共形粘合的有界度圆填充逼近

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17.(40)共形映射的概念

G*
NUDT
§1 共形映射的概念
先来探讨将复变函数视为映射时的几何特性.也就是要弄清复平面上的一个点集(比如曲线或区域即由曲线围成的范围)与它的象集之间的对应关系,即象集相对于点集发生了什么变化,这种变化主要体现在角度变化与伸缩变化.

通常用转动角来刻划这个角度变化,用伸缩率来刻划伸缩变化. 先给出两个定义为转动角与伸缩率做铺垫. 定义1.曲线在某一点处的切线倾角定义2.两条曲线的夹角
§1 共形映射的概念
解析函数的导数的几何意义:(1)转动角(2)伸缩率
设函数 f (z ) 在区域 D 内解析，z0 D ，且 f ( z0 ) 0.
y
C
T
v

T

.
w f (z )

.
z0 z (t0 )
o
w0 f ( z0 )
o

C
x

u
z z (t ) ( t ) w(t ) f ( z (t )) ( t )

思考题: 计算实积分 0
1 d x ，其中n 1为正整数. n 1 x y
0

1 d x csc n n 1 xn
2 n
2i B (R e n )
i
特别，有
en
.
i dz 1 2i n i dz n 2iRes[ ,e ] e lim 0 n C 1 z n AB R » 1 z n 1 z n 2 i dx dx dz dx n lim lim e n OA 1 x n 0 1 xn R 0 1 xn R BO 1 z

圆弧和球面的Legendre多项式逼近算法

ＪＡＮＧｎＷＡＮＧｅＩＰｉｇ。Ｗｉ
（ｃｏｆＭａｈｍａｉｓＳｈｏｌｏｔｅｔ，ＨｅｅｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｃｆｉｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｈｅｅ２００，ＣｈｎａＵｆｉ３０９ｉ）
ＡｂｔａｔＢａｅｎｔｅＬｅｅｄｅｅｐｎｉｎ，ａｎｗｌｏｉｍｏａｐｏｉａｅｔｅｃｒｕａｒｎｓｒｃ：ｓｄｏｈｇｎｒｘａｓｏｅａｇｒｔｈｔｐｒｘｍｔｈｉｌｒａｃａｄｃｓｈｒｒｓｎｅ．Ｔｈｐｉｌｐｒｘｍａｉｎｉｚｅｏｙｏｉｌｆｒｓｏｔｉｅ，ｗｈｃｓｃｒ — ｐｅｅｉｐｅｅｔｄｓｅｏｔｍａｐｏｉｔｎＢｆｉｒｐｌｎｍａｏｍｉｂａｎｄａｏｉｈｉｏｎｐｔｂｅｗｉｈｄｌｇｓｓｅ．Ｔｈｌｏｉｍｓｃｎｉｅａｄｈｓａｓａｌｍｏｎｆｃｌｕａｉｎ，Ｓａｉｌｔｔｅｍｏｅｉ－ｙｔｍｈｎｅａｇｒｔｈｉｏｃｓｎａｍｌａｕｔｏａｃｌｔｏＯ
圆弧和圆以及球面曲面片和球面在几何造型系统中是非常重要的几何曲线曲面形状，在
圆弧和球面的Ｌｇｎｒｅｅｄｅ多项式逼近算法
江平，王伟
（肥工业大学数学学院，徽合肥合安２００）３０９
摘
要：文章提出了一种建立在函数Ｌｇｎｒ展开的基础上的逼近圆弧和球面的新算法，ｅｅｄｅ得到了能够兼容造

runge逼近定理

runge逼近定理Runge逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了如何逼近解析函数的一种方法。

在数学中，解析函数是指在某个域内处处可导的函数。

本文将介绍Runge逼近定理的基本概念和定理陈述，并探讨其应用和推广。

首先，我们来描述一下解析函数。

假设f(z)是一个定义在某个域上的复数函数，其中z = x + iy是复变量，x和y是实数。

如果f(z)在该域上的导数存在，则称f(z)是解析函数。

解析函数有许多重要性质，比如它们可以展开为幂级数或洛朗级数，并且具有唯一性。

这些性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，比如在复分析、微积分、物理学和工程学中。

Runge逼近定理是由德国数学家Carl David Tolmé Runge于1885年提出的。

该定理给出了如何通过有理函数逼近解析函数的一种方法。

具体来说，它断言在复平面上的任何有界区域D内，都存在一个有理函数序列{R_n(z)}可以以任意给定的精度逼近D上的任何解析函数f(z)。

定理的形式化陈述如下：设f(z)是D上的解析函数，且R是D的闭包。

对于任意给定的ε > 0，存在有理函数序列{R_n(z)}，使得R_n(z)一致收敛于f(z)在R上，即对于R上的每一个点z，有|R_n(z) - f(z)| < ε对于足够大的n成立。

这个定理的证明非常复杂，涉及到复分析中的许多重要概念和工具，比如复变函数的收敛性、Laurent级数、共形映射等。

定理的证明可以追溯到数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet和Bernhard Riemann的工作，他们为Runge逼近定理提供了一些重要的启示。

Runge逼近定理的一个重要应用是在数值计算中。

通过有理函数逼近解析函数，可以将高阶的函数近似转化为低阶的有理函数，从而简化计算过程。

这在计算机图形学、信号处理和控制理论等领域非常有用。

此外，Runge逼近定理还被广泛应用于复变函数的奇点理论、拟调和函数等相关问题的研究中。

数学专业术语

数学专业词汇
数学
量
假设
定理
逆否命题
猜想
验证
充要条件
论证
恒等式
公式
小于
不等方程
常数
复合
完全的
肯定的
离散的
周期
族
子集
并
直积集
差集
n元组
值域
逆映射
恒同映射
映入
同构
对称性
超穷基数
幺拟群
连通代数群
代数群的有理表示
左函数平移
代数群的李代数
典范态射
半单元
抽象根系
幂幺根
抛物子群
代数群的外尔群
布吕阿分解
谢瓦莱群
算术子群
拓扑群的直积
左一致结构
局部紧群
零化子的互反性
紧阿贝尔群
紧群的群环
局部单连通
泛覆叠群
可数无穷的
数理逻辑
形式语言
合式的
矢列式
论题
命题演算
联结词
逻辑加法
否定词
析取范式
真值
重言式
谓词变元
个体变元
非标准量词
前束词
闭公式
全域
一阶理论
相容性
可定义性
斯科伦壳
初等等价的
初等子模型
进退构造
原子理论
对象的余积
终对象
自由对象
对偶函子
忠实函子
常数函子
自然等价
泛性质
表示函子
推出

