二次函数与一元二次方程(讲义及答案)

二次函数与一元二次方程（讲义）

课前预习

1.学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．

如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431

x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数

y =3x -3与332

y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组

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y ax bx c y ⎧=++⎨=⎩的解中x 的值.2.两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：

（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433

y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（）

A ．x ＜-1

B ．-1＜x ＜2

C ．x ＞2

D ．x ＜-1或x ＞

2（2）如图，函数11k y x =

与22y k x =的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＞1

B ．-1＜x ＜0

C ．-1＜x ＜0或x ＞1

D ．x ＜-1或0＜x ＜

1

知识点睛

___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段．1.方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．

2.函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决． 精讲精练

1.如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-的图象与抛物线交于B ，C 两点．（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________．当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________．当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________．（2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________．当___________时，一次函数值大于二次函数值．

（3）该二次函数的表达式为__________________．

2.（1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直

线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________．

（2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________，不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．

（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为________________．

3.已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．

4.若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________

．

求两个函数的交点坐标就是求对应方程组的解．

5.如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数k y x

=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20k ax bx x

++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．

6.用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下

表格：x

…-2-1012…y …3430-5…根据表格上的信息回答问题：一元二次方程25ax bx c ++=-的解为_____________．

7.设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，

β，且αβ<，则α，β满足（

）A ．12

αβ<<

αβ<<β8.已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交

于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．

9.若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，

且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14

m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，

0)和(3，0)．其中正确的是__________．

10.已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一

个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛

物线与y 轴的交点在点(0，12

-)的下方，那么m 的取值范围是_____________．

11.已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元

二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（

）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8D ．-1≤c ＜812.函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时

0y <，那么1x a =-时，函数值（）

A ．0

y D ．y m

=13.已知二次函数215

y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）

14.已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3

时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．