外国数学历史发展概况

民族的特点 影响数学发展的社会、人文的诸多 因素 数学家的人格特征、历史的作用
1.1 数学的萌芽时期（至公元前六、五世纪）
1.1.1 • • • • 巴比伦 (至公元前二世纪）的数学
两河流域的“美索布达米亚” 19世纪40年代考古学家发掘出巴比伦的古城 在算术和代数的成就 “楔形”文字 泥版书 （如图1.1）
哲学与数学：
泰勒斯 （约公元前624-前547） “几何论证之父” 毕德哥拉斯（约公元前580-前460） 学派 “万物皆数” ，“第一次数学危机” 德谟克利特（约公元前460-前370） “原子论” 圆锥的体积公式，17世纪“不 可分量理论” 芝诺（约公元前490-前425） “阿基里斯追不上乌龟”的悖论, 极限、 连续和无穷集合的概念
1.4.4 分析学基础的算术化
柯西极限理论建立在实数系的简单直觉观念上 病态函数的出现告诫人们不能过分依赖直观 实数系本身首先应该严格化，ε—δ方法给出 极限的定量化的定义（1856年）。实现这个目 标就称作分析的算术化 维尔斯特拉斯（1815-1897年） 曲折的就学之 路，多年的乡村教师大器晚成的数学家
1.4.7 数学的基础
罗素悖论，理发师悖论，对整个数学可 靠性的怀疑数学基础的三大学派 逻辑主义学派 形式主义学派 直觉主义学派 各派均未能对数学的基础问题做出完美的 答案这场论争极大的推动了纯粹数学研究 的发展
• 微积分的创立：为自然科学研究提供必要 的数学工具 伽利略（1564-1642）铜灯摆动周期与摆动 的弧的大小无关 两块金属同时落地 开普勒（1571-1630）行星运动的三条定律 粗糙形式的积分学，函数的研究瓦里士等人的 工作 • 微积分成为独立的学科 牛顿（1643-1727）万有引力的思想 ，广义 二项式定理 微分和积分的思想哈雷彗星 让 普通平凡的人们因为在他们中间出现过一个 人杰而感到高兴吧！ 莱布尼兹（1646-1716 ） 外交官的生涯， 系统的研究结果
希尔伯特（1862-1943） 著名讲演“数学问题” ，纵览数学发 展全貌 “在日复一日无数的散步时刻， 我们漫游了数学科学的每 一个角 落”，“天才就是勤奋” “他就像 一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的 笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学 的深河” 。
1.4.6 康托与集合论
• 康托（1845-1918） 关于实无穷的深奥理论，引起了激烈的 争论和谴责 与某些数学家的关系相当紧张 ，经济 生活拮据 高度形式化领域的艰苦跋涉 ，双重狂 郁性精神病 “连续统假设”问题 ，康托未能走出 的路，的确有着不可逾越的障碍。
微积分的理论基础应该是极限论
1.4.3 分析学基础的严密化
死去量的幽灵？ “无穷小量”的第二次危机
柯西（1789-1857）是仅次于欧拉的多产 数学家 人生的另一侧面 ：与周围的人很不融 洽 ，对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠， 使他成为最不可爱的科学家。 “他的课讲的非常混乱。”“对于年轻 学生，他令人厌倦”
产生标志： 解析几何和微积分学 科学技术蓬勃发展的推动下应运而生
1.3.1 变量数学产生的十七世纪
解析几何的创立 费马（1601-1665）“业余数学家之王” ， 研究阿波罗尼兹的圆锥曲线通过坐标建立了 代数方程和曲线联系，并利用方程来研究曲 线的性质。
笛卡尔（1596-1650） 独特的读书方式 利用代数方法改变《原本》的证明方法 “梅森科学院”的讨论 《方法论》的 “附录”《几何学》（1637） 通过哲学、自然科学的途径来研究数学 引出了变量和函数的概念。
数学史是研究数学发展规律的科学
数 学 使 人 周 密
历 史 使 人 明 智
数学是“模式”的科学
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第一章 国外数学历史发展概况
国外数学史的五个发展时期： • • • • • 数学的萌芽时期 初等数学时期 变量数学时期 近代数学时期 现代数学时期
黑暗的中世纪 吸收东方文化——十字军远征 文艺复兴运动 科学方法 ：演绎与实验（F· 培根561-1626） 代数的符号化： 塔塔利亚（1499-1557）三次方程的求解 卡当（1501-1576 ）的《大术》 韦达（1540-1603）使代数学成为符号数学
1.3. 变量数学时期 (17世纪上半叶至19世 纪20年代)