无限有边界圆填充的存在性与唯一性定理

ｓｉｅｅｗｅｎｈｒｃｃｅｎｉｃｒｌｔｓｂｔｅｏｏｙｌｓａｄｕｎｔｉｃｅＤ．ＭｏｅｖｒｈｉｃｅｐｃｉｇＰｓｕｉｕｐｔｂｕｒｎ－ｃｒｏｅ，ｔｅｃｒｌａｋｎｉｎｑｅｕｏＭＯｉｓｔａｓ
关键词：圆填充；无限复形；基本二分法
中图分类号：Ｏ７．１４５
文献标志码：Ａ文章编号：５９— ５９（００４— ０１００２６７２１）００２ — ５
ＴｈｅＥｘｓｅｃｎｄＵｎｑｕｎｓｉｔｎｅａｉｅｅｓＴｈｅｒｍｏｅ
Ａｂｓｒｃ：Ｉｉｎｗｎｔａｈｙｅｂｏｉｎａａｏｉｏｌｘａｅｔｕｄｍｅｔｌｔｐｅｏｎｉｉｅｔａｔｔｓｋｏｈｔｔｅｈｐｒｌｃａｄｐｒｂｌｃｍｐｅｒｗｏｆｎａｎａｙｓｆｒｉｆｎｔｃａｄｓｍｐｙｃｎｅｔｄｃｍｐｅｅ．ｗｈｓｏｒｓｏｄｎｉｃｅｐｃｉｇｉｌｔｅｈｐｒｏｉｎｈｃｉｎｉｌｏｎｃｅｏｌｘｓｏｅｃｒｅｐｎｉｇｃｒｌａｋｎｓｆ１ｈｙｅｂｌａｄｔｅＥｕｌｃｄ－ｃｎｐａｅ，ｒｓｅｔｖｌａｌｎｅｐｃｉｅｙ．ＧｉｅｎｉｆｎｉｉｌｏｎｃｅｏｌｘＫｔｏｎａｙ，ｉｓｐｏｅｈａｖｎａｎｉｔｓｍｐｙｃｎｅｔｄｃｍｐｅｗｉｈｂｕｄｒｅｔｉｒｖｄｔｔｔｅｅｅｉｔｎｕｖｌｎｉｃｅａｋｎｆｒＫｎｈｅｙｒｏｉｌｎｗｈｓｃｒｌｓａｓｃａｅｔｈｒｘｓｓａｎｉａｅｔｃｒｌｐｃｉｇＰｏｉｔｈｐｅｂｌｃｐａｅＤｏｅｉｃｅｓｏｉｔｗｉｈｂｕｄｒｅｔｅｆａｅｈｒｃｃｅｏｎａｖｒｉｓｏｒｏｏｙｌｓ，ｗｈｃｓｃｍｐｅｅｉｈｅｓｆｐｒｔｉｇｔｅｅｉｔｎｅｏｎｔｒｙｃＫｉｈｉｏｌｔｎｔｅｓｎｅｏｅｍｉｎｈｘｓｅｃｆｉｅ — ｔ

共形映射的应用

（上接第 55 页）经验、视角、期望，教学评价就要关照学生的个体差异，在评价内容上、方式上应该充分尊重学生对知识的个体化理解，书面式、口头式、实践式、操作式、体验式的考核，应该相互补充，相得益彰，注意评价中的学生个体，鼓励知识探求，注重学生的个体感受。这样，既能够检验学生对通识知识中显性知识的掌握程度，又能够了解学生自己对通识知识的理解程度，使得通识知识能够成为学生自己的知识。这样才能
角形区域 d:0<arg z<α(0<α< 2π )内是单叶的，因而也是共形的 n
n
（因为 z=0,z=∞ 在 d 的边界上，不在 d 内），故 w=z 将图(0<α<
2π n
)共形映射成角形区域
。
特别的
n
w=z
将区域
d:0<arg
z<α(0<α<
2π
● ● ●
（上接第 57 页）交织器的实现最关键是跟矩阵的读入和写出方式有关。只要设置好读写地址，可以用 ram 代替移位寄存器组。本文所用的分组交织器实现是通过对一个大小为 4k，数据线宽度为 6 的 Ram 进行地址控制实现的。
受清零信号 aclr 控制，清零信号高电平有效；在 Ram 的读使能和写使能的控制下，长 36 宽 6bit 数据流按行写入，按列读出并输出 reg1，实现第一次交织；然后进入下一个 Ram 中进行解交
使通识教育的目的得以实现。科
【参考文献】［1］李曼丽.通识教育:一种大学的教育观[M].北京:清华大学出版社，1999. ［2］庞海勺.通识教育：台湾与大陆之比较 [J]. 中国高教研究，2007，6. ［3］石中英.波兰尼的知识理论及其教育意义 [J]. 华东师范大学学报（教育科学版）.2001,6. ［4］刘徐湘.波兰尼 “个人知识 ”概念在教育学中的应用[J].教育评论， 2007,5. ［5］尹湘鹏.个人知识及其对教学的启示 [J]. 江西教育科研，2006,8. ［6］盖绍普.强化学生 “缄默知识 ”追求知能和谐发展[J].黑龙江高教研究，2007 ，4.

共形映射与John圆

（）＝［１一ｒ）２ｆ”ｚｔ（２／１（）（）一ｒｚ，
（）１
（）２
Ｓｒｔ（ｇ（）＝１一ｒ）Ｓ（）４—１２２，ｚ／／．
作实函数ｒｔ（）＝Ｉ（）ｌｉ因为，是共形映射，ｒｔ续可导，以ｇｒｔｆｔ－ｇｎ（ｈ（）连所（）≠ ∞）并记Ｐ（）＝，ｒｔ
３８
江西师范大学学报（自然科学版）
２１００拄
定理１若：Ｄ— ｃ是共形映射，１ｓｐ１一Ｉ）Ｉ（）（Ｈ．ｍ（Ｉ）ｌ２则厂Ｄ）Ｊｈ圆．ｉｕｚｆ” ＜，（是ｏｎ
（）ｒ研究了Ｊｈｏｎ圆，出了如下结论．得
收稿日期：Ｏ９０．２０．９２０
基金项目：国家自然科学基金（０７０９，１７１５）江西省自然科学基金（０Ｇ￣１６和江西省教育厅科研（Ｊ９４）０２７Ｚ６）ＧＪ１８资助项目ｏ作者简介：王磊（９１）男，１８一，河南焦作人，硕士研究生，主要从事复分析的研究．
一பைடு நூலகம்
Ｒ｛ｇ（）／ｅＳｒｔ｝２＋［ｍ｛ｆｔ｝２Ｉ（）／．３
引入函数ｒｒ（）＝Ｒ｛５（）一［弘ｒｒ）］２Ｈｇｅ，ｒ｝Ｉｍ｛（｝／．ａ在文献［］７中指出函数ｅｒ可能比Ｓｈａ（）ｃｗｒｚ导数或对数导数更能揭示Ｊｈ圆的本质特征，ｏｎ是研究Ｊｈ圆更有效的工具．ｏｎ本文分别利用对数导数和函数
长度，（３）示Ｗ到Ｇ的边界ａｄＷ，Ｇ表Ｇ的距离．．

关于球面到CP^N中的共形极小浸入(英文)

关于球面到CP^N中的共形极小浸入(英文)
焦晓祥
【期刊名称】《数学研究与评论：英文版》
【年(卷),期】2000(20)2
【摘要】本文证明一个关于球面Ｓ~２到ＣＰ~Ｎ中的共形极小浸入的曲率ｐｉｎｃｈｉｎｇ定理．
【总页数】5页(P201-205)
【关键词】球面;CP^N;共形极小浸入;曲率Pinching定理
【作者】焦晓祥
【作者单位】中国科学院数学研究所,北京100080;南昌大学数学与系统科学系【正文语种】中文
【中图分类】O186.16
【相关文献】
1.超二次曲面Q3中的共形极小二维球面 [J], 王军;钟旭;
2.超二次曲面Q3中的共形极小二维球面 [J], 王军;钟旭
3.关于球面到CPN中的共形极小浸入 [J], 焦晓祥
4.n＋1维球面中的共形平坦极小超曲面 [J], 蒋声
5.S2到HP4的共形极小浸入 [J], 焦晓祥;崔洪斌
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【国家自然科学基金】_圆盘定理_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730

科研热词最小特征值 hadamard积逆矩阵计算机病毒稳定性平衡点传播模型下界 m矩阵 m-矩阵
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年序号 2 3 4 5
2014年科研热词调和映照拟共形映照复微分算子 landau定理 bloch常数推荐指数 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词稳定性瑞利商迭代扰动分析反馈控制分数阶系统典型域全纯映照偏差定理中子输运方程 gerschgorin圆盘定理 bloch常数
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
科研热词遗传算法通信时延虚载波正交频分复用梳状导频格林公式多项式有界算子多圆柱多个体系统圆盘定理协调函数演算不变子空间一致性 h2 corona问题 banach空间
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
科研热词通信时延调和函数解析函数编队控制矩阵目标跟踪特征值牵引控制混合人工鱼群算法有向网络无限复形拟共形映射多智能体系统多智能体基本二分法圆盘定理圆填充双连通域二阶多个体系统不同时延一致性问题 2阶系统
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
科研热词全纯映照偏差定理 bloch映照 bloch常数等周亏格测地圆盘拟平均一致异结构多智能体常曲率平面变拓扑凸集一致性问题

