~ B1 ⊂ B, 则称 A ≤ B； 相当于：A到B有一个单射.
3)若 A ≤ B, 且 A ≠ B，则称 A < B
4
Bernstein定理
设X , Y 是两个集，若有X的子集X *，使Y ~ X * , 及Y的子集Y *，使 X ~ Y * , 则 X ~ Y .
n =1
∞
所以[0,1]不是可数集.
[ 0 ][ 1/3 ][ 2/3 ] 1
2 连续势集的定义 定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ℵ ， 显然： < ℵ0 < ℵ n
ℵ 称为连续统基数.
例：1）R~
(0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ (a, b) (a<b)
Γ 中最大的矛盾.
成立.
A ∪ g (Y \ f ( A ) ) = X
现定义
⎧ f ( x), x ∈ A F ( x) = ⎨ −1 ⎩ g ( x), x ∈ g (Y \ f ( A))
则F 是X 到Y 的一一映射.
１可列集的定义
与自然数集N 对等的集合称为可列 集， 其基数记为 ℵ
0
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
∞
因此∪ An是可数集.
n =1
例 全体有理数之集Q是可数集
首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可列集，
[ -2
][ -1
][ 0
][ 1
][ 2
][ 3
] 4
Q = (Q∩[0,1])∪(Q∩[−1,0])∪(Q∩[1,2])∪(Q∩[−2,−1])∪
+
有限集和可列集统称为可数集. 显然, 可数个可数集的并集是可数集, 可数集的子集 必可数. 例 15. 由R中任意个互不相交的开区间(包括 (−∞, b), (a, ∞), (−∞, ∞)) 组成的集合是可数集. 证明: 设A由R中某些互不相交的开区间组成. 对 ∀k ∈ N + , A中长度大于1/k并且与[0,1]相交的 区间最多有k+1个. 若用 Ak 表示它们的集合, 则 Ak 是有限集. 而A中所有与[0,1]相交的 同理, 区间之集等于 ∪ Ak 是可数集. k =1
∞
A中所有与[n, n+1) 相交的区间之集也是可数集, 而 A 就等于这些可数集的并集, 所以A 可数集. 例 16. 在任意区间(a, b)中单调的函数的间断点 只有可数个. 证明: 不妨设 f 在(a, b)单调上升. 所以f 的每一个 间断点 x0对应着一个开区间 ( f ( x0 − 0), f ( x0 + 0)). 不同的间断点对应的这种开区间一定不相交. 由上一例题, 这样的开区间可数, 从而 f 的间断点可数. 为什么成立?
1 不可列集的存在性(区间[0,1]是不可列集)
[ ][ ][ ] 0 1/3 2/3 1 证明：假设［0,1］是可数集,则 [0,1] 可以写成一个
{ 无穷序列的形式： x1 , x2 ,
, xn , }
将[0，三等分，取其中一个不含点x1的闭区间，记为I1 , 1] 再将I1三等分，取其中一个不含点x2的闭区间，记为I 2 ,
A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} B={b1, b2, b3, … ,bn} 当集合有公共元素时， 不重复排。 C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …} 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2,
a3, …} A∪C={ c , a , c , a , c , a , …} 1 1 2 2 3 3
注: 对等集合的元素一样多. 对等关系具有的性质: (1)(反身性) X～X; (2)(对称性)若 X～Y, 则 Y～X; (3)(传递性)若 X～Y, Y～Z, 则 X～Z. 若X与Y 对等,则称Y 与X 有相同的 势(基数), 记作 X = Y
势是对有限集元素个数概念的推广
例
1) N ~ N 奇数 ~ N 偶数
1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,... 1,3,5,7,9,11,13, 15,... 2,4,6,8,10,12,14 ,16...
2n
n
2n-1
例
2)(−1,1) ~ (−∞,+∞ )
f : x → tg (
π
2
x)
3){去掉一个点的圆周} ~ (−∞,+∞)
有限集与无限集的本质区别： 无限集可与其某个真子集含有相同多的元素个数（对等） 且一定能做到，而有限集则不可能。
即：若 X ≤ Y , Y ≤ X , 则 X = Y .)
注：要证 X = Y，需要在X 与Y间找一个既单又满的映射； 而要证 X ≤ Y，只需找一个单射即可；从而我们借助于两 个单射来找既单又满的映射。
例：由 ( −1,1) ⊂ [ −1,1] ⊂ ( −∞,+∞ ) ~ (−1,1) 可知 ( −1,1) ~ [−1,1] 试问如何构造两者间的既单又满的映射。
f : X →Y
是满射指的是 f (X) =Y.
定义1.8. 对于 f : X → Y , 若对任意的 x1 , x2 ∈ X , 只要x1 ≠ x2 , 就有 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ),则称f 是X 到Y 的单射.
定义1.9. 若 f : X
Y 既是单射又是满射, 则称 f
为X 到Y 的一一映射. 注 1. 若 f 是单射, 则 f 是 X 到 f (X) 的一一映射. 注 2. 若 f 是 X 到 Y 的一一映射，则就在X 和Y 之间 建立了一个一一对应的关系. 此时可认为X 与Y 的元素一样多. 定义1.10. 若存在一个由集合X 到集合Y 的一一映射, 即X 与Y 之间存在一一对应, 则称X 与Y 是对等的, 记为X～Y.
证明: 设 f: X
Y, g: X
Y都是单射, 且 f ( X ) ≠ Y , g (Y ) ≠ X .
考虑集合族 Γ={E | E ⊂ X , E ∩ g (Y \ f ( E )) = ∅}.