亚历山大后期 厄拉托塞（约公元前276-前194 ）厄拉托塞筛法 丢番图（约210-290）“代数学的开山鼻祖”墓 志铭：“上帝给予的童年是六分之一，又过十二 分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚 的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿， 享年仅及其父之半，便进冰冷的墓。悲伤只有用 数论的研究去弥补，又过四年，他也走完人生的 旅途”
近代几何思想，称作爱尔兰根纲领。 1872年，德国数学家克莱因在射影几 何中用变换群的观点统一了四种度量几何 1.4.2 代数学的解放 四元数（不满足乘法交换率的数系） 群概念的出现“求解高次方程根”的 问题
• 哈密顿（1805-1865）进大学之前没有受过学 校教育，22岁大学生被授予天文学教授 “布尔 罕桥”上发现了四元数，数域的扩张人生的坎坷 阿贝尔（1802-1829）完成了鲁菲尼 的证明（交 高斯审阅，未受到重视）一生贫穷，颠沛流离的 生活，未满27岁因肺炎病逝 伽罗华（1811-1831）18岁开始先后三次将方程 求解的论文呈送法国科学院 ，未受重视临死前 将思路记录下来，并托付给了朋友 在他去世40 年后，他的思想方法很快形成了代数结构的一般 理论 。
柏拉图（公元前427-前347）把数学概念和现实 中相应的实体分开，柏拉图立体； 亚里士多德（公元前384-前322）的演绎推理的 思想和方法，形式逻辑规则 ； 阿基米德（约公元前287-前212力学研究与数学 研究相结合，浮力原理“如果给我一个支点，我 将移动地球”墓碑上刻着球内切于圆柱的图形 亚历山大前期 欧几里得（约公元前330-前275）的《几何原本》 科学史上第一门演绎科学“犹如初恋一般的迷 人”“如果不曾为它的明晰 性和可靠性所感动， 那么他是不会成为一个科学家的”
1.3.2 高等数学迅速发展的18世纪 研究领域主要在数学分析方面， 一批优 秀的数学家为此做出了重大的贡献
伯努利家族
约翰· 伯努利（1667-1748）多产的数 学家 ，好的老师 ， 生性好斗：对牛顿进 行了多次攻讦 ，对哥哥雅各布的挑战，悬 链线 ，最速降线（旋轮线），等周问题
欧拉（1707-1783）著作方面惊人的多产。 双目失明 ，某些书和四百篇研究文章是在 他完全失明后写的，得益于他非凡的记忆力 和心算能力。热爱生活，欧拉停止了生命， 也停止了计算。
1.4 近代数学时期 （19世纪20年代至20 世纪40年代）
摆脱实际问题的制约，完全利用演绎的 方法研究数学内部的矛盾和规律，发展成为 纯粹的数学科学
1.4.1 非欧几何与近代几何思想
《几何原本》中第五公设的研究等价命题， 罗巴切夫斯基几何学
罗巴切夫斯基（1792-1856）非欧几何的 研究是在教学过程中进行的 系统阐述非欧几 何的思想和方法 为新的几何学呐喊了一生 高斯（1777-1855） 非欧几何最早的发 现者 企图用实践检验它的正确性 传 • 统的观念面前缺乏罗巴切夫斯基那样的勇气。 天性聪颖，家境贫寒 “数学之王”著称， 治学严谨 鲍耶（1802-1860） 注意新的几何学 内部的相容性问题，更具有数学理论研究意 21岁发现非欧几何，对高斯的怨恨 • 识 父子纠纷 贫困中仍为“不能证明他的几 何学的无矛盾性而感到十分苦恼。”
文字大部分是写在棕榈树的叶子上或树皮上 数学伴随着占星术和宗教活动古印度的祭坛
264－1粒：棋盘上的麦粒 ，绕地球7000圈！ “河内塔”游戏 ，5万亿年以上 ， 世界的末日 ！
1.2. 初等数学时期
（公元前6世纪至公元17世纪）
1.2.1 古希腊数学（公元前6世纪至公元6世纪）
特殊的地理位置与文化.社会制度
1.2.2 阿拉伯数学（公元9世纪至13世纪） 在阿拉伯帝国统治下、各民族人民共同创 造承前启后，继往开来的作用。
1.2.3 中世纪印度数学（公元5世纪至12世纪）
推进了算术和代数的进展 制定了现在世界上通用的数码及记数方法 婆什迦罗（1114-1185）的《丽罗娃提》
1.2.4 西欧数学的复苏（公元十一世纪至 十六世纪）
1.4.5 公理化方法
19世纪，为克服微积分基础概念的理论缺陷，非 欧几何、四元数系的发现，重新唤起对公理化方法 的认识。 20世纪的公理化方法渗透到几乎所有的纯数学和 某些物理学的领域。利用公理化方法建立了许多核 心数学分支的逻辑基础， 希尔伯特写道：通过突进到公理的更深层次，我 们能够获得科学思维的更深入的洞察力，弄清楚知 识的统一性
图1.1 古巴比伦带有四边形和数字符号30； 1，24，51，10；42，25，35的泥版书
1.1.2 古埃及的数学（至公元前332年）
几何学: 金字塔 ，尼罗河与几何的测量
纸草书 ： 莫斯科纸草书（约公元前1900年） 莱因德纸草书（约公元前1700年）
1.1.3 古印度的数学
古印度是指南亚次大陆及其邻近的岛屿