基于有界度抛物复形的解析函数边值问题

．
（，）称为的一个分枝机构，如果中每一条简单的闭合的边路径，至少具）被ｙ有２＋３条边，这里ｆ７所包围的Ｂ中点的数量（算重数）对于几何复形，们有ｆ是计．我引理２２对于充分大的ｎ存在由单点构成的的分枝结构．，
论其收敛性．事实上，ＣｒｒＲｄｎ以及Ｄｕｅｋａｔ和ｏｉｅｂｊｏ分别在文献［，］３６已经讨论过使用正则
收稿日期：０９１— ５修订日期：０１１ —９２０ — １２；２１— ２０
Ｅ— ａｌｔｄｍｉ：ｓｓｄｑ＠ｍａｉ．ｙｓｅｌ８ｕ．ｄｕ．ｎｃ
２有界度ＣｉｌＰｃｉｇ与离散多项式ｒｅａｋｎｃ
设是拓扑开圆盘的一个三角剖分，也就是说是一个没有边界的无穷复形．由Ｓｅｈｎｏｔｐｅｓｎ的两分法如果所对应的单叶ＣｒｌＰｃｉｇ能够填满整个复平面ｃ，ｉｅａｋｎｃ称是一个抛物复形．本节中，我们使用有界度抛物Ｃｒｅａｋｎ之间的映射来模拟传统的ｉｃｃｉｇｌＰ多项式，并证明其对于传统多项式的收敛性．对于有界度抛物复形，Ｄｂｊｏ引入了离散多项式的概念［．ｕｅｋ４］
现在设Ｖ，２是中两个相邻的顶点，１分别是环绕＂，２且组合长度小于等于４ｌ，２１ｕ的简单闭边路径．如果１也环绕了＂（２或者２环绕了１，么，（也）那ｙ或者）１就是一条同

圆的多边形迫近法

的尺寸计算和绘图。
优缺点分析
1. 计算效率高
相对于直接使用圆的数学公式进行计算，圆的多边形迫近法可以大幅度降低计算的复杂度，提高计算效率。
2. 适用性强
该方法适用于不同精度的近似需求，可以通过调整等分弧段的数量来控制近似精度。
优缺点分析
• 易于实现：圆的多边形迫近法的算法原理简单易懂，易于实现。
未来发展方向和趋势
算法创新
继续探索新的算法和技术，推动圆的多边形逼近法的创新和发展。
应用拓展
将圆的多边形逼近法应用于更广泛的领域，解决更多实际问题。
跨学科融合
加强与其他学科的交叉融合，推动圆的多边形逼近法的理论和应用研究。
05
结论
研究成果和贡献
提出了一种新的几何逼近方法
圆的多边形迫近法，该方法通过将圆转化为多边形，实现了对圆的近似计算和逼近。
行渲染和绘制。
02
地理信息系统（GIS）
在地理信息系统中，地图上的各种地理要素常常需要表示为几何形状。
圆的多边形迫近法可用于将圆形区域近似表示为多边形，便于进行空间
分析和地图可视化。
03
工程绘图和设计
在工程绘图和设计中，经常需要绘制各种圆形或圆弧形状的零件或结构。
通过圆的多边形迫近法，可以将圆形近似表示为多边形，便于进行精确
实现方法和技术
1. 确定圆心和半径
首先确定待近似圆的圆心和半径。
2. 等分弧段
将圆周按照一定的精度要求等分成若干个弧段。
实现方法和技术
3. 连接边
将每个弧段的两端点连接起来，形成多边形的边。
4. 计算顶点坐标
根据圆心和等分弧段的长度，计算多边形的顶点坐标。

基于共形几何代数与radon变换的圆检测方法

基于共形几何代数与radon变换的圆检测方
法
圆检测是数字图像处理中一种重要的概念，也是计算机视觉和模
式识别的一个关键组成部分。

在机器人视觉技术、医学显像技术、航
空机动技术和地图技术等领域，圆检测算法发挥着重要作用。

基于共
形几何代数与Radon变换的圆检测方法是检测圆形轮廓的有效工具。

基于共形几何代数与Radon变换的圆检测方法包括两个部分：Radon变换和共形几何代数。

Radon变换是一种用于检测边缘的画线运算，其核心思想是用一系列直接代替图像中的灰度值，通过变换将灰
度型图像转换为不透明建模型，从而实现对圆的检测。

另一方面，共
形几何的代数定义了一种能够在空间中准确表示几何物体的数学结构。

这意味着该方法既可以计算给定几何形状的内点，也可以计算空间中
边界内群体分布特征的圆形假设函数。

基于共形几何代数与Radon变换的圆检测方法能够通过将Radon
变换的旋转灰度值映射到共形几何代数的函数域，实现对圆的检测，
进而提取出满足指定圆度参数的几何形状。

因此，Radon变换可以用来定位圆的中心，而共形几何代数可以用来定义圆形边界。

总之，基于
共形几何代数与Radon变换的圆检测方法快速准确地检测出几何图像
中的圆形物体，具有很强的实用价值和实用价值。

断裂力学的半解析相似边界元法

断裂力学的半解析相似边界元法
彭妙娟;程玉民
【期刊名称】《力学季刊》
【年(卷),期】2004(25)4
【摘要】本文首先对弹性力学的相似边界元法进行了研究,推导了相应的计算公式。

与传统的边界元法相比,相似边界元法由于只需在少数单元上进行数值积分,大大减
少了计算量。

在此基础上,对断裂力学问题,利用裂纹尖端位移场的解析表达式将裂
纹尖端节点未知量转化为几个待定常数,提出了半解析相似边界元法,可大大减少最
终形成的线性代数方程组的系数矩阵的阶数,进一步减小计算量。

最后给出了算例,
说明了本文方法的有效性。

【总页数】7页(P548-554)
【关键词】边界元法;相似边界元法;半解析相似边界元法;弹性力学;断裂力学;应力
强度因子
【作者】彭妙娟;程玉民
【作者单位】同济大学交通运输学院;上海大学上海市应用数学和力学研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O346
【相关文献】
1.三维边界元法高阶元几乎奇异积分半解析法 [J], 胡宗军;牛忠荣;程长征
2.二维边界元法高阶元几乎奇异积分半解析算法 [J], 牛忠荣;胡宗军;葛仁余;程长
征
3.动态断裂力学的无限相似边界元法 [J], 程玉民;嵇醒;贺鹏飞
4.断裂力学的相似边界元法及其应用 [J], 彭妙娟;程玉民
5.混凝土断裂力学虚拟裂缝模型的半解析有限元法 [J], 王承强;郑长良
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指数有界C半群的逼近问题

ｒＩ｝ｏ。 —
则
Ｔ）＝（ ∑ （＋（，ｔｘｔ。））ｅ
其中Ｔｔｄ）ｘ＝Ｒｓ：Ａ（，）ｘｉ，，）这里Ｒ１１ＲＡｅｅＡＣ（：１２… ，Ｒｅ＋＜＜ｅ一ＥＥ．Ａ，＞０
证明由定理２知，Ｖ当ｘ∈Ｄ（时，Ａ）有
南京大学学报数学半年刊第２卷第２８期
２１年ｌ月０１１
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＮＡＮＪＮＧＩＵＮＩＶＥＲＳＴＹＩ
Ｖｏ．２Ｎｏ２１８，．
Ｎｏ，０１ｖ．２１
ＭＡＨＥＴＩＬＢＱＵＴＲＬＴＭＡＣＡＩＡＲＥＹ
Ｅ— ａｌｏｇｙ＠ｘｚｔｅｕｃｍｉ：ｒｎｔｉ．ｄ．ｎ
南京大学学报数学半年刊
２１年ｎ月０１
ＴｔＩＭｅ则称Ｃ半群｛（）０（ｌ），ｔｔ为指数有界Ｃ半群，）记作
｛（）０（）Ｔｔｔ ∈ａＭ，．）≥
ＦＡ＝／ｅａｔｔ（（ｄ，））
（）且Ｉ（＋ｈ一￡ｌＭｈ＋ｔ０贝０＝０ｆ）（ｌＱ）ｅ（Ｍ，ｈ，０，：＞㈤
且右端积分在ｔ的任何有限区间上是一致收敛的．
引理２】设Ａ是佗次积分Ｃ半群｛ｔｔ０的无穷小生成元，［。（；））且（０，）则对Ｖｘ∈Ｄ（）有Ａ，ＭｅｔＷ
第２期
荣嵘：指数有界Ｃ半群的逼近问题
为，在点ａ的留数，记为Ｒｓ：，。ｅ。（）