令 A=
事实上, 对任意的 E ∈ Γ 有 E ∩ g (Y \ f ( E )) = ∅ 由于 f ( E ) ⊂ f ( A), 可知
E ⊂Γ
∪ E,
先证
A ∈ Γ.
E ∩ g (Y \ f ( A ) ) = ∅ ,
因此
⎛ ⎞ ⎜ ∪ E ⎟ ∩ g (Y \ f ( A)) = ∅. ⎝ E ⊂Γ ⎠
即
A ∩ g (Y \ f ( A)) = ∅,
故 A∈ Γ.
因而按包含关系来说, 在 下证
Γ 这一族集合中A是最大的.
A ∪ g (Y \ f ( A ) ) = X .
第2节 集合的基数
集合的基数: 描述集合包含元素的多少.
定义1.7. 设X, Y 是两个非空集合. 若存在一种对应 关系f , 使得每个 x ∈ X 都有唯一的 y ∈ Y 与之对应, 则称 f 为X 到Y 的一个映射, 记为 f : X → Y . 同时称 y =f (x)为x 在 f 下的像, x 为y 的原像. 像集: f ( A) = { y ∈ Y | y = f ( x), x ∈ A ⊂ X }.
若A 是A的有限子集，则得证；
*
若A*是A的无限子集，则A*中的元素必是上述序列 中的一个无穷子序列：
an1 , an2 , an3 , , a nk ,
从而A* = {an1 , an2 , an3 ,
, ank , }是可列集。
可列集的性质（并集）
•有限集与可列集的并仍为可列集 •有限个可列集的并仍为可列集 •可列个可列集的并仍为可列集
注：A可列当且仅当 A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …}
例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …}
2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}
无穷集的特性： 定理 1.5 每个无穷集必包含一个可列集. 证明: 设 A为无穷集, 则存在 a0 ∈ A, 而 A \{a0 }非空, 因此存在 a1 ∈ A \{a0 }, 且 A \ {a0 , a1} 非空. 重复以上 推理可见, 存在可列子集 {a0 , a1 , , ak , } ⊂ A. 定理 1.6 A 为无穷集的充要条件是 A 与自己的某个 真子集对等. 证明: 必要性: 设A为无穷集, 则存在 a0 ∈ A,
A1 A2 A3 A4
a
1 1
, a
1 2
, a
1 3
, a
1 4
，
可列个可列集的并 仍为可列集的证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a a a
2 1
, a , a , a
2 2
, a , a , a
2 3
, a , a , a
2 4
，
3 1
3 2
3 3
3 4
， ，
4 1
4 2
4 3
4 4
,
,
,
，
当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；
如果不然, 则存在 x0 ∈ X , 使得 用反证法. x0 ∉ A ∪ g (Y \ f ( A)), 即有 x0 ∉ A 且 x0 ∉ g (Y \ f ( A)). 这时必有 A0 = {x0 } ∪ A ∈ Γ, 即在 Γ 中A不是最大的. 这是因为, 由 A ⊂ A0
以及 A ∩ g (Y \ f ( A)) = ∅ 知 A ∩ g (Y \ f ( A0 )) = ∅. 而显然 {x0 } ∩ g (Y \ f ( A0 )) = ∅, 联合这两个式子可得 ( A ∪ {x0 }) ∩ g (Y \ f ( A0 )) = ∅, 这就证明了 A0 ∈ Γ. 但这与A是
显然 f 是 A0 到A的一一映射, 故 A ∼ A0 . 而 A0 是A 的真子集. 充分性显然, 因为有限集不可能与它的任何真子集对等. 推论 若A 是无穷集, B 是可列集, 则
A ∪ B ∼ A.
２ 可列集的性质 可列集是无穷集中基数最小的集合.
推论
可列集的子集或为有限集或为可列集
证明：设A是一个可列集，则A中的元素可以排列成 : a1 , a2 , a3 , , an ,
而 A0 = A \{a0 } 仍为无穷集, 故由前一定理可知, 存在可列子集 {a0 , a1 , , ak , } ⊂ A0 .
作映射 f : A0 → A 如下, 对于任意的 x ∈ A0 , 令
⎧a j −1 , ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪x ⎩ x = a j ( j = 1, 2, ), 其他.
所以Q是可列集（可列个可列集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上 的整数集有相同多的点(对等意义下).
3 可列集的性质（直积） 有限个可列集的直积是可列集 可列集的直
设A，B是可列集，则A×B 也是可列集
A × B = {( x, y ) | x ∈ A, y ∈ B}
= ∪ {( x, y ) | y ∈ B}
x∈ A
从而A×B也是可列集（可列个可列集的并）
x固定，y在变
例 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆 全体A为可列集.
证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而
A ~ Q × Q × Q = {( x, y, r ) | x, y ∈ Q, r ∈ Q }
r (x,y)
+
2）无理数集为连续势集
（无理数要比有理数多得多）
若 A ≥ ℵ0 ≤ ℵ0 A ∪ B = A. ,B ,则
3 连续势集的性质（直积）
（1）有限个、可数个连续势的直积仍为连续势集
推论:
n 维 Euclid 空间 R 的势为 ℵ
n
平面与直线有“相同多”的点
1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明 Rn具 有连续基数 ℵ ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”.
这样继续下去得到一个闭区间套： [0,1] ⊃ I1 ⊃ I 2 ⊃ ⊃ I n ⊃
1 | I n |= n , xn ∉ I n , (n = 1,2, ) 3
由区间套定理，存在唯 一点x0 ∈ ∩ I n ⊂ [0,1],
n =1
∞
根据假设，应存在 n0 , 使得xn0 = x0 ,
因此有x n0 ∈ ∩ I n , 而这与x n0 ∉ I n0 相矛盾。