求解二面角的四种基本方法

求解二面角的四种基本方法
高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略.
一、利用定义求解
例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，
23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点.
求二面角E DC A --的余弦值.
分析 过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面
角E OC A --的平面角.
解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，
∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD .
∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.
∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217
cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为
217. 说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小.
变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平
行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，
D C O A B
求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值.
二、利用面积面积射影求解
例2. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，
若DE ABC ⊥∆面，2PBC ABC S ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.
分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为
ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”. 解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD ME DP EA
，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S 222
==45θ=o . 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.
变式训练2 在等腰直角ABC ∆中，1AB BC ==，M 为AC 的中点，沿BM 把ABC ∆折成二面角，折后A 与C 的距离为
62
，则二面角C —BM —A 的大小为________. 三、利用三正弦定理求解 例3. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12
AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.
分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=o ，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.
解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==o ；取A B ''的
M
E D C
B A P B B'A'
C'
A D
N
中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a
'=，2D C a '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2
θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=o .
说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.
变式训练3 已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在平面α内，且60∠=︒POB .若直线PO 与平面β所成的角为45°，则二面角AB αβ--的正弦值为______.
四、利用空间向量求解
例4. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，11
30,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.
（1）证明：EF BC ⊥；
（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.
分析 建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
解答 (1) 略.
（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.
设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==， 据此可得：()()()
1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，
由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 利用中点坐标公式可得：333,344F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：
()()13333,,330223333,,,,002222m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩
， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()
3,1m =u r ，333,344EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 此时4cos ,53552
EF m EF m EF m ⋅===⨯⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55
EF m θθ===u u u r u r .
说明 空间向量方法是处理空间中两平面所成角比较通用的方法，建系也是
D
z C 1
A 1
B 1
C B A
本节要注意的一个重点，合理建系才能比较容易、准确的找到各点坐标，求解法向量，在求解过程中应该充分重视，准确掌握好求解法向量的基本步骤，进一步提升步骤的严谨性，科学性，另，在求解过程中要注意判断二面角是锐角还是钝角，以方便对余弦值的正负进行判断. 解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
变式训练4 已知四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=o
，AB=PA=2，E ．F 分别为BC ．PD 的中点.
求平面PAE 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.
（参考答案：3；2. 23π；6 4. 217）。