计算共形几何-USTC

Note: This is mostly copied or translated from the papers ofProf. Xianfeng Gu (/~gu/).计算共形几何张威应用数学110060591引言共形几何是纯数学中很多学科的交叉领域,比如黎曼曲面理论、微分几何、代数曲线、代数拓扑、偏微分方程、复分析等等.它有很长的历史,至今在现代几何与现代物理中仍然非常活跃.比如超弦理论中的共形场和理论物理中的模空间理论都是当今快速发展的研究领域.近些年来,随着三维数字扫描仪、计算机辅助几何设计、生物信息和医学成像的快速发展,出现了越来越多的三维数字模型.因此迫切需要有效的算法来表示、处理和使用这些模型.计算共形几何在数字几何处理中扮演了一个重要角色.它已经应用在很多重要的领域,比如曲面修复、光顺、去噪、分片、特征提取、注册、重新网格化、网格样条转换、动画和纹理合成.特别地,共形几何奠定了曲面参数化的理论基础,同时也提供了严格的算法.计算共形几何还应用于计算机视觉中的人脸跟踪、识别和表情转换,医学成像中的脑电图、虚拟结肠镜和数据融合,几何建模中的具有任意拓扑流形上的样条构造.共形几何之所以如此有用是基于以下一些事实:•共形几何研究的是共形结构.日常生活中的所有曲面都有一个自然的共形结构,因此共形几何算法非常普遍.•共形结构比黎曼度量结构更灵活、比拓扑结构更具有刚性.它能处理大量黎曼几何不能有效处理的变换,这些变换还能保持很多拓扑方法会丢失的几何信息.•共形映射比较容易控制.比如,两个单连通封闭曲面之间的共形映射构成一个6维空间,因此只要固定3个点,这个映射就是唯一的.这个事实使得共形几何方法在曲面匹配和比较中非常有价值.•共形映射保持局部形状,因此在可视化方面有很好的应用.•所有的曲面都可以根据共形结构进行分类,而且所有的共形等价类形成一个有限维流形.这个流形有丰富的几何结构,容易对其分析和研究.与之相反,曲面的等距类形成一个难以分析处理的无穷维流形.计算共形几何•计算共形几何算法是以椭圆偏微分方程为基础的,而椭圆偏微分方程又是容易求解而且稳定的,因此计算共形几何方法对于实际工程应用非常有用.•共形几何中,所有单连通曲面都能共形变换成某种标准空间:球面、平面、双曲空间.也就是说,任何曲面都具有三种标准几何(球几何、欧式几何、双曲几何)中的一种.这样大部分三维数字几何处理任务都能转化成二维标准空间中的任务.历史上,计算共形几何方法已经广泛应用于许多工程领域,然而绝大部分应用都基于平面区域的共形映射.最近,随着数学理论的发展和计算能力的提升,计算共形几何方法已经从平面区域推广到具有任意拓扑的曲面.1.1共形变换和共形结构图1:共形映射保持角度(a)Circle packing(b)Checkboard图2:共形映射根据Fleix Klein的Erlangen纲领,几何就是研究在特定的变换群下保持不变的空间性质.共形几何就是研究保角变换群下的不变量.它介乎于拓扑和黎曼几何之间.计算共形几何共形映射就是保角映射,如图1所示.在无穷小邻域,共形映射就是放缩变换.它保持局部形状,比如它将无穷小圆周映成无穷小圆周.如图2所示,这个bunny曲面通过一个共形映射映到平面.如果平面有一个circle packing,则通过拉回得到bunny曲面上的一个circle packing.如果给平面铺上棋盘格,则同样得到bunny曲面的棋盘格修饰,其中直角和正方形都是保持的.曲面上的两个黎曼度量是共形的,如果它们定义的角度是相同的.共形结构就是指曲面上度量的共形等价类,而黎曼曲面就是带有共形结构的光滑曲面.因此在黎曼曲面上,我们可以度量角度,但不能度量长度.每一个带有度量的曲面都自动成为一个黎曼曲面.如果两个黎曼曲面之间存在共形映射,则称它们是共形等价的.显然,共形等价是黎曼曲面间的一个自然的等价关系.共形几何的目的就是在共形等价意义下对黎曼曲面进行分类,这就是所谓的模空间问题.给定一张光滑曲面,考察它上面的所有共形结构在共形等价下的模,这个集合被称为曲面的模空间.对于具有正亏格的封闭曲面,模空间是正维数的有限维空间.1.2基本任务下面的问题是计算共形几何最基本的一些任务.这些问题是相互依赖的:1.共形结构给定一张带有黎曼度量的曲面,计算它的内蕴共形结构的不同表示.一种方法是计算它的Abelian微分群,另一种方法是计算标准的黎曼度量.2.共形模完全共形不变量称为黎曼曲面的共形模.正如前面所讲的,理论上存在一组有限的数完全决定了黎曼曲面,这些称为黎曼曲面的共形模.一个比较难的问题是显式计算任意给定曲面的共形模.3.标准黎曼度量黎曼曲面的uniformization定理揭示了每一个黎曼度量都共形等价于一个常Gauss 曲率度量.除了球面和环面外,这个度量是唯一的.计算这个度量在计算共形几何中具有基本的重要性.4.共形映射计算共形几何计算两个共形等价的曲面之间的共形映射可以简化为计算它们到标准形状空间(球面、平面、双曲空间中的圆域)之间的共形映射.5.拟共形映射大部分微分同胚都不是共形的,它们将无穷小圆周映成无穷小椭圆.如果这些椭圆的长短轴比一致有界,那么就称为拟共形映射.拟共形映射的微分是由所谓的Beltrami微分刻画的,Beltrami微分记录了长轴方向和长短轴比.有一个基本定理是说通过Beltrami微分可以恢复拟共形映射.而至于怎样通过Beltrami微分计算拟共形映射,则是一个具有很多应用价值的重要问题.6.共形镶嵌粘合带边黎曼曲面并研究缝曲线形状和粘合样式之间的关系.这与拟共形映射问题紧密相关.1.3共形几何在工程应用中的优点计算共形几何已经被证实在许多工程领域中有重要应用.下面是一些主要理由:1.标准区域所有带度量的曲面都能共形地映成球面、平面或双曲圆盘中的标准区域.这可以帮助我们将三维几何处理问题转化为二维问题.2.通过曲率设计度量每一个共形结构都有一个常Gauss曲率的标准度量,这个度量在很多几何应用中非常有价值.例如在双曲度量下,每一个非平凡同伦类都有一个闭测地线代表元.此外,我们可以根据预先给定的曲率设计黎曼度量,这在几何建模中非常有用.3.一般几何结构共形几何方法能够用来构造其他几何结构,比如仿射结构、射影结构等等.这些结构在几何建模应用中是关键的.4.微分同胚的构造共形映照和拟共形映照可以被用来构造曲面间的微分同胚.可以应用于曲面注册和比较这些计算机视觉和医学图像中最基本的问题.计算共形几何5.等温坐标共形结构可以被当作曲面上的等温坐标图册.在这种坐标下,度量的表达式最简单,因此所有的微分算子,比如Laplace-Beltrami算子,具有很简洁的表达式.这可以用来简化偏微分方程.等温坐标保持局部形状,对于可视化和纹理映射是非常完美的.2已有工作图3:基本群的多边形表示图4:四种类型的图.(a)A cut graph但不是system of loops.(b)A system of loops.(c)基本群的基但不是system of loops.(d)同调基,但既不是同伦基也不是cut graph.计算共形几何已经有比较长的历史了,起初大部分共形几何方法都是针对平面区域或拓扑圆盘的.直到近些年来才推广到具有复杂拓扑的曲面上,这与当前研究热点计算拓扑的发展是紧密相关的.有相当一部分计算共形算法是依赖于计算拓扑算法的.计算共形几何图5:从左到右:输入模型,handle(绿)和tunnel(红)环,handle特征2.1计算拓扑计算拓扑的研究对象主要是单纯复形,比如三角网格曲面就是一种二维单纯复形.计算拓扑的一些基本问题就是计算曲面单纯复形的cut graph,同调群和基本群.知道了cut graph,就能将曲面剪开成拓扑圆盘,这对于参数化和纹理映照是非常有用的.知道了基本群,就能完全确定封闭曲面的拓扑分类.通常基本群是用多边形表示的,其中有约化多边形表示、标准多边形表示等一些特殊的多边形表示,见图3.Vegter和Yap[1]给出了计算标准多边形表示的算法,Lazarus等[2]简化了Vegter和Yap的算法,复杂度为O(gn),其中n,g分别为曲面的大小和亏格.标准多边形表示由2g 个具有公共点的环组成,令人不满意的是它们可能具有公共边.在大部分应用中,标准多边形表示不是必须的,只需要知道cut graph就足够了.cut graph是指三角网格曲面上的一族边集使得曲面去掉这些边后变成拓扑圆盘,如图4所示.Dey和Schipper[3]使用cut graph得到了检验曲线是否可缩或两曲线是否同伦的快速算法.2002年,Erickson等[4]第一次提出了最优cut graph的问题:给每一条边赋一个权,求权最小的cut graph.这篇文章证明了最小cut graph问题是NP难的,并给出了计算近似最小cut graph的贪婪算法,该算法复杂度为O(g2n log n),精度为O(log2g).de Verdière和Lazarus[5]研究了一种称为"systerm of loops"的特殊cut graph,每一个systerm of loops都由具有公共基点的2g个环组成,如图4所示.Erickson等[6]给出了一个简单的贪婪算法来计算基本群和第一同调群的生成元,这同时也解决了de Verdière和Lazarus提出了最短systerm of loops问题.计算共形几何曲面上一些与特征紧密相关的环,比如handles和tunnels,在诸如拓扑修复、曲面参数化和特征识别等应用中非常有用,如图5所示.Dey等[7--9]给出了计算handles和tunnels的算法.Yin等[10]提出了使用universal covering space来计算最短非平凡环的算法.de Verdière[11]使用最优pants分解来找同伦类中的最短环.Xin等[12]研究了高亏格曲面上的测地环.关于曲面上的非平凡环,还有许多文章[13--19],目前仍是一个热点问题.(a)调和1形式(b)共轭的调和1形式图6:调和1形式2.2平面区域传统的数值复分析方法集中在平面区域的共形映射.[20--25]作了详尽总结. Schwarz-Christoffel映射已经被广泛应用于计算共形映射[26,27].[28--30]研究了多连通区域的Schwarz-Christoffel映射.[31]给出了一种基于交比和Delaunay三角化的鲁棒算法.最近,Marshall等[32]引进了基于迭代简单映射的geodesic zippper算法,Bishop[33]提出了基于双曲几何的线性复杂度的共形映射算法.2.3亏格为0的曲面[34]利用余切公式构造了离散调和映射,Lévy等[35]引进了Cauchy-Riemann方程的一阶有限元逼近.2002年,Desbrun等[36]最小化Dirichlet能量得到了离散内蕴参数化. Floater[37]引进平均值坐标来计算广义调和映射.[38,39]对拓扑球面的共形映射进行了研究.在CG领域,[40,41]对拓扑圆盘和球面上的共形映射进行了详尽地总结.计算共形几何2.4高亏格曲面高亏格曲面上共形结构的计算有两个主要方法:全纯微分方法和离散曲率流方法.