类比推理和归纳推理

推理和证明

一 归纳推理

归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).

例1下列四个图形中着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为_______. 13n -

例2 将全体正整数排成一个三角数阵，如图所示， 1 按照排列的规律，第n 行（3n ≥）从左向右的第 2 3

三个数为______. 262

n n -+ 4 5 6 7 8 9 10

例3 观察圆周上n 个点之间所连的线，发现2个点可以连一条线，3个点可以连3条线，4个点可以连6条线，5个点可以连10条线，由此归纳n 个点可以

连___条线.(1)2

n n -.

例4观察下列各等式：262,2464+=--5325434+=--,7127414

+=--,102210424

-+=---，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为_____. 824(8)4n n n n -+=---

例5 观察下列等式：

2223sin 30sin 90sin 1502

︒︒︒++= 2223sin 45sin 105sin 1652

︒︒︒++= 2223sin 60sin 120sin 1802︒︒︒++=

试根据上述式子猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.

练习1 将全体奇数排成一个三角形数阵： 1

按照排列的规律，第(3)

n n≥行从左向右 3 5

的第三个数为_______. 25

n n

-+ 7 9 11

13 15 17 19

练习2 将正整数排列如下：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

则2015出现在第____行，第____列.（44，79）

练习3 观察下列式子：

2

=

11

++=23

234

2

++++=

345675

2

456789107

++++++=

则第n个式子为___________________.2

+++++-=-

n n n n n

12(32)(21)

练习4 ,= ，（a ，b 均为实数），请推测a =________，b =_______.6，35

练习5 观察下列等式：

tan10tan30tan30tan50tan50tan101︒︒︒︒︒︒++=，

tan5tan 20tan 20tan 65tan 65tan51︒︒︒︒︒︒++=，

由以上两式成立可以得到一个特殊到一般的结论，此结论是什么？并证明你的结论.

二 类比推理

类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(简称类比)

（1）平面几何（二维空间） 立体几何（三维空间）

例1类比三角形中的性质：

①两边之和大于第三边

②中位线长等于底边的一半

③三内角平分线交于一点

可得四面体的对应性质：

①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 ②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的4

1 ③四面体的六个二面角的平分面交于一点

其中类比推理方法正确的有_______.①，②，③

例2若三角形的内切圆半径是r ，三边长分别是a ，b ，c 则三角形的面积是 1()2

r a b c ++，类比此结论，若四面体的内切球半径是R ，4个面的面积分别1S ，2S ，3S ，4S 则四面体的体积V ＝________．)(314321S S S S R +++

例3在Rt ABC 中，若90C ︒∠=，AC b =，BC a =，则ABC 的外接圆半径为

r =将此结论类比到空间，得到相类似的结论为_______________.在三棱锥A BCD -中，若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB a =，AC b =，

AD c =则此三棱锥外接球半径为R =

练习1在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，由勾股定理有：222c a b =+设想正方形换成正方体，把截线换成截面.这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O LMN -，如果用1S , 2S ，3S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么你类比得到的结论是

________.22224123S S S S =++

练习2 DEF 中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱111C B A ABC -的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式_________________________.

θcos 211111

11111222B BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+=

练习3如图若从点O 所作的两条射OM ，ON 上分别有点1M ，2M 与点1N ，2N ，三角形面积之比11

221122

OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=⋅.若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ 和OR 上分别有点1P ，2P ，点1Q ，2Q 和点1R ，2R ，则类似的结论为______.111

222111222

O PQ R O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --⋅⋅=⋅⋅