2018年秋季压轴题班第二讲(二次函数中的定值问题、线段角度问题)

第二讲二次函数中的定值问题、线段角度问题

知识纵横

如何破解二次函数

破解压轴题，是个系统工程，不是一蹴而就的，需要一个积累和磨砺的过程。

你要有广博的知识根基，要有强大的运算能力，还必须掌握一定的数学思想方法和解题技巧，数学思想方法不是光记住两个名称，而是要掌握其本质核心的东西。比如转化思想，转化谁？怎么转化？没有谁告诉你，你得自己完成；再如分类讨论思想，在什么情况下分类讨论，分类的标准是什么？为什么要这样分而不是那样分呢？有时候还涉及二次分类，即分类之后再分类，你看得出吗？你要会画草图，能从繁杂的信息里面提取有效的信息，能从复杂的图形里面抽出基本图形，能准备理解语句的含义建立问题模型，形成简洁思路，并规范正确地表述解题过程。

类型三定值问题

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例一：如图，直线y =x・1与抛物线y = x -2mx m - m交于A,B两点（点A在点B的左边）。求证: 无论m为何值，AB的长总为定值。

变式一如图，已知直线y二kx-9k kvO与抛物线_2x_3交于A,B两点，与x轴交于点P,过点A作AC丄x轴于点C,过点B作BD± x于点D,求证：PD PC为定值。

变式二如图，抛物线y=x2-4x・3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,将直线BC沿y轴向上平移交抛物线于点M,N,交y轴于点P,求PM -PN的值。

例二：（2016-天河一模）如图，抛物线的顶点坐标为C（ 0,8 ）,并且经过A（ 8,0 ）,点P是抛物线上点A,C 间的

一个动点（含端点），过点P作直线y =8的垂线，垂足为点F,点D, E的坐标分别为（0,6），（4,0），连接PD,PE,DE

（1）求抛物线的解析式；

（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理

由；

（3）求：①当三角形PDE的周长最小时的点P坐标；②使三角形PDE的面积为整数的点P的个数。

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类型四角度问题

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例三：如图，抛物线y = -x - 3x-2与x交于A,B两点，与y轴交于点C,点P在抛物线上，/ ACBN BCP 求点P的坐标

变式一如图，抛物线y — 4x 3与x交于M,N两点，与y轴交于点D,点E在第一象限的抛物线，且DM平分/ OME求点E的坐标。

例四：抛物线y =ax2・c与x轴交于A B两点，顶点为C,点P在抛物线上，且位于x轴的下方。

(1)如图1,若点P( 1,—3)，B( 4,0)，① 求该抛物线的解析式；② 若D是抛物线上的一点，满足/ DPO= / POB求点D的坐标

(2)如图2,在(1)中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA PB与y轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+Of是否为定值？若是，试求出改定值；若不是，请说明理由。

x + 3 ；3与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 的左侧),

与y 轴交于点C,连接AC, BC.点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点 A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点 B 向点O 运动，当一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动， 连接PQ. 过点Q 作QDLx 轴，与抛物线交于点 D,与BC 交于点E.连接PD ,与BC 交于点F.设点P 的运动时间为t 秒(t>0) (1)求直线BC 的函数表达式;

(2)①直接写出P ，D 两点的坐标(用含t 的代数式表示，结果需化简);

②在点P, Q 运动的过程中，当 PQ= PD 时，求t 的值.

(3)试探究在点P ，Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 出此时t 的值与点F 的坐标；若不存在，请说明理由.

类型五线段问题 例五：(2017 •山西)如图，抛物线y =—