图7:全纯1形式2.4.1全纯微分离散全纯微分方法是由Gu和Yau[42,43]提出的,用来计算高亏格曲面上的共形结构.这个方法基于Hodge理论,使用热扩散方法来计算每一个上同调类中的调和形式,见图6(a)和6(b).然后利用Hodge星算子构造全纯形式,见图7.所有计算都是在离散多边形曲面上进行的.Pinkall等[34]定义了一种不同的离散Hodge星算子来计算极小曲面. Mercat[44]通过离散Cauchy-Riemann方程来构造离散全纯映射,不过这个方法要求曲面是四边形网格.2003年,Hirani在他的博士论文[45]中详细介绍了离散外微分方法.Gortler等[46,47]使用离散1形式来对亏格为1的曲面进行参数化.Tong等[48]推广到带有锥奇点的1形式方法,并用来进行remeshing和tiling.2009年,Zeng等[49,50]将全纯微分方法应用于计算带多个边界的亏格为0的曲面上的共形映射,以及拟共形映射.2.4.2Ricci FlowRicci流是由Hamilton[51]在Princeton的讨论班上引进的.Ricci流对曲面和三维流形的几何研究产生了革命性的影响,是当前几何研究中极为活跃的方向.特别地,计算共形几何它导致了三维Poincaré猜测的证明.Hamilton[52]使用2维Ricci流给出了正亏格曲面uniformization定理的证明.这表明了它在CG领域中有极大的潜在应用价值.图8:Circle packing存在很多方法离散光滑曲面,其中与共形映射离散特别相关的是由Thurston[53]引进的circle packing度量.circle packing这个概念首先是由Koebe提出的,Thurston猜测平面Jordan区域的circle packing离散序列收敛于Riemann映射,见图8.这个猜测被Rodin 和Sullivan[54]所证明.Colin de Verdière[55]建立了circle packing的第一变分原理,然后证明了Thurston的circle packing度量存在性.这为实现计算circle packing度量的快速算法铺平了道路,比如Collins和Stephenson[56]就给出了一个算法.Chow和Luo[57]推广了Colin de Verdière 的工作,并引进了曲面上的离散Ricci流和离散Ricci能量.它们证明了离散Ricci流的一般存在性和收敛性定理,同时证明了Ricci能量的凸的.基于此,Jin[58]在2008年给出了离散Ricci流的算法实现.另外一个相关的离散方法是circle pattern,它同时考虑网格曲面的组合与几何信息,可以看成是circle packing的变种.Circle pattern是由Bowers和Hurdal[59]提出的,已经被证明是Bobenko和Springborn[60]提出的凸能量的极小元.2006年,Kharevych等[61]给出了一个有效的circle pattern算法.2.4.3Yamabe FlowYamabe问题目的是为紧Riemann流形找到具有常标量曲率的共形度量.Yamabe[62]给出了第一个带有漏洞的证明,之后被一些包括Trudinger[63],Aubin[64]和Schoen[65]在内的研究者所更正.关于这个问题的详细总结可以参看Lee和Parker的文章[66].2004年,Luo[67]研究了曲面上的离散Yamabe流.他引进了多边形度量的离散共形计算共形几何变换概念,这在研究离散Yamabe流和相应的变分原理方面具有关键性的作用.基于离散共形类和几何方面的考虑,Luo定义离散Yamabe能量为微分1形式的积分,然后证明了这个能量是一个局部凸函数.他还从这得出Yamabe流下的曲率发展是一个热方程.最近,Springborn等[68]的一个非常漂亮的工作表明可以将Yamabe能量和Milnor-Lobachevsky函数等同起来,将曲率发展的热方程和余切Laplace方程等同起来.近期Gu 等[69]使用离散Yamabe能量构造了一个计算离散共形度量的有效算法.Bobenko等[70]讨论了离散双曲Yamabe流,它被Zeng等[71]用来计算双曲结构和标准同伦群生成元.图9:全局共形的纹理映照图10:使用特殊的平坦度量设计向量场2.5应用2.5.1图形学共形几何方法广泛应用于CG中.等温坐标对于全局共形参数化来说是很自然的[42].因为共形映照不会扭曲局部形状,所以它对于纹理映照来说是非常理想的.图9显示了一个使用全纯微分进行纹理映照的例子.特殊的平坦度量对于设计曲面上的向量场是非常有价值的,图10显示了使用曲率流方法设计的向量场.计算共形几何图11:流形样条框架2.5.2几何建模几何建模中的一个最基本的问题就是将传统的欧式区域上的样条系统地推广到流形区域上,这与曲面上的一般几何结构关系紧密,见图11和12.传统的样条方案是建立在仿射不变量上的,如果流形具有仿射结构,那么传统的样条也能直接推广到流形上.然而由于拓扑障碍,一般的流形不具有仿射结构.但是删去一些奇点后,曲面上允许存在仿射结构.详细的讨论请参考Gu等[72].仿射结构可以通过共形几何方法显式计算.比如可以通过曲率流和全纯微分方法来计算仿射结构,图13显示的是用曲率流方法构造的仿射结构.与其他的方法比较起来,比如基于平凡联络的方法[73],这些方法的优点是它能给出样条曲面的全局共形参数化,即等温坐标.在这种坐标下,微分算子,比如梯度算子和Laplace-Beltrami算子,具有最简单的形式.2.5.3医学成像共形几何在医学成像的很多领域都有应用.比如在脑电图中,不同部分的大脑皮层曲面片的注册是关键性的.大脑表面高度卷曲,而且不同的人的大脑有不同的解剖结构,计算共形几何图12:流形样条图13:仿射结构因此在大脑皮层曲面片之间找到好的匹配是非常有挑战性的任务.图14演示了一个解决方案[39],先通过用标准方式将大脑表面映到球面,然后找到球面的自同构,这样曲面片的注册就很容易建立了.2.5.4视觉曲面匹配在计算机视觉中是一个基本问题.图15演示了曲面匹配的基本框架.图16演示了同一个人的不同表情的人脸匹配的例子,细节可参考[74--76].Teichmüller理论可以应用于曲面分类[77,78].通过使用Ricci曲率流,我们可以计算双曲uniformization度量.然后我们使用测地线进行pants分解并计算Fenchel-Nielsen坐标.图17演示了万有覆盖空间在双曲空间中的一个有限部分的计算,图18演示了计算Teichmüller坐标的流程.计算共形几何图14:大脑表面的共形映照图15:曲面匹配框架2.5.5计算几何在计算几何中,同伦检测是一个重要的问题.可以使用Ricci流计算双曲uniformiza-tion度量[71].根据Gauss-Bonnet定理,每一个同伦类中有唯一的闭测地线.给定一个环,我们可以计算这个环的同伦类对应的Möbius变换,这个变换的轴就是双曲度量下的闭测地线.如图19所示,同伦的环的标准代表元是相同的.计算共形几何图16:不同表情的人脸匹配图17:万有覆盖空间在双曲空间中的有限部分3总结计算共形几何是一门数学和计算机科学的交叉学科,它对数学理论的掌握要求比较高.很多算法都依赖于拓扑算法,与计算拓扑紧密相关.本文介绍了这个方向的一些基本问题、算法以及应用.目前仍然有很多基本问题没有解决,它们需要更深刻的理解和更强大精确的计算方法.下面列举一些对理论和应用都非常重要的问题.1.Teichmüller映射给定两个度量曲面和映射同伦类,计算唯一的angle distortion最小的映射,也就是Teichmüller映射.计算共形几何图18:Teichmüller空间中的Fenchel-Nielsen坐标图19:使用双曲度量进行同伦检测2.Abel微分计算不同类型的Abel微分群,特别是全纯的二次微分.3.组合结构和共形结构之间的关系给定一个拓扑曲面,每一个三角化都有一个由circle packing决定的自然的共形结构,讨论这两个结构之间的关系.4.逼近理论尽管计算共形不变量的算法已经有了,但是逼近的理论结果仍没有建立.对于平面区域的共形映射,不同离散方法的收敛性都已经建立了.但是对于一般曲面而言,收敛性分析仍然是开放的.5.精度和稳定性双曲几何计算对于数值误差是非常敏感的.要提高计算精度是非常具有挑战性的.计算几何中的精确计算方法给出了解决这个问题的方向.在逆距离circle packing计算共形几何方法和组合Yamabe流方法中,可接受曲率空间的非凸性造成了算法的不稳定.因此,曲面需要高精度的三角化.在实际应用中,提高三角化精度对这些算法是非常重要的.交角为锐角的circle packing算法更加稳定,全纯微分方法最稳定.计算共形几何参考文献[1]Vegter,G.,Yap,C.K.,putational complexity of combinatorial surfaces.In:Proceedingsof the sixth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,102-111.[2]Lazarus,F.,Pocchiola,M.,Vegter,G.,et al,puting a canonical polygonal schema of anorientable triangulated surface.In:SCG'01:Proceedings of the seventeenth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,80-89.[3]Dey,T.K.,1994.A new technique to compute polygonal schema for2-manifolds with applica-tion to null-homotopy detection.In:Proceedings of the tenth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,277-284.[4]Erickson,J.,Har-Peled,S.,2002.Optimally cutting a surface into a disk.In:SCG'02:Proceedingsof the eighteenth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,244-253.[5]de Verdière,E.C.,Lazarus,F.,2002.Optimal system of loops on an orientable surface.In:Proc.43rd Annual IEEE Symp.Foundations of Computer Science.Springer-Verlag627-636.[6]Erickson,J.,Whittlesey,K.,2005.Greedy optimal homotopy and homology generators.In:SODA'05:Proceedings of the sixteenth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms.Philadel-phia,PA,USA:Society for Industrial and Applied Mathematics,1038-1046.[7]Dey,T.K.,Li,K.,Sun,J.,2007.On computing handle and tunnel loops.In:CW'07:Proceedingsof the2007International Conference on Cyberworlds.Washington,DC,USA:IEEE Computer Society,357-366.[8]Dey,T.K.,Li,K.,Sun,J.,et al,puting geometry-aware handle and tunnel loops in3dmodels.In:SIGGRAPH'08:ACM SIGGRAPH2008papers.New York:ACM,1-9.[9]Dey,T.K.,Li,K.,Sun,J.,puting handle and tunnel loops with knot put.Aided Des.,41(10):730-738.[10]Yin,X.,Jin,M.,Gu,X.,puting shortest cycles using universal covering space.Vis.Comput.,23(12):999-1004.[11]Verdière,E.C.D.,Lazarus,F.,2007.Optimal pants decompositions and shortest homotopic cycleson an orientable surface.J.ACM,54(4):18.[12]Xin,S.Q.,He,Y.,Fu,C.W.,et al,2011.Euclidean geodesic loops on high-genus surfaces appliedto the morphometry of vestibular systems.In:MICCAI'11:Proceedings of the14th international conference on Medical image computing and computer-assisted intervention.Berlin,Heidelberg: Springer-Verlag,384-392.[13]Chambers,E.W.,Erickson,J.,Worah,P.,2008.Testing contractibility in planar rips complexes.In:SCG'08:Proceedings of the twenty-fourth annual symposium on Computational geometry.New York:ACM,251-259.[14]Chambers,E.W.,Erickson,J.,Nayyeri,A.,2009.Minimum cuts and shortest homologous cycles.In:SCG'09:Proceedings of the25th annual symposium on Computational geometry.New York: ACM,377-385.[15]Chambers,E.W.,Erickson,J.,Nayyeri,A.,2009.Homology flows,cohomology cuts.In:STOC计算共形几何'09:Proceedings of the41st annual ACM symposium on Theory of computing.New York:ACM, 273-282.[16]Erickson,J.,2010.Maximum flows and parametric shortest paths in planar graphs.In:SODA'10:Proceedings of the Twenty-First Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms.Philadelphia,PA,USA:Society for Industrial and Applied Mathematics,794-804.[17]Erickson,J.,Worah,P.,puting the shortest essential cycle.Discrete Comput.Geom.,44(4):912-930.[18]Dey,T.K.,Hirani,A.N.,Krishnamoorthy,B.,2010.Optimal homologous cycles,total unimodular-ity,and linear programming.In:STOC'10:Proceedings of the42nd ACM symposium on Theory of computing.New York:ACM,221-230.[19]Erickson,J.,2011.Shortest non-trivial cycles in directed surface graphs.In:SoCG'11:Proceedingsof the27th annual ACM symposium on Computational geometry.New York:ACM,236-243.[20]Delillo,T.K.,1994.The accuracy of numerical conformal mapping methods:A survey of examplesand results.SIAM Journal on Numerical Analysis,31(3):pp.788-812.[21]Ivanov,M.,V.T,1995.Handbook of conformal mapping with computer-aided visualization.BocaRaton:CRC Press.[22]Binder,I.,Braverman,M.,Yampolsky,M.,2007.On the computational complexity of the riemannmapping.ARKIV FOR MATEMATIK,45(2):221-239.[23]Trefethen,L.,1986.Numerical conformal mapping.Amsterdam:North-Holland Publishing Co.[24]Wegmann,R.,2005.Handbook of Complex Analysis:Geometric Function Theory.vol2.Ams-terdam:Elsevier,351-477.[25]Henrici,,1993.Discrete Fourier Analysis,Cauchy Integrals,Construction of Conformal Maps,Univalent Functions.vol3.London:Wiley.[26]Driscoll,T.A.,Trefethen,L.N.2002.Schwarz-Christoffel Mapping.Cambridge Press.[27]Banjai,L.,Trefethen,L.N.,2003.A multipole method for schwarz--christoffel mapping of poly-gons with thousands of sides.SIAM put.,25(3):1042-1065.[28]DeLillo,T.K.,Elcrat,A.R.,Pfaltzgraff,J.A.,2001.Schwarz-christoffel mapping of the annulus.SIAM Review,43(3):pp.469-477.[29]Delillo,T.,Elcrat,A.,Pfaltzgraff,J.,2004.Schwarz-christoffel mapping of multiply connecteddomains.Journal d'Analyse Mathématique,94:17-47.[30]Crowdy,D.,2005.The schwarz-christoffel mapping to bounded multiply connected polygonaldomains.Proceedings:Mathematical,Physical and Engineering Sciences,461(2061):pp.2653-2678.[31]Driscoll,T.A.,Vavasis,S.A.,1998.Numerical conformal mapping using cross-ratios and delaunaytriangulation.SIAM put.,19:1783-1803.[32]Marshall,D.E.,Rohde,S.,2007.Convergence of a variant of the zipper algorithm for conformalmapping.SIAM J.Numer.Anal.,45:2577-2609.计算共形几何[33]Bishop,C.J.,2010.Conformal mapping in linear time.Discrete Comput.Geom.,44:330-428.[34]Pinkall,U.,Polthier,K.,puting discrete minimal surfaces and their conjugates.Exper-imental Mathematics,2:15-36.[35]Lévy,B.,Petitjean,S.,Ray,N.,et al,2002.Least squares conformal maps for automatic texture atlasgeneration.In:Proceedings of the29th annual conference on Computer graphics and interactive techniques.New York:ACM,362-371.[36]Desbrun,M.,Meyer,M.,Alliez,P.,2002.Intrinsic parameterizations of surface puterGraphics Forum,21(3):209-218.[37]Floater,M.S.,2003.Mean value put.Aided Geom.Des.,20:19-27.[38]Gotsman,C.,Gu,X.,Sheffer,A.,2003.Fundamentals of spherical parameterization for3d meshes.In:SIGGRAPH'03:ACM SIGGRAPH2003Papers.New York:ACM,358-363.[39]Gu,X.,Wang,Y.,Chan,T.F.,et al,2004.Genus zero surface conformal mapping and its applicationto brain surface mapping.IEEE Transactions on Medical Imaging,23:949-958.[40]Floater,M.S.,Hormann,K.,2005.Surface parameterization:a tutorial and survey.In:Dodgson,N.A.,Floater,M.S.,Sabin,M.A..Advances in multiresolution for geometric modelling.Springer Verlag,157-186.[41]Sheffer,A.,Praun,E.,Rose,K.,2006.Mesh parameterization methods and their applications.put.Graph.Vis.,2:105-171.[42]Gu,X.,Yau,S.T.,2003.Global conformal surface parameterization.In:SGP'03:Proceedingsof the2003Eurographics/ACM SIGGRAPH symposium on Geometry processing.Aire-la-Ville, Switzerland,Switzerland:Eurographics Association,127-137.[43]Jin,M.,Wang,Y.,Yau,S.T.,et al,2004.Optimal global conformal surface parameterization.In:VIS'04:Proceedings of the conference on Visualization'04.Washington,DC,USA:IEEE Computer Society,267-274.[44]Mercat,C.,2001.Discrete riemann surfaces and the ising munications in MathematicalPhysics,218:177-216.[45]Hirani,A.N.,2003.Discrete exterior calculus.PhD thesis.Pasadena,CA,USA:California Instituteof Technology.[46]Gortler,S.J.,Gotsman,C.,Thurston,D.,2006.Discrete one-forms on meshes and applications to3d mesh put.Aided Geom.Des.,23:83-112.[47]Tewari,G.,Gotsman,C.,Gortler,S.J.,2006.Meshing genus-1point clouds using discrete one-puters and Graphics,30:917-926.[48]Tong,Y.,Alliez,P.,Cohen-Steiner,D.,et al,2006.Designing quadrangulations with discreteharmonic forms.In:Proceedings of the fourth Eurographics symposium on Geometry processing.Aire-la-Ville,Switzerland,Switzerland:Eurographics Association,201-210.[49]Zeng,W.,Yin,X.,Zhang,M.,et al,2009.Generalized koebe's method for conformal mappingmultiply connected domains.In:SPM'09:2009SIAM/ACM Joint Conference on Geometric and计算共形几何Physical Modeling.New York:ACM,89-100.[50]Zeng,W.,Luo,F.,Yau,S.T.,et al,2009.Surface quasi-conformal mapping by solving beltramiequations.In:Proceedings of the13th IMA International Conference on Mathematics of Surfaces XIII.Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,391-408.[51]Hamilton,R.,1982.Three manifolds with positive ricci curvature.J.Differ.Geom.,17:255-306.[52]Hamilton,R.,1988.Mathematics and General Relativity.vol71.American Mathematical Society.[53]Thurston,W.,1980.Geometry and Topology of Three-Manifolds.Princeton University Press.[54]Rodin,B.,Sullivan,D.,1987.The convergence of circle packings to the riemann mapping.J.Differ.Geom.,26(2):349-360.[55]Colin de Verdière,Y.,1991.Un principle variationnel pour les empilements de cercles.Invent.Math.,104(3):655-669.[56]Collins,C.R.,Stephenson,K.,2003.A circle packing put.Geom.Theory Appl.,25:233-256.[57]Chow,B.,Luo,F.,binatorial ricci flows on surfaces.J.Differ.Geom.,63(1):97-129.[58]Jin,M.,Kim,J.,Luo,F.,et al,2008.Discrete surface ricci flow.IEEE Transactions on Visualizationand Computer Graphics,14(5):1030-1043.[59]Bowers,P.L.,Hurdal,M.K.,2003.Planar conformal mappings of piecewise flat surfaces.In:In Vi-sualization and Mathematics III,H.-C.Hege and K.Polthier,Eds.Mathematics and Visualization.Springer-Verlag3-34.[60]Bobenko,A.I.,Springborn,B.A.,2004.Variantional principles for circle patterns and koebe'stheorem.Trans.Am.Math.Soc.,356:659-689.[61]Kharevych,L.,Springborn,B.,Schröder,P.,2006.Discrete conformal mappings via circle patterns.ACM Trans.Graph.,25:412-438.[62]Yamabe,H.,1960.The yamabe problem.Osaka Math.J.,12(1):21-37.[63]Trudinger,N.,1968.Remarks concerning the conformal deformation of riemannian structures oncompact manifolds.Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa,22(2):265-274.[64]Aubin,T.,1976.équations diffréntielles non linéaires et problème de yamabe concernant la cour-bure scalaire.J.Math.Pure Appl.,55(3):269-296.[65]Schoen,R.,1984.Conformal deformation of a riemann metric to constant scalar curvature.J.Differ.Geom.,20(2):479-495.[66]Lee,J.M.,Parker,T.H.,1987.The yamabe problem.Bull.Am.Math.Soc.,17(1):39-71.[67]Luo,F.,Khan,L.,Bastani,F.,et al,2004.A dynamically growing self-organizing tree(dgsot)forhierarchical clustering gene expression profiles.Bioinformatics,20(16):2605-2617.[68]Springborn,B.,Schröder,P.,Pinkall,U.,2008.Conformal equivalence of triangle meshes.In:SIGGRAPH Asia'08:ACM SIGGRAPH ASIA2008courses.New York:ACM,1-11.[69]Yin,X.,Jin,M.,Luo,F.,et al,2009.Emerging trends in visual computing.In:.Berlin,Heidelberg:。

Plate Contact问题的混合有限元逼近

给定．厂∈Ｌ（，２Ｑ）ｇ∈Ｌ（３满足Ｉｒ０和（）。ｄ，么ＰａｅＣｎａｔ２ｒ）ｇ。ｌ：ｇｓ那ｌｏｔｃ问题ｔ
满足下的最优化问题
（）ｎ（）ｕ，ｆ其中
）去）一）＝Ａ＋（．（）加
摘要：论文考虑了ＰａｅＣｏｔｃｌｔｎａｔ问题的混合有限元逼近，其变分问题为第二类四阶椭圆变分不等问题．首先，根据正则化方法，得到原问题的正则化问题．再根据网格依赖范数技巧，考虑了正则化问题的ＣｉｒｔＲｖａｔ合有限元逼近，并证明了真解与逼近解之间的误差估ａｌ — ａｉｒ混ｅ
＝＝＝
。ｒ）在ｊ上
其范数可定义为Ｉ＝２这里扎表示边界ｒ，处的单位外法线向量，ｆＩ表示Ｈ（・２）的半范．记
，
） △” ．＝ △
由于ｍｅｓＦ）０那么存在某一正常数＞０使得ａ（１≠ ，Ａ（，Ｑｌｊｕ）ｌｌ “ ，
Ｎｏ．３
安荣等：ＰａｅＣｎａｔｌｔｏｔｃ问题的混合有限元逼近
６７６
在论文中，记号Ｃ总是代表某一不依赖于ｈ和Ｅ的常数，并且在不同的位置出现可能表示不同的值．
２Ｐｌｔｎａｔ问题ａｅＣｏｔｃ
记Ｑ为。中的一有界凸多边形区域，其边界ａ由ｒ，２和ｒＱ１ｒ３构成，并且满足ｍｅｓｒ）ａ（１ ≠０和ｒ２３ａ．１ｒＦ＝Ｑｕｕ引入线性空间

关于圆和椭圆逼近显示的最优算法

关于圆和椭圆逼近显示的最优算法
欧新良;方逵
【期刊名称】《数学理论与应用》
【年(卷),期】2001(021)002
【摘要】The paper presents a new algorithm for ircle approximation and generation. The area of the polygon is exactly equal to that of the approximated circle. Therefore, in terms of that, the polygon generated withthe new algorithn is an optimal circle aproximation, ellipse generation approximation.%本文给出了一个逼近显示圆的新算法.该算法是通过相交多边形而不是内接多边形逼近圆.由于构造相交多边形时其面积等于圆面积,因此新算法是最优逼近.同时还推广到椭圆.
【总页数】4页(P46-49)
【作者】欧新良;方逵
【作者单位】长沙大学计算机与数学系,长沙,410083;长沙大学计算机与数学系,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.参数化滤波器逼近问题的全局最优算法 [J], 粟塔山;吴翊
2.一种椭圆生成的最优算法 [J], 韩玉娟;吴庆标
3.显示任意圆（弧）和椭圆（弧）的微机软件 [J], 任麟千
4.圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用 [J], 陈伟斌;张启兆
5.椭圆加工作业中的四圆弧切比雪夫逼近 [J], 彭云柯
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ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｆＣｏｎｆｏｒｍａｌＷｅｌｄｉｎｇｖｉａＣｉｒｃｌｅ
ＰａｃｋｉｎｇｓｗｉｔｈＢｏｕｎｄｅｄＤｅｇｒｅｅ
ＣＨＥＮＤｅｊｉａｎ． ⅣＳｈｉｙｉ
ｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｓ．Ｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｎｆｏｒｍａｌｗｅｌｄｉｎｇａｎｄａｓｓｏｃｉａｔｅｄｑｕａｓｉｃｉｒｃｌｅｉｎｄｕｃｅｄｂｙａｑｕａｓｉｓｙｍｍｅｔｙｒｍａｐｐｉｎｇａｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｕｓｉｎｇｃｉｒｃｌｅｐａｃｋｉｎｇｓｗｉｔｈｂｏｕｎｄｅｄｄｅｇｒｅｅ，ａｎｄｔｈｅｉｒｃｏｎｖｅｒ — ｇｅｎｃｅｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｔｈｉｓｐｒｏｖｉｄｅｓａｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌａｐｐｒｏａｃｈｏｒｆａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇｃｏｎｆｏｒｍａｌｗｅｌｄｉｎｇｍａｐｐｉｎｇｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｉｒｃｌｅｐａｃｋｉｎｇ；ｃｏｎｆｏｒｍａｌｗｅｌｄｉｎｇ；ｑｕａｓｉｃｉｒｃｌｅ；ｑｕａｓｉｓｙｍｍｅｔｙｒ
第５２卷
第４期
中山大学学报（自然科学版）
ＡＣＴＡＳＣＩＥＮＴＩＡＲＵＭＮＡＴＵＲＡＬＩＵＭＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴＩＳＳＵＮＹＡＴＳＥＮＩ
Ｖ０ｌ＿５２Ｎｏ．４
２０１３年７月
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｆｏｒＮａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｎａｎｎｉｎｇ５３０００６，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＣｏｎｆｏｒｍａｌｗｅｌｄｉｎｇｐｌａｙｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｒｏｌｅｉｎｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＴｅｉｃｈｍｕｌｌｅｒｔｈｅｏｒｙａｎｄｑｕａｓｉ —
个拟对称映射诱导的共形粘合映射及其相关拟圆周的离散近似，并证明了它们的收敛性。这为共形粘合映射提
供了一种更一般的离散近似方法。
关键词：圆填充；共形粘合；拟圆周；拟对称
中图分类号：０１７４．５
文献标志码：Ａ文章编号：０５２９— ６５７９（２０１３）０４— ００３４ — ０６
Ｊｕ１．２０ｌ３
共形粘合的有界度圆填充逼近
陈德健，蓝师义
（广西民族大学理学院，广西南宁５３０００６）
摘要：共形粘合在Ｔｅｉｃｈｍ／／ｌｌｅｒ理论和拟共形映射的发展中起着关键作用。文中应用有界度圆填充构造了由一
圆填充的载体我们可以构造这两个圆盘的近似区
似Ｒｉｅｍａｎｎ映射。１９８７年Ｒｏｄｉｎ等证明了该方
案的收敛性。随后出现大量关于圆填充理论及其应
域，将组合粘合技术应用于这两个近似区域，我们
１９８５年提出这样的猜测：六边形圆填充可用来近
文，我们将Ｗｉｌｌｉａｍｓ的结果推广到非六边形圆填充即有界度圆填充的情形。首先，我们讨论平面内两个不相交圆盘的共形粘合。从复平面内无限有界度
得到球面上的一个三角剖分。根据圆填充定理，就得到Ｒｉｅｍａｎｎ球面上一个相关的圆填充。由此我们
用的研究（见文［３— ６］等）。共形粘合最近重新
引起人们的研究兴趣，是因为它在图像识别和弦理论研究中有着重要的应用具有特定相切模式的一种圆格局，其理论在复分析与离散几何的交叉学科中是当今一
对共形粘合的离散逼近的研究，Ｗｉｌｌｉａｍｓ已
经建立了共形粘合的六边形圆填充离散逼近。在本
个快速发展的研究领域。近几年来在这个领域研究所取得的成就起源于Ｆｉｅｌｄｓ奖得主Ｔｈｕｒｓｔｏｎ＿１在
可建立两个离散近似映射。然后，证明了它们分别收敛于由一个拟对称诱导的两个共形粘合映，并且散粘合曲线也收敛于该拟对称诱导的拟圆周；其次，我们研究上半平面与下半平面的共形粘合。应用两个有限正方形区域序列分别近似上半平面与下